การโก่งเดาะของเสา: แบบฝึกหัดพร้อมเฉลยทีละขั้นตอน

แบบฝึกหัด การโก่งเดาะของเสา ฟรี พร้อมแผนภาพ คำใบ้ และเฉลยละเอียด ตัวเลขใหม่ทุกครั้ง สามระดับ: ปลายยึดด้วยหมุด, เงื่อนไขปลายแบบอื่น, การออกแบบและความเค้นวิกฤต

โจทย์ฝึกฟรีง่าย
PL = 2.5 m40 × 80 mmหน้าตัด

เสายาว L ทำจากเหล็กกล้า โดยยึดด้วยหมุดทั้งสองปลาย ใช้สูตรของออยเลอร์หาน้ำหนักวิกฤตที่ทำให้โก่งเดาะ Pcr

L = 2.5 mE = 200 GPa (เหล็กกล้า)b × h = 40 × 80 mm
kN
โจทย์ถัดไป →
ฝึก การโก่งเดาะของเสา ฟรีฝึก การโก่งเดาะของเสา เลยโจทย์ฟรีวันละ 5 ข้อ ไม่ต้องใช้บัตร

สิ่งที่คุณจะได้ฝึก

  1. ง่ายปลายยึดด้วยหมุด
  2. ปานกลางเงื่อนไขปลายแบบอื่น
  3. ยากการออกแบบและความเค้นวิกฤต

สูตรสำคัญ

น้ำหนักวิกฤตของออยเลอร์
Pcr = π²EI/(KL)²
ตัวประกอบความยาวประสิทธิผล
K = 1 หมุด–หมุด, 0.5 ยึดแน่น–ยึดแน่น, 0.7 ยึดแน่น–หมุด, 2 ยึดแน่น–อิสระ
ความเค้นวิกฤต
σcr = Pcr/A
ความเพรียว
λ = KL/r, r = √(I/A)

เรียนรู้ การโก่งเดาะของเสา ตั้งแต่ต้น

ก่อนหน้านี้: เซนทรอยด์และโมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่

1การโก่งเดาะ (buckling) คืออะไร

กดปลายทั้งสองของไม้บรรทัดพลาสติก ตอนแรกดูเหมือนไม่มีอะไรเกิดขึ้น แล้วจู่ ๆ มันก็โก่งออกด้านข้าง นั่นคือการโก่งเดาะ

เสา (column) คือชิ้นส่วนที่รับแรงอัดตามความยาว: เสาอาคาร ค้ำยันในหลังคา ก้านลูกสูบ

PL

เสาสั้นหนาวิบัติโดยการแตกบดอัด: หน่วยแรง P/A ถึงกำลังของวัสดุ เสาเรียวยาวโก่งเดาะที่น้ำหนักต่ำกว่ามาก ขณะที่หน่วยแรงยังต่ำกว่ากำลังนั้นมาก

น้ำหนักที่เสาเรียวโก่งเดาะคือน้ำหนักวิกฤต (critical load) Pcr เหนือค่านั้นเสาไม่เสถียรและพังลง

ตรวจสอบตนเอง เสาเหล็กสองต้นมีหน้าตัดเท่ากัน ต้นหนึ่งยาว 2 m อีกต้นยาว 4 m ต้นใดโก่งเดาะที่น้ำหนักต่ำกว่า
  1. ทั้งสองที่น้ำหนักเท่ากัน
  2. เสาต้นยาว 2 m
  3. เสาต้นยาว 4 m
  4. ไม่มี: เสาเหล็กโก่งเดาะไม่ได้

คำตอบ: เสาต้นยาว 4 m. เสาที่ยาวกว่าเรียวกว่าและโก่งเดาะง่ายกว่า ความยาวเป็นปัจจัยสำคัญที่สุดในการโก่งเดาะ

2สูตรของออยเลอร์

Leonhard Euler พบน้ำหนักวิกฤตของเสาเรียว:

Pcr = π² · E · I / (K·L)²
  • E คือมอดุลัสของยังของวัสดุ: 200 GPa สำหรับเหล็ก
  • I คือโมเมนต์ที่สองของพื้นที่ของหน้าตัด ใช้ค่าที่เล็กที่สุด: เสาดัดในทางที่ง่าย
  • L คือความยาว และ K คือตัวประกอบความยาวประสิทธิผล (effective length factor) ซึ่งขึ้นกับวิธียึดปลาย
K = 1K = 2K = 0.7K = 0.5

