งานและพลังงาน: แบบฝึกหัดพร้อมเฉลยทีละขั้นตอน

แบบฝึกหัด งานและพลังงาน ฟรี พร้อมแผนภาพ คำใบ้ และเฉลยละเอียด ตัวเลขใหม่ทุกครั้ง สามระดับ: การตกอย่างอิสระ, พื้นเอียงที่มีความเสียดทาน, ทางลาด ความเสียดทาน และสปริง

โจทย์ฝึกฟรีง่าย
m = 5 kggh = 38 m

ลูกบอลมวล 5 kg ถูกปล่อยจากหยุดนิ่งที่ความสูง 38 m ไม่คิดแรงต้านอากาศ หาอัตราเร็ว v ของลูกบอลก่อนกระทบพื้น

m = 5 kgh = 38 mg = 9.81 m/s²
m/s
โจทย์ถัดไป →
ฝึก งานและพลังงาน ฟรีฝึก งานและพลังงาน เลยโจทย์ฟรีวันละ 5 ข้อ ไม่ต้องใช้บัตร

สิ่งที่คุณจะได้ฝึก

  1. ง่ายการตกอย่างอิสระ
  2. ปานกลางพื้นเอียงที่มีความเสียดทาน
  3. ยากทางลาด ความเสียดทาน และสปริง

สูตรสำคัญ

พลังงานจลน์
Ek = ½mv²
พลังงานศักย์
Ep = mgh
สมดุลพลังงาน
Ek1 + Ep1 + W = Ek2 + Ep2 + losses
งานของแรงเสียดทาน
W = μ·N·d
กำลัง
P = W/t

เรียนรู้ งานและพลังงาน ตั้งแต่ต้น

ก่อนหน้านี้: กฎของนิวตัน

1พลังงานคืออะไร

พลังงาน (energy) คือความสามารถในการทำให้บางสิ่งเคลื่อนที่หรือเปลี่ยนแปลง วัดเป็นจูล (J) หนึ่งจูลคือพลังงานที่ต้องใช้ในการออกแรง 1 N ตลอดระยะ 1 m

พลังงานไม่สร้างขึ้นหรือทำลายได้ แต่เปลี่ยนรูปเท่านั้น ลูกบอลที่ตกเปลี่ยนความสูงเป็นอัตราเร็ว รถที่เบรกเปลี่ยนอัตราเร็วเป็นความร้อนในเบรก

นี่ให้ทางลัดที่ทรงพลัง แทนที่จะตามการเคลื่อนที่ทีละวินาทีด้วยแรง คุณเปรียบเทียบพลังงานตอนเริ่มกับตอนสิ้นสุด

ในหัวข้อนี้คุณจะพบพลังงานกลสามรูปแบบ: พลังงานของการเคลื่อนที่ พลังงานของความสูง และพลังงานที่สะสมในสปริง แรงเสียดทานเอาพลังงานออกและเปลี่ยนเป็นความร้อน

ตรวจสอบตนเอง กล่องไถลบนพื้นหยาบและหยุด พลังงานจลน์ของมันเกิดอะไรขึ้น
  1. กลายเป็นพลังงานศักย์
  2. ถูกทำลาย
  3. ยังคงสะสมอยู่ในกล่องในรูปอัตราเร็ว
  4. แรงเสียดทานเปลี่ยนเป็นความร้อน

คำตอบ: แรงเสียดทานเปลี่ยนเป็นความร้อน. พลังงานหายไปไม่ได้ บนพื้นระดับ ความสูงไม่เปลี่ยน พลังงานจลน์ทั้งหมดจึงกลายเป็นความร้อนผ่านแรงเสียดทาน

2งานและพลังงานจลน์

แรงทำงาน (work) เมื่อทำให้บางสิ่งเคลื่อนที่ งานคือแรงคูณระยะทางที่เคลื่อนที่ในทิศของแรง:

W = F · d · cos α

ในที่นี้ α คือมุมระหว่างแรงกับการเคลื่อนที่ แรงตามแนวการเคลื่อนที่ (α = 0) ทำงานเต็มที่ แรงที่ตั้งฉาก (α = 90°) ไม่ทำงานเลย

