ความต่อเนื่องและเบอร์นูลลี: แบบฝึกหัดพร้อมเฉลยทีละขั้นตอน

แบบฝึกหัด ความต่อเนื่องและเบอร์นูลลี ฟรี พร้อมแผนภาพ คำใบ้ และเฉลยละเอียด ตัวเลขใหม่ทุกครั้ง สามระดับ: ความต่อเนื่อง, ท่อลดขนาดแนวนอน, ท่อที่ยกสูงขึ้น

โจทย์ฝึกฟรีง่าย
12d1​ = 75 mm, v1​ = 0.75 m/sd2​ = 25 mm

น้ำไหลด้วยความเร็ว 0.75 m/s ผ่านช่วงกว้างของท่อซึ่งมีเส้นผ่านศูนย์กลาง 75 mm หาอัตราการไหลเชิงปริมาตร Q

d1 = 75 mmd2 = 25 mmv1 = 0.75 m/s
L/s
โจทย์ถัดไป →
ฝึก ความต่อเนื่องและเบอร์นูลลี ฟรีฝึก ความต่อเนื่องและเบอร์นูลลี เลยโจทย์ฟรีวันละ 5 ข้อ ไม่ต้องใช้บัตร

สิ่งที่คุณจะได้ฝึก

  1. ง่ายความต่อเนื่อง
  2. ปานกลางท่อลดขนาดแนวนอน
  3. ยากท่อที่ยกสูงขึ้น

สูตรสำคัญ

ความต่อเนื่อง
A1v1 = A2v2
เบอร์นูลลี
p1 + ½ρv1² + ρgz1 = p2 + ½ρv2² + ρgz2
อัตราการไหล
Q = A·v
พื้นที่วงกลม
A = πd²/4

เรียนรู้ ความต่อเนื่องและเบอร์นูลลี ตั้งแต่ต้น

ก่อนหน้านี้: แรงจากความดันของไหลนิ่ง

1ความต่อเนื่องและแบร์นูลลีเกี่ยวกับอะไร

เอาหัวแม่มือปิดปลายสายยางรดน้ำ น้ำจะพุ่งออกเร็วขึ้น น้ำปริมาณเท่าเดิมต้องผ่านช่องที่เล็กลง จึงต้องเคลื่อนที่เร็วขึ้น

แนวคิดนั้นคือความต่อเนื่อง (continuity): ในท่อที่เต็ม น้ำไม่สะสมหรือหายไป สิ่งที่ไหลเข้าทุกวินาทีต้องไหลออกทุกวินาที

แนวคิดที่สอง คือสมการของแบร์นูลลี (Bernoulli’s equation) เชื่อมความเร็ว ความดัน และความสูง ที่น้ำเร็วขึ้น ความดันลดลง ที่น้ำขึ้นสูง ความดันก็ลดลงด้วย

สองแนวคิดนี้ร่วมกันให้คุณทำนายความเร็วและความดันที่ใดก็ได้ตามท่อ ในหัวข้อนี้ของไหลอัดตัวไม่ได้ (เหมือนน้ำ) และไม่คิดการสูญเสียจากแรงเสียดทาน

ตรวจสอบตนเอง น้ำไหลผ่านท่อที่แคบลง ความเร็วของมันในส่วนแคบเป็นอย่างไร
  1. น้ำหยุด
  2. ลดลง
  3. เท่าเดิม
  4. เพิ่มขึ้น

คำตอบ: เพิ่มขึ้น. ปริมาตรเท่ากันต่อวินาทีต้องผ่านพื้นที่ที่เล็กลง น้ำจึงต้องเคลื่อนที่เร็วขึ้น

2อัตราการไหลและความต่อเนื่อง

อัตราการไหลเชิงปริมาตร (volume flow rate) Q คือปริมาตรของของไหลที่ผ่านต่อวินาที เป็น m³/s หนึ่งลิตรต่อวินาที (L/s) คือ 0.001 m³/s

สำหรับของไหลที่เคลื่อนที่ด้วยความเร็วเฉลี่ย v ผ่านหน้าตัดพื้นที่ A:

Q = A · v A = π · d² / 4

อัตราการไหลเชิงมวล (mass flow rate) คือ ṁ = ρ · Q เป็น kg/s โดย ρ คือความหนาแน่น (1000 kg/m³ สำหรับน้ำ)

ความต่อเนื่องกล่าวว่า Q เท่ากันที่ทุกหน้าตัดของท่อ:

12v1​v2​d1​d2​p1​p2​
A1 · v1 = A2 · v2

สำหรับท่อกลม π/4 ตัดกัน ดังนั้น v2 = v1 · (d1 / d2)² เส้นผ่านศูนย์กลางลดครึ่งหนึ่งทำให้น้ำเร็วขึ้นสี่เท่า

ตรวจสอบตนเอง ท่อแคบลงจาก 80 mm เป็น 40 mm น้ำเคลื่อนที่ 1 m/s ในส่วนกว้าง มันเคลื่อนที่เร็วเท่าใดในส่วนแคบ
  1. 0.25 m/s
  2. 2 m/s
  3. 4 m/s
  4. 8 m/s

คำตอบ: 4 m/s. v2 = 1 · (80/40)² = 4 m/s พื้นที่ขึ้นกับกำลังสองของเส้นผ่านศูนย์กลาง การใช้อัตราส่วนเส้นผ่านศูนย์กลางโดยไม่ยกกำลังสองได้ 2 m/s

3สมการของแบร์นูลลี

ตามเส้นกระแส (streamline) ที่ไม่มีการสูญเสีย พลังงานต่อลูกบาศก์เมตรของของไหลคงเดิม มีสามส่วน: ความดัน การเคลื่อนที่ และความสูง

p1 + ½ρv1² + ρgz1 = p2 + ½ρv2² + ρgz2
  • p: ความดัน เป็น Pa
  • ½ρv²: พลังงานจลน์ต่อ m³ เป็น Pa เช่นกัน
  • ρgz: พลังงานจากความสูงต่อ m³ โดย z คือความสูงเหนือระดับอ้างอิงใดที่คุณเลือก

ถ้าส่วนหนึ่งเพิ่ม อีกส่วนต้องลด น้ำที่เร็วกว่ามีความดันต่ำกว่า น้ำที่สูงกว่ามีความดันต่ำกว่า

กรณีพิเศษที่มีประโยชน์คือถังที่ระบายน้ำผ่านรูเล็กลึก h ใต้ผิวเปิด ผิวแทบไม่เคลื่อนที่และทั้งสองจุดอยู่ที่ความดันอากาศ ซึ่งให้กฎของทอร์ริเชลลี (Torricelli’s law):

v = √(2gh)
ตรวจสอบตนเอง ถังน้ำเปิดระบายผ่านรูเล็กใต้ผิวน้ำ 5 m ไม่คิดการสูญเสีย ลำน้ำพุ่งออกจากรูเร็วเท่าใด (g = 9.81 m/s²)
  1. 49.1 m/s
  2. 7.00 m/s
  3. 9.90 m/s
  4. 98.1 m/s

คำตอบ: 9.90 m/s. v = √(2 · 9.81 · 5) = √98.1 = 9.90 m/s การลืม 2 ได้ 7.00 m/s และการลืมรากที่สองได้ 98.1

4วิธีทำทีละขั้น

  1. ร่างท่อและเลขหมายสองหน้าตัด: 1 ที่คุณรู้มากที่สุด 2 ที่ค่าไม่ทราบอยู่
  2. แปลงหน่วย: mm เป็น m, kPa เป็น Pa, L/s เป็น m³/s
  3. หาพื้นที่ A = π·d²/4 และใช้ความต่อเนื่องเพื่อหาความเร็วที่ขาด
  4. เขียนแบร์นูลลีระหว่างหน้าตัด 1 และ 2 สำหรับท่อแนวนอน z1 = z2 พจน์ความสูงจึงตัดกัน
  5. แก้หาค่าที่ไม่ทราบ แล้วแปลงกลับเป็น kPa ถ้าจำเป็น

รักษาหน่วยให้สอดคล้อง เมื่อ ρ เป็น kg/m³ และ v เป็น m/s พจน์ ½ρv² ออกมาเป็น Pa ไม่ใช่ kPa

5ตัวอย่างที่แก้ให้ดู

ทำตามทุกขั้นตอน ลองทำนายขั้นถัดไปก่อนเปิดดู

ตัวอย่างที่แก้ให้ดู

น้ำ (ρ = 1000 kg/m³) ไหลผ่านท่อแนวนอนที่แคบลงจาก 100 mm เป็น 50 mm ในส่วนกว้าง ความดันคือ 200 kPa และความเร็วคือ 1.5 m/s ไม่คิดการสูญเสีย จงหาความดันในส่วนแคบ

1

วาดท่อ

121.5 m/sv2​100 mm50 mm200 kPap2​ = ?