ปลายที่เป็นหมุด (pinned) หมุนได้ ปลายยึดแน่น (fixed) หมุนไม่ได้ การยึดปลายแน่นขึ้นให้ความยาวประสิทธิผล KL สั้นลงและ Pcr สูงขึ้นมาก เพราะ KL ถูกยกกำลังสอง

สำหรับแท่งกลม I = π·d⁴/64 สำหรับสี่เหลี่ยมผืนผ้า b × h โดย b เป็นด้านที่เล็กกว่า Imin = h·b³/12

ตรวจสอบตนเอง เสาปลายหมุด–หมุดมี Pcr = 100 kN เสาเดียวกันทำให้ยึดแน่นที่ฐานและอิสระที่ปลายบน (K = 2) Pcr ตอนนี้คือเท่าใด
  1. 200 kN
  2. 25 kN
  3. 400 kN
  4. 50 kN

คำตอบ: 25 kN. Pcr ถูกหารด้วย K² = 4: 100/4 = 25 kN ส่วน 50 kN ลืมยกกำลังสอง K และ 200 กับ 400 kN คูณแทนที่จะหาร

3ความเรียวและหน่วยแรงวิกฤต

การหาร Pcr ด้วยพื้นที่ให้หน่วยแรงวิกฤต เขียนได้เรียบร้อยที่สุดด้วยรัศมีไจเรชัน (radius of gyration) r และอัตราส่วนความเรียว (slenderness ratio) λ (แลมบ์ดา):

r = √(I / A) λ = K·L / r σcr = π² · E / λ²

สำหรับแท่งกลมตัน r = d/4

สูตรของออยเลอร์ใช้ได้ตราบที่ σcr ยังต่ำกว่าหน่วยแรงที่จุดคราก (yield stress) ของวัสดุ สำหรับเหล็กโครงสร้างหมายถึงความเรียวประมาณ λ > 100 เสาที่อ้วนกว่าวิบัติโดยการคราก หรือผสมทั้งสองอย่าง และต้องใช้กฎการออกแบบอื่น

ตรวจสอบตนเอง หน้าตัดเสาสี่เหลี่ยมผืนผ้าคือ 20 mm × 40 mm โมเมนต์ที่สองของพื้นที่ที่น้อยที่สุดคือเท่าใด
  1. 106 667 mm⁴
  2. 26 667 mm⁴
  3. 320 000 mm⁴
  4. 7854 mm⁴

คำตอบ: 26 667 mm⁴. แกนอ่อนยกกำลังสามด้านที่เล็กกว่า: 40·20³/12 = 26 667 mm⁴ ส่วน 106 667 คือแกนแข็ง 320 000 ลืม /12 และ 7854 ใช้สูตรของวงกลม

4วิธีทำทีละขั้น

  1. อ่านเงื่อนไขปลายและเลือก K: 1, 2, 0.7 หรือ 0.5
  2. หา I ที่น้อยที่สุดของหน้าตัด เป็น mm⁴
  3. แปลงเป็น N และ mm: L เป็น mm, E เป็น N/mm² (GPa × 1000)
  4. ความยาวประสิทธิผล: KL
  5. น้ำหนักวิกฤต: Pcr = π²EI/(KL)² เป็น N หารด้วย 1000 เพื่อให้เป็น kN
  6. ถ้าถาม ตรวจความเรียว KL/r หรือหน่วยแรงวิกฤต Pcr/A

สำหรับโจทย์ออกแบบที่มีตัวประกอบความปลอดภัย n เสาต้องมี Pcr = n·P แก้สูตรของออยเลอร์หา I แล้วหาเส้นผ่านศูนย์กลาง

5ตัวอย่างที่แก้ให้ดู

ทำตามทุกขั้นตอน ลองทำนายขั้นถัดไปก่อนเปิดดู

ตัวอย่างที่แก้ให้ดู

เสาเหล็กกลมตัน (E = 200 GPa) เส้นผ่านศูนย์กลาง 40 mm ยาว 2 m ปลายหมุดทั้งสองข้าง จงหาน้ำหนักโก่งเดาะวิกฤต Pcr แล้วหาอีกครั้งสำหรับเสาเดียวกันที่ยึดแน่นที่ฐานและอิสระที่ปลายบน

