แรงจากความดันของไหลนิ่ง: แบบฝึกหัดพร้อมเฉลยทีละขั้นตอน

แบบฝึกหัด แรงจากความดันของไหลนิ่ง ฟรี พร้อมแผนภาพ คำใบ้ และเฉลยละเอียด ตัวเลขใหม่ทุกครั้ง สามระดับ: ผนังแนวดิ่ง, ประตูน้ำที่จมอยู่ใต้น้ำ, จุดศูนย์กลางความดัน

โจทย์ฝึกฟรีง่าย
h = 3 m

น้ำลึก 3 m กระทบผนังแนวดิ่ง หาความสูง ȳ เหนือฐานที่แรงลัพธ์กระทำ

h = 3 mb = 4 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²
m
โจทย์ถัดไป →
ฝึก แรงจากความดันของไหลนิ่ง ฟรีฝึก แรงจากความดันของไหลนิ่ง เลยโจทย์ฟรีวันละ 5 ข้อ ไม่ต้องใช้บัตร

สิ่งที่คุณจะได้ฝึก

  1. ง่ายผนังแนวดิ่ง
  2. ปานกลางประตูน้ำที่จมอยู่ใต้น้ำ
  3. ยากจุดศูนย์กลางความดัน

สูตรสำคัญ

ความดันที่ความลึกหนึ่ง
p = ρgh
แรงที่กระทำต่อผนังแนวดิ่ง
F = ρg·hc·A
จุดศูนย์กลางความดัน
yp = yc + Ic/(ycA)
สี่เหลี่ยมผืนผ้า
Ic = bH³/12

เรียนรู้ แรงจากความดันของไหลนิ่ง ตั้งแต่ต้น

1แรงอุทกสถิตคืออะไร

น้ำที่หยุดนิ่งดันทุกพื้นผิวที่สัมผัส: ผนังถัง เขื่อน ประตูน้ำ แรงดันนั้นคือแรงอุทกสถิต (hydrostatic force)

ยิ่งลึกลงไป น้ำยิ่งดันแรง คุณรู้สึกได้ที่หูเมื่อดำลงไปที่ก้นสระ

ความดันที่ความลึก h ใต้ผิวน้ำอิสระคือน้ำหนักของลำน้ำเหนือหนึ่งตารางเมตร:

p = ρ · g · h

ρ คือความหนาแน่น (1000 kg/m³ สำหรับน้ำจืด) และ g = 9.81 m/s² เมื่อ h เป็นเมตร p ออกมาเป็น Pa (N/m²) หารด้วย 1000 ได้ kPa

ความดันกระทำตั้งฉากกับพื้นผิว ไม่ขึ้นกับรูปร่างหรือความกว้างของถัง ขึ้นกับความลึกเท่านั้น

ตรวจสอบตนเอง ความดันของน้ำที่ลึก 5 m ใต้ผิวทะเลสาบเป็นเท่าใด (ρ = 1000 kg/m³, g = 9.81 m/s²)
  1. 24.5 kPa
  2. 49.05 kPa
  3. 5 kPa
  4. 98.1 kPa

คำตอบ: 49.05 kPa. p = 1000 · 9.81 · 5 = 49 050 Pa = 49.05 kPa การละ g ให้ 5 kPa ซึ่งเป็นมวลต่อพื้นที่ ไม่ใช่ความดัน

2แรงที่กระทำต่อผนังแนวดิ่ง

บนผนังแนวดิ่ง ความดันเพิ่มเป็นเส้นตรงจากศูนย์ที่ผิวน้ำถึง ρgh ที่ก้น แรงที่กระทำบนผนังเป็นสามเหลี่ยม

h = 3 mF

แรงรวมคือพื้นที่ของสามเหลี่ยมนั้นคูณความกว้าง b ของผนัง:

F = ½ · ρg·h · h · b = ½ · ρ · g · h² · b

แรงกระทำผ่านเซนทรอยด์ของสามเหลี่ยม ที่ความสูงหนึ่งในสามเหนือฐาน:

ȳ = h / 3 (วัดจากฐาน)

ดังนั้นแรงกระทำต่ำกว่ากึ่งกลางของผนัง ซึ่งสมเหตุสมผล: ส่วนล่างถูกดันแรงที่สุด

ตรวจสอบตนเอง น้ำลึก 2 m อยู่ชิดผนังแนวดิ่งกว้าง 1 m แรงลัพธ์เป็นเท่าใด (ρg = 9810 N/m³)
  1. 19.62 kN
  2. 39.24 kN
  3. 4 kN
  4. 9.81 kN

คำตอบ: 19.62 kN. F = ½ · 9810 · 2² · 1 = 19 620 N = 19.62 kN การใช้ความดันที่ฐานกับผนังทั้งผืน (39.24 kN) ลืม ½: ความดันเป็นศูนย์ที่ด้านบน

3ประตูที่จมน้ำและจุดศูนย์กลางแรงดัน

ประตูที่อยู่ลึกในผนังถังไม่ได้เริ่มที่ผิวน้ำ สำหรับพื้นผิวเรียบใด ๆ แรงเท่ากับความดันที่เซนทรอยด์ของมันคูณพื้นที่:

F = ρ · g · yc · A

yc คือความลึกของเซนทรอยด์ สำหรับประตูสี่เหลี่ยมสูง H ที่ขอบบนอยู่ลึก d ใต้ผิวน้ำ yc = d + H/2 และ A = H·b

แรงไม่ได้กระทำที่เซนทรอยด์ แต่กระทำต่ำลงมาเล็กน้อย ที่จุดศูนย์กลางแรงดัน (centre of pressure) เพราะส่วนล่างของประตูถูกดันแรงกว่า:

ycp = yc + Ic / (yc · A), Ic = b·H³/12

Ic คือโมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่ (second moment of area) ของประตูรอบเซนทรอยด์ของมันเอง ยิ่งประตูลึก ycp ยิ่งเข้าใกล้ yc

สำหรับผนังที่เริ่มที่ผิวน้ำ (d = 0) ได้ ycp = 2h/3 ใต้ผิวน้ำ ซึ่งเท่ากับ h/3 เหนือฐาน

4วิธีทำทีละขั้น

  1. วาดพื้นผิวและทำเครื่องหมายความลึกใต้ผิวน้ำอิสระ: ขอบบน d และความสูง H (หรือความลึก h สำหรับผนัง)
  2. หาความลึกของเซนทรอยด์ yc และพื้นที่ A
  3. ใช้ความหนาแน่นของของเหลวในโจทย์: น้ำ 1000 น้ำทะเล 1025 น้ำมัน 880 kg/m³
  4. แรง: F = ρ·g·yc·A หารด้วย 1000 เพื่อให้เป็น kN
  5. ถ้าโจทย์ถามแนวแรง: ycp = yc + Ic/(yc·A) วัดลงจากผิวน้ำอิสระ

5ตัวอย่างที่แก้ให้ดู

ทำตามทุกขั้นตอน ลองทำนายขั้นถัดไปก่อนเปิดดู

ตัวอย่างที่แก้ให้ดู

ประตูสี่เหลี่ยมแนวดิ่งกว้าง 2 m สูง 2 m อยู่ในผนังถังน้ำ โดยขอบบนอยู่ใต้ผิวน้ำ 1 m จงหาแรงอุทกสถิตลัพธ์ F บนประตู

1

ดูที่ประตู

d = 1 mH = 2 m

ประตูทอดจาก 1 m ถึง 3 m ใต้ผิวน้ำ ความกว้างเข้าไปในหน้ากระดาษคือ b = 2 m

2

ความลึกของเซนทรอยด์

yc = d + H/2 = 1 + 2/2 = 2 m
3

พื้นที่

A = H · b = 2 · 2 = 4 m²
4

ความดันที่เซนทรอยด์

pc = ρ·g·yc = 1000 · 9.81 · 2 = 19 620 Pa = 19.62 kPa
5

แรงลัพธ์

F = pc · A = 19.62 · 4 = 78.48 kN
6

ตรวจสอบคำตอบ

d = 1 mH = 2 mF

ความดันคือ 9.81 kPa ที่ขอบบนและ 29.43 kPa ที่ขอบล่าง ค่าเฉลี่ยคือ 19.62 kPa แรงจึงเป็น 19.62 · 4 = 78.48 kN เท่าเดิม

