การเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์: แบบฝึกหัดพร้อมเฉลยทีละขั้นตอน

Q: จะแก้โจทย์ การเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์ ทีละขั้นได้อย่างไร

แยกความเร็วต้นเป็นองค์ประกอบ: vx = v₀·cos θ และ vy = v₀·sin θ การเคลื่อนที่ในแนวนอนมีอัตราเร็วคงที่ การเคลื่อนที่ในแนวดิ่งมีความเร่ง −g หาเวลาเคลื่อนที่จากการเคลื่อนที่ในแนวดิ่ง ใช้เวลานั้นในการเคลื่อนที่แนวนอนเพื่อหาพิสัย

Q: แบบฝึกหัด การเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์ ครอบคลุมเรื่องอะไรบ้าง

ง่าย: ยิงในแนวนอน ปานกลาง: ยิงจากพื้น ยาก: ยิงจากที่สูง โจทย์ทุกข้อใช้ค่าใหม่ คุณจึงเรียนรู้วิธีทำ ไม่ใช่จำคำตอบ ติดขัดใช่ไหม เปิดคำใบ้เล็ก ๆ ก่อน และเปิดคำอธิบายฉบับเต็มเมื่อจำเป็นเท่านั้น

แบบฝึกหัด การเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์ ฟรี พร้อมแผนภาพ คำใบ้ และเฉลยละเอียด ตัวเลขใหม่ทุกครั้ง สามระดับ: ยิงในแนวนอน, ยิงจากพื้น, ยิงจากที่สูง

สำคัญ: ใช้เพื่อการเรียนรู้เท่านั้น

ใช้เพื่อการเรียนรู้เท่านั้น ห้ามนำผลลัพธ์เหล่านี้ไปใช้ออกแบบ สร้าง หรือตรวจสอบโครงสร้าง เครื่องจักร ระบบแรงดัน หรืออุปกรณ์ยกจริง การออกแบบจริงต้องจัดทำและตรวจสอบโดยวิศวกรที่มีคุณวุฒิ โดยใช้มาตรฐานและค่าความปลอดภัยที่เกี่ยวข้อง ข้อกำหนดการใช้งาน

โจทย์ฝึกฟรีง่าย

ขว้างก้อนหินในแนวนอนจากยอดกำแพงสูง 20 m และตกห่างจากเชิงกำแพง 22 m ไม่คิดแรงต้านอากาศและใช้ g = 9.81 m/s² จงหาอัตราเร็วเริ่มต้น v₀

h = 20 mx = 22 mg = 9.81 m/s²

โจทย์ถัดไป →

ฝึก การเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์ ฟรี ฝึก การเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์ เลยโจทย์ฟรีวันละ 5 ข้อ ไม่ต้องใช้บัตร

สิ่งที่คุณจะได้ฝึก

ง่ายยิงในแนวนอน
ปานกลางยิงจากพื้น
ยากยิงจากที่สูง

วิธีแก้โจทย์การเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์

แยกความเร็วต้นเป็นองค์ประกอบ: v_x = v₀·cos θ และ v_y = v₀·sin θ
การเคลื่อนที่ในแนวนอนมีอัตราเร็วคงที่ การเคลื่อนที่ในแนวดิ่งมีความเร่ง −g
หาเวลาเคลื่อนที่จากการเคลื่อนที่ในแนวดิ่ง
ใช้เวลานั้นในการเคลื่อนที่แนวนอนเพื่อหาพิสัย

ข้อผิดพลาดที่พบบ่อย

ใช้ v₀ แทนองค์ประกอบ
เครื่องคิดเลขตั้งเป็นเรเดียนทั้งที่มุมเป็นองศา
ใช้สูตรพิสัย v₀²·sin 2θ/g ทั้งที่ความสูงตอนยิงและตอนตกต่างกัน

สูตรสำคัญ

องค์ประกอบ: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
ตำแหน่ง: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
ความสูงสูงสุด: H = h + v_y²/(2g)
พิสัย (พื้นราบ): R = v₀²·sin 2θ/g

เรียนรู้ การเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์ ตั้งแต่ต้น

ก่อนหน้านี้: จลนศาสตร์

1การเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์คืออะไร

โพรเจกไทล์ (projectile) คือวัตถุที่บินผ่านอากาศโดยมีเพียงแรงโน้มถ่วงกระทำ ลูกบอลที่ถูกเตะ ก้อนหินที่ขว้างจากสะพาน และน้ำจากสายยางล้วนเป็นโพรเจกไทล์

