วงกลมของมอร์และการแปลงความเค้น: แบบฝึกหัดพร้อมเฉลยทีละขั้นตอน

แบบฝึกหัด วงกลมของมอร์และการแปลงความเค้น ฟรี พร้อมแผนภาพ คำใบ้ และเฉลยละเอียด ตัวเลขใหม่ทุกครั้ง สามระดับ: ความเค้นหลัก, ความเค้นเฉือนสูงสุดและทิศทางหลัก, ความเค้นบนระนาบเอียง

โจทย์ฝึกฟรีง่าย
σx​ = 90σy​ = −20MPaชิ้นส่วนย่อยหลัก

ที่จุดหนึ่งในชิ้นส่วนที่รับแรง ความเค้นหลักในระนาบคือ σ₁ = 90 MPa และ σ₂ = −20 MPa (แรงดึงเป็นบวก) จงหาความเค้นตั้งฉาก σavg ที่กระทำบนระนาบที่มีความเค้นเฉือนในระนาบสูงสุด

σ1 = 90 MPaσ2 = −20 MPa
MPa
โจทย์ถัดไป →
ฝึก วงกลมของมอร์และการแปลงความเค้น ฟรีฝึก วงกลมของมอร์และการแปลงความเค้น เลยโจทย์ฟรีวันละ 5 ข้อ ไม่ต้องใช้บัตร

สิ่งที่คุณจะได้ฝึก

  1. ง่ายความเค้นหลัก
  2. ปานกลางความเค้นเฉือนสูงสุดและทิศทางหลัก
  3. ยากความเค้นบนระนาบเอียง

วิธีแก้โจทย์วงกลมของมอร์และการแปลงความเค้น

  1. คำนวณศูนย์กลางของวงกลมมอร์: C = (σx + σy)/2
  2. คำนวณรัศมี: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
  3. ความเค้นหลักคือ C ± R และความเค้นเฉือนในระนาบที่มากที่สุดคือ R
  4. มุมบนวงกลมเป็นสองเท่าของมุมบนชิ้นส่วน: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)

ข้อผิดพลาดที่พบบ่อย

  • ใช้ θ แทน 2θ ในสมการการแปลง
  • บวก (σx − σy)/2 กับ τxy แทนที่จะรวมกันด้วยพีทาโกรัส
  • ใช้ข้อกำหนดเครื่องหมายของความเค้นเฉือนผิด

สูตรสำคัญ

ศูนย์กลาง
C = (σx + σy)/2
รัศมี
R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
ความเค้นหลัก
σ1,2 = C ± R
ทิศทางหลัก
tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
พื้นเอียง
σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ

เรียนรู้ วงกลมของมอร์และการแปลงความเค้น ตั้งแต่ต้น

ก่อนหน้านี้: ความเค้นและความเครียดตามแนวแกน

1ทำไมความเค้นจึงขึ้นกับทิศทาง

ในบทเรียนแนวแกน ความเค้นเป็นตัวเลขเดียว: แรงต่อพื้นที่ แต่ความเค้นที่จุดหนึ่งขึ้นกับทิศทางของระนาบตัดที่คุณพิจารณา

บิดชอล์กจนหัก มันหักตามเกลียวที่ 45° ไม่ใช่หักตรงขวาง บนระนาบ 45° นั้นความเค้นดึงมากที่สุด และชอล์กอ่อนแอต่อแรงดึง

เพื่ออธิบายความเค้นที่จุดหนึ่ง วิศวกรวาดสี่เหลี่ยมจัตุรัสเล็ก ๆ เรียกว่าอิลิเมนต์ความเค้น (stress element) พร้อมความเค้นบนผิวหน้า:

σx​σy​τxy​xy
  • σx และ σy คือความเค้นตั้งฉาก ตั้งฉากกับผิวหน้า ค่าบวกหมายถึงแรงดึง (ลูกศรชี้ออก) ค่าลบหมายถึงแรงอัด
  • τxy คือความเค้นเฉือน ตามแนวผิวหน้า พยายามเปลี่ยนสี่เหลี่ยมจัตุรัสให้เป็นรูปข้าวหลามตัด