คำตอบ

F = 78.48 kN กระทำในแนวนอนบนประตู

6ข้อผิดพลาดที่พบบ่อย

  • วางแรงที่เซนทรอยด์ แรงกระทำต่ำกว่านั้น: ที่ h/3 เหนือฐานสำหรับผนัง ที่ ycp สำหรับประตู
  • วัด ȳ จากผิวน้ำเมื่อโจทย์ถามความสูงเหนือฐาน หรือกลับกัน
  • ใช้ความลึกของขอบบนหรือขอบล่างแทนความลึกของเซนทรอยด์
  • ลืม ½ สำหรับผนังที่เริ่มที่ผิวน้ำ
  • ละ g หรือใช้ความหนาแน่นของน้ำกับน้ำมันหรือน้ำทะเล
ตรวจสอบตนเอง น้ำลึก 6 m อยู่ชิดผนังแนวดิ่ง แรงลัพธ์กระทำที่ใด
  1. ต่ำกว่าผิวน้ำ 2 m
  2. สูงจากฐาน 2 m
  3. สูงจากฐาน 3 m
  4. สูงจากฐาน 4 m

คำตอบ: สูงจากฐาน 2 m. แรงที่เป็นรูปสามเหลี่ยมกระทำผ่านเซนทรอยด์ของมัน h/3 = สูงจากฐาน 2 m ส่วน 3 m คือกึ่งกลางผนัง ซึ่งแรงจะกระทำที่นั่นก็ต่อเมื่อความดันสม่ำเสมอ

7ข้อสอบมีหน้าตาอย่างไร

  • ง่าย: น้ำชิดผนังแนวดิ่งตั้งแต่ผิวน้ำลงไป หา F = ½ρgh²b หรือความสูง ȳ = h/3 เหนือฐาน
  • ปานกลาง: ประตูสี่เหลี่ยมที่จมน้ำ หา F = ρg·yc·A เหมือนในตัวอย่าง
  • ยาก: ประตูเดียวกันในน้ำมัน น้ำทะเล หรือกลีเซอรีน และบางครั้งความลึกของจุดศูนย์กลางแรงดัน ycp

สำหรับประตูตัวอย่าง: Ic = 2 · 2³/12 = 1.333 m⁴ ดังนั้น ycp = 2 + 1.333/(2 · 4) = 2.167 m ใต้ผิวน้ำ ซึ่งต่ำกว่าเซนทรอยด์ 0.167 m

เรียนรู้ทีละขั้นในแอปเรียนรู้ทีละขั้นในแอป

ตัวอย่างวิธีทำ

ตัวอย่างที่ 1ง่าย
h = 4 m

น้ำลึก 4 m กระทบผนังแนวดิ่ง หาความสูง ȳ เหนือฐานที่แรงลัพธ์กระทำ

h = 4 mb = 2 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

จงหา ȳ (m)

แสดงคำใบ้
  1. ความดันในของเหลวนิ่งคือ p = ρ·g·z
  2. แผนภาพความดันบนผนังเป็นรูปสามเหลี่ยม F เท่ากับพื้นที่คูณความกว้าง และกระทำผ่านเซนทรอยด์ของมัน
  3. ความดันที่ก้นคือ 39.24 kPa
แสดงคำตอบและเฉลยทีละขั้นตอน

