संवेग और टक्करें: चरण-दर-चरण हल सहित अभ्यास प्रश्न

Q: संवेग और टक्करें के अभ्यास में क्या शामिल है?

आसान: पूर्णतः अप्रत्यास्थ मध्यम: प्रत्यास्थ कठिन: आवेग और बल हर प्रश्न में नए मान होते हैं, इसलिए आप उत्तर नहीं बल्कि विधि सीखते हैं। अटक गए? पहले एक छोटा संकेत खोलें, और पूरी व्याख्या तभी जब ज़रूरत हो।

आरेखों, संकेतों और पूर्ण हल के साथ मुफ़्त संवेग और टक्करें अभ्यास प्रश्न। हर बार नए मान, तीन स्तरों पर: पूर्णतः अप्रत्यास्थ, प्रत्यास्थ, आवेग और बल।

मुफ़्त अभ्यास प्रश्नआसान

चलने के लिए स्वतंत्र एक 4.5 kg राइफ़ल 750 m/s से एक 12 g गोली दागती है। दोनों विराम से शुरू होते हैं। राइफ़ल की प्रतिक्षेप चाल V ज्ञात कीजिए।

M = 4.5 kgm = 12 gv = 750 m/s

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आप क्या अभ्यास करेंगे

आसानपूर्णतः अप्रत्यास्थ
मध्यमप्रत्यास्थ
कठिनआवेग और बल

संवेग और टक्करें के प्रश्न कैसे हल करें

एक धनात्मक दिशा चुनें और हर वेग को उसका चिह्न दें।
पहले का कुल संवेग लिखें: Σm·v।
पूर्णतः अप्रत्यास्थ टक्कर में पिंड बाद में साथ चलते हैं; प्रत्यास्थ टक्कर में गतिज ऊर्जा भी संरक्षित रहती है।
पहले के संवेग को बाद के संवेग के बराबर रखें और हल करें।

सामान्य गलतियाँ

विपरीत दिशा वाले वेग का ऋण चिह्न भूल जाना।
वेगों को द्रव्यमान से भारित करने के बजाय उनका औसत लेना।
अप्रत्यास्थ टक्कर में गतिज ऊर्जा को संरक्षित मान लेना।

मुख्य सूत्र

संवेग: p = m·v
संरक्षण: Σm·v (before) = Σm·v (after)
पूर्णतः अप्रत्यास्थ: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
आवेग: J = F·Δt = m·Δv

संवेग और टक्करें शुरू से सीखें

इससे पहले: न्यूटन के नियम

1संवेग क्या है

10 km/h पर चलता ट्रक उसी चाल पर चलती साइकिल से अधिक कठिनाई से रुकता है। गोली छोटी होती है पर इतनी तेज़ होने के कारण उसे रोकना बहुत कठिन है। संवेग दोनों को जोड़ता है: द्रव्यमान और वेग।

p = m · v

संवेग p kg·m/s में होता है। उसकी दिशा होती है, जो वेग की दिशा के समान है। एक धनात्मक दिशा चुनिए: दूसरी ओर चलती वस्तु का वेग ऋणात्मक और संवेग भी ऋणात्मक होता है।

संवेग इसलिए मायने रखता है कि टक्करों और विस्फोटों में वह संरक्षित रहता है। टक्कर के दौरान जो भी हो, पहले का कुल संवेग बाद के कुल संवेग के बराबर होता है।

स्व-जाँच 3 m/s से चलती 2 kg की गेंद का संवेग क्या है?

1.5 kg·m/s
18 kg·m/s
6 kg·m/s
9 kg·m/s

उत्तर: 6 kg·m/s. p = m·v = 2 · 3 = 6 kg·m/s। 9, ½·m·v² है, यानी जूल में गतिज ऊर्जा, जो एक भिन्न राशि है।

2संवेग संरक्षण

जब दो वस्तुएँ टकराती हैं, तो वे एक ही छोटे समय तक एक-दूसरे पर समान और विपरीत बल (न्यूटन का तीसरा नियम) लगाती हैं। एक जितना संवेग पाती है, दूसरी उतना खो देती है।