หน้าตัด 1 คือส่วนกว้าง ที่ทุกอย่างทราบ หน้าตัด 2 คือส่วนแคบ

2

ความเร็วในส่วนแคบ

เส้นผ่านศูนย์กลางลดครึ่ง ความเร็วจึงเพิ่มเป็น (100/50)² = 4 เท่า:

v2 = 1.5 · (100 / 50)² = 6 m/s
3

เขียนแบร์นูลลี

ท่อเป็นแนวนอน พจน์ความสูงจึงตัดกัน:

p2 = p1 + ½ρ(v1² − v2²)
4

แทนค่า เป็นปาสกาล

½ · 1000 · (1.5² − 6²) = 500 · (2.25 − 36) = −16 875 Pa
p2 = 200 000 − 16 875 = 183 125 Pa ≈ 183.1 kPa
5

ตรวจสอบคำตอบ

น้ำเร็วกว่าในส่วนแคบ ความดันจึงต้องต่ำกว่า 183.1 kPa ต่ำกว่า 200 kPa ตามที่คาด

อัตราการไหลคือ Q = 0.007854 · 1.5 = 11.8 L/s ในทั้งสองหน้าตัด

คำตอบ

p2 ≈ 183.1 kPa ในส่วนแคบ (v2 = 6 m/s)

6ข้อผิดพลาดที่พบบ่อย

  • ใช้อัตราส่วนเส้นผ่านศูนย์กลางแทนอัตราส่วนพื้นที่: ความเร็วเปลี่ยนตามกำลังสองของเส้นผ่านศูนย์กลาง
  • ใช้รัศมีเสมือนเป็นเส้นผ่านศูนย์กลางใน A = π·d²/4 หรือลืม /4
  • ปน kPa กับ Pa ทำงานเป็น Pa ในแบร์นูลลี แล้วแปลงตอนท้าย
  • รายงาน m³/s เป็น L/s คูณ m³/s ด้วย 1000 เพื่อให้เป็น L/s
  • ลืมพจน์ความสูง ρ·g·Δz เมื่อท่อขึ้นหรือลง
ตรวจสอบตนเอง น้ำไหลที่ 2 m/s ผ่านท่อที่มีเส้นผ่านศูนย์กลางภายใน 100 mm อัตราการไหลเชิงปริมาตรคือเท่าใด
  1. 0.0157 L/s
  2. 15.7 L/s
  3. 20 L/s
  4. 62.8 L/s

คำตอบ: 15.7 L/s. A = π · 0.1²/4 = 0.007854 m² ดังนั้น Q = 0.007854 · 2 = 0.0157 m³/s = 15.7 L/s การลืม /4 ได้ 62.8 และการลืม π/4 ได้ 20

7ข้อสอบมีหน้าตาอย่างไร

  • ง่าย: ความต่อเนื่อง หาอัตราการไหล อัตราการไหลเชิงมวล ความเร็วในหน้าตัดที่แคบกว่า หรือเส้นผ่านศูนย์กลางท่อที่ต้องการสำหรับการไหลที่กำหนด บางคำถามใช้กฎของทอร์ริเชลลีกับถังที่ระบายน้ำ
  • ปานกลาง: ท่อลดขนาดแนวนอน หาความดันในหน้าตัดหนึ่งจากอีกหน้าตัดหนึ่ง แบบอื่นใช้เวนทูรีมิเตอร์ ท่อพิโตต์ (v = √(2Δp/ρ)) หรือออริฟิซที่มีสัมประสิทธิ์การไหล
  • ยาก: ท่อที่สูงขึ้น พจน์ความสูงสำคัญ: ทุกเมตรที่สูงขึ้นลดความดัน ρ·g·1 = 9.81 kPa สำหรับน้ำ แบบอื่นได้แก่ไซฟอน ถังความดัน และน้ำพุ

ในตัวอย่างข้างบน ถ้าสูงขึ้น 5 m ระหว่างหน้าตัด จะลด p2 อีก 1000 · 9.81 · 5 = 49 050 Pa เหลือ 134.1 kPa

เรียนรู้ทีละขั้นในแอปเรียนรู้ทีละขั้นในแอป

ตัวอย่างวิธีทำ

ตัวอย่างที่ 1ง่าย
12d1​ = 100 mm, v1​ = 2.75 m/sd2​ = 50 mm, v2​ = ?

