เซนทรอยด์และโมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่: แบบฝึกหัดพร้อมเฉลยทีละขั้นตอน

Q: เซนทรอยด์และโมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่ คืออะไร

ตัดคานตรงขวางและดูหน้าตัด รูปร่างนั้นคือหน้าตัด (cross-section) หรือเรียกสั้น ๆ ว่าหน้าตัด (section) ใช้แผ่นไม้ขนาด 100 × 20 mm วางราบข้ามช่องว่างจะแอ่นมาก วางตั้งบนขอบแผ่นเดียวกันจะแข็งกว่ามาก ทั้งที่พื้นที่เท่ากันทุกประการ

Q: จะแก้โจทย์ เซนทรอยด์และโมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่ ทีละขั้นได้อย่างไร

พื้นที่ประกอบ: แบ่งหน้าตัดเป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า เซนทรอยด์คือค่าเฉลี่ยถ่วงน้ำหนักด้วยพื้นที่ ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ โมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่รอบแกนที่ผ่านเซนทรอยด์ได้จากการบวก bh³/12 ของแต่ละส่วนกับพจน์แกนขนาน A·d² โดย d คือระยะจากเซนทรอยด์ของส่วนนั้นถึงเซนทรอยด์รวม ความเค้นดัดคือ σ = M·y/I

Q: แบบฝึกหัด เซนทรอยด์และโมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่ ครอบคลุมเรื่องอะไรบ้าง

ง่าย: เซนทรอยด์ ปานกลาง: โมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่ ยาก: ความเค้นดัด โจทย์ทุกข้อใช้ค่าใหม่ คุณจึงเรียนรู้วิธีทำ ไม่ใช่จำคำตอบ ติดขัดใช่ไหม เปิดคำใบ้เล็ก ๆ ก่อน และเปิดคำอธิบายฉบับเต็มเมื่อจำเป็นเท่านั้น

แบบฝึกหัด เซนทรอยด์และโมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่ ฟรี พร้อมแผนภาพ คำใบ้ และเฉลยละเอียด ตัวเลขใหม่ทุกครั้ง สามระดับ: เซนทรอยด์, โมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่, ความเค้นดัด

สำคัญ: ใช้เพื่อการเรียนรู้เท่านั้น

ใช้เพื่อการเรียนรู้เท่านั้น ห้ามนำผลลัพธ์เหล่านี้ไปใช้ออกแบบ สร้าง หรือตรวจสอบโครงสร้าง เครื่องจักร ระบบแรงดัน หรืออุปกรณ์ยกจริง การออกแบบจริงต้องจัดทำและตรวจสอบโดยวิศวกรที่มีคุณวุฒิ โดยใช้มาตรฐานและค่าความปลอดภัยที่เกี่ยวข้อง ข้อกำหนดการใช้งาน

โจทย์ฝึกฟรีง่าย

หาความสูง ȳ ของเซนทรอยด์ของหน้าตัดรูปตัว T เหนือขอบล่าง

b_f = 100 mmt_f = 25 mmt_w = 12 mmh_w = 160 mm

โจทย์ถัดไป →

ฝึก เซนทรอยด์และโมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่ ฟรี ฝึก เซนทรอยด์และโมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่ เลยโจทย์ฟรีวันละ 5 ข้อ ไม่ต้องใช้บัตร

สิ่งที่คุณจะได้ฝึก

ง่ายเซนทรอยด์
ปานกลางโมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่
ยากความเค้นดัด

สูตรสำคัญ

เซนทรอยด์: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
สี่เหลี่ยมผืนผ้า: I = bh³/12
ทฤษฎีบทแกนขนาน: I = I_c + A·d²
หน้าตัดประกอบ: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

เรียนรู้ เซนทรอยด์และโมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่ ตั้งแต่ต้น

1ทำไมรูปร่างของหน้าตัดจึงสำคัญ

ตัดคานตรงขวางและดูหน้าตัด รูปร่างนั้นคือหน้าตัด (cross-section) หรือเรียกสั้น ๆ ว่าหน้าตัด (section)

ใช้แผ่นไม้ขนาด 100 × 20 mm วางราบข้ามช่องว่างจะแอ่นมาก วางตั้งบนขอบแผ่นเดียวกันจะแข็งกว่ามาก ทั้งที่พื้นที่เท่ากันทุกประการ

สิ่งที่สำคัญคือวัสดุอยู่ห่างจากแกนที่คานดัดรอบเท่าใด วัสดุที่อยู่ไกลแกนนั้นทำงานหนักกว่ามาก

