यांत्रिक कंपन: चरण-दर-चरण हल सहित अभ्यास प्रश्न

Q: यांत्रिक कंपन के प्रश्न चरण-दर-चरण कैसे हल करें?

द्रव्यमान–स्प्रिंग तंत्र का मुक्त कंपन: अनवमंदित प्राकृतिक आवृत्ति rad/s में ωn = √(k/m) है, और Hz में fn = ωn/(2π)। एक श्यान अवमंदक c अवमंदन अनुपात ζ = c/cc देता है, जहाँ क्रांतिक अवमंदन cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn। अल्प-अवमंदित तंत्र (ζ d = ωn·√(1 − ζ²) पर दोलन करता है। समांतर में स्प्रिंग जुड़ते हैं, k = k₁ + k₂; श्रेणी में स्प्रिंग व्युत्क्रम के रूप में जुड़ते हैं, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂।

Q: यांत्रिक कंपन में आम गलतियाँ क्या हैं?

यह rad/s में ωn है। Hz में आवृत्ति पाने के लिए 2π से भाग दें। ωn = √(k/m) का उपयोग करने से पहले kN/m को N/m में बदलें (1000 से गुणा करें)। Hz पाने के लिए ωn को 2π से भाग दें; गुणा न करें।

Q: यांत्रिक कंपन के अभ्यास में क्या शामिल है?

आसान: प्राकृतिक आवृत्ति मध्यम: अवमंदन अनुपात कठिन: श्रेणी और समांतर में स्प्रिंग हर प्रश्न में नए मान होते हैं, इसलिए आप उत्तर नहीं बल्कि विधि सीखते हैं। अटक गए? पहले एक छोटा संकेत खोलें, और पूरी व्याख्या तभी जब ज़रूरत हो।

आरेखों, संकेतों और पूर्ण हल के साथ मुफ़्त यांत्रिक कंपन अभ्यास प्रश्न। हर बार नए मान, तीन स्तरों पर: प्राकृतिक आवृत्ति, अवमंदन अनुपात, श्रेणी और समांतर में स्प्रिंग।

मुफ़्त अभ्यास प्रश्नआसान

एक मशीन स्प्रिंग माउंटों पर टिकी है, जो उसके भार से 15 mm दबते हैं। इसे अनवमंदित एकल-स्वातंत्र्य-कोटि तंत्र मानें और g = 9.81 m/s² लें। ऊर्ध्वाधर कंपन की प्राकृतिक आवृत्ति f_n Hz में ज्ञात कीजिए।

δ_st = 15 mmg = 9.81 m/s²

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यांत्रिक कंपन का मुफ़्त अभ्यास करें अभी यांत्रिक कंपन का अभ्यास करेंहर दिन 5 मुफ़्त प्रश्न। कार्ड की ज़रूरत नहीं।

आप क्या अभ्यास करेंगे

आसानप्राकृतिक आवृत्ति
मध्यमअवमंदन अनुपात
कठिनश्रेणी और समांतर में स्प्रिंग

मुख्य सूत्र

प्राकृतिक आवृत्ति: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
स्थैतिक विक्षेप से: ω_n = √(g/δ_st)
क्रांतिक अवमंदन: c_c = 2√(km) = 2mω_n
अवमंदन अनुपात: ζ = c/c_c
अवमंदित आवृत्ति: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
लघुगणकीय ह्रास: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
समांतर में स्प्रिंग: k = k₁ + k₂
श्रेणी में स्प्रिंग: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

यांत्रिक कंपन शुरू से सीखें

इससे पहले: स्प्रिंग और लोलक

1कंपन क्या है

एक स्प्रिंग पर द्रव्यमान लटकाएँ, उसे थोड़ा नीचे खींचें और छोड़ दें। वह अपनी विराम स्थिति के आसपास ऊपर-नीचे उछलता है। यह दोहराई जाने वाली गति कंपन है।