น้ำไหลผ่านท่อที่แคบลงจากเส้นผ่านศูนย์กลาง 100 mm เป็น 50 mm ความเร็วในช่วงกว้างคือ 2.75 m/s หาความเร็ว v2 ในช่วงแคบ

d1 = 100 mmd2 = 50 mmv1 = 2.75 m/s

จงหา v2 (m/s)

แสดงคำใบ้
  1. ปริมาตรน้ำเท่ากันผ่านทุกหน้าตัดในทุกวินาที: Q = A·v
  2. A₁v₁ = A₂v₂ และพื้นที่แปรตาม d² ดังนั้น v₂ = v₁·(d₁/d₂)²
  3. A1 = 0.007854 m².
แสดงคำตอบและเฉลยทีละขั้นตอน

ความต่อเนื่องและเบอร์นูลลี: สำหรับของไหลที่อัดตัวไม่ได้ อัตราการไหลเท่ากันทุกหน้าตัด Q = A₁v₁ = A₂v₂ ตามเส้นกระแสที่ไม่มีการสูญเสีย p + ½ρv² + ρgz เป็นค่าคงตัว ดังนั้นตรงที่ของไหลเร็วขึ้นหรืออยู่สูงขึ้น ความดันจะต่ำลง

ความต่อเนื่อง

อัตราการไหลเท่ากันทั้งสองช่วง

A1v1 = A2v2
v2 = v1·(d1/d2)² = 2.75·(100/50)² = 11 m/s

คำตอบ

v2 = 11 m/s
ตัวอย่างที่ 2ปานกลาง
12d1​ = 150 mm, p1​ = 250 kPad2​ = 50 mm, p2​ = ?

น้ำไหลผ่านท่อแนวนอนที่แคบลงจาก 150 mm เป็น 50 mm ในช่วงกว้างความดันคือ 250 kPa และความเร็วคือ 0.5 m/s ไม่คิดการสูญเสีย หาความดัน p2 ในช่วงแคบ

d1 = 150 mmd2 = 50 mmp1 = 250 kPav1 = 0.5 m/sρ = 1000 kg/m³

จงหา p2 (kPa)

แสดงคำใบ้
  1. ใช้ความต่อเนื่องหาความเร็วในช่วงแคบก่อน
  2. เบอร์นูลลีสำหรับท่อแนวนอน: p₁ + ½ρv₁² = p₂ + ½ρv₂²
  3. v2 = 4.5 m/s.
แสดงคำตอบและเฉลยทีละขั้นตอน

ความต่อเนื่องและเบอร์นูลลี: สำหรับของไหลที่อัดตัวไม่ได้ อัตราการไหลเท่ากันทุกหน้าตัด Q = A₁v₁ = A₂v₂ ตามเส้นกระแสที่ไม่มีการสูญเสีย p + ½ρv² + ρgz เป็นค่าคงตัว ดังนั้นตรงที่ของไหลเร็วขึ้นหรืออยู่สูงขึ้น ความดันจะต่ำลง

ความต่อเนื่องและเบอร์นูลลี

คำนวณเป็น Pa แล้วหารด้วย 1000 เพื่อให้ได้ kPa

v2 = v1·(d1/d2)² = 0.5·(150/50)² = 4.5 m/s
½ρ(v1² − v2²) = ½·1000·(0.5² − 4.5²)/1000 = −10 kPa
p2 = p1 + ½ρ(v1² − v2²) = 250 + (−10) = 240 kPa

คำตอบ

p2 = 240 kPa
ตัวอย่างที่ 3ยาก
pair​ = 190 kPaQ = ?d = 25 mmh = 4 m

ถังน้ำปิดมีอากาศอัดอยู่เหนือน้ำที่ความดันเกจ 190 kPa น้ำออกทางช่องเส้นผ่านศูนย์กลาง 25 mm ซึ่งอยู่ต่ำกว่าผิวน้ำ 4 m สู่อากาศภายนอก ไม่คิดการสูญเสีย จงหา อัตราการไหล Q ใช้ g = 9.81 m/s²

pair = 190 kPa (เกจ)h = 4 md = 25 mmρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

จงหา Q (L/s)

แสดงคำใบ้
  1. เบอร์นูลลีจากผิวน้ำ (ความดันเกจ p หยุดนิ่ง) ถึงลำน้ำ (ความดันบรรยากาศ)
  2. p/ρ + gh = ½v² ดังนั้น v = √(2(p/ρ + gh)) โดยให้ p เป็น Pa
  3. p/ρ + gh = 229.2 m²/s².
แสดงคำตอบและเฉลยทีละขั้นตอน