แรงจากความดันของไหลนิ่ง: บนพื้นผิวระนาบ F = ρ·g·yc·A เมื่อ yc คือความลึกของเซนทรอยด์ แรงนี้กระทำที่ตำแหน่งต่ำกว่าเซนทรอยด์ คือจุดศูนย์กลางความดัน

h = 4 mF

ความดันเปลี่ยนแปลงเป็นเส้นตรงตามความลึก

p = ρ·g·z จากศูนย์ที่ผิวน้ำถึง ρ·g·h ที่ก้นถัง ดังนั้นแรงที่กระทำต่อผนังจึงมีลักษณะเป็นรูปสามเหลี่ยม

pbase = ρgh = 1000·9.81·4 = 39.24 kPa

แนวแรงกระทำ

แรงรูปสามเหลี่ยมกระทำที่เซนทรอยด์ ซึ่งอยู่สูงจากฐานหนึ่งในสามของความสูง
ȳ = h/3 = 4/3 = 1.333 m เหนือฐาน

คำตอบ

ȳ = 1.333 m
ตัวอย่างที่ 2ปานกลาง
ประตูน้ำd = 4 mH = 1.5 m

ประตูน้ำสี่เหลี่ยมผืนผ้าแนวดิ่งกว้าง 3 m อยู่ที่ผนังถังที่บรรจุน้ำ โดยขอบบนอยู่ต่ำกว่าผิว 4 m หาแรงลัพธ์จากความดันของไหล F ที่กระทำต่อประตูน้ำ

d = 4 mH = 1.5 mb = 3 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

จงหา F (kN)

แสดงคำใบ้
  1. สำหรับพื้นผิวระนาบ F = ρ·g·yc·A เมื่อ yc คือความลึกของเซนทรอยด์ของประตูน้ำ
  2. เซนทรอยด์ของสี่เหลี่ยมผืนผ้าอยู่ที่กึ่งกลางความสูง: yc = d + H/2
  3. yc = 4.75 m.
แสดงคำตอบและเฉลยทีละขั้นตอน

แรงจากความดันของไหลบนพื้นผิวระนาบ: F = ρ·g·yc·A กระทำที่จุดศูนย์กลางความดัน ycp = yc + Ic/(ycA) ซึ่งอยู่ต่ำกว่าเซนทรอยด์เสมอ

ความลึกของเซนทรอยด์และพื้นที่

yc = d + H/2 = 4 + 1.5/2 = 4.75 m
A = H·b = 1.5·3 = 4.5 m²
ประตูน้ำd = 4 mH = 1.5 mF

แรงลัพธ์

F = ρ·g·yc·A = 1000·9.81·4.75·4.5 = 209.7 kN

คำตอบ

F = 209.7 kN
ตัวอย่างที่ 3ยาก
ประตูน้ำd = 2 mH = 2 m

ประตูน้ำสี่เหลี่ยมผืนผ้าแนวดิ่งกว้าง 1.5 m อยู่ที่ผนังถังที่บรรจุน้ำทะเล โดยขอบบนอยู่ต่ำกว่าผิว 2 m หาความลึก ycp ของจุดศูนย์กลางความดันใต้ผิว

d = 2 mH = 2 mb = 1.5 mρ = 1025 kg/m³g = 9.81 m/s²

จงหา ycp (m)

แสดงคำใบ้
  1. สำหรับพื้นผิวระนาบ F = ρ·g·yc·A เมื่อ yc คือความลึกของเซนทรอยด์ของประตูน้ำ
  2. ใช้ ycp = yc + Ic/(yc·A) โดย Ic = bH³/12
  3. yc = 3 m.
แสดงคำตอบและเฉลยทีละขั้นตอน

แรงจากความดันของไหลบนพื้นผิวระนาบ: F = ρ·g·yc·A กระทำที่จุดศูนย์กลางความดัน ycp = yc + Ic/(ycA) ซึ่งอยู่ต่ำกว่าเซนทรอยด์เสมอ

