वृत्तीय गति: चरण-दर-चरण हल सहित अभ्यास प्रश्न

आरेखों, संकेतों और पूर्ण हल के साथ मुफ़्त वृत्तीय गति अभ्यास प्रश्न। हर बार नए मान, तीन स्तरों पर: अभिकेंद्र बल, मोड़ पर घर्षण, ऊर्ध्वाधर वृत्त।

मुफ़्त अभ्यास प्रश्नआसान
r = 100 m29 m/sF = ?

1600 kg की एक कार 100 m त्रिज्या वाले समतल मोड़ पर नियत 29 m/s से चलती है। आवश्यक भीतर की ओर (अभिकेंद्र) बल Fc ज्ञात कीजिए।

m = 1600 kgv = 29 m/sr = 100 m
N
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वृत्तीय गति का मुफ़्त अभ्यास करेंअभी वृत्तीय गति का अभ्यास करेंहर दिन 5 मुफ़्त प्रश्न। कार्ड की ज़रूरत नहीं।

आप क्या अभ्यास करेंगे

  1. आसानअभिकेंद्र बल
  2. मध्यममोड़ पर घर्षण
  3. कठिनऊर्ध्वाधर वृत्त

मुख्य सूत्र

अभिकेंद्र त्वरण
a = v²/r = ω²·r
अभिकेंद्र बल
F = m·v²/r
कोणीय चाल
ω = v/r = 2π/T
समतल मोड़, घर्षण
vmax = √(μ·g·r)

वृत्तीय गति शुरू से सीखें

इससे पहले: न्यूटन के नियम

1वृत्तीय गति क्या है

मोड़ पर कार, डोरी पर पत्थर और पृथ्वी के चारों ओर उपग्रह, सभी वृत्त पर चलते हैं। स्थिर चाल पर भी उनकी दिशा बदलती रहती है।

दिशा का परिवर्तन वेग का परिवर्तन है, इसलिए पिंड त्वरित होता है। यह त्वरण वृत्त के केंद्र की ओर होता है। इसे अभिकेंद्र त्वरण ac कहते हैं।

rvac​v ⊥ rac​ = v²/r

वेग हमेशा स्पर्श रेखा के अनुदिश, त्रिज्या के लंबवत होता है। यदि अंदर की ओर खिंचाव अचानक रुक जाए, तो पिंड स्पर्श रेखा के अनुदिश सीधी रेखा में उड़ जाएगा, बाहर की ओर नहीं।

स्व-जाँच एक कार स्थिर चाल से गोल चक्कर पर घूमती है। यह किस दिशा में त्वरित होती है?
  1. आगे, अपने वेग के अनुदिश
  2. बाहर, केंद्र से दूर
  3. यह त्वरित नहीं होती
  4. वृत्त के केंद्र की ओर

उत्तर: वृत्त के केंद्र की ओर. चाल स्थिर है पर दिशा बदलती है, इसलिए त्वरण है। यह केंद्र की ओर है। “बाहर की ओर” का अनुभव आपके शरीर का सीधे चलते रहने का प्रयास है।

2अभिकेंद्र त्वरण और बल

अभिकेंद्र त्वरण चाल v (m/s) और त्रिज्या r (m) पर निर्भर करता है:

ac = v² / r

दोगुनी चाल चार गुना त्वरण देती है। तीखा मोड़ (छोटा r) बड़ा त्वरण देता है।

न्यूटन के द्वितीय नियम से किसी चीज़ को उतने परिमाण का अंदर की ओर बल देना होगा:

Fc = m · v² / r

Fc कोई नया बल नहीं है। यह वास्तविक बलों से बना नेट अंदर की ओर बल है: समतल मोड़ पर घर्षण, डोरी में तनाव, उपग्रह के लिए गुरुत्व, या ढलवाँ सड़क पर अभिलंब बल।

घूमती वस्तुओं का वर्णन अक्सर rad/s में कोणीय चाल ω से किया जाता है। एक चक्कर 2π rad है, इसलिए 60 rpm, 2π rad/s है।

ω = v / r = 2π / T ac = ω² · r
स्व-जाँच एक साइकिल चालक 50 m त्रिज्या के मोड़ पर 10 m/s से चलता है। अभिकेंद्र त्वरण क्या है?
  1. 0.2 m/s²
  2. 2 m/s²
  3. 5 m/s²
  4. 5000 m/s²

