การสั่นสะเทือนเชิงกล: แบบฝึกหัดพร้อมเฉลยทีละขั้นตอน

แบบฝึกหัด การสั่นสะเทือนเชิงกล ฟรี พร้อมแผนภาพ คำใบ้ และเฉลยละเอียด ตัวเลขใหม่ทุกครั้ง สามระดับ: ความถี่ธรรมชาติ, อัตราส่วนการหน่วง, สปริงต่ออนุกรมและขนาน

โจทย์ฝึกฟรีง่าย
kmδst​ = 15 mmไม่มีโหลด

เครื่องจักรวางบนฐานสปริงซึ่งยุบตัว 15 mm ภายใต้น้ำหนักของมัน ถือว่าเป็นระบบองศาอิสระเดียวที่ไม่มีการหน่วง และใช้ g = 9.81 m/s² หาความถี่ธรรมชาติ fn ของการสั่นแนวดิ่งใน Hz

δst = 15 mmg = 9.81 m/s²
Hz
โจทย์ถัดไป →
ฝึก การสั่นสะเทือนเชิงกล ฟรีฝึก การสั่นสะเทือนเชิงกล เลยโจทย์ฟรีวันละ 5 ข้อ ไม่ต้องใช้บัตร

สิ่งที่คุณจะได้ฝึก

  1. ง่ายความถี่ธรรมชาติ
  2. ปานกลางอัตราส่วนการหน่วง
  3. ยากสปริงต่ออนุกรมและขนาน

สูตรสำคัญ

ความถี่ธรรมชาติ
ωn = √(k/m), fn = ωn/(2π)
จากระยะแอ่นสถิต
ωn = √(g/δst)
การหน่วงวิกฤต
cc = 2√(km) = 2mωn
อัตราส่วนการหน่วง
ζ = c/cc
ความถี่ที่ถูกหน่วง
ωd = ωn√(1 − ζ²)
ลอการิทึมดีเครเมนต์
δ = (1/n)·ln(x0/xn), ζ = δ/√(4π² + δ²)
สปริงต่อขนาน
k = k1 + k2
สปริงต่ออนุกรม
1/k = 1/k1 + 1/k2

เรียนรู้ การสั่นสะเทือนเชิงกล ตั้งแต่ต้น

ก่อนหน้านี้: สปริงและลูกตุ้ม

1การสั่นสะเทือนคืออะไร

แขวนมวลบนสปริง ดึงลงเล็กน้อยแล้วปล่อย มันเด้งขึ้นลงรอบตำแหน่งพักของมัน การเคลื่อนที่ซ้ำนั้นคือการสั่นสะเทือน (vibration)

ทุกระบบเช่นนี้มีจังหวะโปรดของตัวเอง คือความถี่ธรรมชาติ ขึ้นกับความแข็งของสปริงและความหนักของมวลเท่านั้น ไม่ขึ้นกับว่าคุณดึงไกลเท่าใด

kmx

วิศวกรสนใจเพราะเครื่องจักรที่ถูกเขย่าที่ความถี่ธรรมชาติอาจสั่นอย่างรุนแรง เรียกว่าการสั่นพ้อง (resonance) ฐานเครื่องยนต์ เครื่องซักผ้า และสะพานล้วนออกแบบโดยคำนึงถึงสิ่งนี้

สปริงที่แข็งกว่าทำให้การสั่นเร็วขึ้น มวลที่หนักกว่าทำให้ช้าลง

ตรวจสอบตนเอง คุณเปลี่ยนมวลบนสปริงเป็นมวลที่หนักกว่าสี่เท่า ความถี่ธรรมชาติเกิดอะไรขึ้น
  1. ต่ำลงสี่เท่า
  2. ลดครึ่ง
  3. เท่าเดิม
  4. เพิ่มเป็นสองเท่า

