การบิดของเพลา

โจทย์ฝึกหัดพร้อมวิธีทำทีละขั้น

3 ระดับค่าใหม่ทุกครั้ง
ฝึกเลยฟรีทุกวัน
ไม่ต้องใช้บัตร

การบิดของเพลา: แบบฝึกหัดพร้อมเฉลยทีละขั้นตอน

แบบฝึกหัด การบิดของเพลา ฟรี พร้อมแผนภาพ คำใบ้ และเฉลยละเอียด ตัวเลขใหม่ทุกครั้ง สามระดับ: ความเค้นเฉือน, มุมบิด, การส่งกำลัง

โจทย์ฝึกฟรีง่าย
T = 250 N·md = 20 mm

เพลากลมตันรับแรงบิด T หาความเค้นเฉือนสูงสุด τmax ในเพลา

T = 250 N·md = 20 mm
MPa
โจทย์ถัดไป →
ฝึก การบิดของเพลา ฟรีฝึก การบิดของเพลา เลยโจทย์ฟรีวันละ 5 ข้อ ไม่ต้องใช้บัตร

สิ่งที่คุณจะได้ฝึก

  1. ง่ายความเค้นเฉือน
  2. ปานกลางมุมบิด
  3. ยากการส่งกำลัง

เรียนรู้

วิธีแก้โจทย์การบิดของเพลา

วิธีแก้โจทย์การบิดของเพลา

  1. หาโมเมนต์ความเฉื่อยเชิงขั้ว: J = πd⁴/32 สำหรับเพลาตัน
  2. ความเค้นเฉือนที่ผิว: τ = T·r/J โดย r คือรัศมีภายนอก
  3. มุมบิด: φ = TL/(GJ) เป็นเรเดียน
  4. ถ้าโจทย์ให้กำลัง ให้หาแรงบิดก่อนด้วย P = T·ω, ω = 2πn/60

ข้อผิดพลาดที่พบบ่อย

  • ใช้เส้นผ่านศูนย์กลางแทนรัศมีใน τ = T·r/J
  • ลืมแปลง rpm เป็น rad/s
  • ตอบมุมบิดเป็นเรเดียนทั้งที่โจทย์ถามเป็นองศา
สูตรสำคัญ

สูตรสำคัญ

ความเค้นเฉือน
τ = T·r/J
เพลาตัน
J = πd⁴/32
เพลากลวง
J = π(D⁴ − d⁴)/32
มุมบิด
φ = TL/(GJ)
กำลัง
P = T·ω = 2πnT/60
เรียนรู้ การบิดของเพลา ตั้งแต่ต้น

เรียนรู้ การบิดของเพลา ตั้งแต่ต้น

ก่อนหน้านี้: ความเค้นและความเครียดตามแนวแกน

1การบิดคืออะไร

เพลาคือแท่งหมุนที่ส่งต่อแรงหมุน: เพลาขับของรถยนต์ แกนของสว่าน เพลาของปั๊ม

แรงหมุนคือแรงบิด (torque) T เป็นแรงคูณแขนที่แรงกระทำ ในหน่วย N·m การออกแรง 200 N ที่ปลายประแจยาว 0.5 m ให้ T = 200 · 0.5 = 100 N·m

เพลาที่รับแรงบิดอยู่ในการบิด (torsion) มันบิดเล็กน้อย และวัสดุของมันรับความเค้นเฉือน τ (เทา): ชิ้นส่วนของเพลาที่อยู่ติดกันพยายามเลื่อนผ่านกัน

Td

สองคำถามสำคัญในการออกแบบ: ความเค้นเฉือนต่ำพอหรือไม่ (ความแข็งแรง) และการบิดน้อยพอหรือไม่ (ความแข็งเกร็ง)

ตรวจสอบตนเอง คุณออกแรง 200 N ที่ปลายประแจยาว 0.5 m ที่มุมฉาก แรงบิดที่คุณออกเป็นเท่าใด
  1. 100 N·m
  2. 200 N·m
  3. 400 N·m
  4. 50 N·m

คำตอบ: 100 N·m. T = F·r = 200 · 0.5 = 100 N·m การหารด้วย 0.5 ให้ 400 การลืมแขนให้ 200

2ความเค้นเฉือนและโมเมนต์ความเฉื่อยเชิงขั้ว

ศูนย์กลางของเพลาแทบไม่เสียรูป ยิ่งจุดอยู่ไกลจากศูนย์กลาง ยิ่งถูกเฉือนมาก ความเค้นเฉือนจึงเพิ่มเป็นเส้นตรงตามรัศมี จากศูนย์ที่ศูนย์กลางไปสูงสุดที่ผิว

