स्प्रिंग और लोलक: चरण-दर-चरण हल सहित अभ्यास प्रश्न

आरेखों, संकेतों और पूर्ण हल के साथ मुफ़्त स्प्रिंग और लोलक अभ्यास प्रश्न। हर बार नए मान, तीन स्तरों पर: स्प्रिंग पर द्रव्यमान, लोलक, चाल, त्वरण और ऊर्जा।

मुफ़्त अभ्यास प्रश्नआसान
4.8 kgk = ?

एक स्प्रिंग पर 4.8 kg का द्रव्यमान 2.5 s के आवर्तकाल से दोलन करता है। स्प्रिंग की कठोरता k ज्ञात कीजिए।

m = 4.8 kgT = 2.5 s
N/m
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स्प्रिंग और लोलक का मुफ़्त अभ्यास करेंअभी स्प्रिंग और लोलक का अभ्यास करेंहर दिन 5 मुफ़्त प्रश्न। कार्ड की ज़रूरत नहीं।

आप क्या अभ्यास करेंगे

  1. आसानस्प्रिंग पर द्रव्यमान
  2. मध्यमलोलक
  3. कठिनचाल, त्वरण और ऊर्जा

मुख्य सूत्र

स्प्रिंग पर द्रव्यमान
T = 2π·√(m/k)
लोलक
T = 2π·√(L/g)
कोणीय आवृत्ति
ω = √(k/m) = 2π/T
अधिकतम चाल और त्वरण
vmax = A·ω, amax = A·ω²
ऊर्जा
E = ½·k·A²

स्प्रिंग और लोलक शुरू से सीखें

इससे पहले: न्यूटन के नियम

1दोलन क्या है

स्प्रिंग पर लगे द्रव्यमान को एक ओर खींचकर छोड़ दें। वह बीच से आगे निकलकर दूसरी ओर जाता है और फिर लौट आता है। झूले पर बैठा बच्चा और गिटार का तार भी यही करते हैं।

यह दोहराई जाने वाली गति दोलन है। बीच का बिंदु, जहाँ द्रव्यमान विराम में रहता, साम्य स्थिति है।

m0−A+Axk
  • आयाम A साम्य से सबसे अधिक दूरी है, m में।
  • आवर्तकाल T एक पूरे दोलन का समय है, जाना और लौटना, s में।
  • आवृत्ति f प्रति सेकंड दोलनों की संख्या है, हर्ट्ज़ (Hz) में।
f = 1 / T
स्व-जाँच स्प्रिंग पर लगा एक द्रव्यमान 10 s में 20 पूरे दोलन करता है। आवर्तकाल क्या है?
  1. 0.5 s
  2. 10 s
  3. 2 s
  4. 200 s

उत्तर: 0.5 s. T = समय / दोलनों की संख्या = 10/20 = 0.5 s। 2 आवृत्ति है, Hz में (20/10), यानी प्रति सेकंड दोलनों की संख्या।

2सरल आवर्त गति

स्प्रिंग खिंचाव के अनुपाती बल से पीछे खींचती है: F = −k·x। कठोरता k, N/m में है। ऋण चिह्न का अर्थ है कि बल हमेशा साम्य की ओर होता है।

ऐसा प्रत्यानयन बल सरल आवर्त गति (SHM) देता है। स्थिति समय के साथ एक कोज्या वक्र का अनुसरण करती है:

txA−AT
x = A · cos(ω·t)

कोणीय आवृत्ति ω (ओमेगा), rad/s में, तय करती है कि गति कितनी तेज़ी से दोहराई जाती है। एक आवर्तकाल 2π rad है।

ω = 2π / T = 2π · f

आयाम आवर्तकाल को नहीं बदलता। बड़ा झूला अधिक दूरी तय करता है पर तेज़ भी चलता है।

3स्प्रिंग और लोलक के सूत्र

स्प्रिंग पर लगे द्रव्यमान के लिए, भारी द्रव्यमान अधिक धीरे दोलन करता है और कठोर स्प्रिंग अधिक तेज़:

ω = √(k / m) T = 2π · √(m / k)

लंबाई L के सरल लोलक के लिए, छोटे झूलों में द्रव्यमान बिल्कुल मायने नहीं रखता:

T = 2π · √(L / g)

यदि स्प्रिंग ऊर्ध्वाधर लटकी हो, तो भार उसे एक नई साम्य स्थिति तक खींचता है: k·x = m·g। मापे गए खिंचाव से k निकालने के लिए इसका उपयोग करें।

