ความเค้นและความเครียดตามแนวแกน: แบบฝึกหัดพร้อมเฉลยทีละขั้นตอน

แบบฝึกหัด ความเค้นและความเครียดตามแนวแกน ฟรี พร้อมแผนภาพ คำใบ้ และเฉลยละเอียด ตัวเลขใหม่ทุกครั้ง สามระดับ: ความเค้นแนวฉาก, ความเครียดและความยืด, แท่งขั้นบันได

โจทย์ฝึกฟรีง่าย
80 kNØ30100 GPaØ100/50800 mmσr​ = ?

แท่งเหล็กกล้า (เส้นผ่านศูนย์กลาง 30 mm, E = 200 GPa) อยู่ภายในท่อที่ทำจากทองเหลือง (เส้นผ่านศูนย์กลางนอก 100 mm, เส้นผ่านศูนย์กลางใน 50 mm, E = 100 GPa) ทั้งสองยาว 800 mm และถูกอัดร่วมกันระหว่างแผ่นแข็งด้วยแรง 80 kN จงหาความเค้นอัด σr ในแท่ง

P = 80 kNแท่ง: Ø30 mm, E = 200 GPaท่อ: Ø100/Ø50 mm, E = 100 GPaL = 800 mm
MPa
โจทย์ถัดไป →
ฝึก ความเค้นและความเครียดตามแนวแกน ฟรีฝึก ความเค้นและความเครียดตามแนวแกน เลยโจทย์ฟรีวันละ 5 ข้อ ไม่ต้องใช้บัตร

สิ่งที่คุณจะได้ฝึก

  1. ง่ายความเค้นแนวฉาก
  2. ปานกลางความเครียดและความยืด
  3. ยากแท่งขั้นบันได

สูตรสำคัญ

ความเค้นแนวฉาก
σ = F/A
ความเครียด
ε = ΔL/L
กฎของฮุก
σ = E·ε
ความยืด
ΔL = FL/(EA)
ความเครียดจากความร้อน
εT = α·ΔT

เรียนรู้ ความเค้นและความเครียดตามแนวแกน ตั้งแต่ต้น

1ความเค้นคืออะไร

ดึงแท่งเหล็กแล้วมันจะต้านทาน การที่แท่งเหล็กจะขาดหรือไม่ไม่ได้ขึ้นกับแรงเพียงอย่างเดียว แต่ขึ้นกับว่ามีวัสดุจำนวนเท่าใดช่วยรับแรงนั้น

ลวดเส้นบางและสายเคเบิลหนารับน้ำหนักเท่ากันได้ ลวดเส้นบางมีโอกาสเสียหายมากกว่ามาก เพราะแต่ละตารางมิลลิเมตรของมันรับแรงมากกว่า

dLP

ความเค้นตั้งฉาก (normal stress) σ (ซิกมา) คือแรงต่อหนึ่งหน่วยพื้นที่หน้าตัด แรง P กระทำตามแนวแกนของแท่ง จึงเรียกว่าแรงตามแนวแกน

σ = P / A

วิศวกรทำงานด้วยนิวตันและมิลลิเมตร หนึ่งนิวตันต่อตารางมิลลิเมตรเท่ากับหนึ่งเมกะปาสกาล:

1 N/mm² = 1 MPa

ดังนั้นต้องแปลง kN เป็น N ก่อน (× 1000) สำหรับแท่งกลมเส้นผ่านศูนย์กลาง d พื้นที่คือพื้นที่วงกลม:

A = π · d² / 4
ตรวจสอบตนเอง แท่งที่มีพื้นที่หน้าตัด 100 mm² รับแรง 10 kN ความเค้นเป็นเท่าใด
  1. 0.1 MPa
  2. 10 MPa
  3. 100 MPa
  4. 1000 MPa

คำตอบ: 100 MPa. σ = 10 000 N / 100 mm² = 100 N/mm² = 100 MPa ส่วน 0.1 MPa มาจากการลืมแปลง kN เป็น N