คุณสมบัติสองอย่างอธิบายสิ่งนี้ เซนทรอยด์ (centroid) คือศูนย์กลางเรขาคณิตของหน้าตัด: คานดัดรอบแกนที่ผ่านมัน โมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่ (second moment of area) I วัดว่าพื้นที่กระจายห่างจากแกนนั้นเพียงใด

ตรวจสอบตนเอง แผ่นไม้เดียวกันใช้วางราบ (a) และวางตั้งบนขอบ (b) ดัดรอบแกนแนวนอน แบบใดแข็งกว่า

ขึ้นกับวัสดุเท่านั้น
วางตั้งบนขอบ (b)
วางราบ (a)
เท่ากัน เพราะพื้นที่เท่ากัน

คำตอบ: วางตั้งบนขอบ (b). เมื่อวางตั้งบนขอบ วัสดุอยู่ไกลจากแกนดัดมากกว่า พื้นที่เท่ากัน แต่ระยะห่างจากแกนคือสิ่งที่นับ

2เซนทรอยด์ของหน้าตัดประกอบ

สำหรับสี่เหลี่ยมผืนผ้า เซนทรอยด์อยู่ตรงกลาง หน้าตัดคานจำนวนมาก เช่น รูปตัว T ประกอบจากสี่เหลี่ยมผืนผ้า

แบ่งหน้าตัดเป็นสี่เหลี่ยมผืนผ้า สำหรับแต่ละชิ้น หาพื้นที่ A_i และความสูง y_i ของเซนทรอยด์ของมันเอง วัดจากเส้นอ้างอิงเส้นเดียว โดยปกติคือขอบล่าง

เซนทรอยด์ของหน้าตัดทั้งหมดคือค่าเฉลี่ยถ่วงน้ำหนักด้วยพื้นที่ของความสูงเหล่านั้น:

ȳ = Σ A_i·y_i / Σ A_i

ชิ้นใหญ่ดึงเซนทรอยด์เข้าหาตัวมัน ในหน้าตัดรูปตัว T ที่มีปีกอยู่ด้านบน เซนทรอยด์อยู่เหนือกึ่งกลางความสูง

ตรวจสอบตนเอง ชิ้นที่ 1 มี A = 3000 mm² ที่ y = 20 mm ชิ้นที่ 2 มี A = 1000 mm² ที่ y = 100 mm เซนทรอยด์อยู่ที่ใด

ȳ = 160 mm
ȳ = 40 mm
ȳ = 60 mm
ȳ = 80 mm

คำตอบ: ȳ = 40 mm. ȳ = (3000·20 + 1000·100)/4000 = 160 000/4000 = 40 mm ส่วน 60 mm คือค่าเฉลี่ยธรรมดาของความสูง ซึ่งละเลยพื้นที่ ส่วน 80 mm สลับพื้นที่

3โมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่

สำหรับสี่เหลี่ยมผืนผ้ากว้าง b สูง h ดัดรอบแกนแนวนอนที่ผ่านเซนทรอยด์ของมันเอง:

I_c = b · h³ / 12

ความสูงถูกยกกำลังสาม ซึ่งเป็นเหตุผลที่แผ่นไม้วางตั้งบนขอบแข็งกว่า 25 เท่า: 20·100³ / (100·20³) = 25

สำหรับหน้าตัดประกอบ แต่ละชิ้นอยู่ห่าง d จากแกนที่ผ่านเซนทรอยด์รวม ทฤษฎีบทแกนขนานเพิ่มพจน์สำหรับระยะเยื้องนั้น:

I = Σ ( I_c,i + A_i · d_i² )

หน่วยคือ mm⁴ ตัวเลขใหญ่ จึงมักให้คำตอบเป็น “× 10⁶ mm⁴”

เมื่อคุณมี I แล้ว ความเค้นดัดที่ระยะ y จากแกนเซนทรอยด์ได้จากโมเมนต์ดัด M:

σ = M · y / I

ตรวจสอบตนเอง สี่เหลี่ยมผืนผ้ากว้าง 100 mm สูง 20 mm: I รอบแกนเซนทรอยด์แนวนอนของมันเองเป็นเท่าใด

1 666 667 mm⁴
400 000 mm⁴
66 667 mm⁴
800 000 mm⁴

คำตอบ: 66 667 mm⁴. I = bh³/12 = 100·20³/12 = 66 667 mm⁴ ส่วน 1 666 667 สลับ b กับ h (นั่นคือแผ่นไม้วางตั้งบนขอบ) ส่วน 800 000 ลืมหารด้วย 12