चाल साम्य पर सबसे अधिक और सिरों पर शून्य होती है। त्वरण सिरों पर सबसे अधिक होता है, जहाँ स्प्रिंग बल सबसे अधिक है:

vmax = A · ω amax = A · ω²

कुल ऊर्जा समान रहती है: E = ½·k·A²। स्थिति x पर वह ½·k·x² + ½·m·v² के रूप में बँटी होती है।

स्व-जाँच आप स्प्रिंग पर लगे द्रव्यमान को दोगुने भारी द्रव्यमान से बदल देते हैं। आवर्तकाल का क्या होता है?
  1. वह 1.41 गुना छोटा हो जाता है
  2. वह 4 गुना लंबा हो जाता है
  3. वह दुगुना हो जाता है
  4. वह √2 ≈ 1.41 गुना लंबा हो जाता है

उत्तर: वह √2 ≈ 1.41 गुना लंबा हो जाता है. T = 2π·√(m/k), इसलिए T, m के वर्गमूल के साथ बढ़ता है। m को दोगुना करने से T, √2 गुना हो जाता है। दोगुना कहना वर्गमूल भूल जाना है।

4विधि चरण-दर-चरण

  1. सब कुछ SI इकाइयों में बदलें: ग्राम को kg में, सेंटीमीटर को m में।
  2. तय करें कि यह कौन-सा तंत्र है: स्प्रिंग पर लगा द्रव्यमान (k और m का उपयोग करें) या लोलक (L और g का उपयोग करें)।
  3. यदि आवर्तकाल या दोलनों की संख्या दी हो, तो पहले T ज्ञात करें: T = समय / संख्या।
  4. तंत्र से ω ज्ञात करें: ω = √(k/m) या ω = 2π/T।
  5. जो पूछा गया है उसके लिए सूत्र का उपयोग करें: T, f, vmax = A·ω, amax = A·ω² या ऊर्जा ½·k·A²।
  6. जाँचें कि उत्तर तर्कसंगत है: कठोर स्प्रिंग के लिए सेकंड का एक अंश, लंबे लोलक के लिए कुछ सेकंड का आवर्तकाल।

5एक हल किया गया उदाहरण

हर चरण का अनुसरण करें। अगला चरण खोलने से पहले उसका अनुमान लगाने का प्रयास करें।

हल किया गया उदाहरण

k = 200 N/m वाली स्प्रिंग पर लगे 0.5 kg के द्रव्यमान को साम्य से 5 cm खींचकर छोड़ा जाता है। आवर्तकाल T, आवृत्ति f, अधिकतम चाल vmax और अधिकतम त्वरण amax ज्ञात कीजिए।

1

इकाइयाँ

A = 5 cm = 0.05 m m = 0.5 kg k = 200 N/m
2

कोणीय आवृत्ति

ω = √(k / m) = √(200 / 0.5) = √400 = 20 rad/s
3

आवर्तकाल और आवृत्ति

T = 2π / ω = 2π / 20 = 0.314 s
f = 1 / T = 3.18 Hz
4

अधिकतम चाल

साम्य से गुज़रते समय द्रव्यमान सबसे तेज़ होता है।

vmax = A · ω = 0.05 · 20 = 1 m/s
5

अधिकतम त्वरण

त्वरण सिरों पर सबसे अधिक होता है, जहाँ द्रव्यमान मुड़ता है।

amax = A · ω² = 0.05 · 400 = 20 m/s²
6

उत्तर जाँचें

ऊर्जा जाँच: ½·k·A² = ½ · 200 · 0.05² = 0.25 J, और ½·m·vmax² = ½ · 0.5 · 1² = 0.25 J। साम्य पर स्प्रिंग की सारी ऊर्जा गतिज ऊर्जा बन जाती है।

उत्तर

T ≈ 0.314 s, f ≈ 3.18 Hz, vmax = 1 m/s और amax = 20 m/s²।

6सामान्य गलतियाँ

  • आयाम को m की जगह cm में उपयोग करना।
  • भिन्न को उलटा कर देना: T = 2π·√(m/k), √(k/m) नहीं। लोलक के लिए यह √(L/g) है।
  • 2π भूल जाना, या ω (rad/s) और f (Hz) को उलझा देना।
  • यह सोचना कि द्रव्यमान लोलक का आवर्तकाल बदलता है, या आयाम किसी भी आवर्तकाल को बदलता है।
  • vmax = A·ω और amax = A·ω² को उलझा देना।
स्व-जाँच एक द्रव्यमान 10 cm आयाम और ω = 10 rad/s से दोलन करता है। उसका अधिकतम त्वरण क्या है?
  1. 1 m/s²
  2. 10 m/s²
  3. 100 m/s²
  4. 1000 m/s²