คำตอบ: ลดครึ่ง. ความถี่ขึ้นกับ √(k/m) มวลเป็นสี่เท่าหารรากที่สองด้วย √4 = 2 ดังนั้นความถี่ลดลงครึ่งหนึ่ง

2ความถี่ธรรมชาติและการต่อสปริง

สำหรับมวล m (kg) บนสปริงความแข็งเกร็ง k (N/m) ความถี่เชิงมุมธรรมชาติในหน่วย rad/s คือ:

ωn = √(k / m)

หนึ่งรอบเต็มคือ 2π เรเดียน ดังนั้นความถี่ธรรมชาติในหน่วยเฮิรตซ์ (รอบต่อวินาที) และคาบ (วินาทีต่อรอบ) คือ:

fn = ωn / (2π) T = 1 / fn

บางครั้งคุณทราบเพียงว่าสปริงหย่อนลงเท่าใดภายใต้น้ำหนัก คือการโก่งสถิต δst = m·g/k จากนั้น ωn = √(g / δst) โดย δst เป็นเมตร

เมื่อมีสปริงหลายตัว ให้แทนที่ด้วยสปริงเทียบเท่าตัวเดียวก่อน:

k1​k2​mk1​k2​mk = k₁ + k₂1/k = 1/k₁ + 1/k₂
  • ข้างกัน (ขนาน) สปริงแบ่งโหลดและความแข็งเกร็งบวกกัน
  • ต่อปลายกัน (อนุกรม) สปริงแต่ละตัวรับโหลดเต็ม และสปริงเทียบเท่าอ่อนกว่าทั้งสองตัว
ตรวจสอบตนเอง สปริงสองตัว ตัวละ 10 kN/m ต่อปลายกัน (อนุกรม) ความแข็งเกร็งเทียบเท่าเป็นเท่าใด
  1. 10 kN/m
  2. 100 kN/m
  3. 20 kN/m
  4. 5 kN/m

คำตอบ: 5 kN/m. 1/k = 1/10 + 1/10 = 2/10 ดังนั้น k = 5 kN/m การบวกเป็น 20 kN/m เป็นกฎสำหรับสปริงแบบขนาน

3การหน่วง

การสั่นสะเทือนจริงจางหายไป ตัวหน่วง (damper) (ลูกสูบที่เคลื่อนผ่านน้ำมัน เหมือนโช้กอัพของรถ) ดึงพลังงานออก ความแรงของมันคือสัมประสิทธิ์การหน่วง c ในหน่วย N·s/m

kcmx

การหน่วงวิกฤตคือปริมาณการหน่วงที่พอดีหยุดมวลไม่ให้เด้งเลย:

cc = 2 · √(k · m) = 2 · m · ωn

อัตราส่วนการหน่วงเปรียบเทียบการหน่วงจริงกับค่าวิกฤตนั้น:

ζ = c / cc
  • ζ < 1: หน่วงน้อยกว่าวิกฤต (underdamped) มวลยังสั่น แต่การแกว่งลดลง
  • ζ = 1: หน่วงวิกฤต (critically damped) กลับสู่ที่พักเร็วที่สุดโดยไม่เลยจุดสมดุล
  • ζ > 1: หน่วงมากกว่าวิกฤต (overdamped) คืบกลับช้า ๆ โดยไม่สั่น

ระบบที่หน่วงน้อยกว่าวิกฤตสั่นช้ากว่าระบบที่ไม่หน่วงเล็กน้อย ที่ความถี่ธรรมชาติแบบหน่วง:

ωd = ωn · √(1 − ζ²)
ตรวจสอบตนเอง มวล 10 kg วางบนสปริง 1000 N/m พร้อมตัวหน่วง c = 50 N·s/m อัตราส่วนการหน่วงเป็นเท่าใด
  1. 0.25
  2. 0.5
  3. 2.5
  4. 4

