तरंगें, ध्वनि और प्रकाशिकी: चरण-दर-चरण हल सहित अभ्यास प्रश्न
आरेखों, संकेतों और पूर्ण हल के साथ मुफ़्त तरंगें, ध्वनि और प्रकाशिकी अभ्यास प्रश्न। हर बार नए मान, तीन स्तरों पर: तरंग चाल, ध्वनि स्तर और अपवर्तन, अप्रगामी तरंगें, लेंस और डॉप्लर, व्यतिकरण, झरझरी, दर्पण और तंतु।
तरंगें, ध्वनि और प्रकाशिकी शुरू से सीखें
इससे पहले: स्प्रिंग और लोलक
1तरंग क्या है
तरंग ऊर्जा को एक स्थान से दूसरे स्थान तक ले जाती है, पदार्थ को साथ ले जाए बिना: माध्यम केवल दोलन करता है। डोरी या जल पर गति अनुप्रस्थ (गति की दिशा के आर-पार) होती है; वायु में ध्वनि अनुदैर्ध्य (उसी दिशा में) होती है।
तरंगदैर्ध्य λ एक पूरे चक्र की लंबाई है, आवर्तकाल T एक चक्र का समय, और आवृत्ति f = 1/T। एक आवर्तकाल में तरंग एक तरंगदैर्ध्य चलती है, इसलिए:
v = fλ डोरी: v = √(T/μ), μ = m/L
वायु में ध्वनि लगभग 343 m/s से चलती है, प्रकाश c = 3.00 × 10⁸ m/s से। चाल माध्यम पर निर्भर करती है, आवृत्ति पर नहीं।
स्व-जाँच 686 Hz की ध्वनि 343 m/s से चलती है। उसकी तरंगदैर्ध्य क्या है?
- 0.002 m
- 0.5 m
- 2 m
- 235 000 m
उत्तर: 0.5 m. λ = v/f = 343/686 = 0.5 m। उलटा भाग देने पर 2 m मिलता है, और गुणा करने पर बहुत बड़ी संख्या।
2ध्वनि स्तर और डॉप्लर प्रभाव
हमारे कान तीव्रता I (W/m²) पर लघुगणकीय पैमाने से प्रतिक्रिया करते हैं, इसलिए प्रबलता डेसिबल में दी जाती है:
β = 10·log₁₀(I/I₀) I₀ = 10⁻¹² W/m²
तीव्रता दस गुनी होने पर 10 dB जुड़ता है; दो समान स्रोत लगभग 3 dB जोड़ते हैं। छोटा स्रोत अपनी शक्ति गोले पर फैलाता है, I = P/(4πr²), इसलिए दूरी दोगुनी करने पर स्तर लगभग 6 dB घटता है।
जब स्रोत और श्रोता एक-दूसरे के पास आते हैं तो तारत्व बढ़ता है; जब वे दूर जाते हैं तो घटता है (डॉप्लर प्रभाव):
f′ = f·(v ± vo)/(v ∓ vs)
एक-दूसरे की ओर गति के लिए ऊपरी चिह्न उपयोग करें। श्रोता की चाल अंश में जाती है, स्रोत की चाल हर में।
3अप्रगामी तरंगें
डोरी के दोनों सिरों से परावर्तित तरंगें व्यतिकरण करके अप्रगामी तरंग बनाती हैं। दोनों सिरों पर बँधी डोरी के सिरों पर निस्पंद होते हैं और उसमें पूरी अर्ध-तरंगदैर्ध्य समाती हैं:
L = nλ/2 fₙ = n·v/(2L), n = 1, 2, 3, …
दोनों सिरों पर खुली नली भी यही नियम मानती है। एक सिरे पर बंद नली में बंद सिरे पर निस्पंद और खुले सिरे पर प्रस्पंद होता है, इसलिए केवल विषम संनादी समाते हैं: fₙ = n·v/(4L), n = 1, 3, 5, …
स्व-जाँच एक सिरे पर बंद नली की मूल आवृत्ति 100 Hz है। इनमें से कौन-सी आवृत्ति वह और उत्पन्न कर सकती है?