พลังงานของการเคลื่อนที่คือพลังงานจลน์ (kinetic energy) เพิ่มตามกำลังสองของอัตราเร็ว อัตราเร็วเป็นสองเท่าจึงให้พลังงานสี่เท่า:

Ek = ½ · m · v²

งานที่ทำโดยแรงทั้งหมดรวมกันเท่ากับการเปลี่ยนแปลงของพลังงานจลน์ นี่คือทฤษฎีบทงาน–พลังงาน

ตรวจสอบตนเอง เชือกดึงลังไปตามพื้นระดับ 4 m ด้วยแรง 50 N ทำมุม 60° เหนือแนวนอน เชือกทำงานเท่าใด
  1. 100 J
  2. 12.5 J
  3. 173 J
  4. 200 J

คำตอบ: 100 J. W = 50 · 4 · cos 60° = 100 J การละ cos α ให้ 200 J และการใช้ sin 60° ให้ 173 J

3พลังงานศักย์: ความสูงและสปริง

วัตถุที่อยู่สูงกว่าตกลงมาและเพิ่มอัตราเร็วได้ พลังงานที่มีเพราะความสูงคือพลังงานศักย์โน้มถ่วง:

Ep = m · g · h

เฉพาะการเปลี่ยนแปลงความสูงเท่านั้นที่สำคัญ คุณจึงเลือกระดับศูนย์เองได้ จุดต่ำสุดของการเคลื่อนที่มักเป็นตัวเลือกที่ง่ายที่สุด

สปริงที่ถูกบีบหรือยืดเป็นระยะ x สะสมพลังงานยืดหยุ่น ในที่นี้ k คือความแข็งของสปริงในหน่วย N/m:

Es = ½ · k · x²

รวมทุกอย่างในหนึ่งสมดุลพลังงาน Wf คืองานที่ทำต้านแรงเสียดทาน ซึ่งออกไปเป็นความร้อน:

Ek1 + Ep1 + Es1 = Ek2 + Ep2 + Es2 + Wf

สำหรับการตกอิสระจากหยุดนิ่งโดยไม่มีแรงเสียดทาน ได้ m·g·h = ½·m·v² ดังนั้น v = √(2gh) มวลตัดกัน

ตรวจสอบตนเอง ปล่อยก้อนหินจากหยุดนิ่งที่ความสูง 20 m โดยไม่คิดแรงต้านอากาศ มันมีอัตราเร็วเท่าใดเมื่อถึงพื้น (g = 9.81 m/s²)
  1. 14.0 m/s
  2. 19.8 m/s
  3. 196 m/s
  4. 392 m/s

คำตอบ: 19.8 m/s. v = √(2 · 9.81 · 20) = √392.4 = 19.8 m/s ส่วน 392 m/s ลืมรากที่สอง และ 14.0 m/s ลืมตัวประกอบ 2 จาก ½ ใน ½·m·v²

4วิธีทำทีละขั้น

  1. วาดสถานการณ์ ทำเครื่องหมายจุดเริ่ม 1 และจุดสิ้นสุด 2 และเลือกระดับศูนย์ของความสูง
  2. เขียนพลังงานที่จุด 1: Ek1 = ½·m·v1², Ep1 = m·g·h1 และ ½·k·x1² ถ้าสปริงถูกบีบ
  3. เขียนพลังงานที่จุด 2 ในแบบเดียวกัน ปล่อยตัวไม่ทราบค่าเป็นสัญลักษณ์
  4. หางานต้านแรงเสียดทาน บนพื้นเอียง แรงปฏิกิริยาตั้งฉากคือ N = m·g·cos θ ดังนั้น Wf = μ·m·g·cos θ·d โดย d คือระยะที่ไถล
  5. แทนค่าในสมดุลพลังงานและแก้สมการหาตัวไม่ทราบค่า