इसलिए यदि टक्कर के दौरान कोई बाहरी बल नहीं लगता, तो कुल संवेग समान रहता है:

m₁·v₁ + m₂·v₂ = m₁·v′₁ + m₂·v′₂

एक प्राइम (′) टक्कर के बाद के वेग को दर्शाता है। छोटी टक्कर के दौरान सड़क का घर्षण कम होता है, इसलिए आप उसे अनदेखा कर सकते हैं।

टक्करें दो प्रकार की होती हैं:

पूर्णतः अप्रत्यास्थ: वस्तुएँ चिपक जाती हैं और एक उभयनिष्ठ वेग v′ से चलती हैं। गतिज ऊर्जा ऊष्मा, ध्वनि और पिचकने में खो जाती है।
प्रत्यास्थ: वस्तुएँ उछलकर अलग हो जाती हैं और गतिज ऊर्जा ½·m·v² भी संरक्षित रहती है।

पूर्णतः अप्रत्यास्थ टक्कर में उभयनिष्ठ वेग सीधे मिल जाता है:

v′ = (m₁·v₁ + m₂·v₂) / (m₁ + m₂)

विस्फोट या बंदूक चलना यही विचार उलटा है: पहले कुल संवेग शून्य है, इसलिए बाद में भी शून्य है।

स्व-जाँच 6 m/s पर चलती 2 kg की ट्रॉली विरामावस्था में रखी 1 kg की ट्रॉली से टकराती है। वे चिपक जाती हैं। उनका उभयनिष्ठ वेग क्या है?

12 m/s
2 m/s
3 m/s
4 m/s

उत्तर: 4 m/s. v′ = (2 · 6 + 1 · 0)/(2 + 1) = 12/3 = 4 m/s। वेगों का औसत लेना (3 m/s) इस बात को अनदेखा करता है कि भारी ट्रॉली में अधिक संवेग है।

3आवेग

समय Δt तक लगने वाला बल वस्तु का संवेग बदलता है। गुणनफल F·Δt को आवेग J कहते हैं, N·s में (kg·m/s के बराबर)।

J = F · Δt = m · Δv = m · (v′ − v)

संवेग में उतना ही परिवर्तन लंबे समय में कम बल से हो जाता है। इसीलिए एयरबैग और क्रंपल ज़ोन जान बचाते हैं।

जो गेंद वापस उछलती है, उसके वेग का चिह्न बदल जाता है। आने की दिशा को धनात्मक मानने पर, 10 m/s से दीवार से टकराकर 5 m/s से लौटने वाली गेंद के लिए Δv = −5 − 10 = −15 m/s होता है।

4विधि चरण-दर-चरण

एक धनात्मक दिशा चुनें और हर वेग को उसका चिह्न दें।
पहले का कुल संवेग लिखिए: m₁·v₁ + m₂·v₂।
तय कीजिए कि बाद में क्या होता है: एक उभयनिष्ठ वेग (वे चिपक जाती हैं), दो वेग (वे उछलती हैं) या कई टुकड़े (विस्फोट)।
पहले के संवेग को बाद के संवेग के बराबर रखिए और अज्ञात राशि के लिए हल कीजिए।
यदि ऊर्जा पूछी जाए, तो पहले और बाद की ½·m·v² की तुलना कीजिए।
उत्तर का चिह्न जाँचिए: ऋणात्मक वेग ऋणात्मक दिशा में चलता है।

5एक हल किया गया उदाहरण

हर चरण का अनुसरण करें। अगला चरण खोलने से पहले उसका अनुमान लगाने का प्रयास करें।

हल किया गया उदाहरण

20 m/s से चलती 1000 kg की कार विपरीत दिशा में 10 m/s से चलती 1500 kg की कार से आमने-सामने टकराती है। कारें आपस में जुड़ जाती हैं। टक्कर के ठीक बाद उनका उभयनिष्ठ वेग v′ ज्ञात कीजिए, पहली कार की दिशा को धनात्मक लेते हुए।