4วิธีทำทีละขั้น

แบ่งหน้าตัดเป็นสี่เหลี่ยมผืนผ้าและกำหนดหมายเลข
สำหรับแต่ละชิ้น: พื้นที่ A_i และความสูงเซนทรอยด์ y_i วัดทั้งหมดจากขอบล่าง
เซนทรอยด์: ȳ = ΣA_iy_i / ΣA_i
สำหรับแต่ละชิ้น: I_c = bh³/12 ของมันเอง และระยะ d_i = y_i − ȳ
บวก: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)
ถ้าโจทย์ถามความเค้น: σ = M·y/I โดย y คือระยะจากแกนถึงขอบที่ต้องการ

ตารางเล็ก ๆ ที่มีคอลัมน์ A, y, A·y, I_c, d และ A·d² ช่วยให้ทุกอย่างเป็นระเบียบ

5ตัวอย่างที่แก้ให้ดู

ทำตามทุกขั้นตอน ลองทำนายขั้นถัดไปก่อนเปิดดู

ตัวอย่างที่แก้ให้ดู

หน้าตัดรูปตัว T มีปีก 100 × 20 mm อยู่บนเอวขนาด 20 × 100 mm จงหาความสูงเซนทรอยด์ ȳ โมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่ I_x และความเค้นดัดที่ขอบบนและขอบล่างสำหรับโมเมนต์ท้องคาน 4 kN·m

แบ่งเป็นสี่เหลี่ยมผืนผ้าสองรูป

ปีก (1): A₁ = 100·20 = 2000 mm² เซนทรอยด์ที่ y₁ = 100 + 10 = 110 mm

เอว (2): A₂ = 20·100 = 2000 mm² เซนทรอยด์ที่ y₂ = 50 mm

เซนทรอยด์

ȳ = (2000·110 + 2000·50) / 4000 = 80 mm

พื้นที่ทั้งสองเท่ากัน ดังนั้น ȳ อยู่กึ่งกลางระหว่าง 110 และ 50 mm

โมเมนต์ความเฉื่อยของแต่ละชิ้น

I_c,1 = 100·20³/12 = 66 667 mm⁴

I_c,2 = 20·100³/12 = 1 666 667 mm⁴

พจน์แกนขนาน

เซนทรอยด์แต่ละอันอยู่ห่าง 30 mm จากแกน x: d₁ = 110 − 80 = 30 mm และ d₂ = 50 − 80 = −30 mm

สำหรับแต่ละชิ้น:

A·d² = 2000·30² = 1 800 000 mm⁴

โมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่รวม

I_x = 66 667 + 1 800 000 + 1 666 667 + 1 800 000 = 5 333 333 mm⁴ ≈ 5.33 × 10⁶ mm⁴

ความเค้นดัด

M = 4 kN·m = 4 × 10⁶ N·mm ขอบล่างอยู่ห่าง 80 mm จากแกน ขอบบน 120 − 80 = 40 mm

σ_bottom = 4 × 10⁶ · 80 / 5 333 333 = 60 MPa

σ_top = 4 × 10⁶ · 40 / 5 333 333 = 30 MPa

ขอบล่างรับแรงดึงและขอบบนรับแรงอัด เหมือนคานท้องแอ่นทั่วไป

คำตอบ

ȳ = 80 mm, I_x = 5.33 × 10⁶ mm⁴, σ_bottom = 60 MPa และ σ_top = 30 MPa

6ข้อผิดพลาดที่พบบ่อย

ลืมพจน์ A·d² ถ้าไม่มี คุณบวกเฉพาะค่า I ของแต่ละชิ้นเอง ซึ่งน้อยเกินไปมาก
วัดความสูง y_i จากเส้นอ้างอิงที่ต่างกัน เลือกขอบล่างและยึดมั่นกับมัน
ใช้ d จากขอบล่างแทนจากเซนทรอยด์รวม
สลับ b และ h ใน bh³/12 มิติที่ตั้งฉากกับแกนดัดถูกยกกำลังสาม
ใช้ระยะขอบผิดใน σ = M·y/I ขอบที่ไกลแกนที่สุดมีความเค้นมากที่สุด

ตรวจสอบตนเอง สี่เหลี่ยมผืนผ้า 100 × 20 mm (กว้าง × สูง) มีเซนทรอยด์ห่าง 50 mm จากแกน x ส่วนที่ร่วมใน I_x เป็นเท่าใด

