แรงเฉือนและโมเมนต์ดัด: แบบฝึกหัดพร้อมเฉลยทีละขั้นตอน

Q: แบบฝึกหัด แรงเฉือนและโมเมนต์ดัด ครอบคลุมเรื่องอะไรบ้าง

ง่าย: แรงจุด ปานกลาง: น้ำหนักแผ่สม่ำเสมอเต็มช่วง ยาก: แรงจุด + น้ำหนักแผ่สม่ำเสมอ โจทย์ทุกข้อใช้ค่าใหม่ คุณจึงเรียนรู้วิธีทำ ไม่ใช่จำคำตอบ ติดขัดใช่ไหม เปิดคำใบ้เล็ก ๆ ก่อน และเปิดคำอธิบายฉบับเต็มเมื่อจำเป็นเท่านั้น

แบบฝึกหัด แรงเฉือนและโมเมนต์ดัด ฟรี พร้อมแผนภาพ คำใบ้ และเฉลยละเอียด ตัวเลขใหม่ทุกครั้ง สามระดับ: แรงจุด, น้ำหนักแผ่สม่ำเสมอเต็มช่วง, แรงจุด + น้ำหนักแผ่สม่ำเสมอ

สำคัญ: ใช้เพื่อการเรียนรู้เท่านั้น

ใช้เพื่อการเรียนรู้เท่านั้น ห้ามนำผลลัพธ์เหล่านี้ไปใช้ออกแบบ สร้าง หรือตรวจสอบโครงสร้าง เครื่องจักร ระบบแรงดัน หรืออุปกรณ์ยกจริง การออกแบบจริงต้องจัดทำและตรวจสอบโดยวิศวกรที่มีคุณวุฒิ โดยใช้มาตรฐานและค่าความปลอดภัยที่เกี่ยวข้อง ข้อกำหนดการใช้งาน

โจทย์ฝึกฟรีง่าย

คานช่วงเดียวรองรับอย่างง่ายรับแรงกระทำเป็นจุด P หนึ่งแรง จงหาแรงเฉือน V_x ที่ตำแหน่งขวาของแรงกระทำเล็กน้อย ให้โมเมนต์ที่ทำให้คานแอ่นลงเป็นบวก และแรงเฉือนที่ชี้ขึ้นบนหน้าตัดด้านซ้ายเป็นบวก

L = 5 mP = 60 kN ที่ 2.5 m

โจทย์ถัดไป →

ฝึก แรงเฉือนและโมเมนต์ดัด ฟรี ฝึก แรงเฉือนและโมเมนต์ดัด เลยโจทย์ฟรีวันละ 5 ข้อ ไม่ต้องใช้บัตร

สิ่งที่คุณจะได้ฝึก

ง่ายแรงจุด
ปานกลางน้ำหนักแผ่สม่ำเสมอเต็มช่วง
ยากแรงจุด + น้ำหนักแผ่สม่ำเสมอ

วิธีแก้โจทย์แรงเฉือนและโมเมนต์ดัด

หาปฏิกิริยาที่จุดรองรับจากสมดุลของคานทั้งตัว
ตัดคานที่หน้าตัดที่ต้องการและเก็บไว้ด้านหนึ่ง
แรงเฉือน: ผลรวมแรงแนวดิ่งทางด้านนั้น โมเมนต์ดัด: ผลรวมโมเมนต์ของแรงเหล่านั้นรอบรอยตัด
สำหรับโมเมนต์สูงสุด ให้หาตำแหน่งที่แรงเฉือนเป็นศูนย์

ข้อผิดพลาดที่พบบ่อย

รวมน้ำหนักจากทั้งสองด้านของรอยตัด
ใช้ข้อกำหนดเครื่องหมายผิดสำหรับโมเมนต์ที่ทำให้แอ่นลงและโค้งขึ้น
ตอบแรงเฉือนทั้งที่โจทย์ถามโมเมนต์ดัด

สูตรสำคัญ

แรงเฉือนและโมเมนต์: V = ΣF ด้านหนึ่ง, M = ΣF·d ด้านหนึ่ง
ความเค้นดัด: σ = M·y/I
สี่เหลี่ยมผืนผ้า: I = bh³/12
มอดูลัสหน้าตัด: W = I/y_max
รับแรงสองจุด น้ำหนักแผ่สม่ำเสมอ: M_max = wL²/8