ในหัวข้อนี้คุณไม่คิดแรงต้านอากาศ เส้นทางจึงเป็นเส้นโค้งเรียบเสมอ เรียกว่าพาราโบลา

แนวคิดสำคัญ: การเคลื่อนที่แยกเป็นสองส่วนที่แยกจากกัน ในแนวข้าง ไม่มีอะไรดันหรือหน่วงวัตถุ ในแนวขึ้นลง แรงโน้มถ่วงดึงที่ g = 9.81 m/s²

ดังนั้นอัตราเร็วแนวนอนคงเดิมตลอดเวลา ขณะที่อัตราเร็วแนวดิ่งเปลี่ยนทุกวินาที สองส่วนใช้ร่วมกันเพียงอย่างเดียว คือเวลา

ตรวจสอบตนเอง ลูกบอลบินผ่านอากาศโดยไม่มีแรงต้านอากาศ ปริมาณใดคงที่ตลอดการบิน

ความสูง
ความเร็วแนวดิ่ง
ความเร็วแนวนอน
อัตราเร็วรวม

คำตอบ: ความเร็วแนวนอน. ไม่มีแรงในแนวข้าง ความเร็วแนวนอนจึงไม่เปลี่ยน แรงโน้มถ่วงเปลี่ยนความเร็วแนวดิ่ง และด้วยเหตุนี้อัตราเร็วรวมและความสูงก็เปลี่ยนด้วย

2สองการเคลื่อนที่ นาฬิกาเดียว

วางจุดกำเนิดที่จุดปล่อย โดย x เป็นแนวนอนและ y เป็นแนวดิ่ง (ขึ้นเป็นบวก) หลังเวลา t:

x = v_x · t

y = h + v_y · t − ½ · g · t²

ในที่นี้ h คือความสูงของจุดปล่อยเหนือพื้น v_x คือความเร็วแนวนอน และ v_y คือความเร็วแนวดิ่งตอนเริ่ม

ลูกบอลถึงพื้นเมื่อ y = 0 คุณแก้สมการแนวดิ่งหาเวลานั้น แล้วใส่เวลาเดียวกันในสมการแนวนอน

สำหรับการปล่อยในแนวนอน v_y = 0 สมการแนวดิ่งกลายเป็น h = ½ · g · t² เวลาตกจึงเป็น:

t = √(2h / g)

เวลาตกนี้ไม่ขึ้นกับอัตราเร็วแนวนอนเลย

ตรวจสอบตนเอง จากโต๊ะเดียวกัน ลูกบอล A กลิ้งตกขอบด้วย 1 m/s และลูกบอล B ด้วย 3 m/s ลูกใดตกถึงพื้นก่อน

ขึ้นกับมวลของมัน
ตกถึงพื้นพร้อมกัน
ลูกบอล A
ลูกบอล B

คำตอบ: ตกถึงพื้นพร้อมกัน. ทั้งสองเริ่มด้วยความเร็วแนวดิ่งเป็นศูนย์และตกจากความสูงเท่ากัน t = √(2h/g) จึงเท่ากัน ลูกบอล B เพียงตกไกลกว่า

3การปล่อยเป็นมุม

เมื่อลูกบอลถูกปล่อยด้วยอัตราเร็ว v₀ และมุม θ เหนือแนวนอน ให้แยกความเร็วเป็นสองส่วน คือองค์ประกอบก่อน:

v_x = v₀ · cos θ v_y = v₀ · sin θ

จากพื้นระดับ ลูกบอลขึ้นไปจนความเร็วแนวดิ่งเป็นศูนย์ แล้วตกลงมา การขึ้นและการลงใช้เวลาเท่ากัน ได้ผลลัพธ์ที่มีประโยชน์สามข้อ:

t_top = v_y / g t = 2 · v_y / g

H = v_y² / (2g) R = v₀² · sin 2θ / g

สูตรพิสัยสำหรับ R ใช้ได้เฉพาะเมื่อลูกบอลตกที่ความสูงเดียวกับที่ปล่อย

ตรวจสอบตนเอง ลูกบอลถูกปล่อยด้วย 20 m/s และ 30° เหนือแนวนอน องค์ประกอบของความเร็วเป็นเท่าใด

v_x = 10 m/s และ v_y = 10 m/s
v_x = 10 m/s และ v_y = 17.3 m/s
v_x = 17.3 m/s และ v_y = 10 m/s
v_x = 20 m/s และ v_y = 20 m/s

คำตอบ: v_x = 17.3 m/s และ v_y = 10 m/s. v_x = 20 · cos 30° = 17.3 m/s และ v_y = 20 · sin 30° = 10 m/s การสลับกันคือใช้ sin กับส่วนแนวนอน ซึ่งเป็นความสับสนคลาสสิก