0.067 × 10⁶ mm⁴
5.00 × 10⁶ mm⁴
5.07 × 10⁶ mm⁴
6.67 × 10⁶ mm⁴

คำตอบ: 5.07 × 10⁶ mm⁴. I = bh³/12 + A·d² = 66 667 + 2000·50² = 5 066 667 mm⁴ ส่วน 0.067 × 10⁶ ลืม A·d² ส่วน 5.00 × 10⁶ ลืมพจน์ของมันเอง ส่วน 6.67 × 10⁶ ใช้ 1 666 667 (สลับ b กับ h) บวก A·d²

7ข้อสอบมีหน้าตาอย่างไร

ง่าย: เซนทรอยด์ หา ȳ ของหน้าตัดรูปตัว T เหนือขอบล่าง รูปแบบอื่น: หน้าตัดรูปเหล็กฉาก หรือ I ของสี่เหลี่ยมผืนผ้าเดี่ยว วงกลม (πd⁴/64) หรือกล่อง
ปานกลาง: โมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่ หา I_x ของหน้าตัดรูปตัว T รอบแกนเซนทรอยด์ รูปแบบอื่น: หน้าตัดรูปตัว I เหล็กรางน้ำ และรัศมีไจเรชัน r = √(I/A)
ยาก: ความเค้นดัด หน้าตัดรูปตัว T รับโมเมนต์ M หาความเค้นที่ขอบบนหรือล่างด้วย σ = M·y/I

ขนาดที่กำหนดคือ b_f และ t_f สำหรับปีก และ t_w และ h_w สำหรับเอว

เรียนรู้ทีละขั้นในแอป เรียนรู้ทีละขั้นในแอป

ตัวอย่างวิธีทำ

ตัวอย่างที่ 1ง่าย

หาความสูง ȳ ของเซนทรอยด์ของหน้าตัดรูปตัว T เหนือขอบล่าง

b_f = 260 mmt_f = 10 mmt_w = 8 mmh_w = 280 mm

จงหา ȳ (mm)

แสดงคำใบ้

แบ่งรูปตัว T เป็นปีกและเอว แล้วหาพื้นที่และความสูงเซนทรอยด์ของแต่ละส่วน
ȳ = ΣA·y / ΣA โดยวัดทุกค่า y จากขอบล่าง
A_f = 2600 mm², A_w = 2240 mm².

แสดงคำตอบและเฉลยทีละขั้นตอน

พื้นที่ประกอบ: แบ่งหน้าตัดเป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า เซนทรอยด์คือค่าเฉลี่ยถ่วงน้ำหนักด้วยพื้นที่ ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ โมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่รอบแกนที่ผ่านเซนทรอยด์ได้จากการบวก bh³/12 ของแต่ละส่วนกับพจน์แกนขนาน A·d² โดย d คือระยะจากเซนทรอยด์ของส่วนนั้นถึงเซนทรอยด์รวม ความเค้นดัดคือ σ = M·y/I

แบ่งเป็นสี่เหลี่ยมผืนผ้าสองรูป

วัดทุกค่า y จากขอบล่าง

ปีก: A_f = 260·10 = 2600 mm², y_f = 280 + 10/2 = 285 mm

เอว: A_w = 8·280 = 2240 mm², y_w = 280/2 = 140 mm

เซนทรอยด์

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (2600·285 + 2240·140)/4840 = 217.9 mm

คำตอบ

ȳ = 217.9 mm

ตัวอย่างที่ 2ปานกลาง

แผ่น 100 mm × 240 mm มีรูกลมเส้นผ่านศูนย์กลาง 30 mm บนเส้นกึ่งกลางแนวดิ่ง โดยจุดศูนย์กลางอยู่สูงจากด้านล่าง 156 mm จงหาโมเมนต์ที่สองของพื้นที่ I_x รอบแกนนอนที่ผ่านเซนทรอยด์

b = 100 mmh = 240 mmd = 30 mmจุดศูนย์กลางของรู: y = 156 mm

จงหา I_x (× 10⁶ mm⁴)

แสดงคำใบ้

หาเซนทรอยด์ก่อน: แผ่นลบรู
ȳ = 118.9 mm.
จากนั้น I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²) รอบ ȳ

แสดงคำตอบและเฉลยทีละขั้นตอน

หน้าตัดที่มีรู: ถือว่ารูเป็นพื้นที่ลบ เซนทรอยด์คือ ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂) โดย A₁, y₁ เป็นของแผ่นเต็ม และ A₂, y₂ เป็นของรู สำหรับโมเมนต์ที่สองของพื้นที่รอบแกนที่ผ่านเซนทรอยด์ ให้ใช้ทฤษฎีบทแกนขนานกับแต่ละส่วนแล้วลบรู: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²) โดย d คือระยะจากเซนทรอยด์ของแต่ละส่วนไปยังแกนที่ผ่าน ȳ สี่เหลี่ยมผืนผ้ามี I_c = bh³/12 และวงกลมมี I_c = πd⁴/64