คำตอบ: 0.25. cc = 2·√(1000 · 10) = 200 N·s/m ดังนั้น ζ = 50/200 = 0.25 การลืมตัวประกอบ 2 ให้ 0.5 และการหารกลับด้านให้ 4

4วิธีทำทีละขั้น

  1. แปลงทุกอย่างเป็นหน่วย SI: kN/m เป็น N/m (× 1000) mm เป็น m กรัมเป็น kg
  2. ถ้ามีสปริงหลายตัว รวมเป็น k ตัวเดียว: บวกกันเมื่อขนาน บวกส่วนกลับเมื่ออนุกรม
  3. หา ωn = √(k/m) ในหน่วย rad/s
  4. ถ้าโจทย์ถามเป็นเฮิรตซ์ ให้หารด้วย 2π: fn = ωn/(2π) สำหรับคาบ ใช้ T = 1/fn
  5. เมื่อมีการหน่วง หา cc = 2·√(k·m) แล้ว ζ = c/cc และถ้าถาม ωd = ωn·√(1 − ζ²)

แยก ω (rad/s) กับ f (Hz) ออกจากกัน ต่างกันด้วยตัวประกอบ 2π ≈ 6.28 และการสับสนกันเป็นวิธีที่พบบ่อยที่สุดที่ทำให้เสียคะแนน

5ตัวอย่างที่แก้ให้ดู

ทำตามทุกขั้นตอน ลองทำนายขั้นถัดไปก่อนเปิดดู

ตัวอย่างที่แก้ให้ดู

มวล 50 kg แขวนจากสปริงที่มีความแข็งเกร็ง 20 kN/m ไม่ต้องคิดการหน่วง จงหาความถี่ธรรมชาติ fn ใน Hz และคาบของการสั่น

1

วาดและแปลง

20 kN/m50 kgx

ความแข็งเกร็งต้องเป็น N/m: k = 20 kN/m = 20 000 N/m มวลเป็น kg อยู่แล้ว

2

ความถี่ธรรมชาติเชิงวงกลม

ωn = √(k / m) = √(20 000 / 50) = √400 = 20 rad/s
3

แปลงเป็นเฮิรตซ์

หารด้วย 2π เพื่อนับรอบเต็มต่อวินาที:

fn = 20 / (2π) = 3.18 Hz
4

คาบ

T = 1 / fn = 1 / 3.183 = 0.314 s

มวลเคลื่อนขึ้นลงครบรอบมากกว่าสามรอบเล็กน้อยทุกวินาที

5

ตรวจสอบคำตอบ

การโก่งสถิตคือ δst = m·g/k = 50 · 9.81 / 20 000 = 0.0245 m

ωn = √(9.81 / 0.0245) = 20 rad/s

20 rad/s เดียวกัน หาด้วยวิธีที่ต่างกัน คำตอบถูกต้อง

6

ก้าวต่อไป: เพิ่มตัวหน่วง

เมื่อมีตัวหน่วง c = 400 N·s/m: cc = 2·√(20 000 · 50) = 2000 N·s/m ดังนั้น ζ = 400/2000 = 0.2

ωd = 20 · √(1 − 0.2²) = 19.6 rad/s, fd = 3.12 Hz
คำตอบ

fn ≈ 3.18 Hz (ωn = 20 rad/s) และคาบคือ T ≈ 0.314 s

6ข้อผิดพลาดที่พบบ่อย

  • ตอบ ωn เป็น rad/s เมื่อโจทย์ถาม fn เป็น Hz หรือกลับกัน
  • ปล่อยความแข็งเกร็งเป็น kN/m สูตรต้องการ N/m
  • บวกสปริงอนุกรมเหมือนเป็นแบบขนาน
  • ลืม 2 ใน cc = 2·√(k·m)
  • ใช้น้ำหนัก m·g แทนมวล m ใน ωn = √(k/m)
ตรวจสอบตนเอง มวล 4 kg แขวนจากสปริง 400 N/m ความถี่ธรรมชาติใน Hz เป็นเท่าใด
  1. 0.05 Hz
  2. 1.59 Hz
  3. 10 Hz
  4. 62.8 Hz