उत्तर: 2 m/s². ac = v²/r = 100/50 = 2 m/s²। चाल का वर्ग करना भूलने पर 10/50 = 0.2 m/s² मिलता है।

3विधि चरण-दर-चरण

  1. चालों को m/s, त्रिज्याओं को m और rpm को rad/s में बदलें।
  2. संबंधित बिंदु पर पिंड बनाएँ और केंद्र की दिशा चिह्नित करें।
  3. वास्तविक बल बनाएँ: भार, अभिलंब बल, घर्षण, तनाव।
  4. “केंद्र की ओर” को धनात्मक लें और उस दिशा में बल घटकों को जोड़ें।
  5. इस नेट अंदर की ओर बल को m·v²/r के बराबर रखें और हल करें।

समतल मोड़ पर अकेला घर्षण अंदर की ओर बल देता है। फिसलने से पहले की अधिकतम चाल μ·m·g = m·v²/r से मिलती है। द्रव्यमान कट जाता है:

vmax = √(μ · g · r)

4एक हल किया गया उदाहरण

हर चरण का अनुसरण करें। अगला चरण खोलने से पहले उसका अनुमान लगाने का प्रयास करें।

हल किया गया उदाहरण

एक कार 40 m त्रिज्या का समतल मोड़ लेती है। टायरों और सड़क के बीच स्थैतिक घर्षण गुणांक 0.5 है। g = 9.81 m/s² लें। वह अधिकतम चाल vmax ज्ञात कीजिए जिस पर कार बिना फिसले मोड़ ले सकती है।

1

कौन-सा बल अंदर की ओर है?

समतल सड़क पर गुरुत्व और अभिलंब बल ऊर्ध्वाधर हैं। केवल घर्षण बगल में, मोड़ के केंद्र की ओर कार्य करता है।

2

सबसे बड़ा घर्षण बल

समतल सड़क पर N = m·g, इसलिए घर्षण अधिकतम हो सकता है:

Ff,max = μ · m · g
3

इसे अभिकेंद्र बल के बराबर रखें

μ · m · g = m · v² / r

द्रव्यमान m दोनों ओर है और कट जाता है, इसलिए उत्तर छोटी कार और लॉरी दोनों के लिए समान है।

4

चाल के लिए हल करें

v² = μ · g · r = 0.5 · 9.81 · 40 = 196.2 m²/s²
vmax = √196.2 ≈ 14.0 m/s
5

उत्तर जाँचें

14.0 m/s × 3.6 ≈ 50 km/h। 40 m के तीखे मोड़ के लिए यह एक तर्कसंगत अधिकतम चाल है। फिसलन भरी सड़क (छोटा μ) कम चाल देगी।

उत्तर

vmax ≈ 14.0 m/s, लगभग 50 km/h।

5ऊर्ध्वाधर वृत्त

ऊर्ध्वाधर वृत्त में भार कभी केंद्र की ओर और कभी उससे दूर होता है। शीर्ष और तल को अलग-अलग देखें।

Tm·gTm·gT + m·g = m·v²/rT − m·g = m·v²/r
  • शीर्ष पर तनाव (या अभिलंब बल) और भार दोनों नीचे, केंद्र की ओर होते हैं।
  • तल पर तनाव ऊपर केंद्र की ओर होता है पर भार उससे दूर। डोरी को भार थामना और अभिकेंद्र बल देना होता है।

शीर्ष पर डोरी ठीक तब तनी रहती है जब T = 0। तब अकेला भार अंदर की ओर बल देता है: m·g = m·v²/r, इसलिए vmin = √(g·r)।

यदि आप एक बिंदु पर चाल जानते हैं और दूसरे पर चाहिए, तो ऊर्जा का उपयोग करें: 2r ऊपर जाने में प्रति kg v²/2 का 2·g·r खर्च होता है, इसलिए vtop² = vbottom² − 4·g·r।