เรียนรู้ แรงเฉือนและโมเมนต์ดัด ตั้งแต่ต้น

ก่อนหน้านี้: ปฏิกิริยาที่จุดรองรับของคาน

1เกิดอะไรขึ้นภายในคาน

ในบทเรียนปฏิกิริยา คุณหาแรงบนคานจากภายนอก ตอนนี้ดูภายใน: วัสดุที่จุดหนึ่งของคานต้องรับอะไร

ลองนึกว่าเลื่อยคานเป็นสองท่อนที่จุดหนึ่ง แต่ละท่อนจะตก เพื่อให้อยู่กับที่ ท่อนอีกข้างต้องยึดมันด้วยแรงภายในสองอย่าง:

แรงเฉือน (shear force) V ที่ป้องกันไม่ให้ด้านหนึ่งเลื่อนขึ้นหรือลงผ่านอีกด้านหนึ่ง (เป็น kN)
โมเมนต์ดัด (bending moment) M ที่ป้องกันไม่ให้ด้านหนึ่งหมุนเทียบกับอีกด้านหนึ่ง (เป็น kN·m)

คานที่โค้งเป็นรอยยิ้ม โดยด้านล่างถูกยืด เรียกว่าโค้งท้อง (sagging) คานที่โค้งเป็นหน้าบึ้ง เหมือนระเบียง เรียกว่าโค้งหงาย (hogging)

วิศวกรต้องการ M เพราะหน่วยแรงดัดในคานเพิ่มตามมัน และต้องการ V เพราะคานต้องไม่ถูกเฉือนขาดใกล้จุดรองรับ

ตรวจสอบตนเอง คานรองรับแบบธรรมดารับน้ำหนักลงด้านล่าง ด้านใดของคานถูกยืด

ด้านบน: คานโค้งหงาย
ด้านล่าง: คานโค้งท้อง
ทั้งสองด้านเท่ากัน
ไม่มีด้านใด คานเพียงสั้นลง

คำตอบ: ด้านล่าง: คานโค้งท้อง. คานบนจุดรองรับสองจุดโค้งเป็นรอยยิ้มภายใต้น้ำหนักลง เส้นใยด้านล่างยาวขึ้น (แรงดึง) เส้นใยด้านบนสั้นลง (แรงอัด)

2วิธีตัดหน้าตัด

เพื่อหา V และ M ที่ระยะ x จาก A ให้ตัดคานตรงนั้นและเก็บเฉพาะส่วนทางซ้ายของรอยตัด ส่วนนั้นสมดุลได้ด้วยตัวเอง

กฎเครื่องหมายปกติ: แรงขึ้นบนส่วนซ้ายนับเป็นแรงเฉือนบวก และโมเมนต์โค้งท้องเป็นบวก ซึ่งให้สูตรสั้น ๆ สองอย่าง:

แรงเฉือน: V = R_A ลบน้ำหนักลงทั้งหมดทางซ้ายของรอยตัด
โมเมนต์ดัด: M = R_A·x ลบ สำหรับแต่ละน้ำหนักทางซ้ายของรอยตัด น้ำหนักนั้นคูณระยะถึงรอยตัด

ส่วนของน้ำหนักแผ่กระจายสม่ำเสมอ (UDL) ทางซ้ายของรอยตัดกระทำเป็นแรงเดียว w·ℓ ที่จุดกึ่งกลางของมันเอง เหมือนในบทเรียนปฏิกิริยา

คุณจะเก็บส่วนขวาแทนก็ได้ ได้ V และ M เท่ากัน ซึ่งเป็นการตรวจสอบที่มีประโยชน์

ตรวจสอบตนเอง R_A = 10 kN น้ำหนักแรกอยู่ห่างจาก A 5 m โมเมนต์ดัดที่ x = 3 m คือเท่าใด

10 kN·m
13 kN·m
3.3 kN·m
30 kN·m

คำตอบ: 30 kN·m. ไม่มีน้ำหนักทางซ้ายของรอยตัด ดังนั้น M = R_A·x = 10·3 = 30 kN·m ส่วน 10 kN คือแรงเฉือนตรงนั้น ไม่ใช่โมเมนต์