ऐसे हर तंत्र की अपनी पसंदीदा लय होती है, प्राकृतिक आवृत्ति। वह केवल इस पर निर्भर करती है कि स्प्रिंग कितनी कठोर है और द्रव्यमान कितना भारी है, इस पर नहीं कि आपने कितना खींचा।

इंजीनियर इसकी परवाह करते हैं क्योंकि जिस मशीन को उसकी प्राकृतिक आवृत्ति पर हिलाया जाए वह प्रचंड रूप से कंपन कर सकती है। इसे अनुनाद कहते हैं। इंजन के माउंट, वॉशिंग मशीनें और पुल सब इसे ध्यान में रखकर डिज़ाइन किए जाते हैं।

अधिक कठोर स्प्रिंग कंपन को तेज़ बनाती है। भारी द्रव्यमान उसे धीमा बनाता है।

स्व-जाँच आप स्प्रिंग पर लगे द्रव्यमान को चार गुना भारी द्रव्यमान से बदल देते हैं। प्राकृतिक आवृत्ति का क्या होता है?

यह वही रहता है
वह आधा हो जाता है
वह चार गुना कम हो जाती है
वह दुगुना हो जाता है

उत्तर: वह आधा हो जाता है. आवृत्ति √(k/m) पर निर्भर करती है। चार गुना द्रव्यमान वर्गमूल को √4 = 2 से भाग देता है, इसलिए आवृत्ति आधी हो जाती है।

2प्राकृतिक आवृत्ति और स्प्रिंग संयोजन

कठोरता k (N/m) की स्प्रिंग पर द्रव्यमान m (kg) के लिए, rad/s में प्राकृतिक वृत्तीय आवृत्ति है:

ω_n = √(k / m)

एक पूरा चक्र 2π रेडियन है। इसलिए हर्ट्ज़ (चक्र प्रति सेकंड) में प्राकृतिक आवृत्ति और आवर्तकाल (सेकंड प्रति चक्र) हैं:

f_n = ω_n / (2π) T = 1 / f_n

कभी-कभी आपको केवल यह पता होता है कि भार के नीचे स्प्रिंग कितनी दबती है, यानी स्थैतिक विक्षेप δ_st = m·g/k। तब ω_n = √(g / δ_st), जहाँ δ_st मीटर में है।

जब कई स्प्रिंग हों, तो पहले उन्हें एक तुल्य स्प्रिंग से बदलें:

साथ-साथ (समानांतर) में स्प्रिंग भार बाँटती हैं और कठोरताएँ जुड़ती हैं।
सिरे से सिरे तक (श्रेणी) में हर स्प्रिंग पर पूरा भार आता है, और तुल्य स्प्रिंग दोनों में से किसी से भी अधिक नरम होती है।

स्व-जाँच 10 kN/m की दो स्प्रिंग सिरे से सिरे तक (श्रेणी में) जुड़ी हैं। तुल्य कठोरता क्या है?

10 kN/m
100 kN/m
20 kN/m
5 kN/m

उत्तर: 5 kN/m. 1/k = 1/10 + 1/10 = 2/10, इसलिए k = 5 kN/m। उन्हें जोड़कर 20 kN/m पाना समानांतर स्प्रिंगों का नियम है।

3अवमंदन

वास्तविक कंपन धीमे पड़ जाते हैं। अवमंदक (तेल में चलता पिस्टन, कार के शॉक एब्ज़ॉर्बर जैसा) ऊर्जा बाहर निकालता है। उसकी प्रबलता अवमंदन गुणांक c है, N·s/m में।

क्रांतिक अवमंदन अवमंदन की वह मात्रा है जो द्रव्यमान को उछलने से ठीक रोक देती है:

c_c = 2 · √(k · m) = 2 · m · ω_n

अवमंदन अनुपात वास्तविक अवमंदन की तुलना उस क्रांतिक मान से करता है:

ζ = c / c_c

ζ < 1: अल्पअवमंदित। द्रव्यमान फिर भी कंपन करता है, पर झूले घटते जाते हैं।
ζ = 1: क्रांतिक रूप से अवमंदित। वह बिना अतिरेक के जितनी जल्दी हो सके विराम में लौट आता है।
ζ > 1: अतिअवमंदित। वह कंपन किए बिना धीरे-धीरे रेंगकर लौटता है।

अल्पअवमंदित तंत्र अनवमंदित से थोड़ा धीमे कंपन करता है, अवमंदित प्राकृतिक आवृत्ति पर:

ω_d = ω_n · √(1 − ζ²)

स्व-जाँच 10 kg का द्रव्यमान 1000 N/m की स्प्रिंग पर c = 50 N·s/m के अवमंदक के साथ रखा है। अवमंदन अनुपात क्या है?

0.25
0.5
2.5
4

उत्तर: 0.25. c_c = 2·√(1000 · 10) = 200 N·s/m, इसलिए ζ = 50/200 = 0.25। गुणक 2 भूलने पर 0.5 आता है, और उलटा भाग देने पर 4।

4विधि चरण-दर-चरण

सब कुछ SI इकाइयों में बदलें: kN/m को N/m में (× 1000), mm को m में, ग्राम को kg में।
यदि कई स्प्रिंग हों, तो उन्हें एक k में मिलाएँ: समानांतर में जोड़ें, श्रेणी में उनके व्युत्क्रम जोड़ें।
ω_n = √(k/m) ज्ञात करें, rad/s में।
यदि प्रश्न हर्ट्ज़ माँगे, तो 2π से भाग दें: f_n = ω_n/(2π)। आवर्तकाल के लिए T = 1/f_n लें।
अवमंदन के साथ, c_c = 2·√(k·m) ज्ञात करें, फिर ζ = c/c_c और, यदि पूछा जाए, ω_d = ω_n·√(1 − ζ²)।

ω (rad/s) और f (Hz) को अलग रखें। उनमें गुणक 2π ≈ 6.28 का अंतर है, और उन्हें उलझा देना अंक खोने का सबसे आम तरीक़ा है।

5एक हल किया गया उदाहरण

हर चरण का अनुसरण करें। अगला चरण खोलने से पहले उसका अनुमान लगाने का प्रयास करें।

हल किया गया उदाहरण

50 kg का एक द्रव्यमान 20 kN/m कठोरता वाली स्प्रिंग से लटका है। अवमंदन की उपेक्षा करें। प्राकृतिक आवृत्ति f_n Hz में और कंपन का आवर्तकाल ज्ञात कीजिए।

बनाएँ और बदलें

कठोरता N/m में होनी चाहिए: k = 20 kN/m = 20 000 N/m। द्रव्यमान पहले से kg में है।

प्राकृतिक वृत्तीय आवृत्ति

ω_n = √(k / m) = √(20 000 / 50) = √400 = 20 rad/s

हर्ट्ज़ में बदलें

प्रति सेकंड पूरे चक्र गिनने के लिए 2π से भाग दें:

f_n = 20 / (2π) = 3.18 Hz

आवर्तकाल

T = 1 / f_n = 1 / 3.183 = 0.314 s

द्रव्यमान हर सेकंड तीन से कुछ अधिक पूरे ऊपर-नीचे चक्र बनाता है।

उत्तर जाँचें

स्थैतिक विक्षेप δ_st = m·g/k = 50 · 9.81 / 20 000 = 0.0245 m है।

ω_n = √(9.81 / 0.0245) = 20 rad/s

वही 20 rad/s, एक अलग तरीक़े से मिला। उत्तर सही है।

आगे बढ़ें: अवमंदक जोड़ें

c = 400 N·s/m के अवमंदक के साथ: c_c = 2·√(20 000 · 50) = 2000 N·s/m, इसलिए ζ = 400/2000 = 0.2।