1

ดูที่เสา

PL = 2 m

ปลายหมุดทั้งสองข้าง ดังนั้น K = 1 และ KL = 2000 mm E = 200 000 N/mm²

2

โมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่

หน้าตัดกลมมี I เท่ากันรอบทุกแกน:

I = π · 40⁴ / 64 = 125 664 mm⁴
3

น้ำหนักวิกฤต

Pcr = π² · 200 000 · 125 664 / 2000² = 62 013 N ≈ 62.0 kN
4

ตรวจว่าใช้ออยเลอร์ได้

r = d/4 = 10 mm λ = 2000 / 10 = 200
σcr = π² · 200 000 / 200² = 49.3 MPa

นั่นต่ำกว่าหน่วยแรงที่จุดครากของเหล็ก (ประมาณ 250 MPa) มาก เสาจึงเรียวและสูตรของออยเลอร์ใช้ได้

5

ฐานยึดแน่น ปลายบนอิสระ

ตอนนี้ K = 2 ดังนั้นความยาวประสิทธิผลเพิ่มเป็นสองเท่าเป็น 4000 mm และ Pcr ลดลงด้วยตัวประกอบ 2² = 4:

Pcr = 62.0 / 4 = 15.5 kN
คำตอบ

Pcr = 62.0 kN เมื่อปลายหมุดทั้งสองข้าง และ 15.5 kN เมื่อยึดแน่นที่ฐานและอิสระที่ปลายบน

6ข้อผิดพลาดที่พบบ่อย

  • เลือก K ผิด หรือลืมยกกำลังสอง
  • ใช้ I ที่ใหญ่กว่าของสี่เหลี่ยมผืนผ้า เสาโก่งเดาะรอบแกนอ่อนเสมอ
  • ปนหน่วย: L เป็นเมตรกับ E เป็น N/mm² ทำงานเป็น N และ mm ตลอด
  • ใช้ π·d⁴/32 (โมเมนต์ที่สองเชิงขั้ว J จากการบิด) แทน π·d⁴/64
  • ใช้ออยเลอร์กับเสาสั้นอ้วนที่หน่วยแรงวิกฤตจะสูงกว่าหน่วยแรงที่จุดคราก
ตรวจสอบตนเอง เสาปลายหมุดทั้งสองข้างมี Pcr = 40 kN เสาเดียวกันยึดแน่นทั้งสองปลาย (K = 0.5) Pcr คือเท่าใด
  1. 10 kN
  2. 160 kN
  3. 20 kN
  4. 80 kN

คำตอบ: 160 kN. Pcr ถูกหารด้วย K² = 0.25 จึงมากขึ้นสี่เท่า: 160 kN ส่วน 80 kN ลืมยกกำลังสอง K และ 10 kN คูณด้วย K² แทนที่จะหาร

7ข้อสอบมีหน้าตาอย่างไร

  • ง่าย: ปลายหมุด หา Pcr ของเสาเหล็กหรืออะลูมิเนียมหน้าตัดกลมหรือสี่เหลี่ยมผืนผ้า
  • ปานกลาง: เงื่อนไขปลายอื่น คำถามเดียวกันที่ K = 2, 0.7 หรือ 0.5
  • ยาก: การออกแบบและหน่วยแรงวิกฤต หาเส้นผ่านศูนย์กลางเล็กที่สุดที่รับน้ำหนักได้ด้วยตัวประกอบความปลอดภัย หรือหาความเรียวและ σcr

สำหรับกรณีออกแบบด้วยแท่งกลม: d = (64·n·P·(KL)² / (π³·E))1/4

เรียนรู้ทีละขั้นในแอปเรียนรู้ทีละขั้นในแอป

ตัวอย่างวิธีทำ

ตัวอย่างที่ 1ง่าย
PL = 5 md = 50 mmหน้าตัด

เสายาว L ทำจากอะลูมิเนียม โดยยึดด้วยหมุดทั้งสองปลาย ใช้สูตรของออยเลอร์หาน้ำหนักวิกฤตที่ทำให้โก่งเดาะ Pcr

L = 5 mE = 70 GPa (อะลูมิเนียม)d = 50 mm

จงหา Pcr (kN)

แสดงคำใบ้
  1. ออยเลอร์: Pcr = π²EI/(KL)²
  2. ตัวประกอบความยาวประสิทธิผล: K = 1 สำหรับเสาที่ยึดด้วยหมุดทั้งสองปลาย
  3. I = 306796 mm⁴.
แสดงคำตอบและเฉลยทีละขั้นตอน