τmax​r0
τ = T · ρ / J τmax = T · r / J

ที่นี่ ρ (โร) คือระยะจากศูนย์กลาง r = d/2 คือรัศมีภายนอก และ J คือโมเมนต์ความเฉื่อยเชิงขั้วของพื้นที่ J วัดว่าหน้าตัดต้านทานการบิดได้ดีเพียงใด:

สำหรับเพลาตัน เส้นผ่านศูนย์กลาง d และสำหรับเพลากลวงที่มีเส้นผ่านศูนย์กลางนอก do และใน di:

J = π · d⁴ / 32 J = π · (do⁴ − di⁴) / 32

สำหรับเพลาตัน สองสูตรรวมกันเป็นสูตรสั้นสูตรเดียว:

τmax = 16 · T / (π · d³)

ทำงานใน N·mm และ mm เพื่อให้ความเค้นออกมาเป็น N/mm² = MPa 1 N·m = 1000 N·mm

ตรวจสอบตนเอง ในเพลาตัน τmax = 60 MPa ความเค้นเฉือนที่กึ่งกลางระหว่างศูนย์กลางและผิวเป็นเท่าใด
  1. 0 MPa
  2. 15 MPa
  3. 30 MPa
  4. 60 MPa

คำตอบ: 30 MPa. ความเค้นเพิ่มเป็นเส้นตรงตาม ρ ดังนั้นที่ ρ = r/2 เป็นครึ่งหนึ่งของ τmax: 30 MPa ไม่ได้เท่ากันทุกที่ และเป็นศูนย์เฉพาะที่ศูนย์กลาง

3มุมบิดและกำลัง

ปลายอิสระของเพลาหมุนไปมุมบิด φ (ฟาย) เพลาที่ยาวหรือบางกว่าบิดมากกว่า วัสดุที่แข็งกว่าบิดน้อยกว่า:

φ = T · L / (G · J)

G คือมอดูลัสเฉือนของวัสดุ: ประมาณ 80 GPa สำหรับเหล็กกล้าและ 26 GPa สำหรับอะลูมิเนียม สูตรให้ φ เป็นเรเดียน คูณด้วย 180/π เป็นองศา

เพลามักส่งกำลังจากมอเตอร์ กำลังคือแรงบิดคูณความเร็วเชิงมุม ซึ่งต้องแปลงความเร็วใน rpm เป็น rad/s ก่อน:

P = T · ω ω = 2π · N / 60

ดังนั้นโจทย์ที่ให้ kW และ rpm เริ่มด้วย T = P/ω โดย P เป็นวัตต์

ตรวจสอบตนเอง เพลาหมุนที่ ω = 100 rad/s และส่งกำลัง 5 kW มันรับแรงบิดเท่าใด
  1. 0.05 N·m
  2. 20 N·m
  3. 50 N·m
  4. 500 000 N·m

คำตอบ: 50 N·m. T = P/ω = 5000 W / 100 rad/s = 50 N·m ส่วน 0.05 มาจากการใช้ 5 แทน 5000 W ส่วน 20 หาร ω ด้วย P

4วิธีทำทีละขั้น

  1. ถ้ากำหนดกำลังและความเร็ว ให้หาแรงบิดก่อน: ω = 2πN/60 แล้ว T = P/ω
  2. แปลงเป็น N และ mm: T ใน N·mm (N·m × 1000), L ใน mm, G ใน MPa (GPa × 1000)
  3. หา J: π·d⁴/32 สำหรับเพลาตัน π(do⁴ − di⁴)/32 สำหรับเพลากลวง
  4. ความเค้นเฉือน: τmax = T·r/J โดย r คือรัศมีภายนอก
  5. มุมบิด: φ = TL/(GJ) เป็นเรเดียน แล้ว × 180/π ถ้าโจทย์ถามเป็นองศา

สำหรับโจทย์ออกแบบ (หา d) เขียน τmax = 16T/(πd³) เท่ากับความเค้นที่ยอมให้และแก้หา d

5ตัวอย่างที่แก้ให้ดู

ทำตามทุกขั้นตอน ลองทำนายขั้นถัดไปก่อนเปิดดู

ตัวอย่างที่แก้ให้ดู

เพลาเหล็กกล้าตัน (G = 80 GPa) เส้นผ่านศูนย์กลาง 40 mm ยาว 1 m ยึดแน่นที่ปลายด้านหนึ่ง แรงบิด 500 N·m กระทำที่ปลายอิสระ จงหา τmax และมุมบิด φ เป็นองศา