4วิธีทำทีละขั้น

วาดเส้นทาง ทำเครื่องหมายความสูงจุดปล่อย h อัตราเร็วเริ่มต้น v₀ มุม θ และสิ่งที่ต้องหา
แยกความเร็วเริ่มต้นเป็นองค์ประกอบ: v_x = v₀ · cos θ และ v_y = v₀ · sin θ การปล่อยแนวนอนมี v_y = 0
ใช้การเคลื่อนที่แนวดิ่งหาเวลาบิน: ตั้ง y = 0 ใน y = h + v_y·t − ½·g·t² แล้วแก้หา t
ใช้เวลานั้นในการเคลื่อนที่แนวนอน: x = v_x · t
สำหรับอัตราเร็ว ณ ขณะใดขณะหนึ่ง ให้รวมองค์ประกอบ: v = √(v_x² + (v_y − g·t)²)

ตรวจว่าเครื่องคิดเลขตั้งเป็นองศาก่อนหา sin หรือ cos ของมุมที่ให้เป็นองศา

5ตัวอย่างที่แก้ให้ดู

ทำตามทุกขั้นตอน ลองทำนายขั้นถัดไปก่อนเปิดดู

ตัวอย่างที่แก้ให้ดู

ลูกบอลถูกขว้างในแนวนอนด้วย 12 m/s จากยอดหน้าผาสูง 45 m ไม่คิดแรงต้านอากาศและใช้ g = 9.81 m/s² มันตกห่างจากตีนผาเท่าใด

วาดสถานการณ์

การปล่อยเป็นแนวนอน ดังนั้น v_x = 12 m/s และ v_y = 0 ลูกบอลต้องตก h = 45 m

หาเวลาบิน

การเคลื่อนที่แนวดิ่งคือการตกจากหยุดนิ่งเป็นระยะ 45 m:

t = √(2h / g) = √(2 · 45 / 9.81) = √9.174 = 3.03 s

ใช้เวลาในแนวข้าง

ในช่วง 3.03 s นั้น ลูกบอลเคลื่อนที่ในแนวข้างด้วย 12 m/s ต่อไป:

x = v_x · t = 12 · 3.029 = 36.3 m

ตรวจสอบคำตอบ

ใส่เวลากลับในการเคลื่อนที่แนวดิ่ง: ½ · 9.81 · 3.029² = 45.0 m ตรงกับความสูงของหน้าผาพอดี เวลาจึงถูกต้อง

ระยะประมาณ 36 m สำหรับการขว้าง 12 m/s เป็นเวลา 3 s ก็มีขนาดสมเหตุสมผล

ต่อไป: อัตราเร็วขณะกระทบ

ก่อนตกถึงพื้น v_y = g · t = 9.81 · 3.029 = 29.7 m/s ลงล่าง ขณะที่ v_x ยังเป็น 12 m/s

v = √(12² + 29.7²) = 32.0 m/s

คำตอบ

ลูกบอลตกห่างจากตีนผา x ≈ 36.3 m หลังจาก 3.03 s

6ข้อผิดพลาดที่พบบ่อย

ใช้อัตราเร็วเต็ม v₀ ในที่ที่ควรใช้องค์ประกอบ เวลาบินมาจาก v_y เท่านั้น พิสัยมาจาก v_x เท่านั้น
สับสน sin และ cos องค์ประกอบแนวนอนไปกับ cos θ เมื่อวัดมุม θ จากแนวนอน
เครื่องคิดเลขเป็นเรเดียนขณะที่มุมเป็นองศา
ใช้ R = v₀² · sin 2θ / g เมื่อลูกบอลตกต่ำกว่าหรือสูงกว่าที่เริ่ม แล้วต้องแก้สมการแนวดิ่งแทน
ให้การเคลื่อนที่แนวนอนมีความเร่ง ในแนวข้าง อัตราเร็วคงที่

ตรวจสอบตนเอง ลูกบอลถูกเตะจากพื้นระดับด้วย 20 m/s และ 30° เหนือแนวนอน มันอยู่ในอากาศนานเท่าใด (g = 9.81 m/s²)

1.02 s
2.04 s
3.53 s
4.08 s

คำตอบ: 2.04 s. v_y = 20 · sin 30° = 10 m/s ดังนั้น t = 2 · 10 / 9.81 = 2.04 s การใช้ 20 m/s เต็มได้ 4.08 s และ 1.02 s เป็นเพียงเวลาถึงจุดสูงสุด

