เรียนรู้ การหมุนของวัตถุแข็งเกร็ง ตั้งแต่ต้น
ก่อนหน้านี้: กฎของนิวตัน, งานและพลังงาน
1การหมุนของวัตถุแข็งเกร็งคืออะไร
วัตถุแข็งเกร็ง (rigid body) คือวัตถุที่คงรูปร่าง: ล้อช่วยแรง รอก ประตู หรือล้อที่กลิ้ง ในหัวข้อนี้วัตถุหมุนรอบแกน
ทุกจุดของวัตถุหมุนผ่านมุมเดียวกันในเวลาเดียวกัน ดังนั้นคุณอธิบายการเคลื่อนที่ด้วยปริมาณเชิงมุมแทนระยะทาง:
- θ: มุมที่หมุน ในหน่วยเรเดียน (rad) หนึ่งรอบคือ 2π rad
- ω: ความเร็วเชิงมุม ในหน่วย rad/s
- α: ความเร่งเชิงมุม ในหน่วย rad/s²
เครื่องจักรให้อัตราเร็วเป็นรอบต่อนาที (rpm) แปลงก่อนคำนวณ:
ω = 2π·n / 60
จุดที่ห่างจากแกน r เคลื่อนที่ด้วยอัตราเร็ว v = ω·r และมีความเร่ง a = α·r ตามเส้นทางของมัน
ทุกสิ่งที่คุณรู้เกี่ยวกับการเคลื่อนที่เส้นตรงมีคู่แฝดที่หมุน: แรงกลายเป็นโมเมนต์ มวลกลายเป็นโมเมนต์ความเฉื่อย และ ΣF = m·a กลายเป็น ΣM = I·α
ตรวจสอบตนเอง ล้อหมุนที่ 600 rpm ความเร็วเชิงมุมของมันเป็น rad/s เท่าใด
- 10 rad/s
- 3770 rad/s
- 600 rad/s
- 62.8 rad/s
คำตอบ: 62.8 rad/s. ω = 2π·600/60 = 2π·10 ≈ 62.8 rad/s ส่วน 10 คือรอบต่อวินาที (ขาด 2π) 3770 ลืมหารด้วย 60 และ 600 ยังเป็น rpm
2โมเมนต์ความเฉื่อย
มวลบอกว่าเร่งวัตถุในแนวเส้นตรงยากเพียงใด โมเมนต์ความเฉื่อยของมวล (mass moment of inertia) I บอกว่าทำให้วัตถุเริ่มหมุนยากเพียงใด
มวลที่อยู่ไกลจากแกนนับมากกว่ามวลที่อยู่ใกล้มาก เพราะนับด้วยกำลังสองของระยะ:
I = Σ m·r² (หน่วย: kg·m²)
คุณไม่ต้องรวมชิ้นส่วนเอง จำผลมาตรฐานเหล่านี้เกี่ยวกับจุดศูนย์กลางมวล G:
- แท่งเรียวยาว L แกนผ่านกึ่งกลาง: m·L²/12
- จานหรือทรงกระบอกตันรัศมี R: ½·m·R²
- วงแหวนบางหรือห่วง: m·R²
- ทรงกลมตัน: (2/5)·m·R² ทรงกลมกลวง: (2/3)·m·R²
- มวลจุดที่ระยะ r: m·r²
เมื่อแกน O ไม่ผ่าน G ใช้ทฤษฎีบทแกนขนาน (parallel-axis theorem) ในที่นี้ d คือระยะระหว่าง O และ G:
IO = IG + m·d²
แท่งที่หมุนรอบปลายมี d = L/2 ดังนั้น IO = m·L²/12 + m·L²/4 = m·L²/3
บางโจทย์ให้รัศมีไจเรชัน (radius of gyration) k แทนรูปร่าง แล้ว I = m·k² สำหรับวัตถุที่ประกอบจากหลายส่วน ให้หา I ของแต่ละส่วนรอบแกนเดียวกันแล้วบวก
ตรวจสอบตนเอง แท่งสม่ำเสมอมวล 3 kg ยาว 2 m หมุนรอบปลายหนึ่ง โมเมนต์ความเฉื่อยของมันเป็นเท่าใด
- 1 kg·m²
- 12 kg·m²
- 3 kg·m²
- 4 kg·m²
คำตอบ: 4 kg·m². I = m·L²/3 = 3·4/3 = 4 kg·m² หรือ IG + m·d² = 1 + 3·1² = 4 ส่วน 1 kg·m² คือค่ารอบจุดศูนย์กลาง 3 kg·m² เป็นเพียงส่วน m·d² และ 12 kg·m² คือ m·L² โดยไม่มีตัวประกอบ
3โมเมนต์ พลังงาน และโมเมนตัมเชิงมุม
สามเครื่องมือแก้โจทย์การหมุนเกือบทั้งหมด เลือกอันที่ตรงกับคำถาม