चिह्न

पहली कार की दिशा को धनात्मक लीजिए। तब v₁ = +20 m/s और v₂ = −10 m/s।

पहले का संवेग

1000 · 20 + 1500 · (−10) = 20000 − 15000 = 5000 kg·m/s

बाद का संवेग

कारें 2500 kg की एक वस्तु की तरह वेग v′ से चलती हैं।

p′ = 2500 · v′

हल करें

2500 · v′ = 5000 ⇒ v′ = 2 m/s

उत्तर जाँचें

v′ धनात्मक है, इसलिए मलबा पहली कार की दिशा में चलता है। यह उचित है: पहली कार में अधिक संवेग था (20 000 बनाम 15 000 kg·m/s)। गतिज ऊर्जा 275 000 J से घटकर 5000 J रह जाती है, जैसा कारों के चिपकने पर अपेक्षित है।

उत्तर

v′ = +2 m/s, पहली कार की गति की दिशा में।

6सामान्य गलतियाँ

विपरीत दिशा वाले वेग का ऋण चिह्न भूल जाना।
वेगों को द्रव्यमान से भारित करने के बजाय उनका औसत लेना।
यह मान लेना कि वस्तुओं के चिपकने पर गतिज ऊर्जा संरक्षित रहती है। केवल संवेग संरक्षित रहता है।
उछाल के लिए, वेग में परिवर्तन के बजाय चालों का अंतर लेना: गेंद पलट जाती है, इसलिए चालें जुड़ती हैं।
गोली के लिए ग्राम और किलोग्राम को गड़बड़ाना: 12 g का अर्थ 0.012 kg है।

स्व-जाँच 0.2 kg की गेंद 10 m/s से दीवार से टकराती है और सीधे 5 m/s से वापस उछलती है। संपर्क 0.01 s तक रहता है। दीवार का औसत बल कितना है?

100 N
200 N
3 N
300 N

उत्तर: 300 N. Δv = −5 − 10 = −15 m/s, इसलिए F = m·|Δv|/Δt = 0.2 · 15/0.01 = 300 N। 10 − 5 = 5 m/s लेना (100 N) यह भूल जाता है कि गेंद पलटती है। 3 N, N·s में आवेग है, समय से भाग दिए बिना।

7परीक्षा प्रश्न कैसे दिखते हैं

आसान: पूर्णतः अप्रत्यास्थ टक्करें: आपस में जुड़ती दो कारें, दूसरी ट्रॉली से टकराती ट्रॉली, या पीछे हटती राइफल।
मध्यम: पटरी पर ग्लाइडरों की प्रत्यास्थ टक्करें, वस्तुओं के चिपकने पर खोई गतिज ऊर्जा, विस्फोट, और लटके गुटके में दागी गई गोली।
कठिन: आवेग और बल: दीवार से उछलती गेंद, चौराहे पर टकराती कारें (दो दिशाओं में संवेग), या रुकने तक फिसलता मलबा।

दूसरी वस्तु के विरामावस्था में होने पर प्रत्यास्थ टक्कर के लिए: v′₁ = (m₁ − m₂)/(m₁ + m₂) · v₁ और v′₂ = 2m₁/(m₁ + m₂) · v₁।

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हल किए गए उदाहरण

उदाहरण 1आसान

7.5 m/s से चल रही एक 0.5 kg ट्रॉली विराम में खड़ी 5 kg ट्रॉली से टकराती है। टक्कर के बाद पहली ट्रॉली उसी दिशा में 0.5 m/s से चलती रहती है। दूसरी ट्रॉली का वेग v′₂ ज्ञात कीजिए।

m₁ = 0.5 kgv₁ = 7.5 m/sm₂ = 5 kgv′₁ = 0.5 m/s

ज्ञात करें: v′₂ (m/s)

संकेत दिखाएँ

पहले कुल संवेग = बाद में कुल संवेग।
m₁·v₁ = m₁·v′₁ + m₂·v′₂।
स्थानांतरित संवेग = 3.5 kg·m/s.