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

เบอร์นูลลีจากผิวน้ำถึงลำน้ำ

v = √(2·(190000/1000 + 9.81·4)) = 21.41 m/s

อัตราการไหล

Q = A·v = 0.0004909·21.41 = 0.01051 m³/s = 10.51 L/s

คำตอบ

Q = 10.51 L/s

คำถามและคำตอบ

ความต่อเนื่องและเบอร์นูลลี คืออะไร

เอาหัวแม่มือปิดปลายสายยางรดน้ำ น้ำจะพุ่งออกเร็วขึ้น น้ำปริมาณเท่าเดิมต้องผ่านช่องที่เล็กลง จึงต้องเคลื่อนที่เร็วขึ้น

แนวคิดนั้นคือความต่อเนื่อง (continuity): ในท่อที่เต็ม น้ำไม่สะสมหรือหายไป สิ่งที่ไหลเข้าทุกวินาทีต้องไหลออกทุกวินาที

จะแก้โจทย์ ความต่อเนื่องและเบอร์นูลลี ทีละขั้นได้อย่างไร

ความต่อเนื่องและเบอร์นูลลี: สำหรับของไหลที่อัดตัวไม่ได้ อัตราการไหลเท่ากันทุกหน้าตัด Q = A₁v₁ = A₂v₂ ตามเส้นกระแสที่ไม่มีการสูญเสีย p + ½ρv² + ρgz เป็นค่าคงตัว ดังนั้นตรงที่ของไหลเร็วขึ้นหรืออยู่สูงขึ้น ความดันจะต่ำลง

ข้อผิดพลาดที่พบบ่อยใน ความต่อเนื่องและเบอร์นูลลี มีอะไรบ้าง
  • ความดันอากาศก็ดันน้ำออกด้วย: ให้รวม p/ρ ในสมการเบอร์นูลลี
  • ความสูงของน้ำก็เพิ่มความเร็วด้วย: v = √(2(p/ρ + gh))
แบบฝึกหัด ความต่อเนื่องและเบอร์นูลลี ครอบคลุมเรื่องอะไรบ้าง
  • ง่าย: ความต่อเนื่อง
  • ปานกลาง: ท่อลดขนาดแนวนอน
  • ยาก: ท่อที่ยกสูงขึ้น

โจทย์ทุกข้อใช้ค่าใหม่ คุณจึงเรียนรู้วิธีทำ ไม่ใช่จำคำตอบ ติดขัดใช่ไหม เปิดคำใบ้เล็ก ๆ ก่อน และเปิดคำอธิบายฉบับเต็มเมื่อจำเป็นเท่านั้น

การฝึกทำงานอย่างไร

  • โจทย์ทุกข้อใช้ค่าใหม่ คุณจึงเรียนรู้วิธีทำ ไม่ใช่จำคำตอบ
  • ติดขัดใช่ไหม เปิดคำใบ้เล็ก ๆ ก่อน และเปิดคำอธิบายฉบับเต็มเมื่อจำเป็นเท่านั้น
  • ความก้าวหน้า ข้อที่ผิด และโจทย์ที่บันทึกไว้จะถูกเก็บไว้ เพื่อให้คุณทบทวนก่อนสอบได้

หัวข้อก่อนและหลังหัวข้อนี้

ควรเรียนก่อน

แรงจากความดันของไหลนิ่ง

เรียนต่อด้วย

แรงเสียดทานในท่อและเฮดสูญเสีย

เครื่องคำนวณ

เครื่องคำนวณสมการเบอร์นูลลี

รายวิชาที่มีหัวข้อนี้

กลศาสตร์ของไหลฟิสิกส์สำหรับวิศวกรวิศวกรรมชลศาสตร์ฝึกข้อสอบ FE เครื่องกล

หัวข้ออื่นในเครื่องกล

ปฏิกิริยาที่จุดรองรับของคานโครงข้อแข็งและเครื่องกลความเค้นและความเครียดตามแนวแกนการบิดของเพลาวงกลมของมอร์และการแปลงความเค้นการเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์งานและพลังงานการหมุนของวัตถุแข็งเกร็งการสั่นสะเทือนเชิงกลเครื่องยนต์ความร้อนและตู้เย็นวัฏจักรกำลังแบบแก๊สแรงเสียดทานในท่อและเฮดสูญเสียปั๊มและกำลังของปั๊มการนำความร้อนเฟืองและชุดเฟือง

ใบงานสำหรับพิมพ์

ใบงาน ความต่อเนื่องและเบอร์นูลลี พร้อมเฉลย
ฝึก ความต่อเนื่องและเบอร์นูลลี ฟรีฝึก ความต่อเนื่องและเบอร์นูลลี เลยโจทย์ฟรีวันละ 5 ข้อ ไม่ต้องใช้บัตร