หมุนสี่เหลี่ยมจัตุรัส ความเค้นบนผิวหน้าก็เปลี่ยน บทเรียนนี้แสดงวิธีหาค่าเหล่านั้นสำหรับทุกทิศทาง และทิศทางใดอันตรายที่สุด

ตรวจสอบตนเอง ที่จุดหนึ่ง σx = −40 MPa หมายความว่าอย่างไร
  1. ความเค้นเฉือน 40 MPa
  2. แรงดึง 40 MPa ในทิศทาง x
  3. แรงอัด 40 MPa ในทิศทาง x
  4. แรงอัด 40 MPa ในทิศทาง y

คำตอบ: แรงอัด 40 MPa ในทิศทาง x. ตามกฎเครื่องหมายปกติ แรงดึงเป็นบวก ดังนั้น σx ที่เป็นลบคือแรงอัด กระทำบนผิวหน้าที่ตั้งฉากกับ x

2วงกลมของมอร์

วงกลมของมอร์เป็นภาพของทุกทิศทางพร้อมกัน ทุกจุดบนวงกลมคือระนาบตัดที่เป็นไปได้หนึ่งระนาบผ่านจุดในชิ้นส่วน

วาดความเค้นตั้งฉาก σ ไปทางขวาและความเค้นเฉือน τ ขึ้นบน แล้วลงจุดสองจุด:

  • จุด x ที่ (σx, τxy): ความเค้นบนผิวหน้าที่ตั้งฉากกับ x
  • จุด y ที่ (σy, −τxy): ความเค้นบนผิวหน้าที่ตั้งฉากกับ y

วงกลมผ่านทั้งสองจุด จุดศูนย์กลาง C อยู่บนแกน σ กึ่งกลางระหว่างสองจุด รัศมี R ได้จากทฤษฎีบทพีทาโกรัส:

C = (σx + σy) / 2 R = √( ((σx − σy)/2)² + τxy² )
στxyCσ1​σ2​R

ที่ที่วงกลมตัดแกน σ ความเค้นเฉือนเป็นศูนย์ ค่าทั้งสองนี้คือความเค้นหลัก ซึ่งเป็นความเค้นตั้งฉากที่มากที่สุดและน้อยที่สุดที่จุดนั้น ยอดของวงกลมคือความเค้นเฉือนในระนาบที่มากที่สุด:

σ1 = C + R σ2 = C − R τmax = R
ตรวจสอบตนเอง σx = 50 MPa, σy = 10 MPa และ τxy = 15 MPa σ1 เป็นเท่าใด
  1. 45 MPa
  2. 50 MPa
  3. 55 MPa
  4. 65 MPa

คำตอบ: 55 MPa. C = 30 MPa และ R = √(20² + 15²) = 25 MPa ดังนั้น σ1 = 55 MPa ส่วน 65 เกิดจากการบวก 20 + 15 แทนการใช้พีทาโกรัส ส่วน 50 ละเลยความเค้นเฉือน

3มุม: เป็นสองเท่าบนวงกลม

การหมุนอิลิเมนต์ด้วยมุม θ ทำให้จุดของมันเคลื่อนบนวงกลมของมอร์ไป 2θ ในทิศทางเดียวกัน ทวนเข็มนาฬิกาเป็นบวก

ทิศทางของ σ1 คือมุม θp จากแกน x หาได้จาก:

tan 2θp = 2τxy / (σx − σy)

ระวังควอดแรนต์ ถ้า σx − σy เป็นลบ ให้บวก 180° เข้ากับ 2θp เมื่อ τxy > 0 หรือลบ 180° เมื่อ τxy < 0 แล้วจึงหารครึ่ง

ระนาบของความเค้นเฉือนสูงสุดอยู่ห่างจากทิศทางหลัก 45° (90° บนวงกลม)

สำหรับระนาบที่เส้นตั้งฉากหมุนไป θ จากแกน x ความเค้นคือ:

σθ = C + (σx − σy)/2 · cos 2θ + τxy · sin 2θ
τθ = −(σx − σy)/2 · sin 2θ + τxy · cos 2θ
ตรวจสอบตนเอง ที่จุดหนึ่ง tan 2θp = 1 และ σx − σy เป็นบวก θp เป็นเท่าใด
  1. 22.5°
  2. 45°
  3. 90°
  4. −67.5°

คำตอบ: 22.5°. 2θp = 45° ดังนั้น θp = 22.5° การตอบ 45° คือลืมหารครึ่งมุมจากวงกลม −67.5° คือทิศทางของ σ2 ซึ่งห่างออกไป 90°

4วิธีทำทีละขั้น

  1. เขียน σx, σy และ τxy พร้อมเครื่องหมาย: แรงดึงเป็นบวก แรงอัดเป็นลบ
  2. หาจุดศูนย์กลาง C = (σx + σy)/2
  3. หารัศมี R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
  4. ความเค้นหลัก: σ1 = C + R และ σ2 = C − R ความเค้นเฉือนในระนาบสูงสุด: τmax = R
  5. ทิศทาง: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy) ตรวจสอบควอดแรนต์ แล้วหารครึ่ง
  6. สำหรับระนาบ θ ที่กำหนด: ใช้สมการ σθ และ τθ กับ 2θ

ภาพร่างวงกลมคร่าว ๆ ก็ช่วยให้เห็นเครื่องหมายและจุดใดคือ σ1

5ตัวอย่างที่แก้ให้ดู

ทำตามทุกขั้นตอน ลองทำนายขั้นถัดไปก่อนเปิดดู

ตัวอย่างที่แก้ให้ดู

จุดหนึ่งมี σx = 80 MPa, σy = 20 MPa และ τxy = 40 MPa จงหาความเค้นหลัก τmax ทิศทาง θp ของ σ1 และความเค้นตั้งฉากบนระนาบที่หมุนทวนเข็มนาฬิกา 45°

1

ดูที่อิลิเมนต์

xy

ความเค้นตั้งฉากทั้งสองเป็นแรงดึง ความเค้นเฉือนเป็นบวก

2

ศูนย์กลางและรัศมี

C = (80 + 20) / 2 = 50 MPa
R = √(30² + 40²) = 50 MPa
3

ความเค้นหลักและความเค้นเฉือนสูงสุด

στxyCσ1​σ2​τmax​ = R
σ1 = 50 + 50 = 100 MPa σ2 = 50 − 50 = 0 MPa
τmax = R = 50 MPa
4

ทิศทางหลัก

tan 2θp = 2 · 40 / (80 − 20) = 1.333

σx − σy เป็นบวก จึงไม่ต้องแก้ไข: 2θp = 53.1° และ θp = 26.6° ทวนเข็มนาฬิกาจาก x

5

ระนาบที่หมุน 45°

เมื่อ θ = 45°, 2θ = 90°: cos 2θ = 0 และ sin 2θ = 1

σθ = 50 + 30 · 0 + 40 · 1 = 90 MPa
6

ตรวจสอบคำตอบ

ผลรวม σx + σy = 100 MPa เท่ากับ σ1 + σ2 = 100 MPa ผลรวมนี้เท่ากันทุกการหมุน จึงเป็นการตรวจสอบอย่างรวดเร็ว

นอกจากนี้ 90 MPa อยู่ระหว่าง σ2 = 0 และ σ1 = 100 MPa ตามที่ความเค้นตั้งฉากทุกค่าต้องเป็น

คำตอบ

σ1 = 100 MPa, σ2 = 0, τmax = 50 MPa, θp = 26.6° และ σ45° = 90 MPa

6ข้อผิดพลาดที่พบบ่อย

  • บวก (σx − σy)/2 กับ τxy โดยตรง รัศมีรวมทั้งสองด้วยพีทาโกรัส
  • ใช้ θ แทน 2θ ในสมการแปลง หรือลืมหารครึ่งมุมที่อ่านจากวงกลม
  • ทิ้งเครื่องหมายลบ: ความเค้นอัดต้องใส่เป็นจำนวนลบ
  • ลงจุด y ที่ (σy, +τxy) แต่จริง ๆ อยู่ที่ −τxy อยู่ฝั่งตรงข้ามกับจุด x เมื่อเทียบกับจุดศูนย์กลาง
  • พลาดควอดแรนต์ของ 2θp เมื่อ σx < σy
ตรวจสอบตนเอง σx = 60 MPa, σy = 0 และ τxy = 40 MPa ความเค้นเฉือนในระนาบสูงสุดเป็นเท่าใด
  1. 30 MPa
  2. 40 MPa
  3. 50 MPa
  4. 70 MPa