ω_d = 20 · √(1 − 0.2²) = 19.6 rad/s, f_d = 3.12 Hz

उत्तर

f_n ≈ 3.18 Hz (ω_n = 20 rad/s), और आवर्तकाल T ≈ 0.314 s है।

6सामान्य गलतियाँ

जब प्रश्न Hz में f_n माँगे तब rad/s में ω_n देना, या उलटा।
कठोरता को kN/m में छोड़ देना। सूत्र को N/m चाहिए।
श्रेणी की स्प्रिंगों को ऐसे जोड़ना जैसे वे समानांतर हों।
c_c = 2·√(k·m) में 2 भूल जाना।
ω_n = √(k/m) में द्रव्यमान m की जगह भार m·g का उपयोग करना।

स्व-जाँच 4 kg का एक द्रव्यमान 400 N/m की स्प्रिंग से लटका है। उसकी प्राकृतिक आवृत्ति Hz में क्या है?

0.05 Hz
1.59 Hz
10 Hz
62.8 Hz

उत्तर: 1.59 Hz. ω_n = √(400/4) = 10 rad/s, और f_n = 10/(2π) = 1.59 Hz। 10 पर रुकना rad/s देता है, Hz नहीं; 2π से गुणा करने पर 62.8 आता है; 0.4 (kN/m) लेने पर 0.05 Hz।

7परीक्षा प्रश्न कैसे दिखते हैं

आसान: प्राकृतिक आवृत्ति। स्प्रिंग पर लगा द्रव्यमान: ω_n rad/s में या f_n Hz में ज्ञात करें। कुछ प्रश्न किसी मशीन का अपने माउंट पर केवल स्थैतिक विक्षेप देते हैं।
मध्यम: अवमंदन अनुपात। m, k और c से ζ ज्ञात करें, या दिए गए ζ से अवमंदित आवृत्ति f_d। अन्य प्रश्न मुक्त-कंपन परीक्षण से दो शिखर देते हैं।
कठिन: श्रेणी और समानांतर में स्प्रिंग, कभी दोनों (एक छड़ को थामे साथ-साथ दो स्प्रिंग, और नीचे तीसरी स्प्रिंग)। पहले k_eq ज्ञात करें, फिर f_n।

n चक्र के अंतर पर स्थित दो शिखरों x₀ और x_n के लिए लघुगणकीय क्षय का उपयोग करें:

δ = (1/n) · ln(x₀ / x_n), ζ = δ / √(4π² + δ²)

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हल किए गए उदाहरण

उदाहरण 1आसान

एक 40 kg द्रव्यमान 15 kN/m दृढ़ता वाले स्प्रिंग से लटका है। अवमंदन की उपेक्षा करें। प्राकृतिक आवृत्ति f_n Hz में ज्ञात कीजिए।

m = 40 kgk = 15 kN/m

ज्ञात करें: f_n (Hz)

संकेत दिखाएँ

SI इकाइयों में काम करें: k, N/m में।
ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π).
k = 15000 N/m.

उत्तर और चरण-दर-चरण हल दिखाएँ

द्रव्यमान–स्प्रिंग तंत्र का मुक्त कंपन: अनवमंदित प्राकृतिक आवृत्ति rad/s में ω_n = √(k/m) है, और Hz में f_n = ω_n/(2π)। एक श्यान अवमंदक c अवमंदन अनुपात ζ = c/c_c देता है, जहाँ क्रांतिक अवमंदन c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n। अल्प-अवमंदित तंत्र (ζ < 1) ω_d = ω_n·√(1 − ζ²) पर दोलन करता है। समांतर में स्प्रिंग जुड़ते हैं, k = k₁ + k₂; श्रेणी में स्प्रिंग व्युत्क्रम के रूप में जुड़ते हैं, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂।

प्राकृतिक वृत्तीय आवृत्ति

ω_n = √(k/m) = √(15000/40) = 19.36 rad/s

हर्ट्ज़ में

f_n = ω_n/(2π) = 19.36/(2π) = 3.082 Hz

उत्तर

f_n = 3.082 Hz

उदाहरण 2मध्यम

50 kN/m दृढ़ता वाले स्प्रिंग पर एक 10 kg द्रव्यमान के साथ एक श्यान अवमंदक है जो 0.4 का अवमंदन अनुपात देता है। इसके मुक्त कंपन की अवमंदित प्राकृतिक आवृत्ति f_d Hz में ज्ञात कीजिए।

m = 10 kgk = 50 kN/mζ = 0.4

ज्ञात करें: f_d (Hz)

संकेत दिखाएँ

पहले अनवमंदित प्राकृतिक आवृत्ति ज्ञात करें।
ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π).
f_d = f_n·√(1 − ζ²).

