การแอ่นตัวของคาน: แบบฝึกหัดพร้อมเฉลยทีละขั้นตอน

Q: จะแก้โจทย์ การแอ่นตัวของคาน ทีละขั้นได้อย่างไร

การแอ่นตัวของคาน: ระยะแอ่นได้จากการอินทิเกรตความโค้ง M/(EI) สองครั้ง กรณีมาตรฐานมีตารางให้ เช่น PL³/(3EI) สำหรับคานยื่นที่รับแรงที่ปลาย และ 5wL⁴/(384EI) สำหรับคานรับแรงสองจุดที่รับน้ำหนักแผ่สม่ำเสมอเต็มช่วง ระยะแอ่นจากน้ำหนักแต่ละตัวบวกกันได้ (การซ้อนทับ)

Q: แบบฝึกหัด การแอ่นตัวของคาน ครอบคลุมเรื่องอะไรบ้าง

ง่าย: คานยื่น แรงที่ปลาย ปานกลาง: น้ำหนักแผ่สม่ำเสมอ ยาก: การซ้อนทับและการออกแบบ โจทย์ทุกข้อใช้ค่าใหม่ คุณจึงเรียนรู้วิธีทำ ไม่ใช่จำคำตอบ ติดขัดใช่ไหม เปิดคำใบ้เล็ก ๆ ก่อน และเปิดคำอธิบายฉบับเต็มเมื่อจำเป็นเท่านั้น

แบบฝึกหัด การแอ่นตัวของคาน ฟรี พร้อมแผนภาพ คำใบ้ และเฉลยละเอียด ตัวเลขใหม่ทุกครั้ง สามระดับ: คานยื่น แรงที่ปลาย, น้ำหนักแผ่สม่ำเสมอ, การซ้อนทับและการออกแบบ

สำคัญ: ใช้เพื่อการเรียนรู้เท่านั้น

ใช้เพื่อการเรียนรู้เท่านั้น ห้ามนำผลลัพธ์เหล่านี้ไปใช้ออกแบบ สร้าง หรือตรวจสอบโครงสร้าง เครื่องจักร ระบบแรงดัน หรืออุปกรณ์ยกจริง การออกแบบจริงต้องจัดทำและตรวจสอบโดยวิศวกรที่มีคุณวุฒิ โดยใช้มาตรฐานและค่าความปลอดภัยที่เกี่ยวข้อง ข้อกำหนดการใช้งาน

โจทย์ฝึกฟรีง่าย

คานยื่นรับแรงจุด P ที่ปลายอิสระ หาระยะแอ่น δ ที่ปลายอิสระ

P = 3 kNL = 1.5 mE = 200 GPa (เหล็กกล้า)I = 8.5 × 10⁶ mm⁴

โจทย์ถัดไป →

ฝึก การแอ่นตัวของคาน ฟรี ฝึก การแอ่นตัวของคาน เลยโจทย์ฟรีวันละ 5 ข้อ ไม่ต้องใช้บัตร

สิ่งที่คุณจะได้ฝึก

ง่ายคานยื่น แรงที่ปลาย
ปานกลางน้ำหนักแผ่สม่ำเสมอ
ยากการซ้อนทับและการออกแบบ

สูตรสำคัญ

แรงจุดที่กึ่งกลางช่วง: δ = PL³/(48EI)
น้ำหนักแผ่สม่ำเสมอ รับแรงสองจุด: δ = 5wL⁴/(384EI)
คานยื่น แรงที่ปลาย: δ = PL³/(3EI)
คานยื่น น้ำหนักแผ่สม่ำเสมอ: δ = wL⁴/(8EI)
การซ้อนทับ: δ = δ₁ + δ₂

เรียนรู้ การแอ่นตัวของคาน ตั้งแต่ต้น

ก่อนหน้านี้: แรงเฉือนและโมเมนต์ดัด, เซนทรอยด์และโมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่

1การโก่งตัว (deflection) คืออะไร

คานทุกอันโค้งเล็กน้อยภายใต้น้ำหนัก ระยะที่จุดหนึ่งของคานเคลื่อนลงคือการโก่งตัว δ ปกติเป็น mm

คานแข็งแรงพอแต่ยังโก่งตัวมากเกินไปได้ พื้นจึงรู้สึกเด้ง ปูนฉาบแตก และประตูติด ขีดจำกัดทั่วไปสำหรับพื้นคือช่วง/360: พื้น 3.6 m โก่งตัวได้มากที่สุด 10 mm

คานโก่งตัวเท่าใดขึ้นกับสี่อย่าง:

น้ำหนัก: น้ำหนักเป็นสองเท่าให้การโก่งตัวเป็นสองเท่า
ช่วงคาน: การโก่งตัวเพิ่มเร็วมากตามความยาว (L³ หรือ L⁴)
มอดุลัสของยัง E ของวัสดุ: วัสดุที่แข็งกว่าโก่งน้อยกว่า
โมเมนต์ที่สองของพื้นที่ I ของหน้าตัด: หน้าตัดที่ลึกกว่าโก่งน้อยกว่า

E และ I ปรากฏร่วมกันเสมอเป็นผลคูณ EI ซึ่งเป็นความแข็งแกร่งเชิงดัด (flexural stiffness) ของคาน

ตรวจสอบตนเอง คุณเปลี่ยนคานเป็นอันที่มีโมเมนต์ที่สองของพื้นที่ I เป็นสองเท่า อย่างอื่นเหมือนเดิม การโก่งตัวเกิดอะไรขึ้น

กลายเป็นหนึ่งในสี่
ลดครึ่ง
เท่าเดิม
เพิ่มเป็นสองเท่า

คำตอบ: ลดครึ่ง. การโก่งตัวแปรผกผันกับ EI การเพิ่ม I เป็นสองเท่าทำให้ δ ลดครึ่ง

2สูตรมาตรฐาน

การโก่งตัวมาจากการอินทิเกรตโมเมนต์ดัดสองครั้ง แต่สำหรับกรณีทั่วไปผลถูกทำเป็นตารางแล้ว สี่กรณีครอบคลุมคำถามส่วนใหญ่:

คานยื่น น้ำหนักจุด P ที่ปลายอิสระ: δ = P·L³ / (3·E·I)
คานยื่น UDL w ตลอดความยาว: δ = w·L⁴ / (8·E·I)
รองรับแบบธรรมดา น้ำหนักจุด P ที่กึ่งกลางช่วง: δ_max = P·L³ / (48·E·I)
รองรับแบบธรรมดา UDL w ตลอดช่วง: δ_max = 5·w·L⁴ / (384·E·I)

สำหรับคานยื่น การโก่งตัวมากที่สุดอยู่ที่ปลายอิสระ สำหรับคานรองรับแบบธรรมดาที่น้ำหนักสมมาตร อยู่ที่กึ่งกลางช่วง

เมื่อคานรับหลายน้ำหนัก การโก่งตัวจากแต่ละน้ำหนักเดี่ยว ๆ บวกกัน นี่คือการซ้อนทับ (superposition)

ตรวจสอบตนเอง คานยื่นที่มีน้ำหนักปลายมีการโก่งตัวที่ปลาย 2 mm ทำให้คานยื่นยาวเป็นสองเท่า การโก่งตัวใหม่คือเท่าใด

16 mm
32 mm
4 mm
8 mm

คำตอบ: 16 mm. δ แปรผันตาม L³ การเพิ่ม L เป็นสองเท่าคูณ δ ด้วย 2³ = 8: 2·8 = 16 mm ส่วน 4 mm ถือเป็นเชิงเส้น และ 32 mm ใช้ L⁴ ซึ่งเป็นกรณี UDL

3หน่วย: ทำงานใน N และ mm

สูตรใช้ได้เฉพาะกับหน่วยที่สอดคล้องกัน ตัวเลือกที่ปลอดภัยคือนิวตันและมิลลิเมตร:

P เป็น N: kN × 1000
w เป็น N/mm: 1 kN/m เท่ากับ 1 N/mm พอดี
L เป็น mm: m × 1000
E เป็น N/mm²: GPa × 1000 เหล็ก: 200 GPa = 200 000 N/mm²
I เป็น mm⁴: “36 × 10⁶ mm⁴” หมายถึง 36 000 000 mm⁴

การโก่งตัวจึงออกมาเป็น mm เนื่องจาก L ยกกำลังสามหรือสี่ ตัวเลขจึงใหญ่ เครื่องคิดเลขที่มีกำลังสิบช่วยควบคุมมัน

ตรวจสอบตนเอง คานทำจากเหล็ก E = 200 GPa คุณใช้ค่า E ใดกับ N และ mm

0.2 N/mm²
200 000 000 N/mm²
200 000 N/mm²
200 N/mm²

คำตอบ: 200 000 N/mm². 1 GPa = 1000 MPa = 1000 N/mm² ดังนั้น 200 GPa = 200 000 N/mm² การใช้ 200 ทำให้การโก่งตัวใหญ่เกินจริง 1000 เท่า

