ปฏิกิริยาที่จุดรองรับของคาน: แบบฝึกหัดพร้อมเฉลยทีละขั้นตอน

แบบฝึกหัด ปฏิกิริยาที่จุดรองรับของคาน ฟรี พร้อมแผนภาพ คำใบ้ และเฉลยละเอียด ตัวเลขใหม่ทุกครั้ง สามระดับ: แรงจุด 1 แรง, แรงจุด 2 แรง, แรงจุด + น้ำหนักแผ่สม่ำเสมอ

โจทย์ฝึกฟรีง่าย
P = 20 kNABRA​ = ?RB​3 m5 m

คานรับแรงสองจุดมีหมุดที่ A และลูกกลิ้งที่ B หาปฏิกิริยาแนวดิ่งที่จุดรองรับ RA

L = 8 mP = 20 kN ที่ 3 m
kN
โจทย์ถัดไป →
ฝึก ปฏิกิริยาที่จุดรองรับของคาน ฟรีฝึก ปฏิกิริยาที่จุดรองรับของคาน เลยโจทย์ฟรีวันละ 5 ข้อ ไม่ต้องใช้บัตร

สิ่งที่คุณจะได้ฝึก

  1. ง่ายแรงจุด 1 แรง
  2. ปานกลางแรงจุด 2 แรง
  3. ยากแรงจุด + น้ำหนักแผ่สม่ำเสมอ

วิธีแก้โจทย์ปฏิกิริยาที่จุดรองรับของคาน

  1. วาดแผนภาพวัตถุอิสระและแทนจุดรองรับแต่ละจุดด้วยแรงปฏิกิริยา
  2. แทนน้ำหนักแผ่ทุกชนิดด้วยแรงเดียวที่เซนทรอยด์ของมัน
  3. หาโมเมนต์รอบจุดรองรับหนึ่งเพื่อหาปฏิกิริยาที่อีกจุดหนึ่ง
  4. ใช้ ΣFy = 0 หาปฏิกิริยาที่เหลือ และตรวจสอบด้วยสมการโมเมนต์ที่สอง

ข้อผิดพลาดที่พบบ่อย

  • วัดแขนโมเมนต์จากจุดที่ผิด
  • ลืมแปลงน้ำหนักแผ่เป็นแรงลัพธ์
  • สับสนว่าจุดรองรับใดรับปฏิกิริยาใด

สูตรสำคัญ

สมดุล
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
น้ำหนักแผ่สม่ำเสมอ
แรงลัพธ์ w·L ที่กึ่งกลางของน้ำหนัก
โมเมนต์
M = F·d

เรียนรู้ ปฏิกิริยาที่จุดรองรับของคาน ตั้งแต่ต้น

1แรงปฏิกิริยาที่จุดรองรับคืออะไร

คาน (beam) คือชิ้นส่วนยาวตรงที่รับน้ำหนักข้ามช่องว่าง เช่น ชั้นวาง คานพื้น หรือสะพานเล็ก

คานวางบนจุดรองรับ (support) เมื่อน้ำหนักกดคานลง จุดรองรับดันขึ้น แรงขึ้นเหล่านี้คือแรงปฏิกิริยาที่จุดรองรับ (support reaction)

10 kNABRA​RB​2 m2 m

ในที่นี้น้ำหนัก 10 kN อยู่ตรงกลางพอดี โดยสมมาตร แต่ละจุดรองรับรับครึ่งหนึ่ง: RA = RB = 5 kN

เมื่อน้ำหนักไม่อยู่ตรงกลาง จุดรองรับที่ใกล้กว่ารับมากกว่า การหาว่ามากเท่าใดเป็นหัวข้อของบทเรียนนี้

คุณต้องหาแรงปฏิกิริยาก่อนสำหรับแทบทุกโจทย์คาน: แรงเฉือน โมเมนต์ดัด ความเค้น และการโก่งตัว

ตรวจสอบตนเอง คานบนจุดรองรับสองจุดรับ 10 kN ตรงกลางช่วงพอดี แรงปฏิกิริยาที่แต่ละจุดรองรับเป็นเท่าใด
  1. 10 kN
  2. 2.5 kN
  3. 20 kN
  4. 5 kN