3แผนภาพและโมเมนต์สูงสุด

ถ้าคำนวณ V และ M ที่ทุก x คุณจะได้แผนภาพแรงเฉือนและแผนภาพโมเมนต์ดัด รูปร่างของมันเป็นไปตามกฎง่าย ๆ:

ระหว่างน้ำหนักจุด V คงที่และ M เป็นเส้นตรง
ใต้ UDL V ลาดลงเป็นเส้นตรงและ M เป็นเส้นโค้ง (พาราโบลา)
น้ำหนักจุดทำให้ V กระโดดเท่าขนาดของน้ำหนัก
M มากที่สุดที่ V เปลี่ยนเครื่องหมาย โดยผ่านศูนย์

ผลสองอย่างพบบ่อยจนควรรู้:

น้ำหนักจุด P ที่กึ่งกลางช่วงคาน: M_max = P·L / 4
UDL w ตลอดช่วงคาน: M_max = w·L² / 8

ตรวจสอบตนเอง คานรองรับแบบธรรมดายาว 6 m รับ UDL 4 kN/m ตลอดช่วง โมเมนต์ดัดที่มากที่สุดคือเท่าใด

12 kN·m
144 kN·m
18 kN·m
36 kN·m

คำตอบ: 18 kN·m. M_max = wL²/8 = 4·36/8 = 18 kN·m ที่กึ่งกลางช่วง ส่วน 36 ใช้ /4 (กฎน้ำหนักจุด) และ 12 kN คือปฏิกิริยา wL/2

4วิธีทำทีละขั้น

หาปฏิกิริยาที่จุดรองรับจากสมดุลของคานทั้งตัว
ตัดคานที่หน้าตัด x และเก็บส่วนซ้าย
แรงเฉือน: V = R_A ลบน้ำหนักลงทั้งหมดบนส่วนซ้าย
โมเมนต์ดัด: M = R_A·x ลบ แต่ละน้ำหนักบนส่วนซ้ายคูณระยะถึงรอยตัด
สำหรับโมเมนต์สูงสุด: หาว่า V = 0 ที่ใด และคำนวณ M ตรงนั้น

วาดส่วนซ้ายเป็นภาพร่างเล็ก ๆ แยกต่างหาก ทำให้เห็นชัดว่าต้องรวมน้ำหนักใด

5ตัวอย่างที่แก้ให้ดู

ทำตามทุกขั้นตอน ลองทำนายขั้นถัดไปก่อนเปิดดู

ตัวอย่างที่แก้ให้ดู

คานรองรับแบบธรรมดาช่วง 6 m รับ UDL 4 kN/m ตลอดความยาว จงหาแรงเฉือน V และโมเมนต์ดัด M ที่ x = 2 m จาก A

ดูที่คาน

ปฏิกิริยาที่จุดรองรับ

น้ำหนักรวมคือ 4 · 6 = 24 kN อยู่ตรงกลาง โดยสมมาตรแต่ละจุดรองรับรับครึ่งหนึ่ง:

R_A = R_B = 12 kN

เก็บส่วนซ้าย

UDL บนส่วนซ้ายคือ 4 · 2 = 8 kN กระทำที่จุดกึ่งกลางของมันเอง ห่างจากรอยตัด 1 m

แรงเฉือน

V = 12 − 8 = 4 kN

โมเมนต์ดัด

M = 12 · 2 − 8 · 1 = 16 kN·m

เป็นบวก คานจึงโค้งท้องตรงนี้

ตรวจสอบคำตอบ

ใช้ส่วนขวาแทน: ยาว 4 m โดยมี R_B = 12 kN และ UDL 16 kN ห่างจากรอยตัด 2 m

M = 12 · 4 − 16 · 2 = 16 kN·m

แผนภาพเต็มเป็นพาราโบลาที่มียอด wL²/8 = 18 kN·m ที่กึ่งกลางช่วง 16 kN·m ที่ x = 2 m สอดคล้อง

คำตอบ

V = 4 kN และ M = 16 kN·m (โค้งท้อง)