4วิธีทำทีละขั้น

ระบุกรณี: คานยื่นหรือรองรับแบบธรรมดา น้ำหนักจุดหรือ UDL
แปลง P, w, L, E และ I เป็น N และ mm
เลือกสูตรที่ตรงกัน
คำนวณ δ เป็น mm
สำหรับหลายน้ำหนัก: คำนวณแต่ละน้ำหนักเดี่ยว ๆ แล้วบวกกัน
สำหรับโจทย์ออกแบบ: ตั้ง δ เท่ากับค่าที่อนุญาต (เช่น L/360) และแก้หา I

5ตัวอย่างที่แก้ให้ดู

ทำตามทุกขั้นตอน ลองทำนายขั้นถัดไปก่อนเปิดดู

ตัวอย่างที่แก้ให้ดู

คานยื่นเหล็ก (E = 200 GPa, I = 36 × 10⁶ mm⁴) ยาว 3 m รับน้ำหนักจุด 8 kN ที่ปลายอิสระ จงหาการโก่งตัวที่ปลายอิสระ

ระบุกรณี

คานยื่นที่มีน้ำหนักจุดที่ปลายอิสระ: δ = PL³/(3EI)

แปลงเป็น N และ mm

P = 8000 N, L = 3000 mm, E = 200 000 N/mm², I = 36 000 000 mm⁴

ความแข็งแกร่งเชิงดัด

E·I = 200 000 · 36 × 10⁶ = 7.2 × 10¹² N·mm²

ระยะแอ่นที่ปลาย

L³ = 3000³ = 2.7 × 10¹⁰ mm³

δ = 8000 · 2.7 × 10¹⁰ / (3 · 7.2 × 10¹²) = 10 mm

ตรวจสอบคำตอบ

10 mm บนคานยื่น 3 m คือ L/300 เป็นขนาดที่สมจริงสำหรับคานเหล็กที่รับน้ำหนัก: ไม่ใช่เศษของมิลลิเมตรและไม่ใช่หลายสิบเซนติเมตร

คำตอบ

ปลายอิสระโก่งตัว δ = 10 mm

6ข้อผิดพลาดที่พบบ่อย

ปนหน่วย: L เป็นเมตรกับ E เป็น N/mm² ได้ผลไร้สาระ แปลงทุกอย่างเป็น N และ mm ก่อน
ทิ้ง E เป็น GPa ซึ่งทำให้ δ ใหญ่เกินจริง 1000 เท่า
ใช้กรณีผิด เช่น PL³/(48EI) สำหรับคานยื่น ตรวจจุดรองรับและชนิดน้ำหนัก
ลืม 5 ใน 5wL⁴/(384EI)
ในการซ้อนทับ ใช้สูตรต่างกันสำหรับแต่ละน้ำหนักแต่ลืมน้ำหนักหนึ่ง

ตรวจสอบตนเอง คานรองรับแบบธรรมดารับน้ำหนักจุดที่กึ่งกลางช่วงซึ่งเดี่ยว ๆ ให้ 4 mm และ UDL ซึ่งเดี่ยว ๆ ให้ 6 mm การโก่งตัวที่กึ่งกลางช่วงคือเท่าใด

10 mm
2 mm
24 mm
6 mm

คำตอบ: 10 mm. โดยการซ้อนทับ การโก่งตัวจากแต่ละน้ำหนักบวกกัน: 4 + 6 = 10 mm การเอาเฉพาะค่าที่ใหญ่กว่า ผลต่าง หรือผลคูณผิดทั้งหมด

7ข้อสอบมีหน้าตาอย่างไร

ง่าย: คานยื่นที่มีน้ำหนักปลาย หา δ = PL³/(3EI) แบบอื่น: คานรองรับแบบธรรมดาที่มีน้ำหนักกลาง ความลาดที่ปลาย หรือน้ำหนักที่ให้การโก่งตัวค่าหนึ่ง
ปานกลาง: น้ำหนักแผ่กระจายสม่ำเสมอ คานยื่น (wL⁴/8EI) หรือคานรองรับแบบธรรมดา (5wL⁴/384EI) แบบอื่น: น้ำหนักนอกศูนย์กลางและความลาดที่ปลาย
ยาก: การซ้อนทับและการออกแบบ บวกการโก่งตัวของน้ำหนักจุดและ UDL หรือหา I ที่น้อยที่สุดที่ทำให้ δ ต่ำกว่า L/360

สำหรับกรณีออกแบบ: I_req = 5wL⁴ / (384·E·δ_allow) โดย δ_allow = L/360

เรียนรู้ทีละขั้นในแอป เรียนรู้ทีละขั้นในแอป

ตัวอย่างวิธีทำ

ตัวอย่างที่ 1ง่าย

คานช่วงเดียวรองรับอย่างง่ายรับแรงกระทำเป็นจุด P ที่กึ่งกลางช่วงคาน จงหาการโก่งตัว δ_max ที่กึ่งกลางช่วงคาน