1

ดูเพลาและแปลงหน่วย

T = 500 N·md = 40 mmL = 1 mφ

T = 500 N·m = 500 000 N·mm, L = 1000 mm, G = 80 000 MPa, r = 20 mm

2

โมเมนต์ความเฉื่อยเชิงขั้วของพื้นที่

J = π · 40⁴ / 32 = 251 327 mm⁴
3

ความเค้นเฉือนสูงสุด

τmax = T · r / J = 500 000 · 20 / 251 327 = 39.8 MPa

สูตรสั้นให้ผลเดียวกัน: 16 · 500 000 / (π · 40³) = 39.8 MPa

4

มุมบิดเป็นเรเดียน

φ = T·L / (G·J) = 500 000 · 1000 / (80 000 · 251 327) = 0.0249 rad
5

แปลงเป็นองศา

φ = 0.0249 · 180 / π = 1.42°

ต่ำกว่าหนึ่งองศาครึ่งเล็กน้อยตลอดเพลาเหล็กกล้ายาวหนึ่งเมตรเป็นขนาดที่สมเหตุสมผล

คำตอบ

τmax = 39.8 MPa และ φ = 1.42°

6ข้อผิดพลาดที่พบบ่อย

  • ใช้เส้นผ่านศูนย์กลางแทนรัศมีใน τ = T·r/J ซึ่งทำให้ความเค้นเป็นสองเท่า
  • ลืมแปลง N·m เป็น N·mm ทำให้ความเค้นน้อยเกินไป 1000 เท่า
  • ใช้ rpm โดยตรงใน P = T·ω แปลงเป็น rad/s ด้วย ω = 2πN/60 ก่อน
  • ตอบ φ เป็นเรเดียนเมื่อโจทย์ถามองศา หรือกลับกัน
  • สำหรับเพลากลวง: ลบเส้นผ่านศูนย์กลางก่อนยกกำลังสี่ ให้ใช้ do⁴ − di⁴
ตรวจสอบตนเอง เพลากลวงเส้นผ่านศูนย์กลางนอก 40 mm มี J = 200 000 mm⁴ รับ T = 1000 N·m τmax เป็นเท่าใด
  1. 0.1 MPa
  2. 100 MPa
  3. 200 MPa
  4. 5 MPa

คำตอบ: 100 MPa. τ = T·r/J = 1 000 000 · 20 / 200 000 = 100 MPa การใช้ r = 40 mm (เส้นผ่านศูนย์กลาง) ให้ 200 MPa การปล่อย T เป็น N·m ให้ 0.1 MPa การลืม r ให้ 5

7ข้อสอบมีหน้าตาอย่างไร

  • ง่าย: ความเค้นเฉือน เพลาตันเส้นผ่านศูนย์กลาง d รับ T หา τmax รูปแบบอื่นถามความเค้นที่รัศมีที่กำหนดหรือแรงบิดที่ยอมให้
  • ปานกลาง: มุมบิด คุณได้ L และ G ด้วย หา φ เป็นองศา รูปแบบอื่นใช้เพลากลวงหรือเพลาขั้นบันได
  • ยาก: การส่งกำลัง กำหนดกำลังเป็น kW และความเร็วเป็น rpm หาแรงบิด แล้ว τmax ในเพลากลวง หรือเส้นผ่านศูนย์กลางที่เล็กที่สุดสำหรับความเค้นที่ยอมให้

เขียนแรงบิดเป็น N·mm ข้างโจทย์ก่อนสิ่งอื่นใด เป็นตัวเลขที่ทุกขั้นหลังจากนั้นใช้

เรียนรู้ทีละขั้นในแอปเรียนรู้ทีละขั้นในแอป

ตัวอย่างวิธีทำ

ตัวอย่างวิธีทำ

ตัวอย่างที่ 1ง่าย
d = 40 mmT = 750 N·m

เพลาตันเส้นผ่านศูนย์กลาง 40 mm รับแรงบิด 750 N·m จงหาความเค้นเฉือน τρ ที่รัศมี 15 mm จากศูนย์กลาง

T = 750 N·md = 40 mmρ = 15 mm

จงหา τρ (MPa)

