फ़्रेम और मशीनें: चरण-दर-चरण हल सहित अभ्यास प्रश्न

Q: फ़्रेम और मशीनें के अभ्यास में क्या शामिल है?

आसान: द्वि-बल अवयव और सरल मशीनें मध्यम: पिन बल और लिंकेज कठिन: बहु-अवयव फ़्रेम हर प्रश्न में नए मान होते हैं, इसलिए आप उत्तर नहीं बल्कि विधि सीखते हैं। अटक गए? पहले एक छोटा संकेत खोलें, और पूरी व्याख्या तभी जब ज़रूरत हो।

आरेखों, संकेतों और पूर्ण हल के साथ मुफ़्त फ़्रेम और मशीनें अभ्यास प्रश्न। हर बार नए मान, तीन स्तरों पर: द्वि-बल अवयव और सरल मशीनें, पिन बल और लिंकेज, बहु-अवयव फ़्रेम।

मुफ़्त अभ्यास प्रश्नआसान

दिखाया गया A-फ़्रेम A पर पिन और B पर रोलर पर टिका है, जो 4 m दूर हैं। पाए AC पर बिंदु K पर, जो A से 0.8 m (क्षैतिज) दूर है, 15 kN का ऊर्ध्वाधर भार लगता है। रोलर पर ऊर्ध्वाधर प्रतिक्रिया B_y ज्ञात कीजिए।

P = 15 kNAB = 4 mA से K तक क्षैतिज दूरी = 0.8 m

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आप क्या अभ्यास करेंगे

आसानद्वि-बल अवयव और सरल मशीनें
मध्यमपिन बल और लिंकेज
कठिनबहु-अवयव फ़्रेम

फ़्रेम और मशीनें के प्रश्न कैसे हल करें

पूरी संरचना बनाएँ और, यदि अज्ञात तीन से अधिक न हों, तो आलंब प्रतिक्रियाएँ ज्ञात करें।
द्वि-बल अवयव पहचानें: केवल दो पिनों पर भारित, उनका बल दोनों पिनों के बीच की रेखा के अनुदिश लगता है।
फ़्रेम को अलग-अलग करें और हर अवयव को अकेले बनाएँ, जहाँ अवयव मिलते हैं वहाँ समान और विपरीत पिन बल रखें।
हर अवयव के लिए किसी ऐसे पिन के परितः आघूर्ण लें जहाँ अज्ञात बल लगते हैं, फिर ΣF_x = 0 और ΣF_y = 0 उपयोग करें; अंत में घटकों को मिलाकर परिमाण निकालें।

सामान्य गलतियाँ

जिस अवयव पर दो पिनों के बीच कोई भार हो, उसे द्वि-बल अवयव मान लेना।
पिन बल को उन दोनों अवयवों पर एक ही दिशा में दिखाना जिन्हें वह जोड़ता है।
आघूर्ण समीकरण में तिरछे बल को पूरा का पूरा ऊर्ध्वाधर घटक मान लेना।
जब पिन बल का परिमाण पूछा जाए तब केवल एक घटक बताना।

मुख्य सूत्र

हर अवयव का संतुलन: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
द्वि-बल अवयव: इसके दोनों पिनों से गुज़रने वाली रेखा के अनुदिश बल
पिन बल: जोड़े गए दोनों अवयवों पर समान और विपरीत
पिन बल का परिमाण: F = √(F_x² + F_y²)
उत्तोलक, प्लायर, बेल क्रैंक: F_in·a = F_out·b
टॉगल: F_link = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
एकसमान भार: परिणामी w·L भार के मध्य में

फ़्रेम और मशीनें शुरू से सीखें

इससे पहले: बीम आलंब प्रतिक्रियाएँ, ट्रस: जोड़ विधि

1फ़्रेम और मशीनें क्या हैं

ट्रस में हर अवयव सीधी छड़ होती है जिसके दोनों सिरों पर पिन होते हैं और भार केवल जोड़ों पर लगते हैं, इसलिए हर अवयव केवल तनाव या संपीडन में होता है। फ़्रेम अलग होता है: कम से कम एक अवयव तीन या अधिक बिंदुओं पर बल वहन करता है, या दो पिनों के बीच भार वहन करता है। ऐसा अवयव मुड़ता भी है।