วาดแรงด้วย แม้จะใช้เพียงพลังงาน ภาพวาดแสดงว่าแรงใดทำงานและแรงใดไม่ทำงาน

θmgNF = μNvm

แรงปฏิกิริยาตั้งฉาก N ตั้งฉากกับการเคลื่อนที่ จึงไม่ทำงาน สำคัญเพียงเพราะแรงเสียดทานขึ้นกับมัน

5ตัวอย่างที่แก้ให้ดู

ทำตามทุกขั้นตอน ลองทำนายขั้นถัดไปก่อนเปิดดู

ตัวอย่างที่แก้ให้ดู

ก้อนวัตถุ 2 kg ไถลจากหยุดนิ่งลงตามพื้นเอียงทำมุม 30° กับแนวนอน สัมประสิทธิ์ความเสียดทานจลน์คือ 0.2 ใช้ g = 9.81 m/s² จงหาอัตราเร็วหลังจากไถลไป 5 m ตามพื้นเอียง

1

วาดสถานการณ์

θmd = 5 mh = 2.5 mv = ?

จุด 1 คือจุดเริ่ม จุด 2 อยู่ต่ำลงไปตามพื้นเอียงอีก 5 m ตั้งระดับศูนย์ของความสูงที่จุด 2

2

ความสูงที่ลดลง

ก้อนวัตถุไถล 5 m ตามพื้นเอียง แต่ลดลงเพียงส่วนในแนวดิ่งของระยะนั้น:

h = d · sin θ = 5 · sin 30° = 2.5 m
Ep1 = m · g · h = 2 · 9.81 · 2.5 = 49.05 J
3

งานต้านแรงเสียดทาน

บนพื้นเอียง แรงปฏิกิริยาตั้งฉากน้อยกว่าน้ำหนัก:

N = m · g · cos θ = 2 · 9.81 · cos 30° = 16.99 N
Wf = μ · N · d = 0.2 · 16.99 · 5 = 16.99 J
4

สมดุลพลังงาน

ก้อนวัตถุเริ่มจากหยุดนิ่ง ดังนั้น Ek1 = 0 ที่จุด 2 ความสูงเป็นศูนย์:

Ep1 = Ek2 + Wf
Ek2 = 49.05 − 16.99 = 32.06 J
5

หาอัตราเร็ว

½ · 2 · v² = 32.06
v = √32.06 = 5.66 m/s
6

ตรวจสอบคำตอบ

ถ้าไม่มีแรงเสียดทาน ก้อนวัตถุจะถึง √(2 · 9.81 · 2.5) = 7.00 m/s แรงเสียดทานต้องทำให้ช้าลง และ 5.66 m/s ช้ากว่า คำตอบสมเหตุสมผล

ในที่สุดมวลตัดกัน: v² = 2·g·d·(sin θ − μ·cos θ) = 32.06 ซึ่งให้ 5.66 m/s เท่ากัน

คำตอบ

ก้อนวัตถุมี v ≈ 5.66 m/s หลังไถล 5 m

6ข้อผิดพลาดที่พบบ่อย

  • ใช้น้ำหนัก m·g เป็นแรงปฏิกิริยาตั้งฉากบนพื้นเอียง บนพื้นเอียง N = m·g·cos θ
  • ใช้ระยะตามพื้นเอียงเป็นความสูง ความสูงที่ลดลงคือ d·sin θ
  • ลืมรากที่สองตอนท้าย: ½·m·v² ให้ v² ไม่ใช่ v
  • บวกงานแรงเสียดทานเข้ากับพลังงานตอนท้ายด้วยเครื่องหมายผิด แรงเสียดทานเอาพลังงานออกจากการเคลื่อนที่เสมอ
  • เขียนพลังงานของสปริงเป็น k·x แทน ½·k·x² หรือปล่อย x เป็น cm
ตรวจสอบตนเอง ก้อนวัตถุ 1 kg ไถลลง 2 m บนพื้นเอียง 30° ที่ μ = 0.5 งานที่ทำต้านแรงเสียดทานเท่าใด (g = 9.81 m/s²)
  1. 19.6 J
  2. 4.91 J
  3. 8.50 J
  4. 9.81 J

