कार्य और ऊर्जा शुरू से सीखें
इससे पहले: न्यूटन के नियम
1ऊर्जा क्या है
ऊर्जा किसी चीज़ को चलाने या बदलने की क्षमता है। इसे जूल (J) में मापा जाता है। एक जूल वह ऊर्जा है जो 1 m पर 1 N से धकेलने के लिए चाहिए।
ऊर्जा कभी उत्पन्न या नष्ट नहीं होती। यह केवल रूप बदलती है। गिरती गेंद ऊँचाई को चाल में बदलती है। ब्रेक लगाती कार चाल को अपने ब्रेकों में ऊष्मा में बदलती है।
इससे आपको एक शक्तिशाली संक्षिप्त तरीका मिलता है। बलों के साथ गति का सेकंड-दर-सेकंड अनुसरण करने के बजाय, आप प्रारंभ की ऊर्जा की तुलना अंत की ऊर्जा से करते हैं।
इस विषय में आप यांत्रिक ऊर्जा के तीन रूपों से मिलते हैं: गति की ऊर्जा, ऊँचाई की ऊर्जा और स्प्रिंग में संचित ऊर्जा। घर्षण ऊर्जा निकालकर उसे ऊष्मा में बदलता है।
स्व-जाँच एक डिब्बा खुरदरे फ़र्श पर फिसलकर रुक जाता है। उसकी गतिज ऊर्जा का क्या हुआ?
- घर्षण ने उसे ऊष्मा में बदल दिया
- यह नष्ट हो गई
- वह अब भी डिब्बे में चाल के रूप में संचित है
- वह स्थितिज ऊर्जा बन गई
उत्तर: घर्षण ने उसे ऊष्मा में बदल दिया. ऊर्जा लुप्त नहीं हो सकती। समतल फ़र्श पर ऊँचाई नहीं बदलती, इसलिए पूरी गतिज ऊर्जा घर्षण के कारण ऊष्मा में बदल गई।
2कार्य और गतिज ऊर्जा
जब कोई बल किसी वस्तु को हिलाता है, तो वह कार्य करता है। कार्य बल और बल की दिशा में तय की गई दूरी का गुणनफल है:
W = F · d · cos α
यहाँ α बल और गति के बीच का कोण है। गति की दिशा में लगा बल (α = 0) पूरा कार्य करता है। समकोण पर लगा बल (α = 90°) बिल्कुल कार्य नहीं करता।
गति की ऊर्जा गतिज ऊर्जा कहलाती है। यह चाल के वर्ग के साथ बढ़ती है, इसलिए चाल दोगुनी करने पर ऊर्जा चार गुना हो जाती है:
Ek = ½ · m · v²
सभी बलों द्वारा किया गया कुल कार्य गतिज ऊर्जा में परिवर्तन के बराबर होता है। यही कार्य–ऊर्जा प्रमेय है।
स्व-जाँच एक रस्सी क्षैतिज से 60° ऊपर 50 N के बल से एक पेटी को समतल फ़र्श पर 4 m खींचती है। रस्सी कितना कार्य करती है?
- 100 J
- 12.5 J
- 173 J
- 200 J
उत्तर: 100 J. W = 50 · 4 · cos 60° = 100 J। cos α छोड़ देने पर 200 J मिलता है, और sin 60° लेने पर 173 J।
3स्थितिज ऊर्जा: ऊँचाई और स्प्रिंग
जो वस्तु ऊपर होती है वह गिरकर चाल पकड़ सकती है। ऊँचाई के कारण उसमें जो ऊर्जा होती है, वह गुरुत्वीय स्थितिज ऊर्जा है:
Ep = m · g · h
केवल ऊँचाई में परिवर्तन मायने रखता है, इसलिए शून्य स्तर आप स्वयं चुन सकते हैं। गति का सबसे निचला बिंदु आमतौर पर सबसे आसान चुनाव होता है।
जो स्प्रिंग दूरी x से दबाई या खींची जाती है, वह प्रत्यास्थ ऊर्जा संचित करती है। यहाँ k स्प्रिंग की कठोरता है, N/m में:
Es = ½ · k · x²
सब कुछ एक ऊर्जा संतुलन में रखिए। Wf घर्षण के विरुद्ध किया गया कार्य है, जो ऊष्मा के रूप में निकल जाता है:
Ek1 + Ep1 + Es1 = Ek2 + Ep2 + Es2 + Wf
विरामावस्था से मुक्त पतन में, बिना घर्षण के, यह m·g·h = ½·m·v² देता है, इसलिए v = √(2gh)। द्रव्यमान कट जाता है।
स्व-जाँच एक पत्थर 20 m की ऊँचाई से विरामावस्था से गिराया जाता है। वायु प्रतिरोध की उपेक्षा करें, तो जमीन पर पहुँचते समय उसकी चाल कितनी है? (g = 9.81 m/s²)
- 14.0 m/s
- 19.8 m/s
- 196 m/s
- 392 m/s
उत्तर: 19.8 m/s. v = √(2 · 9.81 · 20) = √392.4 = 19.8 m/s। 392 m/s में वर्गमूल लेना भूल गए, और 14.0 m/s में ½·m·v² के ½ से आने वाला गुणक 2 भूल गए।
4विधि चरण-दर-चरण
- स्थिति का चित्र बनाइए। प्रारंभ बिंदु को 1 और अंतिम बिंदु को 2 चिह्नित कीजिए, और ऊँचाई के लिए शून्य स्तर चुनिए।
- बिंदु 1 पर ऊर्जा लिखिए: Ek1 = ½·m·v1², Ep1 = m·g·h1, और यदि स्प्रिंग दबी हो तो ½·k·x1²।