2ความเครียดและกฎของฮุก

เมื่อรับแรง แท่งจะยาวขึ้นเล็กน้อยด้วย การเปลี่ยนแปลงความยาวนี้คือระยะยืด (elongation) δ (เดลตา)

dLδP

ความเครียด (strain) ε (เอปไซลอน) คือระยะยืดหารด้วยความยาวเดิม ไม่มีหน่วย เพราะเป็น mm ต่อ mm:

ε = δ / L

ความเครียดในโลหะมีค่าน้อยมาก จึงมักให้เป็นไมโครสเตรน: 1 µε = 10⁻⁶ ความเครียด 0.0008 คือ 800 µε

สำหรับวัสดุส่วนใหญ่ ความเค้นและความเครียดเป็นสัดส่วนกันตราบใดที่แรงไม่มากเกินไป นี่คือกฎของฮุก:

σ = E · ε

E คือมอดูลัสของยัง (Young’s modulus) ซึ่งบอกความแข็งเกร็งของวัสดุ เหล็กมี E ≈ 200 GPa อะลูมิเนียมประมาณ 70 GPa เนื่องจาก 1 GPa = 1000 MPa เหล็กจึงมี E = 200 000 MPa

การรวมสูตรทั้งสามเข้าด้วยกันให้ระยะยืดโดยตรง:

δ = P · L / (A · E)
ตรวจสอบตนเอง แท่งเหล็ก (E = 200 GPa) มีความเค้น 200 MPa ความเครียดเป็นเท่าใด
  1. 0.001
  2. 0.1
  3. 1000
  4. 1

คำตอบ: 0.001. แปลง E เป็น MPa: 200 GPa = 200 000 MPa จากนั้น ε = 200/200 000 = 0.001 = 1000 µε การหาร 200 ด้วย 200 โดยไม่แปลงหน่วยได้ 1 ซึ่งใหญ่เกินไปมาก

3วิธีทำทีละขั้น

  1. เขียนค่าทั้งหมดในหน่วย N และ mm: P เป็น N (kN × 1000) ความยาวเป็น mm (m × 1000) E เป็น MPa (GPa × 1000)
  2. หาพื้นที่: A = π·d²/4 สำหรับแท่งกลม
  3. หาความเค้น: σ = P/A เป็น MPa
  4. หาความเครียด: ε = σ/E คูณด้วย 10⁶ ถ้าต้องการคำตอบเป็น µε
  5. หาระยะยืด: δ = ε·L เป็น mm

หยุดที่ขั้นตอนที่โจทย์ถาม โจทย์ส่วนใหญ่ใช้เพียงสองหรือสามขั้นตอนแรก

4ตัวอย่างที่แก้ให้ดู

ทำตามทุกขั้นตอน ลองทำนายขั้นถัดไปก่อนเปิดดู

ตัวอย่างที่แก้ให้ดู

แท่งเหล็ก (E = 200 GPa) มีเส้นผ่านศูนย์กลาง 20 mm และยาว 2 m รับแรงดึงตามแนวแกน 50 kN จงหาความเค้น ความเครียด และระยะยืด

1

ดูแท่งและแปลงหน่วย

Ø 20 mm2 mP = 50 kN

P = 50 kN = 50 000 N, L = 2 m = 2000 mm และ E = 200 GPa = 200 000 MPa

2

พื้นที่

A = π · 20² / 4 = 314.2 mm²
3

ความเค้น

σ = P / A = 50 000 / 314.2 = 159.2 MPa

ค่านี้ต่ำกว่าความแข็งแรงของเหล็กทั่วไป (ประมาณ 250 MPa) มาก จึงใช้กฎของฮุกได้

4

ความเครียด

ε = σ / E = 159.2 / 200 000 = 0.000796 = 796 µε
5

ความยืด

δ = ε · L = 0.000796 · 2000 = 1.59 mm
6

ตรวจสอบคำตอบ

ใช้สูตรรวมเป็นวิธีที่สอง:

δ = P·L / (A·E) = 50 000 · 2000 / (314.2 · 200 000) = 1.59 mm

แท่งเหล็กยาว 2 m ที่ยืดประมาณ 1.6 mm สมเหตุสมผล ความเครียดของเหล็กอยู่ต่ำกว่า 0.2 % มาก

คำตอบ

σ = 159.2 MPa, ε = 796 µε และ δ = 1.59 mm

5แท่งที่มีมากกว่าหนึ่งส่วน

แท่งขั้นบันได (stepped bar) ประกอบด้วยส่วนที่มีเส้นผ่านศูนย์กลางต่างกัน และบางครั้งวัสดุต่างกัน

A1​L1​A2​L2​P

ตัดแท่งตรงไหนก็ได้แล้วดูส่วนที่อยู่ทางขวาของรอยตัด มีเพียง P ที่ดึงมัน ดังนั้นทุกส่วนรับแรง P เท่ากัน

พื้นที่ต่างกัน ความเค้นจึงต่างกัน ส่วนที่บางที่สุดมีความเค้นมากที่สุด

แต่ละส่วนยืดตามลำพังด้วย A, L และ E ของตัวเอง ระยะยืดรวมคือผลรวม:

δ = P·L1 / (A1·E1) + P·L2 / (A2·E2)
ตรวจสอบตนเอง แท่งขั้นบันไดรับแรง 20 kN ส่วนที่ 1 มี A = 400 mm² ส่วนที่ 2 มี A = 100 mm² ความเค้นที่มากที่สุดในแท่งเป็นเท่าใด
  1. 200 MPa
  2. 250 MPa
  3. 40 MPa
  4. 50 MPa

คำตอบ: 200 MPa. ทั้งสองส่วนรับแรง 20 kN ส่วนบางมี 20 000/100 = 200 MPa ส่วน 50 MPa เป็นของส่วนหนา 40 MPa เกิดจากการบวกพื้นที่อย่างผิด ๆ และ 250 MPa เกิดจากการบวกความเค้นทั้งสองอย่างผิด ๆ

6ข้อผิดพลาดที่พบบ่อย

  • ลืมแปลง kN เป็น N ทำให้ความเค้นน้อยเกินไป 1000 เท่า
  • ใช้ E ในหน่วย GPa คู่กับความเค้นในหน่วย MPa ให้เขียน E เป็น MPa (GPa × 1000)
  • ใช้ π·d² หรือ π·d แทน π·d²/4 สำหรับพื้นที่วงกลม
  • ปล่อย L เป็นเมตรทั้งที่ δ ควรได้เป็นมิลลิเมตร
  • แบ่ง P ให้แต่ละส่วนของแท่งขั้นบันได ทุกส่วนรับแรง P เต็มจำนวน
ตรวจสอบตนเอง แท่งที่มี A = 30 mm² รับแรง P = 6 kN ความเค้นเป็นเท่าใด
  1. 0.2 MPa
  2. 180 MPa
  3. 200 MPa
  4. 5 MPa

คำตอบ: 200 MPa. σ = 6000 N / 30 mm² = 200 MPa ส่วน 0.2 MPa ใช้ 6 แทน 6000 N; 5 MPa หารพื้นที่ด้วยแรง; 180 คือการคูณกัน

7ข้อสอบมีหน้าตาอย่างไร

  • ง่าย: ความเค้นตั้งฉาก แท่งกลมเส้นผ่านศูนย์กลาง d รับแรง P จงหา σ = P/A
  • ปานกลาง: ความเครียดและระยะยืด โจทย์ให้ L และ E ของวัสดุด้วย จงหา ε (ใน µε) หรือ δ (ใน mm)
  • ยาก: แท่งขั้นบันไดสองส่วน อาจเป็นวัสดุต่างกัน จงหาระยะยืดรวมหรือความเค้นที่มากที่สุด

เขียนหน่วยกำกับทุกตัวเลข คำตอบผิดเกือบทั้งหมดในหัวข้อนี้คลาดเคลื่อนไป 1000 เท่า

เรียนรู้ทีละขั้นในแอปเรียนรู้ทีละขั้นในแอป

ตัวอย่างวิธีทำ

ตัวอย่างที่ 1ง่าย
300 kNØ30120 GPaØ100/50500 mmσr​ = ?