คำตอบ: 8.50 J. Wf = μ · m · g · cos θ · d = 0.5 · 1 · 9.81 · cos 30° · 2 = 8.50 J การใช้ m·g เป็นแรงปฏิกิริยาตั้งฉากให้ 9.81 J และการใช้ sin θ แทน cos θ ให้ 4.91 J

7ข้อสอบมีหน้าตาอย่างไร

  • ง่าย: การตกอิสระและการแปลงรูปเดี่ยวอื่น ๆ ลูกบอลที่ปล่อยตก (หา v หรือ Ek) ลูกตุ้มที่ปล่อยจากมุมหนึ่ง ก้อนวัตถุที่ชนสปริง งานของเชือกที่ดึง หรือกำลังของรอก (P = m·g·h / t)
  • ปานกลาง: ก้อนวัตถุบนพื้นเอียงที่มีแรงเสียดทาน: หาอัตราเร็วหลังระยะหนึ่งหรืองานต้านแรงเสียดทาน รูปแบบอื่นได้แก่ รถที่ไถลจนหยุด เครื่องยิงสปริง และกำลังที่ต้องใช้ขับรถขึ้นเนิน
  • ยาก: หลายช่วงในคำถามเดียว เช่น ทางลาดเรียบ แล้วแถบหยาบ แล้วสปริง: หาอัตราเร็วที่สปริงหรือการอัดสูงสุด แบบอื่นรวมก้อนวัตถุที่ถูกดึง ลูป หรือก้อนวัตถุสองก้อนที่เชื่อมกัน

ในข้อยาก ให้เขียนสมดุลพลังงานหนึ่งสมการตั้งแต่จุดเริ่มต้นถึงจุดสิ้นสุด บวกงานแรงเสียดทานของทุกส่วนที่หยาบ

สำหรับการอัดสปริงสูงสุด ก้อนวัตถุหยุดชั่วขณะ พลังงานจลน์ทั้งหมดจึงอยู่ในสปริง: ½·m·v² = ½·k·x²

เรียนรู้ทีละขั้นในแอปเรียนรู้ทีละขั้นในแอป

ตัวอย่างวิธีทำ

ตัวอย่างที่ 1ง่าย
m = 0.5 kggh = 11 m

ลูกบอลมวล 0.5 kg ถูกปล่อยจากหยุดนิ่งที่ความสูง 11 m ไม่คิดแรงต้านอากาศ หาอัตราเร็ว v ของลูกบอลก่อนกระทบพื้น

m = 0.5 kgh = 11 mg = 9.81 m/s²

จงหา v (m/s)

แสดงคำใบ้
  1. พลังงานอนุรักษ์: พลังงานศักย์ที่ด้านบนกลายเป็นพลังงานจลน์ที่ด้านล่าง
  2. mgh = ½mv² มวลหักล้างกัน: v = √(2gh)
  3. 2gh = 215.8 m²/s².
แสดงคำตอบและเฉลยทีละขั้นตอน

หลักการงาน–พลังงาน: การเปลี่ยนแปลงของพลังงานจลน์เท่ากับงานที่แรงทั้งหมดกระทำ เมื่อเขียนแรงโน้มถ่วงและสปริงเป็นพลังงานศักย์ (mgh และ ½kx²) จะได้สมดุลว่า พลังงานเริ่มต้น = พลังงานสุดท้าย + พลังงานที่สูญเสียไปกับแรงเสียดทาน (μN·d)

สมดุลพลังงาน

เริ่มจากหยุดนิ่งที่ความสูง h สิ้นสุดที่ระดับพื้นด้วยอัตราเร็ว v

mgh = ½mv² → v = √(2gh)
v = √(2·9.81·11) = 14.69 m/s

คำตอบ

v = 14.69 m/s
ตัวอย่างที่ 2ปานกลาง
45°d = 19 mμ = 0.35

ก้อนวัตถุเลื่อนลงจากหยุดนิ่งตามพื้นเอียงที่ทำมุม 45° กับแนวนอน สัมประสิทธิ์ความเสียดทานจลน์คือ 0.35 หาอัตราเร็ว v หลังจากเลื่อนไปตามพื้นเอียง 19 m