คำตอบ: 5 kN. แรงปฏิกิริยาทั้งสองรวมกันต้องรับ 10 kN ทั้งหมด และโดยสมมาตรเท่ากัน: 10/2 = 5 kN การให้ 10 kN ที่แต่ละจุดรองรับจะรับน้ำหนักซ้ำสองครั้ง

2จุดรองรับ โมเมนต์ และสมดุล

จุดรองรับแต่ละชนิดดันกลับได้ในแบบของตัวเอง

  • จุดรองรับแบบลูกกลิ้ง (roller, B ในรูป) ดันได้ตั้งฉากกับพื้นผิวที่มันกลิ้งเท่านั้น ให้แรงปฏิกิริยาในแนวดิ่งหนึ่งแรง
  • จุดรองรับแบบหมุด (pin, A) กันไม่ให้คานเคลื่อนที่ทุกทิศทาง ให้แรงปฏิกิริยาแนวดิ่งและแนวนอน เมื่อมีแต่น้ำหนักในแนวดิ่ง แรงแนวนอนเป็นศูนย์
  • จุดรองรับแบบยึดแน่น (fixed) เช่น กำแพง กันไม่ให้คานหมุนด้วย ให้แรงแนวดิ่งและโมเมนต์ปฏิกิริยา

โมเมนต์ (moment) คือผลการหมุนของแรงรอบจุดหนึ่ง คือแรงคูณระยะตั้งฉากจากจุดนั้น:

M = F · d

คานที่อยู่นิ่งไม่เคลื่อนที่และไม่หมุน ดังนั้นสมการสมดุลสามสมการเป็นจริง:

ΣFx = 0 ΣFy = 0 ΣM = 0

สมการโมเมนต์ใช้ได้รอบจุดใดก็ได้ เลือกจุดรองรับหนึ่งเป็นจุดนั้น แรงปฏิกิริยาของมันมีระยะเป็นศูนย์จึงหายจากสมการ

ตรวจสอบตนเอง แรง 6 kN กระทำห่างจากจุด A 2 m โมเมนต์รอบ A เป็นเท่าใด
  1. 12 kN·m
  2. 3 kN·m
  3. 6 kN·m
  4. 8 kN·m

คำตอบ: 12 kN·m. M = F·d = 6·2 = 12 kN·m การหาร (3) หรือการบวก (8) แรงกับระยะเป็นความผิดพลาดที่พบบ่อย

3แรงกระจาย

น้ำหนักบางอย่างกระจายตามคาน เช่น น้ำหนักของพื้นหรือหิมะ แรงกระจายสม่ำเสมอ (UDL) มีค่า w เท่ากันทุกเมตร ในหน่วย kN/m

w = 4 kN/mAB1 m3 m2 m

สำหรับแรงปฏิกิริยา คุณแทน UDL ด้วยแรงเดียวได้ ขนาดคือน้ำหนักต่อเมตรคูณความยาวที่รับน้ำหนัก และกระทำที่กึ่งกลางของส่วนที่รับน้ำหนัก:

W = w · ℓ

ในรูป ℓ = 3 m ดังนั้น W = 4 · 3 = 12 kN กระทำที่กึ่งกลางของน้ำหนัก ที่ x = 1 + 1.5 = 2.5 m จาก A

คานยื่น (cantilever) ยึดที่ปลายเดียว เหมือนระเบียง กำแพงให้แรงขึ้นและโมเมนต์ สำหรับน้ำหนักที่ปลายระยะ L: RA = P และ MA = P·L

P = 5 kNAB3 m

ในคานยื่นนี้ RA = 5 kN และ MA = 5 · 3 = 15 kN·m

ตรวจสอบตนเอง UDL 4 kN/m กระทำจาก x = 1 m ถึง x = 4 m แรงเดียวใดมาแทน และอยู่ที่ใด
  1. 12 kN ที่ x = 1.5 m
  2. 12 kN ที่ x = 2 m
  3. 12 kN ที่ x = 2.5 m
  4. 4 kN ที่ x = 2.5 m

คำตอบ: 12 kN ที่ x = 2.5 m. W = 4·3 = 12 kN ที่กึ่งกลางของน้ำหนัก 1 + 1.5 = 2.5 m จาก A ส่วน 1.5 m วัดจากจุดเริ่มของน้ำหนัก ไม่ใช่จาก A และ 2 m คือกึ่งกลางของช่วงทั้งหมด ไม่ใช่ของส่วนที่รับน้ำหนัก