7ข้อสอบมีหน้าตาอย่างไร

ง่าย: การปล่อยแนวนอนจากหน้าผาหรือกำแพง หาเวลาบิน ระยะตก อัตราเร็วเริ่มต้นจากระยะตกที่ให้ หรืออัตราเร็วขณะกระทบ บางข้อง่ายถามเวลาถึงจุดสูงสุดของการปล่อยจากพื้น
ปานกลาง: การปล่อยจากพื้นระดับเป็นมุม หาเวลาบิน ความสูงสูงสุด หรือพิสัย รูปแบบอื่นถามอัตราเร็วหรือมุมที่ให้พิสัยหนึ่ง หรือความสูงที่ลูกบอลผ่านกำแพง
ยาก: การปล่อยเป็นมุมจากยอดหน้าผา หรือการตกบนหลังคา การตั้ง y = 0 (หรือความสูงหลังคา) ให้สมการกำลังสองใน t: เลือกรากบวก

ในกรณียาก มุมตกต่ำกว่าแนวนอนได้จากองค์ประกอบสุดท้าย: tan α = |v_y − g·t| / v_x

เรียนรู้ทีละขั้นในแอป เรียนรู้ทีละขั้นในแอป

ตัวอย่างวิธีทำ

ตัวอย่างที่ 1ง่าย

ลูกบอลถูกยิงออกไปในแนวนอน จากยอดหน้าผาสูง 55 m ไม่คิดแรงต้านอากาศ หาระยะทางในแนวนอน x ที่ลูกบอลเคลื่อนที่ก่อนกระทบพื้น

v₀ = 10 m/sθ = 0°h = 55 mg = 9.81 m/s²

จงหา x (m)

แสดงคำใบ้

พิจารณาการเคลื่อนที่ในแนวนอนและแนวดิ่งแยกกัน ทั้งสองมีเพียงเวลา t ร่วมกัน
ลูกบอลตกถึงพื้นเมื่อความสูง y(t) เป็น 0 เขียน y(t) = h + v_yt − ½gt²
v_y = 0 m/s, และใช้เวลาในอากาศ 3.349 s.

แสดงคำตอบและเฉลยทีละขั้นตอน

การเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์: เมื่อไม่มีแรงต้านอากาศ x = v_xt และ y = h + v_yt − ½gt² ทั้งสองทิศทางเป็นอิสระต่อกัน ยกเว้นว่าใช้เวลาเดียวกัน

แยกความเร็วต้น

ความเร็วในแนวนอนคงที่ การเคลื่อนที่ในแนวดิ่งมีความเร่งคงที่ g = 9.81 m/s² ลงด้านล่าง

v_x = v₀·cos θ = 10·cos 0° = 10 m/s

v_y = v₀·sin θ = 10·sin 0° = 0 m/s

เวลาที่อยู่ในอากาศ

แก้ y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0 หาค่ารากที่เป็นบวก

t = √(2h/g) = √(2·55/9.81) = 3.349 s

ระยะทางในแนวนอน

x = v_x·t = 10·3.349 = 33.49 m

คำตอบ

x = 33.49 m

ตัวอย่างที่ 2ปานกลาง

ลูกบอลถูกยิงออกไปทำมุม 60° เหนือแนวนอน จากพื้นราบ ไม่คิดแรงต้านอากาศ หาเวลาเคลื่อนที่ t จนกระทั่งลูกบอลกระทบพื้น

v₀ = 26 m/sθ = 60°g = 9.81 m/s²

จงหา t (s)

แสดงคำใบ้

พิจารณาการเคลื่อนที่ในแนวนอนและแนวดิ่งแยกกัน ทั้งสองมีเพียงเวลา t ร่วมกัน
โดยสมมาตร เวลาขึ้นเท่ากับเวลาลง
v_y = 22.52 m/s.

แสดงคำตอบและเฉลยทีละขั้นตอน

แยกความเร็วต้น

v_x = v₀·cos θ = 26·cos 60° = 13 m/s

v_y = v₀·sin θ = 26·sin 60° = 22.52 m/s

เวลาที่อยู่ในอากาศ

เริ่มต้นและตกลงที่ความสูงเท่ากัน: t = 2v_y/g

t = 2·22.52/9.81 = 4.591 s

คำตอบ

t = 4.591 s

ตัวอย่างที่ 3ยาก

ลูกบอลถูกยิงออกไปทำมุม 25° เหนือแนวนอน จากยอดหน้าผาสูง 55 m ไม่คิดแรงต้านอากาศ หาเวลาเคลื่อนที่ t จนกระทั่งลูกบอลกระทบพื้น

v₀ = 33 m/sθ = 25°h = 55 mg = 9.81 m/s²

จงหา t (s)

แสดงคำใบ้

พิจารณาการเคลื่อนที่ในแนวนอนและแนวดิ่งแยกกัน ทั้งสองมีเพียงเวลา t ร่วมกัน
ลูกบอลตกถึงพื้นเมื่อความสูง y(t) เป็น 0 เขียน y(t) = h + v_yt − ½gt²
v_y = 13.95 m/s.