θ = 45°μ = 0.35d = 19 mg = 9.81 m/s²

จงหา v (m/s)

แสดงคำใบ้
  1. แรงแนวฉากบนพื้นเอียงคือ N = mg·cos θ ดังนั้นแรงเสียดทานคือ μmg·cos θ
  2. สมดุลพลังงานตลอดระยะ d: mg·d·sin θ = ½mv² + μmg·cos θ·d มวลหักล้างกัน
  3. sin θ = 0.7071, cos θ = 0.7071.
แสดงคำตอบและเฉลยทีละขั้นตอน

หลักการงาน–พลังงาน: การเปลี่ยนแปลงของพลังงานจลน์เท่ากับงานที่แรงทั้งหมดกระทำ เมื่อเขียนแรงโน้มถ่วงและสปริงเป็นพลังงานศักย์ (mgh และ ½kx²) จะได้สมดุลว่า พลังงานเริ่มต้น = พลังงานสุดท้าย + พลังงานที่สูญเสียไปกับแรงเสียดทาน (μN·d)

สมดุลพลังงานตามพื้นเอียง

ก้อนวัตถุลดระดับลง d·sin θ ขณะที่แรงเสียดทานดึงพลังงานออกไป μmg·cos θ·d มวลหักล้างกัน

½v² = g·d·(sin θ − μ·cos θ)
v = √(2·9.81·19·(0.7071 − 0.35·0.7071)) = 13.09 m/s

คำตอบ

v = 13.09 m/s
ตัวอย่างที่ 3ยาก
h = 4.5 mL = 4 mμ = 0.15k = 500 N/m

ก้อนวัตถุมวล 2.5 kg ถูกปล่อยจากหยุดนิ่งที่ความสูง 4.5 m บนทางลาดเรียบ ที่ด้านล่างมันผ่านแถบแนวนอนขรุขระยาว 4 m (μ = 0.15) แล้ววิ่งไปชนสปริง (k = 500 N/m) บนพื้นผิวเรียบ หาการหดตัวสูงสุด x ของสปริง

m = 2.5 kgh = 4.5 mL = 4 mμ = 0.15k = 500 N/mg = 9.81 m/s²

จงหา x (cm)

แสดงคำใบ้
  1. ติดตามพลังงานจากจุดปล่อยจนถึงจุดสุดท้าย: พลังงานศักย์ที่ด้านบน หักการสูญเสียจากแรงเสียดทานบนแถบขรุขระ ที่เหลือกลายเป็นพลังงานจลน์หรือพลังงานสปริง
  2. แรงเสียดทานบนแถบราบดึงพลังงานออกไป μ·mg·L ที่การหดตัวสูงสุด ก้อนวัตถุหยุดนิ่งชั่วขณะ พลังงานที่เหลือทั้งหมดจึงเป็น ½kx²
  3. mg(h − μL) = 95.65 J.
แสดงคำตอบและเฉลยทีละขั้นตอน

หลักการงาน–พลังงาน: การเปลี่ยนแปลงของพลังงานจลน์เท่ากับงานที่แรงทั้งหมดกระทำ เมื่อเขียนแรงโน้มถ่วงและสปริงเป็นพลังงานศักย์ (mgh และ ½kx²) จะได้สมดุลว่า พลังงานเริ่มต้น = พลังงานสุดท้าย + พลังงานที่สูญเสียไปกับแรงเสียดทาน (μN·d)

พลังงานที่เหลือหลังแถบขรุขระ

ทางลาดเรียบ มีเพียงแถบขรุขระเท่านั้นที่ดึงพลังงานออก

mgh − μmgL = 24.53·(4.5 − 0.15·4) = 95.65 J

การหดตัวสูงสุด

½kx² = 95.65 → x = √(2·95.65/500) = 0.6185 m = 61.85 cm

คำตอบ

x = 61.85 cm

คำถามและคำตอบ

งานและพลังงาน คืออะไร

พลังงานไม่สร้างขึ้นหรือทำลายได้ แต่เปลี่ยนรูปเท่านั้น ลูกบอลที่ตกเปลี่ยนความสูงเป็นอัตราเร็ว รถที่เบรกเปลี่ยนอัตราเร็วเป็นความร้อนในเบรก