उत्तर: 10 m/s². amax = A·ω² = 0.1 · 100 = 10 m/s²। A = 10 (cm) लेने पर 1000 आता है। 1 m/s A·ω है, यानी अधिकतम चाल, त्वरण नहीं।

7परीक्षा प्रश्न कैसे दिखते हैं

  • आसान: स्प्रिंग पर लगा द्रव्यमान। T, f या k ज्ञात करें, कभी दोलनों की गिनती से या इस बात से कि द्रव्यमान लटकी स्प्रिंग को कितना खींचता है।
  • मध्यम: लोलक। उसका आवर्तकाल, दिए गए आवर्तकाल के लिए लंबाई, या किसी अन्य ग्रह पर g ज्ञात करें। कुछ प्रश्न किसी स्थिति पर या दिए गए समय पर चाल पूछते हैं।
  • कठिन: चाल, त्वरण और ऊर्जा: vmax, amax, किसी स्थिति पर गतिज ऊर्जा, या स्प्रिंग पर रखे गुटके में गोली लगने के बाद का आयाम।

किसी भी लोलक के लिए एक त्वरित जाँच: पृथ्वी पर 1 m के लोलक का आवर्तकाल लगभग 2 s होता है।

स्व-जाँच एक लोलक 2.45 m लंबा है। g = 9.81 m/s² के साथ, छोटे झूलों के लिए उसका आवर्तकाल क्या है?
  1. 0.50 s
  2. 1.57 s
  3. 12.6 s
  4. 3.14 s

उत्तर: 3.14 s. T = 2π·√(2.45/9.81) = 2π · 0.5 = 3.14 s। √(g/L) उलटा लेने पर 12.6 s आता है, वर्गमूल भूलने पर 1.57 s, और 2π भूलने पर 0.50 s।

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हल किए गए उदाहरण

उदाहरण 1आसान
3.2 kgk = 210 N/m

210 N/m कठोरता वाले स्प्रिंग पर 3.2 kg का द्रव्यमान घर्षणरहित सतह पर दोलन करता है। आवर्तकाल T ज्ञात कीजिए।

m = 3.2 kgk = 210 N/m

ज्ञात करें: T (s)

संकेत दिखाएँ
  1. द्रव्यमान–स्प्रिंग निकाय का आवर्तकाल आयाम पर निर्भर नहीं करता।
  2. T = 2π·√(m/k)।
  3. √(m/k) = 0.1234 s.
उत्तर और चरण-दर-चरण हल दिखाएँ

सरल आवर्त गति: k कठोरता वाले स्प्रिंग पर द्रव्यमान m कोणीय आवृत्ति ω = √(k/m) और आवर्तकाल T = 2π/ω = 2π·√(m/k) से दोलन करता है। L लंबाई वाले सरल लोलक के लिए T = 2π·√(L/g)। आयाम A के साथ अधिकतम चाल A·ω, अधिकतम त्वरण A·ω² और ऊर्जा ½·k·A² होती है।

आवर्तकाल

T = 2π·√(3.2/210) = 0.7756 s

उत्तर

T = 0.7756 s
उदाहरण 2मध्यम
1.1 kgk = 120 N/mA = 7 cmx = 6 cm

k = 120 N/m वाले स्प्रिंग पर एक 1.1 kg द्रव्यमान घर्षणरहित सतह पर 7 cm आयाम से दोलन करता है। संतुलन से 6 cm पर होने पर उसकी चाल v ज्ञात कीजिए।

m = 1.1 kgk = 120 N/mA = 7 cmx = 6 cm

ज्ञात करें: v (m/s)

संकेत दिखाएँ
  1. ऊर्जा संरक्षित है: ½·k·A² = ½·k·x² + ½·m·v²।
  2. अतः v = ω·√(A² − x²), जहाँ ω = √(k/m)।
  3. ω = 10.44 rad/s.
उत्तर और चरण-दर-चरण हल दिखाएँ