6ข้อผิดพลาดที่พบบ่อย

รวมน้ำหนักจากทั้งสองด้านของรอยตัด ใช้เฉพาะส่วนที่คุณเก็บไว้
วัดแขนโมเมนต์จาก A แทนที่จะวัดจากรอยตัด ใน M ระยะทุกค่าวัดจากน้ำหนักถึงรอยตัด
ตอบ V เมื่อถาม M หรือกลับกัน ตรวจหน่วย: kN หรือ kN·m
ใช้ UDL ทั้งหมดแทนที่จะใช้เฉพาะส่วนทางซ้ายของรอยตัด
ปนกฎเครื่องหมาย ตามกฎปกติ คานรองรับแบบธรรมดาภายใต้น้ำหนักลงมีโมเมนต์เป็นบวก (โค้งท้อง) ทุกแห่ง

ตรวจสอบตนเอง คานรองรับแบบธรรมดายาว 4 m รับ 20 kN ที่กึ่งกลางช่วง ดังนั้น R_A = 10 kN M ที่ x = 1 m คือเท่าใด

0 kN·m
10 kN
10 kN·m
20 kN·m

คำตอบ: 10 kN·m. เหลือเฉพาะ R_A ทางซ้ายของรอยตัด: M = 10·1 = 10 kN·m ส่วน 0 ลบน้ำหนักอย่างผิด ๆ ซึ่งอยู่ทางขวาของรอยตัด 20 kN·m คือ PL/4 โมเมนต์สูงสุดที่กึ่งกลางช่วง และ 10 kN คือแรงเฉือน

7ข้อสอบมีหน้าตาอย่างไร

ง่าย: น้ำหนักจุดเดียว หา M ที่น้ำหนัก หรือ V ข้างน้ำหนักนั้น แบบอื่นใช้คานยื่น (cantilever) ซึ่ง M มากที่สุดที่กำแพง
ปานกลาง: UDL ตลอดช่วงเต็ม ดังตัวอย่าง หา V หรือ M ที่ x ที่กำหนด หรือโมเมนต์สูงสุด
ยาก: น้ำหนักจุดและ UDL ร่วมกัน หรือ UDL บางส่วน หา M ที่หน้าตัด หรือโมเมนต์สูงสุดที่ V = 0

บางแบบใช้คานที่ยื่นเลยจุดรองรับ ส่วนยื่นโค้งหงาย ดังนั้น M เป็นลบตรงนั้น

เริ่มด้วยปฏิกิริยาเสมอและเขียนไว้บนภาพร่าง

เรียนรู้ทีละขั้นในแอป เรียนรู้ทีละขั้นในแอป

ตัวอย่างวิธีทำ

ตัวอย่างที่ 1ง่าย

เครื่องหมาย A ถึง G แบ่งคานเป็นหกส่วนเท่ากัน ที่เครื่องหมายใดโมเมนต์ดัดมีขนาดมากที่สุด ทั้งแบบท้องแอ่นหรือหลังโก่ง คลิกที่มันในแผนภาพ

40 kN @ 2 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)

แสดงคำใบ้

ยอดของโมเมนต์ดัดอยู่ที่แรงเฉือนเปลี่ยนเครื่องหมาย ที่ผนังยึดแน่น หรือเหนือจุดรองรับข้างส่วนที่ยื่น
หาแรงปฏิกิริยาที่จุดรองรับก่อน: R₁ = 33.33 kN
เปรียบเทียบโมเมนต์ที่เครื่องหมายตัวเลือก ขนาดที่มากที่สุดคือ 66.67 kN·m

แสดงคำตอบและคำอธิบาย

โมเมนต์ดัดสูงสุด: ความชันของ M เปลี่ยนทุกที่ที่แรงเฉือนเปลี่ยน ดังนั้นยอดของมันอยู่ที่แรงเฉือนตัดผ่านศูนย์: ใต้โหลดจุด ภายในโหลดแผ่กระจาย หรือเหนือจุดรองรับของคานยื่น ที่จุดรองรับแบบยึดแน่นของคานยื่นออก โมเมนต์มากที่สุดที่ผนัง เปรียบเทียบขนาดของ M ที่ตำแหน่งเหล่านั้น ทั้งแบบท้องแอ่นหรือแบบหลังโก่ง