P = 19 kNL = 4 mE = 200 GPa (เหล็กกล้า)I = 12 × 10⁶ mm⁴

จงหา δ_max (mm)

แสดงคำใบ้

สำหรับคานช่วงเดียวรองรับอย่างง่ายที่มีแรงกระทำเป็นจุดตรงกลาง การโก่งตัวที่กึ่งกลางช่วงคานคือ δ = PL³/(48EI)
คำนวณเป็น N และ mm: P เป็น N, w เป็น N/mm (kN/m = N/mm), L เป็น mm, E เป็น N/mm² (GPa × 1000), I เป็น mm⁴
EI = 2.4 × 10¹² N·mm².

แสดงคำตอบและเฉลยทีละขั้นตอน

การแอ่นตัวของคาน: ระยะแอ่นได้จากการอินทิเกรตความโค้ง M/(EI) สองครั้ง กรณีมาตรฐานมีตารางให้ เช่น PL³/(3EI) สำหรับคานยื่นที่รับแรงที่ปลาย และ 5wL⁴/(384EI) สำหรับคานรับแรงสองจุดที่รับน้ำหนักแผ่สม่ำเสมอเต็มช่วง ระยะแอ่นจากน้ำหนักแต่ละตัวบวกกันได้ (การซ้อนทับ)

หน่วยที่สอดคล้องกัน

คำนวณเป็น N และ mm: P เป็น N, w เป็น N/mm (kN/m = N/mm), L เป็น mm, E เป็น N/mm² (GPa × 1000), I เป็น mm⁴

P = 19000 N, L = 4000 mm

EI = 2.4 × 10¹² N·mm²

การโก่งตัวที่กึ่งกลางช่วงคาน

δ_max = PL³/(48EI) = 19000·4000³/(48·2.4 × 10¹²) = 10.56 mm

คำตอบ

δ_max = 10.56 mm

ตัวอย่างที่ 2ปานกลาง

คานยื่นยาว L ถูกยึดแน่นที่ A และรับแรงกระทำเป็นจุด P ที่ระยะ a = 2 m จาก A จงหาการโก่งตัว δ_B ที่ปลายอิสระ B

P = 26 kNa = 2 mL = 6 mE = 200 GPa (เหล็กกล้า)I = 84 × 10⁶ mm⁴

จงหา δ_B (mm)

แสดงคำใบ้

ส่วนระหว่าง A กับแรงกระทำทำงานเหมือนคานยื่นยาว a ที่มีแรงกระทำที่ปลาย: δ = Pa³/(3EI), θ = Pa²/(2EI)
เลยแรงกระทำไปไม่มีโมเมนต์ ส่วนนั้นจึงคงเป็นเส้นตรง: δ_B = Pa³/(3EI) + Pa²/(2EI)·(L − a) = Pa²(3L − a)/(6EI)
a = 2000 mm, EI = 1.68 × 10¹³ N·mm².

แสดงคำตอบและเฉลยทีละขั้นตอน

หน่วยที่สอดคล้องกัน

คำนวณเป็น N และ mm: P เป็น N, w เป็น N/mm (kN/m = N/mm), L เป็น mm, E เป็น N/mm² (GPa × 1000), I เป็น mm⁴

P = 26000 N, a = 2000 mm, L = 6000 mm

EI = 1.68 × 10¹³ N·mm²

การโก่งตัวที่ปลายอิสระ

การโก่งตัวที่แรงกระทำ บวกมุมลาดเอียงที่แรงกระทำคูณความยาวที่เหลือ

δ_P = Pa³/(3EI) = 4.127 mm

θ_P = Pa²/(2EI) = 0.003095 rad

δ_B = δ_P + θ_P·(L − a) = Pa²(3L − a)/(6EI) = 16.51 mm

คำตอบ

δ_B = 16.51 mm

ตัวอย่างที่ 3ยาก

คานไม้ช่วงเดียวรองรับอย่างง่ายหน้าตัดสี่เหลี่ยมผืนผ้ากว้าง 100 mm รับแรงกระทำแบบแผ่สม่ำเสมอ w ตลอดช่วงคาน การโก่งตัวที่กึ่งกลางช่วงคานต้องไม่เกิน ช่วงคาน/360 จงหาความลึกที่น้อยที่สุด h_req ของหน้าตัด

w = 4 kN/mL = 3 mE = 11 GPa (ไม้เนื้อแข็ง)b = 100 mm

จงหา h_req (mm)

แสดงคำใบ้

ตั้งการโก่งตัวที่กึ่งกลางช่วงคาน 5wL⁴/(384EI) เท่ากับขีดจำกัดแล้วแก้หา I ที่ต้องการ
จากนั้นใช้ I = bh³/12 สำหรับสี่เหลี่ยมผืนผ้าแล้วแก้หา h
I_req = 4.602 × 10⁷ mm⁴.