แท่งเหล็กกล้า (เส้นผ่านศูนย์กลาง 30 mm, E = 200 GPa) อยู่ภายในท่อที่ทำจากทองแดง (เส้นผ่านศูนย์กลางนอก 100 mm, เส้นผ่านศูนย์กลางใน 50 mm, E = 120 GPa) ทั้งสองยาว 500 mm และถูกอัดร่วมกันระหว่างแผ่นแข็งด้วยแรง 300 kN จงหาความเค้นอัด σr ในแท่ง

P = 300 kNแท่ง: Ø30 mm, E = 200 GPaท่อ: Ø100/Ø50 mm, E = 120 GPaL = 500 mm

จงหา σr (MPa)

แสดงคำใบ้
  1. แผ่นแข็ง: แท่งและท่อหดเท่ากัน ดังนั้น ε เท่ากันทั้งสอง
  2. ε = P/ΣEA.
  3. σ = E·ε.
แสดงคำตอบและเฉลยทีละขั้นตอน

วัสดุสองชนิด: แบบอนุกรม (ต่อกันทีละส่วน) ทุกส่วนรับแรงเท่ากันและการยืดตัวบวกกัน: δ = P·Σ L/(E·A) แบบขนาน (วางเคียงกันระหว่างแผ่นแข็ง) ทั้งสองส่วนหดเท่ากัน ดังนั้นความเครียดเท่ากัน: ส่วนที่แข็งกว่ารับสัดส่วนมากกว่า Pi = P·EiAi/ΣEA และ σi = Ei·ε แท่งที่ยึดระหว่างผนังแข็งสองด้านโดยมีโหลดที่รอยต่อเป็นโครงสร้างอินดีเทอร์มิเนต: สองส่วนแบ่งโหลดตามสัดส่วนความแข็ง k = EA/L

พื้นที่

Ar = π·30²/4 = 706.9 mm²
At = π(100² − 50²)/4 = 5890 mm²

ความแข็งตามแนวแกนรวม

ΣEA = 200·10³·706.9 + 120·10³·5890 = 8.482 × 10⁸ N

ความเครียดร่วม

ε = 300000/8.482 × 10⁸ = 0.0003537

ความเค้นในแท่ง

σr = 200·10³·0.0003537 = 70.74 MPa

คำตอบ

σr = 70.74 MPa
ตัวอย่างที่ 2ปานกลาง
Ø 20 mmทองเหลือง2.5 mP = 10 kN

หาความเครียดตามแนวแกน ε ในแท่งทองเหลือง ในหน่วยไมโครสเตรน (µε = 10⁻⁶)

P = 10 kNd = 20 mmL = 2.5 mE = 100 GPa

จงหา ε (µε)

แสดงคำใบ้
  1. เชื่อมสามความสัมพันธ์: σ = P/A, ε = σ/E, δ = ε·L
  2. แปลง E เป็น MPa (GPa × 1000) ให้ตรงกับความเค้นในหน่วย MPa และแปลง L เป็น mm
  3. σ = 31.83 MPa.
แสดงคำตอบและเฉลยทีละขั้นตอน

กฎของฮุก: ในช่วงยืดหยุ่น σ = E·ε เมื่อรวมกับ σ = P/A และ ε = δ/L จะได้ δ = PL/(AE)

ความเค้น

A = π·20²/4 = 314.2 mm²
σ = P/A = 10·1000/314.2 = 31.83 MPa

ความเครียด (กฎของฮุก)

E for ทองเหลือง = 100 GPa = 100000 MPa.