แสดงคำตอบและเฉลยทีละขั้นตอน

แยกความเร็วต้น

v_x = v₀·cos θ = 33·cos 25° = 29.91 m/s

v_y = v₀·sin θ = 33·sin 25° = 13.95 m/s

เวลาที่อยู่ในอากาศ

แก้ y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0 หาค่ารากที่เป็นบวก

0 = 55 + 13.95·t − 4.905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (13.95 + √(194.5 + 1079))/9.81 = 5.06 s

คำตอบ

t = 5.06 s

คำถามและคำตอบ

การเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์ คืออะไร

จะแก้โจทย์ การเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์ ทีละขั้นได้อย่างไร

แยกความเร็วต้นเป็นองค์ประกอบ: v_x = v₀·cos θ และ v_y = v₀·sin θ
การเคลื่อนที่ในแนวนอนมีอัตราเร็วคงที่ การเคลื่อนที่ในแนวดิ่งมีความเร่ง −g
หาเวลาเคลื่อนที่จากการเคลื่อนที่ในแนวดิ่ง
ใช้เวลานั้นในการเคลื่อนที่แนวนอนเพื่อหาพิสัย

ข้อผิดพลาดที่พบบ่อยใน การเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์ มีอะไรบ้าง

ใช้ v₀ แทนองค์ประกอบ
เครื่องคิดเลขตั้งเป็นเรเดียนทั้งที่มุมเป็นองศา
ใช้สูตรพิสัย v₀²·sin 2θ/g ทั้งที่ความสูงตอนยิงและตอนตกต่างกัน

แบบฝึกหัด การเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์ ครอบคลุมเรื่องอะไรบ้าง

ง่าย: ยิงในแนวนอน
ปานกลาง: ยิงจากพื้น
ยาก: ยิงจากที่สูง

โจทย์ทุกข้อใช้ค่าใหม่ คุณจึงเรียนรู้วิธีทำ ไม่ใช่จำคำตอบ ติดขัดใช่ไหม เปิดคำใบ้เล็ก ๆ ก่อน และเปิดคำอธิบายฉบับเต็มเมื่อจำเป็นเท่านั้น

การฝึกทำงานอย่างไร

โจทย์ทุกข้อใช้ค่าใหม่ คุณจึงเรียนรู้วิธีทำ ไม่ใช่จำคำตอบ
ติดขัดใช่ไหม เปิดคำใบ้เล็ก ๆ ก่อน และเปิดคำอธิบายฉบับเต็มเมื่อจำเป็นเท่านั้น
ความก้าวหน้า ข้อที่ผิด และโจทย์ที่บันทึกไว้จะถูกเก็บไว้ เพื่อให้คุณทบทวนก่อนสอบได้

หัวข้อก่อนและหลังหัวข้อนี้

ควรเรียนก่อน

จลนศาสตร์

เครื่องคำนวณ

เครื่องคำนวณการเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์

รายวิชาที่มีหัวข้อนี้

พลศาสตร์ฟิสิกส์สำหรับวิศวกร ฟิสิกส์ 1: กลศาสตร์ฝึกข้อสอบ FE เครื่องกล โจทย์ฝึก AP Physics 1

หัวข้ออื่นในเครื่องกล

ปฏิกิริยาที่จุดรองรับของคาน โครงข้อแข็งและเครื่องกล ความเค้นและความเครียดตามแนวแกน การบิดของเพลา วงกลมของมอร์และการแปลงความเค้น งานและพลังงาน การหมุนของวัตถุแข็งเกร็ง การสั่นสะเทือนเชิงกล เครื่องยนต์ความร้อนและตู้เย็น วัฏจักรกำลังแบบแก๊ส ความต่อเนื่องและเบอร์นูลลี แรงเสียดทานในท่อและเฮดสูญเสีย ปั๊มและกำลังของปั๊ม การนำความร้อน เฟืองและชุดเฟือง

ใบงานสำหรับพิมพ์

ใบงาน การเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์ พร้อมเฉลย