คำตอบ: 50 MPa. τmax = R = √(30² + 40²) = 50 MPa ส่วน 70 เกิดจากการบวก 30 + 40 ส่วน 30 ละเลยความเค้นเฉือน ส่วน 40 เป็นเพียง τxy

7ข้อสอบมีหน้าตาอย่างไร

  • ง่าย: ความเค้นหลัก เมื่อกำหนด σx, σy และ τxy ให้หา σ1 หรือ σ2 รูปแบบอื่น: การเฉือนบริสุทธิ์ หรือแท่งรับแรงตามแกนที่ตัดเป็นมุม
  • ปานกลาง: ความเค้นเฉือนสูงสุดและทิศทางหลัก หา τmax = R หรือมุม θp ระหว่าง −90° ถึง 90°
  • ยาก: ความเค้นบนระนาบเอียง ใช้สมการ σθ หรือ τθ กับ 2θ รูปแบบอื่นรวมแรงตามแกนกับการบิด หรือใช้ความเค้นหลักในการตรวจสอบการวิบัติ เช่น von Mises หรือ Tresca

เขียน C และ R ก่อนเสมอ เกือบทุกโจทย์ในหัวข้อนี้ตอบได้จากสองค่านี้

เรียนรู้ทีละขั้นในแอปเรียนรู้ทีละขั้นในแอป

ตัวอย่างวิธีทำ

ตัวอย่างที่ 1ง่าย
σx​ = 30σy​ = 50τxy​MPa

จุดหนึ่งมี σₓ = 30 MPa และ σᵧ = 50 MPa บวกความเค้นเฉือนบางค่า บนชิ้นส่วนย่อยที่หมุนไป 30° ความเค้นตั้งฉากในทิศ x′ ที่หมุนแล้วเป็น 87 MPa จงหาความเค้นตั้งฉาก σy′ ในทิศ y′ ที่หมุนแล้ว

σx = 30 MPaσy = 50 MPaσx′ = 87 MPaθ = 30°

จงหา σy′ (MPa)

แสดงคำใบ้
  1. ไม่จำเป็นต้องใช้ τₓᵧ หรือสมการการแปลง
  2. ผลรวมของความเค้นตั้งฉากบนสองระนาบที่ตั้งฉากกันมีค่าเท่ากันทุกทิศทาง (ศูนย์กลางของวงกลมของมอร์ไม่เคลื่อนที่)
  3. σₓ + σᵧ = 80 MPa.
แสดงคำตอบและเฉลยทีละขั้นตอน

การแปลงความเค้นระนาบ: บนระนาบที่หมุนไป θ σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ วงกลมของมอร์แสดงทุกระนาบพร้อมกัน ศูนย์กลางอยู่ที่ C = (σₓ + σᵧ)/2 และรัศมีคือ R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²) ความเค้นหลักคือ C ± R และความเค้นเฉือนในระนาบที่มากที่สุดคือ R

ตัวคงที่ความเค้นตัวแรก

จุด x′ และ y′ อยู่ปลายทั้งสองข้างของเส้นผ่านศูนย์กลาง ค่าเฉลี่ยของมันจึงเท่ากับศูนย์กลาง C เสมอ

σx′ + σy′ = σx + σy
σy′ = 30 + 50 − 87 = −7 MPa

คำตอบ

σy′ = −7 MPa
ตัวอย่างที่ 2ปานกลาง
σx​ = 0σy​ = 20τxy​ = −30MPa

จุดหนึ่งในชิ้นส่วนที่รับน้ำหนักมี σₓ = 0 MPa, σᵧ = 20 MPa และ τₓᵧ = −30 MPa (ความเค้นดึงเป็นบวก) หามุม θp จากแกน x ไปยังทิศทางของความเค้นหลักที่มากที่สุด ระหว่าง −90° ถึง 90°