ความลึกของเซนทรอยด์และพื้นที่

yc = d + H/2 = 2 + 2/2 = 3 m
A = H·b = 2·1.5 = 3 m²
ประตูน้ำd = 2 mH = 2 mF

แรงลัพธ์

F = ρ·g·yc·A = 1025·9.81·3·3 = 90.5 kN

จุดศูนย์กลางความดัน

ความดันเพิ่มขึ้นตามความลึก แรงลัพธ์จึงกระทำต่ำกว่าเซนทรอยด์

Ic = b·H³/12 = 1.5·2³/12 = 1 m⁴
ycp = yc + Ic/(yc·A) = 3 + 1/(3·3) = 3.111 m

คำตอบ

ycp = 3.111 m

คำถามและคำตอบ

แรงจากความดันของไหลนิ่ง คืออะไร

น้ำที่หยุดนิ่งดันทุกพื้นผิวที่สัมผัส: ผนังถัง เขื่อน ประตูน้ำ แรงดันนั้นคือแรงอุทกสถิต (hydrostatic force)

ยิ่งลึกลงไป น้ำยิ่งดันแรง คุณรู้สึกได้ที่หูเมื่อดำลงไปที่ก้นสระ

จะแก้โจทย์ แรงจากความดันของไหลนิ่ง ทีละขั้นได้อย่างไร

แรงจากความดันของไหลนิ่ง: บนพื้นผิวระนาบ F = ρ·g·yc·A เมื่อ yc คือความลึกของเซนทรอยด์ แรงนี้กระทำที่ตำแหน่งต่ำกว่าเซนทรอยด์ คือจุดศูนย์กลางความดัน

แบบฝึกหัด แรงจากความดันของไหลนิ่ง ครอบคลุมเรื่องอะไรบ้าง
  • ง่าย: ผนังแนวดิ่ง
  • ปานกลาง: ประตูน้ำที่จมอยู่ใต้น้ำ
  • ยาก: จุดศูนย์กลางความดัน

โจทย์ทุกข้อใช้ค่าใหม่ คุณจึงเรียนรู้วิธีทำ ไม่ใช่จำคำตอบ ติดขัดใช่ไหม เปิดคำใบ้เล็ก ๆ ก่อน และเปิดคำอธิบายฉบับเต็มเมื่อจำเป็นเท่านั้น

การฝึกทำงานอย่างไร

  • โจทย์ทุกข้อใช้ค่าใหม่ คุณจึงเรียนรู้วิธีทำ ไม่ใช่จำคำตอบ
  • ติดขัดใช่ไหม เปิดคำใบ้เล็ก ๆ ก่อน และเปิดคำอธิบายฉบับเต็มเมื่อจำเป็นเท่านั้น
  • ความก้าวหน้า ข้อที่ผิด และโจทย์ที่บันทึกไว้จะถูกเก็บไว้ เพื่อให้คุณทบทวนก่อนสอบได้

หัวข้อก่อนและหลังหัวข้อนี้

เรียนต่อด้วย

ความต่อเนื่องและเบอร์นูลลี

เครื่องคำนวณ

เครื่องคำนวณความหนาแน่น (มวล ปริมาตร และความหนาแน่น)

รายวิชาที่มีหัวข้อนี้

กลศาสตร์ของไหลฟิสิกส์สำหรับวิศวกรวิศวกรรมปฐพีวิศวกรรมชลศาสตร์ฝึกข้อสอบ FE โยธา

หัวข้ออื่นในโยธา

แรงเฉือนและโมเมนต์ดัดโครงข่ายถัก: วิธีจุดต่อการแอ่นตัวของคานเซนทรอยด์และโมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่การโก่งเดาะของเสาความเค้นประสิทธิผลในดินการทรุดตัวจากการอัดตัวคายน้ำการไหลในช่องเปิด (แมนนิง)

ใบงานสำหรับพิมพ์

ใบงาน แรงจากความดันของไหลนิ่ง พร้อมเฉลย
ฝึก แรงจากความดันของไหลนิ่ง ฟรีฝึก แรงจากความดันของไหลนิ่ง เลยโจทย์ฟรีวันละ 5 ข้อ ไม่ต้องใช้บัตร