การโก่งเดาะของออยเลอร์: เสาเพรียวจะไม่เสถียรที่ Pcr = π²EI/(KL)² โดย KL คือความยาวประสิทธิผล: K = 1 สำหรับหมุด–หมุด, 2 สำหรับยึดแน่น–อิสระ, 0.7 สำหรับยึดแน่น–หมุด และ 0.5 สำหรับยึดแน่น–ยึดแน่น เสาจะโก่งเดาะรอบแกนที่มี I น้อยที่สุด สูตรนี้ใช้ได้กับเสาเพรียวซึ่งความเค้นวิกฤตยังต่ำกว่าความเค้นครากของวัสดุ

โมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่ที่น้อยที่สุด

หน้าตัดกลมมี I เท่ากันรอบทุกแกน

I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴

ความยาวประสิทธิผล

KL = 1·5000 = 5000 mm

น้ำหนักวิกฤต

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·306796/5000² = 8478 N = 8.478 kN

คำตอบ

Pcr = 8.478 kN
ตัวอย่างที่ 2ปานกลาง
PL = 2.5 md = 30 mmหน้าตัด

เสายาว L ทำจากเหล็กกล้า โดยยึดแน่นที่ฐานและอิสระที่ปลายบน ใช้สูตรของออยเลอร์หาน้ำหนักวิกฤตที่ทำให้โก่งเดาะ Pcr

L = 2.5 mE = 200 GPa (เหล็กกล้า)d = 30 mm

จงหา Pcr (kN)

แสดงคำใบ้
  1. ออยเลอร์: Pcr = π²EI/(KL)²
  2. ตัวประกอบความยาวประสิทธิผล: K = 2 สำหรับเสาที่ยึดแน่นที่ฐานและอิสระที่ปลายบน
  3. I = 39761 mm⁴.
แสดงคำตอบและเฉลยทีละขั้นตอน

การโก่งเดาะของออยเลอร์: เสาเพรียวจะไม่เสถียรที่ Pcr = π²EI/(KL)² โดย KL คือความยาวประสิทธิผล: K = 1 สำหรับหมุด–หมุด, 2 สำหรับยึดแน่น–อิสระ, 0.7 สำหรับยึดแน่น–หมุด และ 0.5 สำหรับยึดแน่น–ยึดแน่น เสาจะโก่งเดาะรอบแกนที่มี I น้อยที่สุด สูตรนี้ใช้ได้กับเสาเพรียวซึ่งความเค้นวิกฤตยังต่ำกว่าความเค้นครากของวัสดุ

โมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่ที่น้อยที่สุด

หน้าตัดกลมมี I เท่ากันรอบทุกแกน

I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴

ความยาวประสิทธิผล

KL = 2·2500 = 5000 mm

น้ำหนักวิกฤต

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·39761/5000² = 3139 N = 3.139 kN

คำตอบ

Pcr = 3.139 kN
ตัวอย่างที่ 3ยาก
PL = 2.5 md = 25 mmหน้าตัด

เสายาว L ทำจากอะลูมิเนียม โดยยึดด้วยหมุดทั้งสองปลาย หาค่าความเพรียวและความเค้นวิกฤต σcr จากสูตรของออยเลอร์

L = 2.5 mE = 70 GPa (อะลูมิเนียม)d = 25 mm

จงหา σcr (MPa)

แสดงคำใบ้
  1. σcr = Pcr/A = π²E/(KL/r)² โดย r = √(I/A) คือรัศมีไจเรชัน
  2. ใช้ I ที่น้อยที่สุด เพราะเสาโก่งเดาะรอบแกนที่อ่อนที่สุด
  3. r = 6.25 mm.
แสดงคำตอบและเฉลยทีละขั้นตอน

การโก่งเดาะของออยเลอร์: เสาเพรียวจะไม่เสถียรที่ Pcr = π²EI/(KL)² โดย KL คือความยาวประสิทธิผล: K = 1 สำหรับหมุด–หมุด, 2 สำหรับยึดแน่น–อิสระ, 0.7 สำหรับยึดแน่น–หมุด และ 0.5 สำหรับยึดแน่น–ยึดแน่น เสาจะโก่งเดาะรอบแกนที่มี I น้อยที่สุด สูตรนี้ใช้ได้กับเสาเพรียวซึ่งความเค้นวิกฤตยังต่ำกว่าความเค้นครากของวัสดุ

โมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่ที่น้อยที่สุด

หน้าตัดกลมมี I เท่ากันรอบทุกแกน

I = πd⁴/64 = π·25⁴/64 = 19175 mm⁴

รัศมีไจเรชันและความเพรียว

A = 490.9 mm²
r = √(I/A) = √(19175/490.9) = 6.25 mm
KL = 1·2500 = 2500 mm
KL/r = 2500/6.25 = 400

ความเค้นวิกฤต

σcr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/400² = 4.318 MPa

คำตอบ

σcr = 4.318 MPa

คำถามและคำตอบ

การโก่งเดาะของเสา คืออะไร

กดปลายทั้งสองของไม้บรรทัดพลาสติก ตอนแรกดูเหมือนไม่มีอะไรเกิดขึ้น แล้วจู่ ๆ มันก็โก่งออกด้านข้าง นั่นคือการโก่งเดาะ

เสาสั้นหนาวิบัติโดยการแตกบดอัด: หน่วยแรง P/A ถึงกำลังของวัสดุ เสาเรียวยาวโก่งเดาะที่น้ำหนักต่ำกว่ามาก ขณะที่หน่วยแรงยังต่ำกว่ากำลังนั้นมาก

จะแก้โจทย์ การโก่งเดาะของเสา ทีละขั้นได้อย่างไร

การโก่งเดาะของออยเลอร์: เสาเพรียวจะไม่เสถียรที่ Pcr = π²EI/(KL)² โดย KL คือความยาวประสิทธิผล: K = 1 สำหรับหมุด–หมุด, 2 สำหรับยึดแน่น–อิสระ, 0.7 สำหรับยึดแน่น–หมุด และ 0.5 สำหรับยึดแน่น–ยึดแน่น เสาจะโก่งเดาะรอบแกนที่มี I น้อยที่สุด สูตรนี้ใช้ได้กับเสาเพรียวซึ่งความเค้นวิกฤตยังต่ำกว่าความเค้นครากของวัสดุ

แบบฝึกหัด การโก่งเดาะของเสา ครอบคลุมเรื่องอะไรบ้าง
  • ง่าย: ปลายยึดด้วยหมุด
  • ปานกลาง: เงื่อนไขปลายแบบอื่น
  • ยาก: การออกแบบและความเค้นวิกฤต

โจทย์ทุกข้อใช้ค่าใหม่ คุณจึงเรียนรู้วิธีทำ ไม่ใช่จำคำตอบ ติดขัดใช่ไหม เปิดคำใบ้เล็ก ๆ ก่อน และเปิดคำอธิบายฉบับเต็มเมื่อจำเป็นเท่านั้น

การฝึกทำงานอย่างไร

  • โจทย์ทุกข้อใช้ค่าใหม่ คุณจึงเรียนรู้วิธีทำ ไม่ใช่จำคำตอบ
  • ติดขัดใช่ไหม เปิดคำใบ้เล็ก ๆ ก่อน และเปิดคำอธิบายฉบับเต็มเมื่อจำเป็นเท่านั้น
  • ความก้าวหน้า ข้อที่ผิด และโจทย์ที่บันทึกไว้จะถูกเก็บไว้ เพื่อให้คุณทบทวนก่อนสอบได้

หัวข้อก่อนและหลังหัวข้อนี้

ควรเรียนก่อน

เซนทรอยด์และโมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่

เครื่องคำนวณ

เครื่องคำนวณการโก่งเดาะของออยเลอร์

รายวิชาที่มีหัวข้อนี้

กลศาสตร์ของวัสดุการวิเคราะห์โครงสร้างการออกแบบเครื่องจักรกลฝึกข้อสอบ FE เครื่องกลฝึกข้อสอบ FE โยธา

หัวข้ออื่นในโยธา

แรงเฉือนและโมเมนต์ดัดโครงข่ายถัก: วิธีจุดต่อการแอ่นตัวของคานเซนทรอยด์และโมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่ความเค้นประสิทธิผลในดินการทรุดตัวจากการอัดตัวคายน้ำแรงจากความดันของไหลนิ่งการไหลในช่องเปิด (แมนนิง)

ใบงานสำหรับพิมพ์

ใบงาน การโก่งเดาะของเสา พร้อมเฉลย
ฝึก การโก่งเดาะของเสา ฟรีฝึก การโก่งเดาะของเสา เลยโจทย์ฟรีวันละ 5 ข้อ ไม่ต้องใช้บัตร