इस A-फ़्रेम में पाए AC और BC बहु-बल अवयव हैं: हर एक आलंब पर, टाई पर और पिन C पर भारित है। टाई DE दोनों सिरों पर पिन से जुड़ी है और बीच में कुछ वहन नहीं करती। जो फ़्रेम गति करता है और निवेश बल को निर्गत बल में बदलता है, जैसे प्लायर, उत्तोलक या क्लैंप, मशीन कहलाता है।

स्व-जाँच A-फ़्रेम का कौन-सा अवयव द्वि-बल अवयव है?

टाई DE
पाया AC, क्योंकि वह भार वहन करता है
पाया BC, क्योंकि वह रोलर पर टिका है
हर अवयव, क्योंकि हर एक के सिरों पर दो पिन हैं

उत्तर: टाई DE. DE पर बल केवल उसके दो पिनों पर हैं, इसलिए उसका बल DE के अनुदिश लगता है। हर पाया अपने आलंब और पिन C के अलावा D या E पर टाई का बल भी लेता है, इसलिए वह दो नहीं, तीन बल वहन करता है।

2द्वि-बल अवयव और पिन बल

जो अवयव केवल दो पिनों पर भारित हो वह द्वि-बल अवयव है। उसके दोनों बल समान, विपरीत और पिनों से गुज़रने वाली रेखा पर होते हैं। इसलिए उसमें दो घटकों के बजाय एक अज्ञात आता है, उस बल का परिमाण।

जहाँ दो अवयव किसी पिन पर मिलते हैं, वहाँ पिन एक अवयव पर बल (C_x, C_y) लगाता है और दूसरे पर विपरीत बल (−C_x, −C_y)। उन्हें इसी तरह, एक ही प्रतीकों के साथ, दोनों मुक्त-पिंड आरेखों में बनाएँ।

हर अलग अवयव तीन समीकरण देता है: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 और ΣM = 0। उस पिन के परितः आघूर्ण लें जहाँ अज्ञात बल लगते हैं, ताकि उसके दोनों घटक हट जाएँ।

3विधि चरण-दर-चरण

पूरा फ़्रेम बनाएँ और, यदि अज्ञात तीन से अधिक न हों, तो आलंब प्रतिक्रियाएँ ज्ञात करें।
द्वि-बल अवयवों को चिह्नित करें: उनके बल उनके पिनों के बीच की रेखा के अनुदिश लगते हैं।
फ़्रेम को अलग करें और हर बहु-बल अवयव को अकेला बनाएँ, समान और विपरीत पिन बलों के साथ।
हर अवयव के लिए किसी पिन के परितः आघूर्ण लें, फिर ΣF_x = 0 और ΣF_y = 0 उपयोग करें। अंत में घटकों को मिलाकर परिमाण निकालें: F = √(F_x² + F_y²)।

4एक हल किया गया उदाहरण

हर चरण का अनुसरण करें। अगला चरण खोलने से पहले उसका अनुमान लगाने का प्रयास करें।

हल किया गया उदाहरण

A-फ़्रेम A पर पिन और B पर रोलर पर खड़ा है, जो 3 m दूर हैं। पिन C 2.4 m ऊँचा है और टाई DE भूमि से 0.8 m ऊपर है। C पर 8 kN का भार लगता है। टाई में तनाव T और पिन C का पाए BC पर बल ज्ञात कीजिए।