σx = 0 MPaσy = 20 MPaτxy = −30 MPa

จงหา θp (°)

แสดงคำใบ้
  1. วาดวงกลมของมอร์: จุด x อยู่ที่ (σₓ, τₓᵧ) จุด y อยู่ที่ (σᵧ, −τₓᵧ) และศูนย์กลาง C อยู่กึ่งกลาง
  2. tan 2θp = 2τₓᵧ/(σₓ − σᵧ) ระวังควอดรันต์
  3. C = 10 MPa, R = 31.62 MPa.
แสดงคำตอบและเฉลยทีละขั้นตอน

การแปลงความเค้นระนาบ: บนระนาบที่หมุนไป θ σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ วงกลมของมอร์แสดงทุกระนาบพร้อมกัน ศูนย์กลางอยู่ที่ C = (σₓ + σᵧ)/2 และรัศมีคือ R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²) ความเค้นหลักคือ C ± R และความเค้นเฉือนในระนาบที่มากที่สุดคือ R

στxyCσ1​σ2​

มุมบนวงกลม

จุด x อยู่ที่มุม 2θp จากแกน σ บนวงกลมของมอร์ ควอดรันต์ได้จากเครื่องหมายของ σₓ − σᵧ และ τₓᵧ

2θp = atan2(2·−30, 0 − 20) = −108.4°

มุมบนชิ้นส่วน

θp = −54.22°

คำตอบ

θp = −54.22°

มุมบวกคือทวนเข็มนาฬิกา

ตัวอย่างที่ 3ยาก
60°D = 500 mm, t = 5 mm, p = 2.5 MPap

ถังทรงกระบอกผนังบางเส้นผ่านศูนย์กลางภายใน 500 mm ความหนาผนัง 5 mm บรรจุแก๊สที่ความดันเกจ 2.5 MPa ทำจากแผ่นเชื่อมตามรอยเชื่อมเกลียวที่ทำมุม 60° กับแกนของทรงกระบอก จงหาขนาดของความเค้นเฉือน |τn| ที่กระทำตามรอยเชื่อม

D = 500 mmt = 5 mmp = 2.5 MPaα = 60°

จงหา |τn| (MPa)

แสดงคำใบ้
  1. ความเค้นตามเส้นรอบวง σh = pr/t ความเค้นตามแนวแกน σa = pr/(2t) ไม่มีความเค้นเฉือนบนระนาบตามแนวแกนและตามเส้นรอบวง
  2. ความเค้นเฉือนตามรอยเชื่อม: |τn| = (σh − σa)·sin α·cos α
  3. σh = 125 MPa, σa = 62.5 MPa.
แสดงคำตอบและเฉลยทีละขั้นตอน

การแปลงความเค้นระนาบ: บนระนาบที่หมุนไป θ σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ วงกลมของมอร์แสดงทุกระนาบพร้อมกัน ศูนย์กลางอยู่ที่ C = (σₓ + σᵧ)/2 และรัศมีคือ R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²) ความเค้นหลักคือ C ± R และความเค้นเฉือนในระนาบที่มากที่สุดคือ R ทรงกระบอกผนังบาง: ความเค้นตามเส้นรอบวง σh = pr/t และความเค้นตามแนวแกน σa = pr/(2t) ทั้งสองคือความเค้นหลักในผนัง

ความเค้นในผนัง

r = 500/2 = 250 mm
σh = pr/t = 2.5·250/5 = 125 MPa
σa = pr/(2t) = 62.5 MPa

แปลงไปยังรอยเชื่อม

ให้ x ตามแนวแกน (σa) และ y รอบเส้นรอบวง (σh) เส้นแนวฉากของรอยเชื่อมทำมุม 90° − α กับแกน

|τn| = (125 − 62.5)·sin 60°·cos 60° = 27.06 MPa

คำตอบ

|τn| = 27.06 MPa

คำถามและคำตอบ

วงกลมของมอร์และการแปลงความเค้น คืออะไร

ในบทเรียนแนวแกน ความเค้นเป็นตัวเลขเดียว: แรงต่อพื้นที่ แต่ความเค้นที่จุดหนึ่งขึ้นกับทิศทางของระนาบตัดที่คุณพิจารณา