เซนทรอยด์

ȳ = (24000·120 − 706.9·156)/(24000 − 706.9) = 118.9 mm

แผ่นเต็มรอบ ȳ

100·240³/12 + 24000·1.092² = 115.2 × 10⁶ mm⁴

รูรอบ ȳ

π·30⁴/64 + 706.9·37.09² = 1.012 × 10⁶ mm⁴

ลบ

I_x = 114.2 × 10⁶ mm⁴

คำตอบ

I_x = 114.2 × 10⁶ mm⁴

ตัวอย่างที่ 3ยาก

แผ่น 100 mm × 200 mm มีช่องตัดสี่เหลี่ยมกว้าง 30 mm สูง 20 mm อยู่กึ่งกลางตามเส้นกึ่งกลางแนวดิ่ง โดยจุดศูนย์กลางอยู่สูงจากด้านล่าง 120 mm จงหาโมเมนต์ที่สองของพื้นที่ I_x รอบแกนนอนที่ผ่านเซนทรอยด์

b = 100 mmh = 200 mmช่องตัด: 30 × 20 mmจุดศูนย์กลางของรู: y = 120 mm

จงหา I_x (× 10⁶ mm⁴)

แสดงคำใบ้

หาเซนทรอยด์ก่อน: แผ่นลบรู
ȳ = 99.38 mm.
จากนั้น I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²) รอบ ȳ

แสดงคำตอบและเฉลยทีละขั้นตอน

เซนทรอยด์

ȳ = (20000·100 − 600·120)/(20000 − 600) = 99.38 mm

แผ่นเต็มรอบ ȳ

100·200³/12 + 20000·0.6186² = 66.67 × 10⁶ mm⁴

รูรอบ ȳ

30·20³/12 + 600·20.62² = 0.2751 × 10⁶ mm⁴

ลบ

I_x = 66.4 × 10⁶ mm⁴

คำตอบ

I_x = 66.4 × 10⁶ mm⁴

คำถามและคำตอบ

เซนทรอยด์และโมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่ คืออะไร

จะแก้โจทย์ เซนทรอยด์และโมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่ ทีละขั้นได้อย่างไร

แบบฝึกหัด เซนทรอยด์และโมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่ ครอบคลุมเรื่องอะไรบ้าง

ง่าย: เซนทรอยด์
ปานกลาง: โมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่
ยาก: ความเค้นดัด

โจทย์ทุกข้อใช้ค่าใหม่ คุณจึงเรียนรู้วิธีทำ ไม่ใช่จำคำตอบ ติดขัดใช่ไหม เปิดคำใบ้เล็ก ๆ ก่อน และเปิดคำอธิบายฉบับเต็มเมื่อจำเป็นเท่านั้น

การฝึกทำงานอย่างไร

โจทย์ทุกข้อใช้ค่าใหม่ คุณจึงเรียนรู้วิธีทำ ไม่ใช่จำคำตอบ
ติดขัดใช่ไหม เปิดคำใบ้เล็ก ๆ ก่อน และเปิดคำอธิบายฉบับเต็มเมื่อจำเป็นเท่านั้น
ความก้าวหน้า ข้อที่ผิด และโจทย์ที่บันทึกไว้จะถูกเก็บไว้ เพื่อให้คุณทบทวนก่อนสอบได้

หัวข้อก่อนและหลังหัวข้อนี้

เรียนต่อด้วย

การโก่งเดาะของเสา การแอ่นตัวของคาน

เครื่องคำนวณ

เครื่องคำนวณโมเมนต์ความเฉื่อย (โมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่)เครื่องคำนวณจุดศูนย์ถ่วง (รูปประกอบและรูปหลายเหลี่ยม)

รายวิชาที่มีหัวข้อนี้

สถิตยศาสตร์กลศาสตร์ของวัสดุ ฝึกข้อสอบ FE โยธา

หัวข้ออื่นในโยธา

แรงเฉือนและโมเมนต์ดัด โครงข่ายถัก: วิธีจุดต่อ การแอ่นตัวของคาน การโก่งเดาะของเสา ความเค้นประสิทธิผลในดิน การทรุดตัวจากการอัดตัวคายน้ำ แรงจากความดันของไหลนิ่ง การไหลในช่องเปิด (แมนนิง)

ใบงานสำหรับพิมพ์

ใบงาน เซนทรอยด์และโมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่ พร้อมเฉลย