ε = σ/E = 31.83/100000 = 0.0003183 = 318.3 µε

คำตอบ

ε = 318.3 µε
ตัวอย่างที่ 3ยาก
40 kN12300 mm500 mmØ30Ø30σ2​ = ?

ท่อนเหล็กกล้า (เส้นผ่านศูนย์กลาง 30 mm, ยาว 300 mm, E = 200 GPa) และท่อนที่ทำจากอะลูมิเนียม (เส้นผ่านศูนย์กลาง 30 mm, ยาว 500 mm, E = 70 GPa) ต่อปลายชนปลายและยึดระหว่างผนังแข็งสองด้าน โหลดตามแนวแกน 40 kN กระทำที่รอยต่อไปทางท่อนที่ 2 จงหาขนาดของความเค้น σ2 ในท่อนที่ 2

ท่อนที่ 1: เหล็กกล้า, Ø30 mm, 300 mm, E = 200 GPaท่อนที่ 2: อะลูมิเนียม, Ø30 mm, 500 mm, E = 70 GPaP = 40 kN

จงหา σ2 (MPa)

แสดงคำใบ้
  1. รอยต่อเคลื่อนที่เท่ากันสำหรับทั้งสองท่อน: ท่อนหนึ่งยืดและอีกท่อนหด
  2. k = E·A/L; P = k₁δ + k₂δ.
  3. k₁ = 471239 N/mm, k₂ = 98960 N/mm.
แสดงคำตอบและเฉลยทีละขั้นตอน

วัสดุสองชนิด: แบบอนุกรม (ต่อกันทีละส่วน) ทุกส่วนรับแรงเท่ากันและการยืดตัวบวกกัน: δ = P·Σ L/(E·A) แบบขนาน (วางเคียงกันระหว่างแผ่นแข็ง) ทั้งสองส่วนหดเท่ากัน ดังนั้นความเครียดเท่ากัน: ส่วนที่แข็งกว่ารับสัดส่วนมากกว่า Pi = P·EiAi/ΣEA และ σi = Ei·ε แท่งที่ยึดระหว่างผนังแข็งสองด้านโดยมีโหลดที่รอยต่อเป็นโครงสร้างอินดีเทอร์มิเนต: สองส่วนแบ่งโหลดตามสัดส่วนความแข็ง k = EA/L

ความแข็ง

k₁ = 200000·706.9/300 = 471239 N/mm
k₂ = 70000·706.9/500 = 98960 N/mm

ส่วนแบ่งของท่อนที่ 2

F2 = 40000·98960/570199 = 6942 N

ความเค้น

σ2 = 6942/706.9 = 9.821 MPa (แรงอัด)

คำตอบ

σ2 = 9.821 MPa

คำถามและคำตอบ

ความเค้นและความเครียดตามแนวแกน คืออะไร

ดึงแท่งเหล็กแล้วมันจะต้านทาน การที่แท่งเหล็กจะขาดหรือไม่ไม่ได้ขึ้นกับแรงเพียงอย่างเดียว แต่ขึ้นกับว่ามีวัสดุจำนวนเท่าใดช่วยรับแรงนั้น

ลวดเส้นบางและสายเคเบิลหนารับน้ำหนักเท่ากันได้ ลวดเส้นบางมีโอกาสเสียหายมากกว่ามาก เพราะแต่ละตารางมิลลิเมตรของมันรับแรงมากกว่า