उत्तर और चरण-दर-चरण हल दिखाएँ

अनवमंदित प्राकृतिक आवृत्ति

ω_n = √(50000/10) = 70.71 rad/s

f_n = 70.71/(2π) = 11.25 Hz

अवमंदित प्राकृतिक आवृत्ति

f_d = f_n·√(1 − ζ²) = 11.25·√(1 − 0.4²) = 10.31 Hz

उत्तर

f_d = 10.31 Hz

उदाहरण 3कठिन

एक 5 kg द्रव्यमान सिरे-से-सिरे जुड़े (श्रेणी में) दो स्प्रिंगों से लटका है: ऊपरी स्प्रिंग k₁ = 80 kN/m और निचला k₂ = 20 kN/m है। स्प्रिंग तंत्र की तुल्य दृढ़ता k_eq kN/m में ज्ञात कीजिए।

m = 5 kgk₁ = 80 kN/mk₂ = 20 kN/m

ज्ञात करें: k_eq (kN/m)

संकेत दिखाएँ

समांतर स्प्रिंग विक्षेप साझा करते हैं: दृढ़ताएँ जुड़ती हैं। श्रेणी स्प्रिंग बल साझा करते हैं: अनुपालन 1/k जुड़ते हैं।
1/k_eq = 1/k₁ + 1/k₂.
k_eq < 20 kN/m.

उत्तर और चरण-दर-चरण हल दिखाएँ

तुल्य दृढ़ता

श्रेणी में स्प्रिंग समान बल साझा करते हैं और उनके विक्षेप जुड़ते हैं, इसलिए वे व्युत्क्रम के रूप में मिलते हैं: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂।

1/k_eq = 1/80 + 1/20 → k_eq = 80·20/(80 + 20) = 16 kN/m

उत्तर

k_eq = 16 kN/m

प्रश्न और उत्तर

यांत्रिक कंपन क्या है?

यांत्रिक कंपन के प्रश्न चरण-दर-चरण कैसे हल करें?

यांत्रिक कंपन में आम गलतियाँ क्या हैं?

यह rad/s में ωn है। Hz में आवृत्ति पाने के लिए 2π से भाग दें।
ωn = √(k/m) का उपयोग करने से पहले kN/m को N/m में बदलें (1000 से गुणा करें)।
Hz पाने के लिए ωn को 2π से भाग दें; गुणा न करें।

यांत्रिक कंपन के अभ्यास में क्या शामिल है?

आसान: प्राकृतिक आवृत्ति
मध्यम: अवमंदन अनुपात
कठिन: श्रेणी और समांतर में स्प्रिंग

हर प्रश्न में नए मान होते हैं, इसलिए आप उत्तर नहीं बल्कि विधि सीखते हैं। अटक गए? पहले एक छोटा संकेत खोलें, और पूरी व्याख्या तभी जब ज़रूरत हो।

अभ्यास कैसे काम करता है

हर प्रश्न में नए मान होते हैं, इसलिए आप उत्तर नहीं बल्कि विधि सीखते हैं।
अटक गए? पहले एक छोटा संकेत खोलें, और पूरी व्याख्या तभी जब ज़रूरत हो।
आपकी प्रगति, गलतियाँ और सहेजे गए प्रश्न रखे जाते हैं, ताकि आप परीक्षा से पहले दोहरा सकें।

इससे पहले और बाद के विषय

पहले सीखें

स्प्रिंग और लोलक

कैलकुलेटर

प्राकृतिक आवृत्ति और अवमंदन कैलकुलेटर

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