ปฏิกิริยาที่จุดรองรับ

หาโมเมนต์รอบจุดรองรับหนึ่งจุด แล้วใช้สมดุลแรงแนวตั้ง

R₁ = 33.33 kN, R₂ = 6.667 kN

โมเมนต์ดัดที่ทุกเครื่องหมาย

รวมโมเมนต์ของแรงทั้งหมดที่ด้านหนึ่งของหน้าตัดที่ตัด ท้องแอ่นเป็นบวก หลังโก่งเป็นลบ

M_A = 0, M_B = 66.67 kN·m, M_C = 53.33, M_D = 40, M_E = 26.67, M_F = 13.33, M_G = 0

คำตอบ

เครื่องหมาย B: M_B = 66.67 kN·m

ตัวอย่างที่ 2ปานกลาง

หาโมเมนต์ดัด M_x ที่หน้าตัด x = 0.5 m จากจุดรองรับ A ให้โมเมนต์ที่ทำให้คานแอ่นลงเป็นบวก และแรงเฉือนที่ชี้ขึ้นบนหน้าซ้ายเป็นบวก

L = 6 mw = 5 kN/m จาก 0 ถึง 6 mx = 0.5 m

จงหา M_x (kN·m)

แสดงคำใบ้

ขั้นแรกหาปฏิกิริยาที่จุดรองรับจากสมดุลของคานทั้งตัว
จากนั้นตัดคานที่ x = 0.5 m แล้วพิจารณาเฉพาะส่วนทางซ้ายของรอยตัด รวมโมเมนต์ของแรงเหล่านั้นรอบรอยตัด
R_A = 15 kN.

แสดงคำตอบและเฉลยทีละขั้นตอน

วิธีหน้าตัด: ตัดคานตรงจุดที่ต้องการหาแรงภายในแล้วเก็บไว้ด้านหนึ่ง แรงเฉือน V สมดุลกับแรงแนวดิ่งทางด้านนั้น และโมเมนต์ดัด M สมดุลกับโมเมนต์ของแรงเหล่านั้นรอบรอยตัด

ปฏิกิริยาที่จุดรองรับ

สมดุลของคานทั้งตัว

แรงลัพธ์ของน้ำหนักแผ่สม่ำเสมอ: W = w·ℓ = 5·6 = 30 kN กระทำที่ x̄ = 3 m

ΣM_A = 0: R_B·6 = 5·6·3

R_B = 90/6 = 15 kN

ΣF_y = 0: R_A = 30 − 15 = 15 kN

ตัดที่ x = 0.5 m และเก็บส่วนทางซ้ายไว้

มีเฉพาะแรงทางซ้ายของรอยตัดเท่านั้น ส่วนของน้ำหนักแผ่สม่ำเสมอกระทำเป็นแรงเดียวที่กึ่งกลางของส่วนนั้น

M = R_A·x − (น้ำหนักบรรทุกแต่ละตัวทางซ้ายของรอยตัด × ระยะถึงรอยตัด)

M_x = 15·0.5 − 5·0.5·0.25 = 6.875 kN·m

คำตอบ

M_x = 6.875 kN·m

ตัวอย่างที่ 3ยาก

หาโมเมนต์ดัด M_x ที่หน้าตัด x = 5 m จากจุดรองรับ A ให้โมเมนต์ที่ทำให้คานแอ่นลงเป็นบวก และแรงเฉือนที่ชี้ขึ้นบนหน้าซ้ายเป็นบวก

L = 6 mP = 45 kN ที่ 1.5 mw = 6 kN/m จาก 0 ถึง 6 mx = 5 m

จงหา M_x (kN·m)

แสดงคำใบ้

ขั้นแรกหาปฏิกิริยาที่จุดรองรับจากสมดุลของคานทั้งตัว
จากนั้นตัดคานที่ x = 5 m แล้วพิจารณาเฉพาะส่วนทางซ้ายของรอยตัด รวมโมเมนต์ของแรงเหล่านั้นรอบรอยตัด
R_A = 51.75 kN.