นี่ให้ทางลัดที่ทรงพลัง แทนที่จะตามการเคลื่อนที่ทีละวินาทีด้วยแรง คุณเปรียบเทียบพลังงานตอนเริ่มกับตอนสิ้นสุด

จะแก้โจทย์ งานและพลังงาน ทีละขั้นได้อย่างไร

หลักการงาน–พลังงาน: การเปลี่ยนแปลงของพลังงานจลน์เท่ากับงานที่แรงทั้งหมดกระทำ เมื่อเขียนแรงโน้มถ่วงและสปริงเป็นพลังงานศักย์ (mgh และ ½kx²) จะได้สมดุลว่า พลังงานเริ่มต้น = พลังงานสุดท้าย + พลังงานที่สูญเสียไปกับแรงเสียดทาน (μN·d)

แบบฝึกหัด งานและพลังงาน ครอบคลุมเรื่องอะไรบ้าง
  • ง่าย: การตกอย่างอิสระ
  • ปานกลาง: พื้นเอียงที่มีความเสียดทาน
  • ยาก: ทางลาด ความเสียดทาน และสปริง

โจทย์ทุกข้อใช้ค่าใหม่ คุณจึงเรียนรู้วิธีทำ ไม่ใช่จำคำตอบ ติดขัดใช่ไหม เปิดคำใบ้เล็ก ๆ ก่อน และเปิดคำอธิบายฉบับเต็มเมื่อจำเป็นเท่านั้น

การฝึกทำงานอย่างไร

  • โจทย์ทุกข้อใช้ค่าใหม่ คุณจึงเรียนรู้วิธีทำ ไม่ใช่จำคำตอบ
  • ติดขัดใช่ไหม เปิดคำใบ้เล็ก ๆ ก่อน และเปิดคำอธิบายฉบับเต็มเมื่อจำเป็นเท่านั้น
  • ความก้าวหน้า ข้อที่ผิด และโจทย์ที่บันทึกไว้จะถูกเก็บไว้ เพื่อให้คุณทบทวนก่อนสอบได้

หัวข้อก่อนและหลังหัวข้อนี้

ควรเรียนก่อน

กฎของนิวตัน

เรียนต่อด้วย

การหมุนของวัตถุแข็งเกร็ง

เครื่องคำนวณ

เครื่องคำนวณพลังงานจลน์ (และพลังงานศักย์ งาน และกำลัง)

รายวิชาที่มีหัวข้อนี้

พลศาสตร์ฟิสิกส์สำหรับวิศวกรฟิสิกส์ 1: กลศาสตร์ฝึกข้อสอบ FE เครื่องกลโจทย์ฝึก AP Physics 1

หัวข้ออื่นในเครื่องกล

ปฏิกิริยาที่จุดรองรับของคานโครงข้อแข็งและเครื่องกลความเค้นและความเครียดตามแนวแกนการบิดของเพลาวงกลมของมอร์และการแปลงความเค้นการเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์การหมุนของวัตถุแข็งเกร็งการสั่นสะเทือนเชิงกลเครื่องยนต์ความร้อนและตู้เย็นวัฏจักรกำลังแบบแก๊สความต่อเนื่องและเบอร์นูลลีแรงเสียดทานในท่อและเฮดสูญเสียปั๊มและกำลังของปั๊มการนำความร้อนเฟืองและชุดเฟือง

ใบงานสำหรับพิมพ์

ใบงาน งานและพลังงาน พร้อมเฉลย
ฝึก งานและพลังงาน ฟรีฝึก งานและพลังงาน เลยโจทย์ฟรีวันละ 5 ข้อ ไม่ต้องใช้บัตร