คำตอบ: 1.59 Hz. ωn = √(400/4) = 10 rad/s และ fn = 10/(2π) = 1.59 Hz การหยุดที่ 10 ให้ rad/s ไม่ใช่ Hz การคูณด้วย 2π ให้ 62.8 การใช้ 0.4 (kN/m) ให้ 0.05 Hz

7ข้อสอบมีหน้าตาอย่างไร

  • ง่าย: ความถี่ธรรมชาติ มวลบนสปริง หา ωn ใน rad/s หรือ fn ใน Hz บางโจทย์ให้เพียงการโก่งสถิตของเครื่องจักรบนฐานรอง
  • ปานกลาง: อัตราส่วนการหน่วง หา ζ จาก m, k และ c หรือหาความถี่แบบหน่วง fd จาก ζ ที่กำหนด บางโจทย์ให้ยอดสองยอดจากการทดสอบการสั่นอิสระ
  • ยาก: สปริงอนุกรมและขนาน บางครั้งทั้งสองอย่าง (สปริงสองตัวข้างกันถือคาน โดยมีสปริงตัวที่สามอยู่ใต้) หา keq ก่อน แล้ว fn

สำหรับยอดสองยอด x0 และ xn ที่ห่างกัน n รอบ ใช้ลอการิทึมดีเครเมนต์:

δ = (1/n) · ln(x0 / xn), ζ = δ / √(4π² + δ²)

เรียนรู้ทีละขั้นในแอปเรียนรู้ทีละขั้นในแอป

ตัวอย่างวิธีทำ

ตัวอย่างที่ 1ง่าย
k = 15 kN/mm = 40 kgx

มวล 40 kg แขวนจากสปริงที่มีค่าความแข็ง 15 kN/m ไม่คิดการหน่วง หาความถี่ธรรมชาติ fn ใน Hz

m = 40 kgk = 15 kN/m

จงหา fn (Hz)

แสดงคำใบ้
  1. ทำงานในหน่วย SI: k เป็น N/m
  2. ωn = √(k/m), fn = ωn/(2π).
  3. k = 15000 N/m.
แสดงคำตอบและเฉลยทีละขั้นตอน

การสั่นอิสระของระบบมวล–สปริง: ความถี่ธรรมชาติแบบไม่มีการหน่วงคือ ωn = √(k/m) ใน rad/s และ fn = ωn/(2π) ใน Hz ตัวหน่วงหนืด c ให้อัตราส่วนการหน่วง ζ = c/cc โดยการหน่วงวิกฤต cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn ระบบที่หน่วงน้อยกว่าวิกฤต (ζ < 1) สั่นที่ ωd = ωn·√(1 − ζ²) สปริงต่อขนานบวกกัน k = k₁ + k₂ สปริงต่ออนุกรมบวกกันแบบส่วนกลับ 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

ความถี่ธรรมชาติเชิงวงกลม

ωn = √(k/m) = √(15000/40) = 19.36 rad/s

ในหน่วยเฮิรตซ์

fn = ωn/(2π) = 19.36/(2π) = 3.082 Hz

คำตอบ

fn = 3.082 Hz
ตัวอย่างที่ 2ปานกลาง
k = 50 kN/mζ = 0.4m = 10 kg

มวล 10 kg บนสปริงที่มีค่าความแข็ง 50 kN/m มีตัวหน่วงหนืดให้อัตราส่วนการหน่วง 0.4 หาความถี่ธรรมชาติที่ถูกหน่วง fd ของการสั่นอิสระใน Hz

m = 10 kgk = 50 kN/mζ = 0.4

จงหา fd (Hz)