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

कोणीय आवृत्ति

ω = √(120/1.1) = 10.44 rad/s

x पर चाल

v = ω·√(A² − x²) = 10.44·√(0.07² − 0.06²) = 0.3766 m/s

उत्तर

v = 0.3766 m/s
उदाहरण 3कठिन
1.7 kgk = 380 N/mA = 11 cm

k = 380 N/m वाले स्प्रिंग पर 1.7 kg का द्रव्यमान साम्यावस्था से 11 cm खींचकर छोड़ा जाता है। उसका अधिकतम त्वरण amax ज्ञात कीजिए।

m = 1.7 kgk = 380 N/mA = 11 cm

ज्ञात करें: amax (m/s²)

संकेत दिखाएँ
  1. ω = √(k/m)।
  2. सिरों पर त्वरण अधिकतम होता है: amax = A·ω²।
  3. ω = 14.95 rad/s, A = 0.11 m.
उत्तर और चरण-दर-चरण हल दिखाएँ

सरल आवर्त गति: k कठोरता वाले स्प्रिंग पर द्रव्यमान m कोणीय आवृत्ति ω = √(k/m) और आवर्तकाल T = 2π/ω = 2π·√(m/k) से दोलन करता है। L लंबाई वाले सरल लोलक के लिए T = 2π·√(L/g)। आयाम A के साथ अधिकतम चाल A·ω, अधिकतम त्वरण A·ω² और ऊर्जा ½·k·A² होती है।

कोणीय आवृत्ति

ω = √(380/1.7) = 14.95 rad/s

अधिकतम त्वरण

amax = A·ω² = 0.11·14.95² = 24.59 m/s²

उत्तर

amax = 24.59 m/s²

प्रश्न और उत्तर

स्प्रिंग और लोलक क्या है?

स्प्रिंग पर लगे द्रव्यमान को एक ओर खींचकर छोड़ दें। वह बीच से आगे निकलकर दूसरी ओर जाता है और फिर लौट आता है। झूले पर बैठा बच्चा और गिटार का तार भी यही करते हैं।

यह दोहराई जाने वाली गति दोलन है। बीच का बिंदु, जहाँ द्रव्यमान विराम में रहता, साम्य स्थिति है।

स्प्रिंग और लोलक के प्रश्न चरण-दर-चरण कैसे हल करें?

सरल आवर्त गति: k कठोरता वाले स्प्रिंग पर द्रव्यमान m कोणीय आवृत्ति ω = √(k/m) और आवर्तकाल T = 2π/ω = 2π·√(m/k) से दोलन करता है। L लंबाई वाले सरल लोलक के लिए T = 2π·√(L/g)। आयाम A के साथ अधिकतम चाल A·ω, अधिकतम त्वरण A·ω² और ऊर्जा ½·k·A² होती है।

स्प्रिंग और लोलक में आम गलतियाँ क्या हैं?
  • 2π शामिल करें: T = 2π·√(m/k) और f = 1/T।
  • मूल के नीचे की भिन्न जाँचें: T = 2π·√(m/k), द्रव्यमान अंश में।
  • यह अधिकतम चाल है, संतुलन पर। x पर चाल कम है: v = ω·√(A² − x²)।
स्प्रिंग और लोलक के अभ्यास में क्या शामिल है?
  • आसान: स्प्रिंग पर द्रव्यमान
  • मध्यम: लोलक
  • कठिन: चाल, त्वरण और ऊर्जा

हर प्रश्न में नए मान होते हैं, इसलिए आप उत्तर नहीं बल्कि विधि सीखते हैं। अटक गए? पहले एक छोटा संकेत खोलें, और पूरी व्याख्या तभी जब ज़रूरत हो।

अभ्यास कैसे काम करता है

  • हर प्रश्न में नए मान होते हैं, इसलिए आप उत्तर नहीं बल्कि विधि सीखते हैं।
  • अटक गए? पहले एक छोटा संकेत खोलें, और पूरी व्याख्या तभी जब ज़रूरत हो।
  • आपकी प्रगति, गलतियाँ और सहेजे गए प्रश्न रखे जाते हैं, ताकि आप परीक्षा से पहले दोहरा सकें।

इससे पहले और बाद के विषय

पहले सीखें

न्यूटन के नियम

इसके बाद

यांत्रिक कंपनतरंगें, ध्वनि और प्रकाशिकी

कैलकुलेटर

लोलक और स्प्रिंग आवर्तकाल कैलकुलेटरस्प्रिंग स्थिरांक कैलकुलेटर (हुक का नियम)

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गतिकीभौतिकी 1: यांत्रिकीतरंगें और प्रकाशिकीAP Physics 1 अभ्यास प्रश्न

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