4วิธีทำทีละขั้น

  1. วาดคานและแทนจุดรองรับแต่ละจุดด้วยแรงปฏิกิริยา: RA ที่หมุดและ RB ที่ลูกกลิ้ง
  2. แทน UDL แต่ละอันด้วยแรงเดียว w·ℓ ที่กึ่งกลางของส่วนที่รับน้ำหนัก
  3. หาโมเมนต์รอบ A RA หายไป จึงได้ RB โดยตรง: RB·L = Σ(น้ำหนักแต่ละอัน × ระยะจาก A)
  4. ใช้ ΣFy = 0: RA = (น้ำหนักรวม) − RB
  5. ตรวจ: หาโมเมนต์รอบ B ควรได้ RA เท่ากัน

กฎเครื่องหมายสำหรับขั้นตอนที่ 3: แรงปฏิกิริยา RB หมุนคานทางหนึ่งรอบ A น้ำหนักที่ลงหมุนอีกทาง โมเมนต์ของพวกมันต้องสมดุลกัน

5ตัวอย่างที่แก้ให้ดู

ทำตามทุกขั้นตอน ลองทำนายขั้นถัดไปก่อนเปิดดู

ตัวอย่างที่แก้ให้ดู

คานช่วงเดียวรองรับอย่างง่ายยาว 6 m รับ P1 = 12 kN ที่ 2 m จาก A และ P2 = 6 kN ที่ 4 m จาก A จงหา RA และ RB

1

วาดแผนภาพวัตถุอิสระ

P1​ = 12 kNP2​ = 6 kNABRA​RB​2 m2 m2 m

หมุดที่ A และลูกกลิ้งที่ B แต่ละอันให้แรงปฏิกิริยาขึ้นหนึ่งแรง มีตัวไม่ทราบค่าสองตัว สองสมการจึงพอ

2

โมเมนต์รอบจุด A

RA ผ่าน A จึงไม่มีโมเมนต์รอบ A น้ำหนักหมุนคานตามเข็มนาฬิกา RB หมุนทวนเข็มนาฬิกา:

RB · 6 = 12 · 2 + 6 · 4 = 48
RB = 48 / 6 = 8 kN
3

สมดุลแรงในแนวดิ่ง

แรงปฏิกิริยาทั้งสองรวมกันรับน้ำหนักรวม 12 + 6 = 18 kN

RA = 18 − 8 = 10 kN
4

ตรวจสอบคำตอบ

หาโมเมนต์รอบ B แทน ระยะไป B คือ 4 m สำหรับ P1 และ 2 m สำหรับ P2

RA · 6 = 12 · 4 + 6 · 2 = 60 ⇒ RA = 10 kN

ทั้งสองวิธีตรงกัน RA มากกว่า ซึ่งสมเหตุสมผล: น้ำหนักที่หนักกว่าอยู่ใกล้ A มากกว่า

P1​ = 12 kNP2​ = 6 kNABRA​ = 10 kNRB​ = 8 kN2 m2 m2 m
คำตอบ

RA = 10 kN และ RB = 8 kN

6ข้อผิดพลาดที่พบบ่อย

  • วัดระยะจากจุดที่ผิด ในสมการโมเมนต์รอบ A ทุกระยะวัดจาก A
  • สลับแรงปฏิกิริยา การหาโมเมนต์รอบ A ให้ RB ไม่ใช่ RA
  • ลืมเปลี่ยน UDL เป็นแรงเดียว w·ℓ หรือวางแรงนั้นที่กึ่งกลางช่วงแทนที่จะเป็นกึ่งกลางของน้ำหนัก
  • สับสนทิศทางการหมุน ทำให้น้ำหนักและแรงปฏิกิริยามีเครื่องหมายเดียวกันในสมการโมเมนต์
  • ไม่ตรวจสอบ สมการโมเมนต์ที่สองรอบ B จับความผิดพลาดส่วนใหญ่ได้ในไม่กี่วินาที
ตรวจสอบตนเอง คานยาว 4 m บนจุดรองรับสองจุดรับ 8 kN ที่ 1 m จาก A RA เป็นเท่าใด
  1. 2 kN
  2. 4 kN
  3. 6 kN
  4. 8 kN