1. โมเมนต์ ผลรวมของโมเมนต์รอบแกนเท่ากับ I·α ใช้สำหรับความเร่งและแรง
ΣM = I·α
เมื่อแรงบิดคงที่ การเคลื่อนที่เชิงมุมมี α คงที่ และสมการจลนศาสตร์มีคู่แฝดที่หมุน: ω = ω₀ + α·t และ ω² = ω₀² + 2·α·θ
2. พลังงาน วัตถุที่หมุนสะสมพลังงานจลน์ แรงบิด T ที่หมุนผ่านมุม θ ทำงาน และกำลังของเพลาที่หมุนคือแรงบิดคูณความเร็วเชิงมุม:
E = ½·I·ω² W = T·θ P = T·ω
วัตถุที่กลิ้งโดยไม่ไถลเคลื่อนที่และหมุนพร้อมกัน โดย v = ω·r มีพลังงานจลน์ทั้งสองชนิด:
E = ½·m·v² + ½·I·ω² = ½·m·v²·(1 + c) c = I/(m·r²)
ค่า c ขึ้นกับรูปร่างเท่านั้น: 0.4 สำหรับทรงกลมตัน 0.5 สำหรับทรงกระบอกตัน 2/3 สำหรับทรงกลมกลวง และ 1 สำหรับห่วง บนพื้นเอียง a = g·sin θ / (1 + c)
3. โมเมนตัมเชิงมุม L = I·ω เมื่อไม่มีโมเมนต์ภายนอกกระทำรอบแกน L คงเดิม แม้วัตถุจะติดกันและสูญเสียพลังงานจลน์:
I1·ω1 = I2·ω2
ตรวจสอบตนเอง มอเตอร์ให้แรงบิด 100 N·m ที่ 600 rpm กำลังของมันเป็นเท่าใด
- 1 kW
- 377 kW
- 6.28 kW
- 60 kW
คำตอบ: 6.28 kW. ω = 2π·600/60 = 62.8 rad/s ดังนั้น P = T·ω = 100·62.8 ≈ 6283 W = 6.28 kW ส่วน 60 kW ใช้ rpm เป็น ω 1 kW ใช้รอบต่อวินาที และ 377 kW ลืมหารด้วย 60
4วิธีทำทีละขั้น
- วาดวัตถุและเลือกแกน: จุดหมุนหรือเพลาที่ยึดแน่น หรือจุดศูนย์กลางสำหรับวัตถุที่กลิ้ง
- หาโมเมนต์ความเฉื่อยรอบแกนนั้น ใช้ผลมาตรฐานและบวก m·d² เมื่อแกนเลื่อน
- แปลงอัตราเร็ว rpm ทุกค่าเป็น rad/s ด้วย ω = 2π·n/60
- เลือกเครื่องมือ ความเร่งและแรง: ΣM = I·α (กับ ΣF = m·a สำหรับส่วนที่เคลื่อนที่เป็นเส้นตรง) อัตราเร็วหลังระยะหรือมุม: พลังงาน การกระแทก การจับกะทันหัน และวัตถุที่ดึงมวลเข้า: โมเมนตัมเชิงมุม
- เชื่อมการเคลื่อนที่เป็นเส้นตรงกับการหมุนที่เชือกหรือการสัมผัสแบบกลิ้งเชื่อมกัน: v = ω·r และ a = α·r
- แก้ และตรวจผลด้วยเครื่องมืออีกอย่างถ้าทำได้
สำหรับวัตถุที่แขวนจากเชือกรอบรอก ให้วาดแผนภาพวัตถุอิสระสองภาพ: ภาพหนึ่งสำหรับก้อนวัตถุ (แรง) และอีกภาพสำหรับรอก (โมเมนต์) แรงตึงเชือกปรากฏในทั้งสอง
5ตัวอย่างที่แก้ให้ดู
ทำตามทุกขั้นตอน ลองทำนายขั้นถัดไปก่อนเปิดดู
ตัวอย่างที่แก้ให้ดูก้อนวัตถุ 2 kg แขวนจากเชือกเบาพันรอบรอก รอกเป็นจานตันสม่ำเสมอมวล 4 kg รัศมี 0.2 m บนเพลาไร้แรงเสียดทาน ปล่อยก้อนวัตถุจากหยุดนิ่ง ใช้ g = 9.81 m/s² จงหาความเร่งของก้อนวัตถุ แรงตึงในเชือก และอัตราเร็วของก้อนวัตถุหลังตก 1 m
1รอกเป็นจานตันที่หมุนรอบจุดศูนย์กลาง
I = ½·M·R² = ½ · 4 · 0.2² = 0.08 kg·m²
2ให้ลงเป็นบวกสำหรับก้อนวัตถุ แรงโน้มถ่วงดึงลงและแรงตึงเชือก T ดึงขึ้น