उत्तर और चरण-दर-चरण हल दिखाएँ

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

संवेग संतुलन

0.5·7.5 = 0.5·0.5 + 5·v′₂

v′₂ = 3.5/5 = 0.7 m/s

उत्तर

v′₂ = 0.7 m/s

उदाहरण 2मध्यम

10 m/s से चल रही एक 1400 kg कार खड़ी 1500 kg कार से टकराती है और दोनों आपस में जुड़ जाती हैं। टक्कर में कितनी गतिज ऊर्जा ΔK नष्ट होती है?

m₁ = 1400 kgv₁ = 10 m/sm₂ = 1500 kgv₂ = 0

ज्ञात करें: ΔK (J)

संकेत दिखाएँ

पहले संवेग संरक्षण से साझा वेग ज्ञात करें।
फिर पहले और बाद के ½·m·v² की तुलना करें।
v′ = 4.828 m/s.

उत्तर और चरण-दर-चरण हल दिखाएँ

उभयनिष्ठ वेग

v′ = m₁·v₁/(m₁ + m₂) = 1400·10/2900 = 4.828 m/s

पहले और बाद की गतिज ऊर्जा

K_before = ½·1400·10² = 70000 J

K_after = ½·2900·4.828² = 33793 J

नष्ट ऊर्जा

ΔK = 70000 − 33793 = 36207 J

उत्तर

ΔK = 36207 J

नष्ट ऊर्जा विरूपण, ऊष्मा और ध्वनि में जाती है।

उदाहरण 3कठिन

एक 20 g गोली 0.7 m लंबी हल्की डोरियों से लटके 5 kg गुटके में क्षैतिज रूप से दागी जाती है और उसमें रह जाती है। डोरियाँ ऊर्ध्वाधर से अधिकतम 25° के कोण तक झूलती हैं। g = 9.81 m/s² लें। टक्कर से पहले गोली की चाल v ज्ञात कीजिए।

m = 20 gM = 5 kgL = 0.7 mθ = 25°g = 9.81 m/s²

ज्ञात करें: v (m/s)

संकेत दिखाएँ

प्राप्त ऊँचाई: h = L·(1 − cos θ)।
झूलना: V = √(2gh)। टक्कर: m·v = (m + M)·V।
h = 0.06558 m, V = 1.134 m/s.

उत्तर और चरण-दर-चरण हल दिखाएँ

गुटके का उठान

h = L·(1 − cos θ) = 0.7·(1 − cos 25°) = 0.06558 m

टक्कर के बाद चाल

V = √(2·9.81·0.06558) = 1.134 m/s

टक्कर

v = (m + M)·V/m = 5.02·1.134/0.02 = 284.7 m/s

उत्तर

v = 284.7 m/s

प्रश्न और उत्तर

संवेग और टक्करें क्या है?

संवेग और टक्करें के प्रश्न चरण-दर-चरण कैसे हल करें?

एक धनात्मक दिशा चुनें और हर वेग को उसका चिह्न दें।
पहले का कुल संवेग लिखें: Σm·v।
पूर्णतः अप्रत्यास्थ टक्कर में पिंड बाद में साथ चलते हैं; प्रत्यास्थ टक्कर में गतिज ऊर्जा भी संरक्षित रहती है।
पहले के संवेग को बाद के संवेग के बराबर रखें और हल करें।

संवेग और टक्करें में आम गलतियाँ क्या हैं?

विपरीत दिशा वाले वेग का ऋण चिह्न भूल जाना।
वेगों को द्रव्यमान से भारित करने के बजाय उनका औसत लेना।
अप्रत्यास्थ टक्कर में गतिज ऊर्जा को संरक्षित मान लेना।

संवेग और टक्करें के अभ्यास में क्या शामिल है?

आसान: पूर्णतः अप्रत्यास्थ
मध्यम: प्रत्यास्थ
कठिन: आवेग और बल

हर प्रश्न में नए मान होते हैं, इसलिए आप उत्तर नहीं बल्कि विधि सीखते हैं। अटक गए? पहले एक छोटा संकेत खोलें, और पूरी व्याख्या तभी जब ज़रूरत हो।

अभ्यास कैसे काम करता है

हर प्रश्न में नए मान होते हैं, इसलिए आप उत्तर नहीं बल्कि विधि सीखते हैं।
अटक गए? पहले एक छोटा संकेत खोलें, और पूरी व्याख्या तभी जब ज़रूरत हो।
आपकी प्रगति, गलतियाँ और सहेजे गए प्रश्न रखे जाते हैं, ताकि आप परीक्षा से पहले दोहरा सकें।

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