6सामान्य गलतियाँ

  • अभिकेंद्र बल को घर्षण या तनाव के बगल में एक अतिरिक्त बल के रूप में बनाना। यह वास्तविक बलों का योग है।
  • v²/r में चाल का वर्ग करना भूल जाना।
  • km/h या rpm का सीधे उपयोग करना। पहले m/s या rad/s में बदलें।
  • ऊर्ध्वाधर वृत्त में भार का चिह्न गलत करना: यह शीर्ष पर मदद करता है और तल पर डोरी के विरुद्ध काम करता है।
  • यह सोचना कि पिंड पर बाहर की ओर कोई बल है। ज़मीन के निर्देश तंत्र में ऐसा कोई बल नहीं है।
स्व-जाँच 1 m डोरी पर 0.5 kg की गेंद ऊर्ध्वाधर वृत्त के निम्नतम बिंदु पर 4 m/s से चलती है। g = 9.81 m/s² के साथ वहाँ तनाव क्या है?
  1. 12.9 N
  2. 3.1 N
  3. 4.9 N
  4. 8 N

उत्तर: 12.9 N. तल पर T − m·g = m·v²/r, इसलिए T = 0.5 · 9.81 + 0.5 · 16/1 = 4.9 + 8 = 12.9 N। 8 N भार भूल जाता है। 3.1 N भार जोड़ने के बजाय घटाता है।

7परीक्षा प्रश्न कैसे दिखते हैं

  • आसान: अभिकेंद्र बल। मोड़ पर कार, डोरी पर पत्थर या घूमती डिस्क पर किसी बिंदु के लिए ac या Fc ज्ञात करें।
  • मध्यम: मोड़ पर घर्षण और संबंधित स्थितियाँ: समतल मोड़ पर अधिकतम चाल, ढलवाँ मोड़, सड़क का उभार, शंक्वाकार लोलक या मेले का रोटर।
  • कठिन: ऊर्ध्वाधर वृत्त। शीर्ष या तल पर तनाव, शीर्ष पर न्यूनतम चाल, या ऊर्जा संरक्षण के साथ लूप-द-लूप।

हर स्थिति में पहले पूछें: कौन-सा वास्तविक बल, या कौन-सा संयोजन, केंद्र की ओर है?

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हल किए गए उदाहरण

उदाहरण 1आसान
r = 110 m14 m/sF = ?

1700 kg की एक कार 110 m त्रिज्या वाले समतल मोड़ पर नियत 14 m/s से चलती है। आवश्यक भीतर की ओर (अभिकेंद्र) बल Fc ज्ञात कीजिए।

m = 1700 kgv = 14 m/sr = 110 m

ज्ञात करें: Fc (N)

संकेत दिखाएँ
  1. नियत चाल से वृत्त में चलने का अर्थ भी केंद्र की ओर त्वरित होना है।
  2. a = v²/r और F = m·a।
  3. v² = 196 m²/s².
उत्तर और चरण-दर-चरण हल दिखाएँ

एकसमान वृत्तीय गति: r त्रिज्या के वृत्त पर v चाल से चलती वस्तु केंद्र की ओर a = v²/r से त्वरित होती है, इसलिए उसे भीतर की ओर नेट बल F = m·v²/r चाहिए। यह बल किसी वास्तविक स्रोत से आता है: घर्षण, तनाव, गुरुत्व या अभिलंब बल।

अभिकेंद्र त्वरण

ac = v²/r = 14²/110 = 1.782 m/s²

अभिकेंद्र बल

Fc = m·a = 1700·1.782 = 3029 N

उत्तर

Fc = 3029 N
उदाहरण 2मध्यम
r = 50 mvmax​ = ?

एक कार 50 m त्रिज्या वाला समतल मोड़ लेती है। टायरों और सड़क के बीच स्थैतिक घर्षण गुणांक 0.3 है। g = 9.81 m/s² लें। वह अधिकतम चाल vmax ज्ञात कीजिए जिस पर कार बिना फिसले मोड़ ले सकती है।

r = 50 mμs = 0.3g = 9.81 m/s²

ज्ञात करें: vmax (m/s)

संकेत दिखाएँ
  1. भीतर की ओर एकमात्र बल घर्षण है, और यह अधिकतम μ·m·g हो सकता है।
  2. m·v²/r = μ·m·g रखें। द्रव्यमान कट जाता है।
  3. v = √(μ·g·r)।
उत्तर और चरण-दर-चरण हल दिखाएँ