m·g − T = m·a ⇒ 19.62 − T = 2·a
3มีเพียงแรงตึงที่มีโมเมนต์รอบเพลา โดยมีแขนโมเมนต์ R เชือกไม่ไถล ดังนั้น α = a/R
T·R = I·α = I·a/R ⇒ T = I·a/R² = 0.08·a/0.04 = 2·a
4ใส่ T = 2·a ในสมการของก้อนวัตถุ
19.62 − 2·a = 2·a ⇒ a = 19.62/4 = 4.905 m/s²
T = 2 · 4.905 = 9.81 N
รอกหมุนด้วย α = a/R = 4.905/0.2 ≈ 24.5 rad/s²
5ความเร่งคงที่และก้อนวัตถุเริ่มจากหยุดนิ่ง ใช้ v² = 2·a·s
v = √(2 · 4.905 · 1) = √9.81 ≈ 3.13 m/s
6ใช้พลังงานแทน พลังงานศักย์ที่ลดกลายเป็นพลังงานจลน์ของก้อนวัตถุและของรอก โดย ω = v/R
m·g·h = ½·m·v² + ½·I·(v/R)² ⇒ 19.62 = v² + v²
ดังนั้น v² = 9.81 และ v ≈ 3.13 m/s เหมือนเดิม
คำตอบ a ≈ 4.91 m/s², T ≈ 9.81 N และ v ≈ 3.13 m/s หลัง 1 m
6ข้อผิดพลาดที่พบบ่อย
- ปล่อยอัตราเร็วเป็น rpm ใน ω, E = ½·I·ω² หรือ P = T·ω แปลงเป็น rad/s ก่อน
- ใช้โมเมนต์ความเฉื่อยรอบจุดศูนย์กลางสำหรับวัตถุที่หมุนรอบปลาย ให้บวก m·d²
- ลืมพลังงานจลน์การหมุนของวัตถุที่กลิ้งหรือรอก
- ถือว่าทรงกลมหรือจานที่ปลายแท่งเป็นมวลจุด ให้บวก I ของมันเองรอบจุดศูนย์กลางด้วย
- สมมติว่าพลังงานจลน์อนุรักษ์เมื่อวัตถุจับหรือติดกัน ให้ใช้โมเมนตัมเชิงมุมแทน
- นับรอบเป็นเรเดียน: N = θ/(2π)
ตรวจสอบตนเอง ทรงกระบอกตันมวล 2 kg กลิ้งโดยไม่ไถลที่ 3 m/s พลังงานจลน์รวมของมันเป็นเท่าใด
- 13.5 J
- 18 J
- 4.5 J
- 9 J
คำตอบ: 13.5 J. E = ½·m·v²·(1 + c) = ½·2·3²·1.5 = 13.5 J โดย c = 0.5 สำหรับทรงกระบอกตัน 9 J เป็นเพียงส่วนที่เคลื่อนที่ 4.5 J เป็นเพียงส่วนที่หมุน และ 18 J ใช้ c = 1 ซึ่งเป็นค่าของห่วง
7ข้อสอบมีหน้าตาอย่างไร
- ง่าย: โมเมนต์ความเฉื่อย แท่งรอบแกนที่เลื่อน ลูกตุ้มที่ทำจากแท่งกับทรงกลมหรือจาน พลังงานจลน์ของล้อช่วยแรง หรือแรงบิดหรือเวลาที่ต้องใช้ปั่นล้อช่วยแรงให้เร็วขึ้น
- ปานกลาง: ΣM = I·α งานและกำลัง แท่งที่ปล่อยจากแนวนอน ก้อนวัตถุบนรอก จำนวนรอบที่ล้อช่วยแรงที่ถูกเบรกหมุน แรงบิดหรือกำลังของเพลา หรืออัตราเร็วของแท่งที่แกว่ง
- ยาก: การกลิ้งและโมเมนตัมเชิงมุม ทรงกลม ทรงกระบอก หรือห่วงที่กลิ้งลงพื้นเอียง แรงเสียดทานที่ต้องใช้เพื่อกลิ้ง สัดส่วนพลังงานหมุน วงแหวนที่ปล่อยลงบนจานที่หมุน คนที่ดึงดัมเบลเข้า หรือกระสุนที่กระทบแท่งที่แขวน
สำหรับล้อช่วยแรงที่ถูกเบรก เบรกทำงานเท่ากับพลังงานที่สะสม: T·θ = ½·I·ω² หาร θ ด้วย 2π เพื่อให้ได้จำนวนรอบ
แท่งที่ยึดหมุดที่ปลายหนึ่งและปล่อยจากแนวนอนมี α = 3·g/(2·L) ทันทีหลังปล่อย ปลายอิสระของมันเร่งด้วย 1.5·g
สำหรับกระสุนที่ฝังในแท่ง โมเมนตัมเชิงมุมรอบจุดหมุนคงเดิม: m·v·d = (Irod + m·d²)·ω
เรียนรู้ทีละขั้นในแอปเรียนรู้ทีละขั้นในแอป