แสดงคำใบ้
  1. หาความถี่ธรรมชาติแบบไม่หน่วงก่อน
  2. ωn = √(k/m), fn = ωn/(2π).
  3. fd = fn·√(1 − ζ²).
แสดงคำตอบและเฉลยทีละขั้นตอน

การสั่นอิสระของระบบมวล–สปริง: ความถี่ธรรมชาติแบบไม่มีการหน่วงคือ ωn = √(k/m) ใน rad/s และ fn = ωn/(2π) ใน Hz ตัวหน่วงหนืด c ให้อัตราส่วนการหน่วง ζ = c/cc โดยการหน่วงวิกฤต cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn ระบบที่หน่วงน้อยกว่าวิกฤต (ζ < 1) สั่นที่ ωd = ωn·√(1 − ζ²) สปริงต่อขนานบวกกัน k = k₁ + k₂ สปริงต่ออนุกรมบวกกันแบบส่วนกลับ 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

ความถี่ธรรมชาติแบบไม่หน่วง

ωn = √(50000/10) = 70.71 rad/s
fn = 70.71/(2π) = 11.25 Hz

ความถี่ธรรมชาติที่ถูกหน่วง

fd = fn·√(1 − ζ²) = 11.25·√(1 − 0.4²) = 10.31 Hz

คำตอบ

fd = 10.31 Hz
ตัวอย่างที่ 3ยาก
k1​ = 80k2​ = 20m = 5 kg

มวล 5 kg แขวนจากสปริงสองตัวที่ต่อปลายต่อปลาย (อนุกรม): สปริงบนมี k₁ = 80 kN/m และสปริงล่างมี k₂ = 20 kN/m หาค่าความแข็งสมมูล keq ของระบบสปริงใน kN/m

m = 5 kgk1 = 80 kN/mk2 = 20 kN/m

จงหา keq (kN/m)

แสดงคำใบ้
  1. สปริงขนานมีระยะแอ่นเท่ากัน ค่าความแข็งบวกกัน สปริงอนุกรมมีแรงเท่ากัน ส่วนกลับ 1/k บวกกัน
  2. 1/keq = 1/k₁ + 1/k₂.
  3. keq < 20 kN/m.
แสดงคำตอบและเฉลยทีละขั้นตอน

การสั่นอิสระของระบบมวล–สปริง: ความถี่ธรรมชาติแบบไม่มีการหน่วงคือ ωn = √(k/m) ใน rad/s และ fn = ωn/(2π) ใน Hz ตัวหน่วงหนืด c ให้อัตราส่วนการหน่วง ζ = c/cc โดยการหน่วงวิกฤต cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn ระบบที่หน่วงน้อยกว่าวิกฤต (ζ < 1) สั่นที่ ωd = ωn·√(1 − ζ²) สปริงต่อขนานบวกกัน k = k₁ + k₂ สปริงต่ออนุกรมบวกกันแบบส่วนกลับ 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

ค่าความแข็งสมมูล

สปริงที่ต่ออนุกรมรับแรงเท่ากันและระยะแอ่นบวกกัน จึงรวมกันแบบส่วนกลับ: 1/k = 1/k1 + 1/k2

1/keq = 1/80 + 1/20 → keq = 80·20/(80 + 20) = 16 kN/m

คำตอบ

keq = 16 kN/m

คำถามและคำตอบ

การสั่นสะเทือนเชิงกล คืออะไร

แขวนมวลบนสปริง ดึงลงเล็กน้อยแล้วปล่อย มันเด้งขึ้นลงรอบตำแหน่งพักของมัน การเคลื่อนที่ซ้ำนั้นคือการสั่นสะเทือน (vibration)

ทุกระบบเช่นนี้มีจังหวะโปรดของตัวเอง คือความถี่ธรรมชาติ ขึ้นกับความแข็งของสปริงและความหนักของมวลเท่านั้น ไม่ขึ้นกับว่าคุณดึงไกลเท่าใด