फ़्रेम को देखें

टाई DE द्वि-बल अवयव है, इसलिए वह दोनों पायों को क्षैतिज दिशा में खींचती है।

पूरा फ़्रेम

भार बीच में है, इसलिए हर आलंब उसका आधा वहन करता है।

A_y = B_y = 8/2 = 4 kN, A_x = 0

पाया BC: C के परितः आघूर्ण

B, C से 1.5 m दाईं ओर है, और टाई C से 2.4 − 0.8 = 1.6 m नीचे है।

4·1.5 = T·1.6 ⇒ T = 3.75 kN

पाया BC: बल संतुलन

C_x = T = 3.75 kN, C_y = −4 kN

C = √(3.75² + 4²) = 5.48 kN

उत्तर जाँचें

पाए AC पर पिन बल विपरीत है: (−3.75, +4) kN। A_y = 4 kN, टाई +3.75 kN और भार −8 kN के साथ दोनों बल योग शून्य हैं।

उत्तर

T = 3.75 kN (तनाव) और पाए BC पर C = 5.48 kN।

5मशीनें: प्लायर, उत्तोलक और टॉगल

मशीन के लिए एक भाग बनाएँ और उसके धुराग्र के परितः आघूर्ण लें। पिन बल हट जाता है, और निवेश तथा निर्गत बल संतुलित होते हैं:

F_in·a = F_out·b

जिस प्लायर में हाथ पिन से 100 mm और जबड़े उससे 25 mm पर हों, वह बल को 100/25 = 4 गुना करता है। तब पिन दोनों बल वहन करता है: एक आधे भाग पर वे पिन के विपरीत ओर एक ही दिशा में होते हैं, इसलिए जुड़ते हैं।

टॉगल में दो कड़ियाँ उथले कोण θ पर मिलती हैं। हर कड़ी द्वि-बल अवयव है जिसका बल F/(2 sin θ) है, और जकड़ने वाला बल F/(2 tan θ) है। कड़ियाँ जितनी चपटी हों, बल उतना बड़ा होता है।

स्व-जाँच प्लायर को पिन से 100 mm पर 50 N से दबाया जाता है, और जबड़े पिन से 25 mm पर हैं। पकड़ का बल कितना है?

12.5 N
200 N
250 N
50 N

उत्तर: 200 N. पिन के परितः आघूर्ण: 50·100 = Q·25, इसलिए Q = 200 N। अनुपात उलटने पर 12.5 N मिलता है, और 250 N पिन बल है, यानी हाथ का बल और पकड़ का बल जोड़ने पर।

6सामान्य गलतियाँ

जिस अवयव पर दो पिनों के बीच कोई भार हो, उसे द्वि-बल अवयव मान लेना।
पिन बल को उन दोनों अवयवों पर एक ही दिशा में बनाना जिन्हें वह जोड़ता है।
तिरछे स्ट्रट के पूरे बल को उसका ऊर्ध्वाधर घटक मान लेना।
जब पिन बल का परिमाण पूछा जाए तब एक घटक बताना।

स्व-जाँच एक स्ट्रट कड़ी पर कड़ी से 30° कोण पर 10 kN का बल लगाता है। कड़ी के लंबवत घटक क्या है?

10 kN
20 kN
5 kN
8.66 kN

उत्तर: 5 kN. लंबवत घटक 10·sin 30° = 5 kN है। 8.66 kN कड़ी के अनुदिश घटक (cos 30°) है, और 10 kN पूरा बल है।

7परीक्षा प्रश्न कैसे दिखते हैं

आसान: द्वि-बल अवयव और सरल मशीनें। आप प्लायर की पकड़ या पिन बल, दीवार ब्रैकेट का स्ट्रट बल, A-फ़्रेम का टाई बल या आलंब प्रतिक्रिया, या बेल क्रैंक का निर्गत बल ज्ञात करते हैं।
मध्यम: पिन बल और लिंकेज। आप ब्रैकेट या बेल क्रैंक की पिन प्रतिक्रिया, केंद्र से हटे भार के लिए टाई बल, पाए पर पिन का बल, तीन-पिन फ़्रेम के किसी अवयव में बल, या टॉगल का जकड़ने वाला बल ज्ञात करते हैं।
कठिन: बहु-अवयव फ़्रेम। आप ब्रैकेट पर एकसमान भार जोड़ते हैं, अपने भार वाले बूम की केबल का बल या पिन प्रतिक्रिया, केंद्र से हटे भार के लिए पिन बल, क्षैतिज भार के साथ आलंब प्रतिक्रिया, या टॉगल प्रेस को चाहिए बल ज्ञात करते हैं।