- 150 Hz
- 200 Hz
- 300 Hz
- 50 Hz
उत्तर: 300 Hz. बंद नली में केवल विषम संनादी होते हैं: 100, 300, 500 Hz, … 200 Hz के लिए n = 2 चाहिए, जो बंद नली में नहीं समा सकता।
4अपवर्तन और लेंस
काँच या जल में प्रकाश n = c/v गुना धीमा हो जाता है (अपवर्तनांक)। सीमा पर किरण दिशा बदलती है (स्नेल का नियम), कोण अभिलंब से मापे जाते हैं:
n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂ क्रांतिक कोण: sin θc = n₂/n₁
सघन से विरल माध्यम में जाते समय θc से आगे सारा प्रकाश परावर्तित हो जाता है (पूर्ण आंतरिक परावर्तन)। प्रकाशिक तंतु इसी तरह प्रकाश को निर्देशित करते हैं।
पतले लेंस और वक्र दर्पण एक ही समीकरण का पालन करते हैं, आवर्धन m = −dᵢ/d₀ के साथ:
1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ
चिह्न: अभिसारी लेंस और अवतल दर्पण के लिए f > 0 (f = R/2), अपसारी लेंस और उत्तल दर्पण के लिए f < 0। धनात्मक dᵢ वास्तविक प्रतिबिंब है, ऋणात्मक dᵢ आभासी; m < 0 का अर्थ है प्रतिबिंब उल्टा है।
5व्यतिकरण और विवर्तन
दूरी d पर स्थित दो संकरी झिरियों से आया प्रकाश दूरी L पर स्थित परदे पर अतिव्यापन करता है। जहाँ पथांतर d·sin θ तरंगदैर्ध्य का पूर्ण गुणज होता है, वहाँ तरंगें जुड़ती हैं: दीप्त फ्रिंज।
d·sin θ = mλ yₘ = mλL/d Δy = λL/d
विवर्तन झरझरी में कई झिरियाँ होती हैं: N रेखाएँ प्रति mm का अर्थ d = 1/N mm। इसके उच्चिष्ठ तीक्ष्ण और दूर-दूर होते हैं, और उच्चतम कोटि वह सबसे बड़ा पूर्णांक m है जिसके लिए m ≤ d/λ। चौड़ाई a की एकल झिरी में a·sin θ = mλ पर अदीप्त फ्रिंज होते हैं, इसलिए उसका केंद्रीय उच्चिष्ठ 2λL/a चौड़ा होता है।
6एक हल किया गया उदाहरण
हर चरण का अनुसरण करें। अगला चरण खोलने से पहले उसका अनुमान लगाने का प्रयास करें।
हल किया गया उदाहरणएक वस्तु f = 10 cm वाले अभिसारी लेंस के सामने 30 cm पर रखी है। प्रतिबिंब दूरी और आवर्धन ज्ञात करें।
11/dᵢ = 1/f − 1/d₀ = 1/10 − 1/30 = 2/30
अतः dᵢ = 15 cm।
2dᵢ धनात्मक है, इसलिए प्रतिबिंब वास्तविक है: यह लेंस के दूसरी ओर बनता है और परदे पर पकड़ा जा सकता है।
3m = −dᵢ/d₀ = −15/30 = −0.5
प्रतिबिंब उल्टा है और वस्तु के आकार का आधा है।
4अक्ष के समांतर किरण दूसरी ओर F से होकर मुड़ती है; केंद्र से जाने वाली किरण सीधी जाती है। वे लेंस के 15 cm पीछे, अक्ष के नीचे मिलती हैं।
उत्तर dᵢ = 15 cm और m = −0.5: वास्तविक, उल्टा, आधे आकार का प्रतिबिंब।
स्व-जाँच एक वस्तु f = 10 cm वाले अभिसारी लेंस के सामने 5 cm पर है। किस प्रकार का प्रतिबिंब बनता है?
- आभासी और सीधा, वस्तु की ही ओर
- कोई प्रतिबिंब नहीं: किरणें समांतर निकलती हैं
- वास्तविक और उल्टा, दूसरी ओर
- वास्तविक और सीधा, उसी ओर
उत्तर: आभासी और सीधा, वस्तु की ही ओर. 1/dᵢ = 1/10 − 1/5 = −1/10, इसलिए dᵢ = −10 cm: ऋणात्मक प्रतिबिंब दूरी का अर्थ आभासी प्रतिबिंब है, और m = +2 का अर्थ सीधा और आवर्धित है। आवर्धक लेंस इसी तरह काम करता है।
7सामान्य गलतियाँ और परीक्षा प्रश्न
- कोण अभिलंब से मापने की जगह सतह से मापना।
- आयामों के लिए 10·log या तीव्रताओं के लिए 20·log का उपयोग करना: तीव्रताओं के लिए 10·log लगता है।
- बंद नली को सम संनादी देना।
- आभासी प्रतिबिंब या अपसारी लेंस का ऋण चिह्न छोड़ देना।
- व्यतिकरण के प्रश्नों में nm, mm और cm को मीटर में बदलना भूल जाना।
- आसान: v = fλ, डोरी पर तरंगें, ध्वनि स्तर, स्नेल का नियम और किसी पदार्थ में प्रकाश की चाल।
- मध्यम: डोरी और नलियों में अप्रगामी तरंगें, क्रांतिक कोण, पतले लेंस, डॉप्लर प्रभाव और व्युत्क्रम-वर्ग नियम।
- कठिन: द्वि-झिरी, झरझरी, एकल झिरी, दर्पण, द्वि-लेंस निकाय, गतिमान वस्तुओं से प्रतिध्वनि और प्रकाशिक तंतु।
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