แสดงคำใบ้
  1. ความเค้นเฉือนในเพลากลมแปรผันตามระยะจากศูนย์กลาง: τ = T·ρ/J
  2. ใช้ N และ mm ตลอด: T เป็น N·mm, L เป็น mm, G เป็น MPa (GPa × 1000), J เป็น mm⁴
  3. J = 251327 mm⁴.
แสดงคำตอบและเฉลยทีละขั้นตอน

การบิดของเพลากลม: ความเค้นเฉือนเพิ่มขึ้นเป็นเส้นตรงจากศูนย์ที่ศูนย์กลางถึง τmax = T·r/J ที่ผิว โดย J = πd⁴/32 สำหรับเพลาตัน และ J = π(do⁴ − di⁴)/32 สำหรับเพลากลวง มุมบิดคือ φ = TL/(GJ) เป็นเรเดียน กำลังและแรงบิดสัมพันธ์กันด้วย P = T·ω

โมเมนต์ความเฉื่อยเชิงขั้วของพื้นที่

J = π·40⁴/32 = 251327 mm⁴

ความเค้นเฉือนที่ ρ

เพื่อเปรียบเทียบ ที่ผิว τmax = 59.68 MPa

T = 750 N·m = 750000 N·mm
τρ = T·ρ/J = 750000·15/251327 = 44.76 MPa

คำตอบ

τρ = 44.76 MPa
ตัวอย่างที่ 2ปานกลาง
T = 750 N·md = 40 mmL = 1.5 mφ = ?

เพลาตันทองเหลืองถูกยึดติดกับผนังและถูกบิดด้วยแรงบิด T ที่ปลายอิสระ หามุมบิด φ ของปลายอิสระ ในหน่วยองศา

T = 750 N·md = 40 mmL = 1.5 mG = 39 GPa

จงหา φ (°)

แสดงคำใบ้
  1. ใช้ φ = TL/(GJ) ซึ่งให้ผลเป็นเรเดียน
  2. ใช้ N และ mm ตลอด: T เป็น N·mm, L เป็น mm, G เป็น MPa (GPa × 1000), J เป็น mm⁴
  3. J = 251327 mm⁴.
แสดงคำตอบและเฉลยทีละขั้นตอน

การบิดของเพลากลม: ความเค้นเฉือนเพิ่มขึ้นเป็นเส้นตรงจากศูนย์ที่ศูนย์กลางถึง τmax = T·r/J ที่ผิว โดย J = πd⁴/32 สำหรับเพลาตัน และ J = π(do⁴ − di⁴)/32 สำหรับเพลากลวง มุมบิดคือ φ = TL/(GJ) เป็นเรเดียน กำลังและแรงบิดสัมพันธ์กันด้วย P = T·ω

โมเมนต์ความเฉื่อยเชิงขั้วของพื้นที่

J = π·40⁴/32 = 251327 mm⁴

มุมบิด

φ = TL/(GJ) = 750·1000·1500/(39000·251327) = 0.1148 rad
φ = 0.1148·180/π = 6.576°

คำตอบ

φ = 6.576°
ตัวอย่างที่ 3ยาก
Td = ?

เพลาตันต้องส่งกำลัง 15 kW ที่ 1000 rpm โดยความเค้นเฉือนต้องไม่เกิน 75 MPa หาเส้นผ่านศูนย์กลางที่เล็กที่สุด d ที่ใช้ได้

P = 15 kWN = 1000 rpmτallow = 75 MPa

จงหา d (mm)

แสดงคำใบ้
  1. แรงบิดจากกำลัง: T = P/ω โดย ω = 2πN/60 เป็น rad/s
  2. ให้ τmax = 16T/(πd³) เท่ากับความเค้นที่ยอมให้ แล้วแก้หา d
  3. T = 143.2 N·m.
แสดงคำตอบและเฉลยทีละขั้นตอน

การบิดของเพลากลม: ความเค้นเฉือนเพิ่มขึ้นเป็นเส้นตรงจากศูนย์ที่ศูนย์กลางถึง τmax = T·r/J ที่ผิว โดย J = πd⁴/32 สำหรับเพลาตัน และ J = π(do⁴ − di⁴)/32 สำหรับเพลากลวง มุมบิดคือ φ = TL/(GJ) เป็นเรเดียน กำลังและแรงบิดสัมพันธ์กันด้วย P = T·ω