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हल किए गए उदाहरण

उदाहरण 1आसान

एक क्षैतिज कड़ी AB दीवार में A पर पिन से जुड़ी है और स्ट्रट CD से टिकी है, जो दीवार में A से 1.2 m नीचे C पर पिन से जुड़ा है। मुक्त सिरे B पर 12 kN का भार लटका है। भारों की उपेक्षा करें। स्ट्रट में बल F_CD ज्ञात कीजिए।

P = 12 kNAD = 0.5 mAB = 1.5 mAC = 1.2 m

ज्ञात करें: F_CD (kN)

संकेत दिखाएँ

CD केवल अपने दो पिनों पर भारित है, इसलिए वह द्वि-बल अवयव है: उसका बल CD के अनुदिश लगता है।
कड़ी के लिए A के परितः आघूर्ण लें: केवल स्ट्रट और भार का आघूर्ण है।
sin α = 1.2/√(0.5² + 1.2²) = 0.9231.

उत्तर और चरण-दर-चरण हल दिखाएँ

फ़्रेम और मशीनें: ट्रस के विपरीत, फ़्रेम में कम से कम एक अवयव दो से अधिक बिंदुओं पर बल वहन करता है, या उसके पिनों के बीच भार होता है। पहले द्वि-बल अवयव खोजें: केवल दो पिनों पर भारित अवयव का बल उन्हें जोड़ने वाली रेखा के अनुदिश होता है, इसलिए वह दो नहीं, एक अज्ञात जोड़ता है। फिर, यदि अज्ञात तीन से अधिक न हों, तो आलंब प्रतिक्रियाओं के लिए पूरी संरचना उपयोग करें। अंत में फ़्रेम को अलग करें: हर अवयव अलग बनाएँ, जहाँ दो अवयव जुड़ते हैं वहाँ पिन बल समान और विपरीत रखें, और उसके लिए ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 और ΣM = 0 लिखें। किसी पिन के परितः आघूर्ण लेने से समीकरण से उस पिन बल के दोनों घटक हट जाते हैं।

द्वि-बल अवयव

स्ट्रट के दोनों सिरों पर पिन हैं और उनके बीच कोई भार नहीं।

tan α = 1.2/0.5, sin α = 0.9231

कड़ी के लिए A के परितः आघूर्ण

F_CD·sin α·0.5 = 12·1.5

F_CD = 18/(0.9231·0.5) = 39 kN

उत्तर

F_CD = 39 kN

स्ट्रट कड़ी को ऊपर धकेलता है: वह संपीडन में है।

उदाहरण 2मध्यम

एक क्षैतिज कड़ी AB दीवार में A पर पिन से जुड़ी है और स्ट्रट CD से टिकी है, जो दीवार में A से 0.75 m नीचे C पर पिन से जुड़ा है। B पर 8 kN का भार लटका है। भारों की उपेक्षा करें। A पर कड़ी पर पिन बल A का परिमाण ज्ञात कीजिए।

P = 8 kNAD = 0.75 mAB = 2 mAC = 0.75 m

ज्ञात करें: A (kN)

संकेत दिखाएँ

पहले स्ट्रट बल ज्ञात करें: कड़ी के लिए A के परितः आघूर्ण।
F_CD = 30.17 kN, sin α = 0.7071, cos α = 0.7071.
फिर कड़ी के लिए ΣF_x = 0 और ΣF_y = 0 से A पर घटक मिलते हैं।

उत्तर और चरण-दर-चरण हल दिखाएँ

स्ट्रट बल

F_CD = 8·2/(0.7071·0.75) = 30.17 kN

A पर घटक

A_x = F_CD·cos α = 21.33 kN (दीवार की ओर)