คำตอบ: 6 kN. โมเมนต์รอบ A: RB·4 = 8·1 ดังนั้น RB = 2 kN และ RA = 8 − 2 = 6 kN ส่วน 2 kN คือ RB: จุดรองรับที่ใกล้น้ำหนักรับมากกว่า

7ข้อสอบมีหน้าตาอย่างไร

  • ง่าย: คานช่วงเดียวรองรับอย่างง่ายที่มีน้ำหนักเป็นจุดเดียว หา RA หรือ RB
  • ปานกลาง: น้ำหนักเป็นจุดสองจุด เหมือนในตัวอย่าง
  • ยาก: น้ำหนักเป็นจุดร่วมกับ UDL บนบางส่วนหรือทั้งช่วง แทน UDL ด้วย w·ℓ ที่กึ่งกลางก่อน

โจทย์แบบอื่นใช้สามสมการเดียวกัน: คานยื่น (หาโมเมนต์ที่กำแพง MA) น้ำหนักเอียง (ใช้เฉพาะองค์ประกอบแนวดิ่ง P·sin θ) แรงคู่ควบ (couple) ที่กระทำ คานที่ยื่นเลยจุดรองรับ หรือน้ำหนักรูปสามเหลี่ยม (แรงลัพธ์ ½·w·ℓ ที่หนึ่งในสามของความยาวจากปลายที่สูง)

อ่านขนาดใต้คานอย่างระมัดระวังและเขียนแต่ละระยะจาก A ก่อนเริ่ม

เรียนรู้ทีละขั้นในแอปเรียนรู้ทีละขั้นในแอป

ตัวอย่างวิธีทำ

ตัวอย่างที่ 1ง่าย
P = 55 kNABRA​RB​ = ?2 m2 m

คานรับแรงสองจุดมีหมุดที่ A และลูกกลิ้งที่ B หาปฏิกิริยาแนวดิ่งที่จุดรองรับ RB

L = 4 mP = 55 kN ที่ 2 m

จงหา RB (kN)

แสดงคำใบ้
  1. ใช้สมดุลสถิต: ΣFy = 0 และ ΣM = 0 ตัวแปรไม่ทราบค่าสองตัว สมการสองสมการ
  2. หาโมเมนต์รอบจุด A แรง RA ผ่านจุด A จึงหายไป และจะได้ RB โดยตรง
  3. น้ำหนักบรรทุกลงรวมเท่ากับ 55 kN ดังนั้น RA + RB = 55 kN
แสดงคำตอบและเฉลยทีละขั้นตอน

สมดุลสถิต: วัตถุที่อยู่นิ่งมี ΣFx = 0, ΣFy = 0 และ ΣM = 0 รอบจุดใดก็ได้ การหาโมเมนต์รอบจุดรองรับหนึ่งจะตัดปฏิกิริยาของจุดรองรับนั้นออกจากสมการ

P = 55 kNABRA​RB​2 m2 m

แผนภาพวัตถุอิสระ

แทนจุดรองรับด้วยแรงปฏิกิริยา ลูกกลิ้งให้ปฏิกิริยาแนวดิ่งหนึ่งแรง เมื่อมีแต่น้ำหนักบรรทุกแนวดิ่ง หมุดก็ให้ปฏิกิริยาแนวดิ่งหนึ่งแรงเช่นกัน

สมดุล

โมเมนต์รอบจุด A โดยให้ทวนเข็มนาฬิกาเป็นบวก จากนั้นสมดุลของแรงแนวดิ่ง

ΣMA = 0: RB·4 = 55·2
RB = 110/4 = 27.5 kN
ΣFy = 0: RA = 55 − 27.5 = 27.5 kN

คำตอบ

RB = 27.5 kN
ตัวอย่างที่ 2ปานกลาง
P1​ = 15 kNP2​ = 30 kNABRA​RB​ = ?2 m1 m3 m

คานรับแรงสองจุดมีหมุดที่ A และลูกกลิ้งที่ B หาปฏิกิริยาแนวดิ่งที่จุดรองรับ RB

L = 6 mP1 = 15 kN ที่ 2 mP2 = 30 kN ที่ 3 m

จงหา RB (kN)