แสดงคำตอบและเฉลยทีละขั้นตอน

หน่วยที่สอดคล้องกัน

คำนวณเป็น N และ mm: P เป็น N, w เป็น N/mm (kN/m = N/mm), L เป็น mm, E เป็น N/mm² (GPa × 1000), I เป็น mm⁴

w = 4 N/mm, L = 3000 mm, E = 11000 N/mm²

เกณฑ์ระยะแอ่น

δ_allow = L/360 = 3000/360 = 8.333 mm

โมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่ที่ต้องการ

I_req = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·4·3000⁴/(384·11000·8.333) = 4.602 × 10⁷ mm⁴

ความลึกที่ต้องการ

bh³/12 = I_req → h = (12·4.602 × 10⁷/100)^1/3 = 176.8 mm

คำตอบ

h_req = 176.8 mm

ในทางปฏิบัติ ให้เลือกความลึกมาตรฐานถัดไปที่สูงกว่าค่านี้

คำถามและคำตอบ

การแอ่นตัวของคาน คืออะไร

จะแก้โจทย์ การแอ่นตัวของคาน ทีละขั้นได้อย่างไร

ข้อผิดพลาดที่พบบ่อยใน การแอ่นตัวของคาน มีอะไรบ้าง

PL³/(3EI) เป็นของคานยื่นที่มีแรงกระทำที่ปลาย คานช่วงเดียวรองรับอย่างง่ายที่มีแรงกระทำตรงกลางโก่งตัว PL³/(48EI)
สัมประสิทธิ์ 5/384 เป็นของแรงกระทำแบบแผ่สม่ำเสมอ (กับ wL⁴) สำหรับแรงกระทำเป็นจุดตรงกลางให้ใช้ 1/48
นั่นคือการโก่งตัวใต้แรงกระทำ ส่วนเลยแรงกระทำไปคานยังเป็นเส้นตรงแต่เอียง จึงต้องบวก θ·(L − a)

แบบฝึกหัด การแอ่นตัวของคาน ครอบคลุมเรื่องอะไรบ้าง

ง่าย: คานยื่น แรงที่ปลาย
ปานกลาง: น้ำหนักแผ่สม่ำเสมอ
ยาก: การซ้อนทับและการออกแบบ

โจทย์ทุกข้อใช้ค่าใหม่ คุณจึงเรียนรู้วิธีทำ ไม่ใช่จำคำตอบ ติดขัดใช่ไหม เปิดคำใบ้เล็ก ๆ ก่อน และเปิดคำอธิบายฉบับเต็มเมื่อจำเป็นเท่านั้น

การฝึกทำงานอย่างไร

โจทย์ทุกข้อใช้ค่าใหม่ คุณจึงเรียนรู้วิธีทำ ไม่ใช่จำคำตอบ
ติดขัดใช่ไหม เปิดคำใบ้เล็ก ๆ ก่อน และเปิดคำอธิบายฉบับเต็มเมื่อจำเป็นเท่านั้น
ความก้าวหน้า ข้อที่ผิด และโจทย์ที่บันทึกไว้จะถูกเก็บไว้ เพื่อให้คุณทบทวนก่อนสอบได้

หัวข้อก่อนและหลังหัวข้อนี้

ควรเรียนก่อน

แรงเฉือนและโมเมนต์ดัด เซนทรอยด์และโมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่

เครื่องคำนวณ

เครื่องคำนวณระยะแอ่นของคาน

รายวิชาที่มีหัวข้อนี้

กลศาสตร์ของวัสดุ การวิเคราะห์โครงสร้าง ฝึกข้อสอบ FE เครื่องกล ฝึกข้อสอบ FE โยธา

หัวข้ออื่นในโยธา

แรงเฉือนและโมเมนต์ดัด โครงข่ายถัก: วิธีจุดต่อ เซนทรอยด์และโมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่การโก่งเดาะของเสา ความเค้นประสิทธิผลในดิน การทรุดตัวจากการอัดตัวคายน้ำ แรงจากความดันของไหลนิ่ง การไหลในช่องเปิด (แมนนิง)

ใบงานสำหรับพิมพ์

ใบงาน การแอ่นตัวของคาน พร้อมเฉลย