एकसमान वृत्तीय गति: r त्रिज्या के वृत्त पर v चाल से चलती वस्तु केंद्र की ओर a = v²/r से त्वरित होती है, इसलिए उसे भीतर की ओर नेट बल F = m·v²/r चाहिए। यह बल किसी वास्तविक स्रोत से आता है: घर्षण, तनाव, गुरुत्व या अभिलंब बल।

घर्षण अभिकेंद्र बल प्रदान करता है

m·v²/r = μ·m·g
v = √(μ·g·r) = √(0.3·9.81·50) = 12.13 m/s

उत्तर

vmax = 12.13 m/s (43.67 km/h)
उदाहरण 3कठिन
R = 3.5 mh = 11.9 m

एक 1 kg गाड़ी घर्षणरहित ट्रैक पर 11.9 m की ऊँचाई पर विराम से छोड़ी जाती है और 3.5 m त्रिज्या वाले ऊर्ध्वाधर लूप से गुज़रती है। g = 9.81 m/s² लें। लूप के तल पर ट्रैक द्वारा गाड़ी पर अभिलंब बल Nbottom ज्ञात कीजिए।

m = 1 kgh = 11.9 mR = 3.5 mg = 9.81 m/s²

ज्ञात करें: Nbottom (N)

संकेत दिखाएँ
  1. ऊर्जा: तल पर v² = 2g·h।
  2. तल पर: N − m·g = m·v²/R।
  3. v² = 233.5 m²/s².
उत्तर और चरण-दर-चरण हल दिखाएँ

Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.

ऊर्जा संरक्षण से चाल

v² = 2·9.81·11.9 = 233.5 m²/s²

बल

केंद्र की ओर धनात्मक है।

N = m·v²/R + m·g = 1·233.5/3.5 + 9.81 = 76.52 N

उत्तर

Nbottom = 76.52 N

प्रश्न और उत्तर

वृत्तीय गति क्या है?

मोड़ पर कार, डोरी पर पत्थर और पृथ्वी के चारों ओर उपग्रह, सभी वृत्त पर चलते हैं। स्थिर चाल पर भी उनकी दिशा बदलती रहती है।

दिशा का परिवर्तन वेग का परिवर्तन है, इसलिए पिंड त्वरित होता है। यह त्वरण वृत्त के केंद्र की ओर होता है। इसे अभिकेंद्र त्वरण ac कहते हैं।

वृत्तीय गति के प्रश्न चरण-दर-चरण कैसे हल करें?

एकसमान वृत्तीय गति: r त्रिज्या के वृत्त पर v चाल से चलती वस्तु केंद्र की ओर a = v²/r से त्वरित होती है, इसलिए उसे भीतर की ओर नेट बल F = m·v²/r चाहिए। यह बल किसी वास्तविक स्रोत से आता है: घर्षण, तनाव, गुरुत्व या अभिलंब बल।

वृत्तीय गति में आम गलतियाँ क्या हैं?
  • चाल का वर्ग करें: a = v²/r।
  • यह v² है। वर्गमूल लें: v = √(μ·g·r)।
  • चाल m/s में दें, km/h में नहीं।
वृत्तीय गति के अभ्यास में क्या शामिल है?
  • आसान: अभिकेंद्र बल
  • मध्यम: मोड़ पर घर्षण
  • कठिन: ऊर्ध्वाधर वृत्त

हर प्रश्न में नए मान होते हैं, इसलिए आप उत्तर नहीं बल्कि विधि सीखते हैं। अटक गए? पहले एक छोटा संकेत खोलें, और पूरी व्याख्या तभी जब ज़रूरत हो।

अभ्यास कैसे काम करता है

  • हर प्रश्न में नए मान होते हैं, इसलिए आप उत्तर नहीं बल्कि विधि सीखते हैं।
  • अटक गए? पहले एक छोटा संकेत खोलें, और पूरी व्याख्या तभी जब ज़रूरत हो।
  • आपकी प्रगति, गलतियाँ और सहेजे गए प्रश्न रखे जाते हैं, ताकि आप परीक्षा से पहले दोहरा सकें।

इससे पहले और बाद के विषय

पहले सीखें

न्यूटन के नियम

इसके बाद

चुंबकीय क्षेत्र और प्रेरण

कैलकुलेटर

अभिकेंद्र बल कैलकुलेटर

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