จะแก้โจทย์ ความเค้นและความเครียดตามแนวแกน ทีละขั้นได้อย่างไร

วัสดุสองชนิด: แบบอนุกรม (ต่อกันทีละส่วน) ทุกส่วนรับแรงเท่ากันและการยืดตัวบวกกัน: δ = P·Σ L/(E·A) แบบขนาน (วางเคียงกันระหว่างแผ่นแข็ง) ทั้งสองส่วนหดเท่ากัน ดังนั้นความเครียดเท่ากัน: ส่วนที่แข็งกว่ารับสัดส่วนมากกว่า Pi = P·EiAi/ΣEA และ σi = Ei·ε แท่งที่ยึดระหว่างผนังแข็งสองด้านโดยมีโหลดที่รอยต่อเป็นโครงสร้างอินดีเทอร์มิเนต: สองส่วนแบ่งโหลดตามสัดส่วนความแข็ง k = EA/L

ข้อผิดพลาดที่พบบ่อยใน ความเค้นและความเครียดตามแนวแกน มีอะไรบ้าง
  • วัสดุทั้งสองไม่ได้แบ่งความเค้นเท่ากัน: พวกมันแบ่งความเครียดร่วมกัน วัสดุที่แข็งกว่ารับความเค้นสูงกว่า
  • ท่อรับโหลดส่วนหนึ่ง
  • นั่นคือความเค้นในท่อ
แบบฝึกหัด ความเค้นและความเครียดตามแนวแกน ครอบคลุมเรื่องอะไรบ้าง
  • ง่าย: ความเค้นแนวฉาก
  • ปานกลาง: ความเครียดและความยืด
  • ยาก: แท่งขั้นบันได

โจทย์ทุกข้อใช้ค่าใหม่ คุณจึงเรียนรู้วิธีทำ ไม่ใช่จำคำตอบ ติดขัดใช่ไหม เปิดคำใบ้เล็ก ๆ ก่อน และเปิดคำอธิบายฉบับเต็มเมื่อจำเป็นเท่านั้น

การฝึกทำงานอย่างไร

  • โจทย์ทุกข้อใช้ค่าใหม่ คุณจึงเรียนรู้วิธีทำ ไม่ใช่จำคำตอบ
  • ติดขัดใช่ไหม เปิดคำใบ้เล็ก ๆ ก่อน และเปิดคำอธิบายฉบับเต็มเมื่อจำเป็นเท่านั้น
  • ความก้าวหน้า ข้อที่ผิด และโจทย์ที่บันทึกไว้จะถูกเก็บไว้ เพื่อให้คุณทบทวนก่อนสอบได้

หัวข้อก่อนและหลังหัวข้อนี้

เรียนต่อด้วย

วงกลมของมอร์และการแปลงความเค้นการบิดของเพลา

เครื่องคำนวณ

เครื่องคำนวณความเค้นและความเครียดตามแนวแกนเครื่องคำนวณการขยายตัวจากความร้อน

รายวิชาที่มีหัวข้อนี้

กลศาสตร์ของวัสดุการออกแบบเครื่องจักรกลฝึกข้อสอบ FE เครื่องกล

หัวข้ออื่นในเครื่องกล

ปฏิกิริยาที่จุดรองรับของคานโครงข้อแข็งและเครื่องกลการบิดของเพลาวงกลมของมอร์และการแปลงความเค้นการเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์งานและพลังงานการหมุนของวัตถุแข็งเกร็งการสั่นสะเทือนเชิงกลเครื่องยนต์ความร้อนและตู้เย็นวัฏจักรกำลังแบบแก๊สความต่อเนื่องและเบอร์นูลลีแรงเสียดทานในท่อและเฮดสูญเสียปั๊มและกำลังของปั๊มการนำความร้อนเฟืองและชุดเฟือง

ใบงานสำหรับพิมพ์

ใบงาน ความเค้นและความเครียดตามแนวแกน พร้อมเฉลย
ฝึก ความเค้นและความเครียดตามแนวแกน ฟรีฝึก ความเค้นและความเครียดตามแนวแกน เลยโจทย์ฟรีวันละ 5 ข้อ ไม่ต้องใช้บัตร