A_y = 8 − F_CD·sin α = −13.33 kN

परिमाण

A = √(21.33² + −13.33²) = 25.16 kN

उत्तर

A = 25.16 kN

ऋणात्मक A_y का अर्थ है कि दीवार A पर कड़ी को नीचे खींचती है।

उदाहरण 3कठिन

1 kN भार की एक एकसमान क्षैतिज बूम AB दीवार में A पर पिन से जुड़ी है और अपने सिरे B से दीवार पर बिंदु C तक एक केबल से थमी है, जो A से 1 m ऊपर है। B पर 8 kN का भार लटका है। केबल में तनाव T ज्ञात कीजिए।

W = 8 kNW_b = 1 kNAB = 2 mAC = 1 m

ज्ञात करें: T (kN)

संकेत दिखाएँ

केबल BC के अनुदिश खींचती है। बूम के लिए A के परितः आघूर्ण लें।
केबल के ऊर्ध्वाधर घटक T·sin β की भुजा AB है; उसका क्षैतिज घटक A से गुज़रता है।
sin β = 1/√(2² + 1²) = 0.4472.

उत्तर और चरण-दर-चरण हल दिखाएँ

केबल का कोण

BC = √(2² + 1²) = 2.236 m, sin β = 0.4472

A के परितः आघूर्ण

T·0.4472·2 = 8·2 + 1·1

T = 19.01 kN

उत्तर

T = 19.01 kN

प्रश्न और उत्तर

फ़्रेम और मशीनें क्या है?

फ़्रेम और मशीनें के प्रश्न चरण-दर-चरण कैसे हल करें?

पूरी संरचना बनाएँ और, यदि अज्ञात तीन से अधिक न हों, तो आलंब प्रतिक्रियाएँ ज्ञात करें।
द्वि-बल अवयव पहचानें: केवल दो पिनों पर भारित, उनका बल दोनों पिनों के बीच की रेखा के अनुदिश लगता है।
फ़्रेम को अलग-अलग करें और हर अवयव को अकेले बनाएँ, जहाँ अवयव मिलते हैं वहाँ समान और विपरीत पिन बल रखें।
हर अवयव के लिए किसी ऐसे पिन के परितः आघूर्ण लें जहाँ अज्ञात बल लगते हैं, फिर ΣF_x = 0 और ΣF_y = 0 उपयोग करें; अंत में घटकों को मिलाकर परिमाण निकालें।

फ़्रेम और मशीनें में आम गलतियाँ क्या हैं?

जिस अवयव पर दो पिनों के बीच कोई भार हो, उसे द्वि-बल अवयव मान लेना।
पिन बल को उन दोनों अवयवों पर एक ही दिशा में दिखाना जिन्हें वह जोड़ता है।
आघूर्ण समीकरण में तिरछे बल को पूरा का पूरा ऊर्ध्वाधर घटक मान लेना।
जब पिन बल का परिमाण पूछा जाए तब केवल एक घटक बताना।

फ़्रेम और मशीनें के अभ्यास में क्या शामिल है?

आसान: द्वि-बल अवयव और सरल मशीनें
मध्यम: पिन बल और लिंकेज
कठिन: बहु-अवयव फ़्रेम

हर प्रश्न में नए मान होते हैं, इसलिए आप उत्तर नहीं बल्कि विधि सीखते हैं। अटक गए? पहले एक छोटा संकेत खोलें, और पूरी व्याख्या तभी जब ज़रूरत हो।

अभ्यास कैसे काम करता है

हर प्रश्न में नए मान होते हैं, इसलिए आप उत्तर नहीं बल्कि विधि सीखते हैं।
अटक गए? पहले एक छोटा संकेत खोलें, और पूरी व्याख्या तभी जब ज़रूरत हो।
आपकी प्रगति, गलतियाँ और सहेजे गए प्रश्न रखे जाते हैं, ताकि आप परीक्षा से पहले दोहरा सकें।

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बीम आलंब प्रतिक्रियाएँ ट्रस: जोड़ विधि

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