แสดงคำใบ้
  1. ใช้สมดุลสถิต: ΣFy = 0 และ ΣM = 0 ตัวแปรไม่ทราบค่าสองตัว สมการสองสมการ
  2. หาโมเมนต์รอบจุด A แรง RA ผ่านจุด A จึงหายไป และจะได้ RB โดยตรง
  3. น้ำหนักบรรทุกลงรวมเท่ากับ 45 kN ดังนั้น RA + RB = 45 kN
แสดงคำตอบและเฉลยทีละขั้นตอน

สมดุลสถิต: วัตถุที่อยู่นิ่งมี ΣFx = 0, ΣFy = 0 และ ΣM = 0 รอบจุดใดก็ได้ การหาโมเมนต์รอบจุดรองรับหนึ่งจะตัดปฏิกิริยาของจุดรองรับนั้นออกจากสมการ

P1​ = 15 kNP2​ = 30 kNABRA​RB​2 m1 m3 m

แผนภาพวัตถุอิสระ

แทนจุดรองรับด้วยแรงปฏิกิริยา ลูกกลิ้งให้ปฏิกิริยาแนวดิ่งหนึ่งแรง เมื่อมีแต่น้ำหนักบรรทุกแนวดิ่ง หมุดก็ให้ปฏิกิริยาแนวดิ่งหนึ่งแรงเช่นกัน

สมดุล

โมเมนต์รอบจุด A โดยให้ทวนเข็มนาฬิกาเป็นบวก จากนั้นสมดุลของแรงแนวดิ่ง

ΣMA = 0: RB·6 = 15·2 + 30·3
RB = 120/6 = 20 kN
ΣFy = 0: RA = 45 − 20 = 25 kN

คำตอบ

RB = 20 kN
ตัวอย่างที่ 3ยาก
P = 25 kN, 30°Q = 25 kNABRA​ = ?2 m1 m1 m

คานช่วงเดียวรองรับอย่างง่ายมีหมุดที่ A และลูกกลิ้งที่ B แรง P กระทำที่ระยะ 3 m จาก A โดยเอียง 30° กับแนวนอน และแรงในแนวดิ่ง Q กระทำที่ระยะ 2 m จาก A จงหาขนาดของแรงปฏิกิริยารวม RA ที่หมุด A

L = 4 mP = 25 kN ที่ 3 m, θ = 30°Q = 25 kN ที่ 2 m

จงหา RA (kN)

แสดงคำใบ้
  1. แยก P เป็น P·cos θ (แนวนอน) และ P·sin θ (แนวดิ่ง) ลูกกลิ้งไม่รับแรงในแนวนอน
  2. หา RB จากโมเมนต์รอบ A แล้วหา Ay จาก ΣFy = 0 และ Ax จาก ΣFx = 0
  3. Ax = 21.65 kN, Ay = 15.63 kN.
แสดงคำตอบและเฉลยทีละขั้นตอน

สมดุลสถิต: วัตถุที่หยุดนิ่งมี ΣFx = 0, ΣFy = 0 และ ΣM = 0 รอบจุดใดก็ได้ ให้แทนแรงกระทำแบบแผ่แต่ละแรงด้วยแรงลัพธ์ (พื้นที่ของมัน) ที่กระทำที่เซนทรอยด์ของแผนภาพแรง และหาโมเมนต์รอบจุดรองรับหนึ่งเพื่อกำจัดแรงปฏิกิริยาของจุดรองรับนั้นออกจากสมการ

องค์ประกอบของ P

Pv = 25·sin 30° = 12.5 kN
Ph = 25·cos 30° = 21.65 kN

แรงปฏิกิริยา

ΣMA = 0: RB·4 = 12.5·3 + 25·2 → RB = 21.88 kN
Ay = 12.5 + 25 − 21.88 = 15.63 kN
Ax = Ph = 21.65 kN

แรงลัพธ์ที่ A

RA = √(21.65² + 15.63²) = 26.7 kN

คำตอบ

RA = 26.7 kN

คำถามและคำตอบ

ปฏิกิริยาที่จุดรองรับของคาน คืออะไร

คาน (beam) คือชิ้นส่วนยาวตรงที่รับน้ำหนักข้ามช่องว่าง เช่น ชั้นวาง คานพื้น หรือสะพานเล็ก