แรงบิด

ω = 2πN/60 = 2π·1000/60 = 104.7 rad/s
T = P/ω = 15000/104.7 = 143.2 N·m

เส้นผ่านศูนย์กลางจากความเค้นที่ยอมให้

d = ∛(16T/(π·τallow)) = ∛(16·143239/(π·75)) = 21.35 mm

คำตอบ

d = 21.35 mm

ในทางปฏิบัติควรปัดขึ้นเป็นขนาดมาตรฐานถัดไป

คำถามและคำตอบ

คำถามและคำตอบ

การบิดของเพลา คืออะไร

แรงหมุนคือแรงบิด (torque) T เป็นแรงคูณแขนที่แรงกระทำ ในหน่วย N·m การออกแรง 200 N ที่ปลายประแจยาว 0.5 m ให้ T = 200 · 0.5 = 100 N·m

เพลาที่รับแรงบิดอยู่ในการบิด (torsion) มันบิดเล็กน้อย และวัสดุของมันรับความเค้นเฉือน τ (เทา): ชิ้นส่วนของเพลาที่อยู่ติดกันพยายามเลื่อนผ่านกัน

จะแก้โจทย์ การบิดของเพลา ทีละขั้นได้อย่างไร
  1. หาโมเมนต์ความเฉื่อยเชิงขั้ว: J = πd⁴/32 สำหรับเพลาตัน
  2. ความเค้นเฉือนที่ผิว: τ = T·r/J โดย r คือรัศมีภายนอก
  3. มุมบิด: φ = TL/(GJ) เป็นเรเดียน
  4. ถ้าโจทย์ให้กำลัง ให้หาแรงบิดก่อนด้วย P = T·ω, ω = 2πn/60
ข้อผิดพลาดที่พบบ่อยใน การบิดของเพลา มีอะไรบ้าง
  • ใช้เส้นผ่านศูนย์กลางแทนรัศมีใน τ = T·r/J
  • ลืมแปลง rpm เป็น rad/s
  • ตอบมุมบิดเป็นเรเดียนทั้งที่โจทย์ถามเป็นองศา
แบบฝึกหัด การบิดของเพลา ครอบคลุมเรื่องอะไรบ้าง
  • ง่าย: ความเค้นเฉือน
  • ปานกลาง: มุมบิด
  • ยาก: การส่งกำลัง

โจทย์ทุกข้อใช้ค่าใหม่ คุณจึงเรียนรู้วิธีทำ ไม่ใช่จำคำตอบ ติดขัดใช่ไหม เปิดคำใบ้เล็ก ๆ ก่อน และเปิดคำอธิบายฉบับเต็มเมื่อจำเป็นเท่านั้น

การฝึกทำงานอย่างไร

  • โจทย์ทุกข้อใช้ค่าใหม่ คุณจึงเรียนรู้วิธีทำ ไม่ใช่จำคำตอบ
  • ติดขัดใช่ไหม เปิดคำใบ้เล็ก ๆ ก่อน และเปิดคำอธิบายฉบับเต็มเมื่อจำเป็นเท่านั้น
  • ความก้าวหน้า ข้อที่ผิด และโจทย์ที่บันทึกไว้จะถูกเก็บไว้ เพื่อให้คุณทบทวนก่อนสอบได้

หัวข้อก่อนและหลังหัวข้อนี้

ควรเรียนก่อน

ความเค้นและความเครียดตามแนวแกน

เครื่องคำนวณ

เครื่องคำนวณการบิดของเพลา

รายวิชาที่มีหัวข้อนี้

กลศาสตร์ของวัสดุการออกแบบเครื่องจักรกลฝึกข้อสอบ FE เครื่องกล

หัวข้ออื่นในเครื่องกล

ปฏิกิริยาที่จุดรองรับของคานโครงข้อแข็งและเครื่องกลความเค้นและความเครียดตามแนวแกนวงกลมของมอร์และการแปลงความเค้นการเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์งานและพลังงานการหมุนของวัตถุแข็งเกร็งการสั่นสะเทือนเชิงกลเครื่องยนต์ความร้อนและตู้เย็นวัฏจักรกำลังแบบแก๊สความต่อเนื่องและเบอร์นูลลีแรงเสียดทานในท่อและเฮดสูญเสียปั๊มและกำลังของปั๊มการนำความร้อนเฟืองและชุดเฟือง

ใบงานสำหรับพิมพ์

ใบงาน การบิดของเพลา พร้อมเฉลย
ฝึก การบิดของเพลา ฟรีฝึก การบิดของเพลา เลยโจทย์ฟรีวันละ 5 ข้อ ไม่ต้องใช้บัตร