บิดชอล์กจนหัก มันหักตามเกลียวที่ 45° ไม่ใช่หักตรงขวาง บนระนาบ 45° นั้นความเค้นดึงมากที่สุด และชอล์กอ่อนแอต่อแรงดึง

จะแก้โจทย์ วงกลมของมอร์และการแปลงความเค้น ทีละขั้นได้อย่างไร
  1. คำนวณศูนย์กลางของวงกลมมอร์: C = (σx + σy)/2
  2. คำนวณรัศมี: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
  3. ความเค้นหลักคือ C ± R และความเค้นเฉือนในระนาบที่มากที่สุดคือ R
  4. มุมบนวงกลมเป็นสองเท่าของมุมบนชิ้นส่วน: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
ข้อผิดพลาดที่พบบ่อยใน วงกลมของมอร์และการแปลงความเค้น มีอะไรบ้าง
  • ใช้ θ แทน 2θ ในสมการการแปลง
  • บวก (σx − σy)/2 กับ τxy แทนที่จะรวมกันด้วยพีทาโกรัส
  • ใช้ข้อกำหนดเครื่องหมายของความเค้นเฉือนผิด
แบบฝึกหัด วงกลมของมอร์และการแปลงความเค้น ครอบคลุมเรื่องอะไรบ้าง
  • ง่าย: ความเค้นหลัก
  • ปานกลาง: ความเค้นเฉือนสูงสุดและทิศทางหลัก
  • ยาก: ความเค้นบนระนาบเอียง

โจทย์ทุกข้อใช้ค่าใหม่ คุณจึงเรียนรู้วิธีทำ ไม่ใช่จำคำตอบ ติดขัดใช่ไหม เปิดคำใบ้เล็ก ๆ ก่อน และเปิดคำอธิบายฉบับเต็มเมื่อจำเป็นเท่านั้น

การฝึกทำงานอย่างไร

  • โจทย์ทุกข้อใช้ค่าใหม่ คุณจึงเรียนรู้วิธีทำ ไม่ใช่จำคำตอบ
  • ติดขัดใช่ไหม เปิดคำใบ้เล็ก ๆ ก่อน และเปิดคำอธิบายฉบับเต็มเมื่อจำเป็นเท่านั้น
  • ความก้าวหน้า ข้อที่ผิด และโจทย์ที่บันทึกไว้จะถูกเก็บไว้ เพื่อให้คุณทบทวนก่อนสอบได้

หัวข้อก่อนและหลังหัวข้อนี้

ควรเรียนก่อน

ความเค้นและความเครียดตามแนวแกน

เครื่องคำนวณ

เครื่องคำนวณวงกลมของมอร์

รายวิชาที่มีหัวข้อนี้

กลศาสตร์ของวัสดุการออกแบบเครื่องจักรกลฝึกข้อสอบ FE เครื่องกล

หัวข้ออื่นในเครื่องกล

ปฏิกิริยาที่จุดรองรับของคานโครงข้อแข็งและเครื่องกลความเค้นและความเครียดตามแนวแกนการบิดของเพลาการเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์งานและพลังงานการหมุนของวัตถุแข็งเกร็งการสั่นสะเทือนเชิงกลเครื่องยนต์ความร้อนและตู้เย็นวัฏจักรกำลังแบบแก๊สความต่อเนื่องและเบอร์นูลลีแรงเสียดทานในท่อและเฮดสูญเสียปั๊มและกำลังของปั๊มการนำความร้อนเฟืองและชุดเฟือง

ใบงานสำหรับพิมพ์

ใบงาน วงกลมของมอร์และการแปลงความเค้น พร้อมเฉลย
ฝึก วงกลมของมอร์และการแปลงความเค้น ฟรีฝึก วงกลมของมอร์และการแปลงความเค้น เลยโจทย์ฟรีวันละ 5 ข้อ ไม่ต้องใช้บัตร