คานวางบนจุดรองรับ (support) เมื่อน้ำหนักกดคานลง จุดรองรับดันขึ้น แรงขึ้นเหล่านี้คือแรงปฏิกิริยาที่จุดรองรับ (support reaction)

จะแก้โจทย์ ปฏิกิริยาที่จุดรองรับของคาน ทีละขั้นได้อย่างไร
  1. วาดแผนภาพวัตถุอิสระและแทนจุดรองรับแต่ละจุดด้วยแรงปฏิกิริยา
  2. แทนน้ำหนักแผ่ทุกชนิดด้วยแรงเดียวที่เซนทรอยด์ของมัน
  3. หาโมเมนต์รอบจุดรองรับหนึ่งเพื่อหาปฏิกิริยาที่อีกจุดหนึ่ง
  4. ใช้ ΣFy = 0 หาปฏิกิริยาที่เหลือ และตรวจสอบด้วยสมการโมเมนต์ที่สอง
ข้อผิดพลาดที่พบบ่อยใน ปฏิกิริยาที่จุดรองรับของคาน มีอะไรบ้าง
  • วัดแขนโมเมนต์จากจุดที่ผิด
  • ลืมแปลงน้ำหนักแผ่เป็นแรงลัพธ์
  • สับสนว่าจุดรองรับใดรับปฏิกิริยาใด
แบบฝึกหัด ปฏิกิริยาที่จุดรองรับของคาน ครอบคลุมเรื่องอะไรบ้าง
  • ง่าย: แรงจุด 1 แรง
  • ปานกลาง: แรงจุด 2 แรง
  • ยาก: แรงจุด + น้ำหนักแผ่สม่ำเสมอ

โจทย์ทุกข้อใช้ค่าใหม่ คุณจึงเรียนรู้วิธีทำ ไม่ใช่จำคำตอบ ติดขัดใช่ไหม เปิดคำใบ้เล็ก ๆ ก่อน และเปิดคำอธิบายฉบับเต็มเมื่อจำเป็นเท่านั้น

การฝึกทำงานอย่างไร

  • โจทย์ทุกข้อใช้ค่าใหม่ คุณจึงเรียนรู้วิธีทำ ไม่ใช่จำคำตอบ
  • ติดขัดใช่ไหม เปิดคำใบ้เล็ก ๆ ก่อน และเปิดคำอธิบายฉบับเต็มเมื่อจำเป็นเท่านั้น
  • ความก้าวหน้า ข้อที่ผิด และโจทย์ที่บันทึกไว้จะถูกเก็บไว้ เพื่อให้คุณทบทวนก่อนสอบได้

หัวข้อก่อนและหลังหัวข้อนี้

เรียนต่อด้วย

แรงเฉือนและโมเมนต์ดัดโครงข้อแข็งและเครื่องกลโครงข่ายถัก: วิธีจุดต่อ

เครื่องคำนวณ

เครื่องคำนวณปฏิกิริยาของคาน

รายวิชาที่มีหัวข้อนี้

สถิตยศาสตร์การวิเคราะห์โครงสร้างฝึกข้อสอบ FE เครื่องกลฝึกข้อสอบ FE โยธา

หัวข้ออื่นในเครื่องกล

โครงข้อแข็งและเครื่องกลความเค้นและความเครียดตามแนวแกนการบิดของเพลาวงกลมของมอร์และการแปลงความเค้นการเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์งานและพลังงานการหมุนของวัตถุแข็งเกร็งการสั่นสะเทือนเชิงกลเครื่องยนต์ความร้อนและตู้เย็นวัฏจักรกำลังแบบแก๊สความต่อเนื่องและเบอร์นูลลีแรงเสียดทานในท่อและเฮดสูญเสียปั๊มและกำลังของปั๊มการนำความร้อนเฟืองและชุดเฟือง

ใบงานสำหรับพิมพ์

ใบงาน ปฏิกิริยาที่จุดรองรับของคาน พร้อมเฉลย
ฝึก ปฏิกิริยาที่จุดรองรับของคาน ฟรีฝึก ปฏิกิริยาที่จุดรองรับของคาน เลยโจทย์ฟรีวันละ 5 ข้อ ไม่ต้องใช้บัตร