แสดงคำตอบและเฉลยทีละขั้นตอน

ปฏิกิริยาที่จุดรองรับ

สมดุลของคานทั้งตัว

แรงลัพธ์ของน้ำหนักแผ่สม่ำเสมอ: W = w·ℓ = 6·6 = 36 kN กระทำที่ x̄ = 3 m

ΣM_A = 0: R_B·6 = 45·1.5 + 6·6·3

R_B = 175.5/6 = 29.25 kN

ΣF_y = 0: R_A = 81 − 29.25 = 51.75 kN

ตัดที่ x = 5 m และเก็บส่วนทางซ้ายไว้

M = R_A·x − (น้ำหนักบรรทุกแต่ละตัวทางซ้ายของรอยตัด × ระยะถึงรอยตัด)

M_x = 51.75·5 − 45·(5 − 1.5) − 6·5·2.5 = 26.25 kN·m

คำตอบ

M_x = 26.25 kN·m

คำถามและคำตอบ

แรงเฉือนและโมเมนต์ดัด คืออะไร

จะแก้โจทย์ แรงเฉือนและโมเมนต์ดัด ทีละขั้นได้อย่างไร

หาปฏิกิริยาที่จุดรองรับจากสมดุลของคานทั้งตัว
ตัดคานที่หน้าตัดที่ต้องการและเก็บไว้ด้านหนึ่ง
แรงเฉือน: ผลรวมแรงแนวดิ่งทางด้านนั้น โมเมนต์ดัด: ผลรวมโมเมนต์ของแรงเหล่านั้นรอบรอยตัด
สำหรับโมเมนต์สูงสุด ให้หาตำแหน่งที่แรงเฉือนเป็นศูนย์

ข้อผิดพลาดที่พบบ่อยใน แรงเฉือนและโมเมนต์ดัด มีอะไรบ้าง

รวมน้ำหนักจากทั้งสองด้านของรอยตัด
ใช้ข้อกำหนดเครื่องหมายผิดสำหรับโมเมนต์ที่ทำให้แอ่นลงและโค้งขึ้น
ตอบแรงเฉือนทั้งที่โจทย์ถามโมเมนต์ดัด

แบบฝึกหัด แรงเฉือนและโมเมนต์ดัด ครอบคลุมเรื่องอะไรบ้าง

ง่าย: แรงจุด
ปานกลาง: น้ำหนักแผ่สม่ำเสมอเต็มช่วง
ยาก: แรงจุด + น้ำหนักแผ่สม่ำเสมอ

โจทย์ทุกข้อใช้ค่าใหม่ คุณจึงเรียนรู้วิธีทำ ไม่ใช่จำคำตอบ ติดขัดใช่ไหม เปิดคำใบ้เล็ก ๆ ก่อน และเปิดคำอธิบายฉบับเต็มเมื่อจำเป็นเท่านั้น

การฝึกทำงานอย่างไร

โจทย์ทุกข้อใช้ค่าใหม่ คุณจึงเรียนรู้วิธีทำ ไม่ใช่จำคำตอบ
ติดขัดใช่ไหม เปิดคำใบ้เล็ก ๆ ก่อน และเปิดคำอธิบายฉบับเต็มเมื่อจำเป็นเท่านั้น
ความก้าวหน้า ข้อที่ผิด และโจทย์ที่บันทึกไว้จะถูกเก็บไว้ เพื่อให้คุณทบทวนก่อนสอบได้

หัวข้อก่อนและหลังหัวข้อนี้

ควรเรียนก่อน

ปฏิกิริยาที่จุดรองรับของคาน

เรียนต่อด้วย

การแอ่นตัวของคาน

เครื่องคำนวณ

เครื่องคำนวณแผนภาพแรงเฉือนและโมเมนต์ดัด เครื่องคำนวณความเค้นดัด (σ = My/I)

รายวิชาที่มีหัวข้อนี้

สถิตยศาสตร์กลศาสตร์ของวัสดุ การวิเคราะห์โครงสร้าง ฝึกข้อสอบ FE เครื่องกล ฝึกข้อสอบ FE โยธา

หัวข้ออื่นในโยธา

โครงข่ายถัก: วิธีจุดต่อ การแอ่นตัวของคาน เซนทรอยด์และโมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่การโก่งเดาะของเสา ความเค้นประสิทธิผลในดิน การทรุดตัวจากการอัดตัวคายน้ำ แรงจากความดันของไหลนิ่ง การไหลในช่องเปิด (แมนนิง)

ใบงานสำหรับพิมพ์

ใบงาน แรงเฉือนและโมเมนต์ดัด พร้อมเฉลย