จะแก้โจทย์ การสั่นสะเทือนเชิงกล ทีละขั้นได้อย่างไร

การสั่นอิสระของระบบมวล–สปริง: ความถี่ธรรมชาติแบบไม่มีการหน่วงคือ ωn = √(k/m) ใน rad/s และ fn = ωn/(2π) ใน Hz ตัวหน่วงหนืด c ให้อัตราส่วนการหน่วง ζ = c/cc โดยการหน่วงวิกฤต cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn ระบบที่หน่วงน้อยกว่าวิกฤต (ζ < 1) สั่นที่ ωd = ωn·√(1 − ζ²) สปริงต่อขนานบวกกัน k = k₁ + k₂ สปริงต่ออนุกรมบวกกันแบบส่วนกลับ 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

ข้อผิดพลาดที่พบบ่อยใน การสั่นสะเทือนเชิงกล มีอะไรบ้าง
  • นั่นคือ ωn ใน rad/s หารด้วย 2π เพื่อให้ได้ความถี่ใน Hz
  • แปลง kN/m เป็น N/m (คูณ 1000) ก่อนใช้ ωn = √(k/m)
  • หาร ωn ด้วย 2π เพื่อให้ได้ Hz ไม่ใช่คูณ
แบบฝึกหัด การสั่นสะเทือนเชิงกล ครอบคลุมเรื่องอะไรบ้าง
  • ง่าย: ความถี่ธรรมชาติ
  • ปานกลาง: อัตราส่วนการหน่วง
  • ยาก: สปริงต่ออนุกรมและขนาน

โจทย์ทุกข้อใช้ค่าใหม่ คุณจึงเรียนรู้วิธีทำ ไม่ใช่จำคำตอบ ติดขัดใช่ไหม เปิดคำใบ้เล็ก ๆ ก่อน และเปิดคำอธิบายฉบับเต็มเมื่อจำเป็นเท่านั้น

การฝึกทำงานอย่างไร

  • โจทย์ทุกข้อใช้ค่าใหม่ คุณจึงเรียนรู้วิธีทำ ไม่ใช่จำคำตอบ
  • ติดขัดใช่ไหม เปิดคำใบ้เล็ก ๆ ก่อน และเปิดคำอธิบายฉบับเต็มเมื่อจำเป็นเท่านั้น
  • ความก้าวหน้า ข้อที่ผิด และโจทย์ที่บันทึกไว้จะถูกเก็บไว้ เพื่อให้คุณทบทวนก่อนสอบได้

หัวข้อก่อนและหลังหัวข้อนี้

ควรเรียนก่อน

สปริงและลูกตุ้ม

เครื่องคำนวณ

เครื่องคำนวณความถี่ธรรมชาติและการหน่วง

รายวิชาที่มีหัวข้อนี้

พลศาสตร์การออกแบบเครื่องจักรกลฝึกข้อสอบ FE เครื่องกล

หัวข้ออื่นในเครื่องกล

ปฏิกิริยาที่จุดรองรับของคานโครงข้อแข็งและเครื่องกลความเค้นและความเครียดตามแนวแกนการบิดของเพลาวงกลมของมอร์และการแปลงความเค้นการเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์งานและพลังงานการหมุนของวัตถุแข็งเกร็งเครื่องยนต์ความร้อนและตู้เย็นวัฏจักรกำลังแบบแก๊สความต่อเนื่องและเบอร์นูลลีแรงเสียดทานในท่อและเฮดสูญเสียปั๊มและกำลังของปั๊มการนำความร้อนเฟืองและชุดเฟือง

ใบงานสำหรับพิมพ์

ใบงาน การสั่นสะเทือนเชิงกล พร้อมเฉลย
ฝึก การสั่นสะเทือนเชิงกล ฟรีฝึก การสั่นสะเทือนเชิงกล เลยโจทย์ฟรีวันละ 5 ข้อ ไม่ต้องใช้บัตร