- बिंदु 2 पर ऊर्जा भी इसी तरह लिखिए। अज्ञात राशि को प्रतीक के रूप में रहने दीजिए।
- घर्षण के विरुद्ध कार्य ज्ञात कीजिए। ढलान पर अभिलंब बल N = m·g·cos θ होता है, इसलिए Wf = μ·m·g·cos θ·d, जहाँ d फिसलने की दूरी है।
- ऊर्जा संतुलन में मान रखिए और अज्ञात राशि के लिए हल कीजिए।
केवल ऊर्जा का उपयोग करने पर भी बल आरेख बनाइए। आरेख दिखाता है कि कौन-से बल कार्य करते हैं और कौन-से नहीं।
अभिलंब बल N गति के समकोण पर होता है, इसलिए वह कार्य नहीं करता। वह केवल इसलिए मायने रखता है कि घर्षण उस पर निर्भर करता है।
5एक हल किया गया उदाहरण
हर चरण का अनुसरण करें। अगला चरण खोलने से पहले उसका अनुमान लगाने का प्रयास करें।
हल किया गया उदाहरण2 kg का एक गुटका क्षैतिज से 30° के ढलान पर विरामावस्था से नीचे फिसलता है। गतिज घर्षण गुणांक 0.2 है। g = 9.81 m/s² लीजिए। ढलान के अनुदिश 5 m फिसलने के बाद उसकी चाल ज्ञात कीजिए।
1बिंदु 1 प्रारंभ है, बिंदु 2 ढलान पर 5 m और नीचे है। ऊँचाई का शून्य स्तर बिंदु 2 पर रखिए।
2गुटका ढलान के अनुदिश 5 m फिसलता है, परंतु ऊँचाई में उसका केवल ऊर्ध्वाधर भाग ही घटता है:
h = d · sin θ = 5 · sin 30° = 2.5 m
Ep1 = m · g · h = 2 · 9.81 · 2.5 = 49.05 J
3ढलान पर अभिलंब बल भार से कम होता है:
N = m · g · cos θ = 2 · 9.81 · cos 30° = 16.99 N
Wf = μ · N · d = 0.2 · 16.99 · 5 = 16.99 J
4गुटका विरामावस्था से शुरू होता है, इसलिए Ek1 = 0। बिंदु 2 पर ऊँचाई शून्य है:
Ep1 = Ek2 + Wf
Ek2 = 49.05 − 16.99 = 32.06 J
5½ · 2 · v² = 32.06
v = √32.06 = 5.66 m/s
6घर्षण के बिना गुटका √(2 · 9.81 · 2.5) = 7.00 m/s तक पहुँचता। घर्षण उसे धीमा करेगा ही, और 5.66 m/s कम है। उत्तर तर्कसंगत है।
अंत में द्रव्यमान कट जाता है: v² = 2·g·d·(sin θ − μ·cos θ) = 32.06, जिससे वही 5.66 m/s मिलता है।
उत्तर 5 m फिसलने के बाद गुटका v ≈ 5.66 m/s की चाल पर पहुँचता है।
6सामान्य गलतियाँ
- ढलान पर अभिलंब बल के रूप में भार m·g का उपयोग करना। ढलान पर N = m·g·cos θ होता है।
- ढलान के अनुदिश दूरी को ऊँचाई मान लेना। ऊँचाई में गिरावट d·sin θ है।
- अंत में वर्गमूल लेना भूल जाना: ½·m·v² से v² मिलता है, v नहीं।
- अंत में घर्षण के कार्य को ऊर्जा में गलत चिह्न के साथ जोड़ना। घर्षण हमेशा गति से ऊर्जा निकालता है।
- स्प्रिंग की ऊर्जा को ½·k·x² के बजाय k·x लिखना, या x को cm में छोड़ देना।
स्व-जाँच 1 kg का गुटका μ = 0.5 वाले 30° के ढलान पर 2 m नीचे फिसलता है। घर्षण के विरुद्ध कितना कार्य किया जाता है? (g = 9.81 m/s²)
- 19.6 J
- 4.91 J
- 8.50 J
- 9.81 J
उत्तर: 8.50 J. Wf = μ · m · g · cos θ · d = 0.5 · 1 · 9.81 · cos 30° · 2 = 8.50 J। अभिलंब बल के रूप में m·g लेने पर 9.81 J मिलता है, और cos θ की जगह sin θ लेने पर 4.91 J।
7परीक्षा प्रश्न कैसे दिखते हैं
- आसान: मुक्त पतन और अन्य एकल रूपांतरण। गिराई गई गेंद (v या Ek ज्ञात करना), किसी कोण से छोड़ा गया लोलक, स्प्रिंग से टकराता गुटका, खींचने वाली रस्सी का कार्य, या क्रेन की शक्ति (P = m·g·h / t)।
- मध्यम: घर्षण वाले ढलान पर गुटका: किसी दूरी के बाद चाल या घर्षण के विरुद्ध कार्य ज्ञात करना। इसके रूपांतर हैं: रुकने तक फिसलती कार, स्प्रिंग लॉन्चर और पहाड़ी पर चढ़ने के लिए आवश्यक शक्ति।
- कठिन: एक ही प्रश्न में कई चरण। उदाहरण के लिए चिकना ढलान, फिर खुरदरी पट्टी, फिर स्प्रिंग: स्प्रिंग पर चाल या अधिकतम संपीडन ज्ञात कीजिए। अन्य प्रश्नों में खींचा गया गुटका, लूप या दो जुड़े हुए गुटके जुड़ जाते हैं।
कठिन प्रश्नों में शुरुआत से अंत तक एक ही ऊर्जा संतुलन लिखिए। हर खुरदरे भाग के घर्षण कार्य को जोड़िए।
स्प्रिंग के अधिकतम संपीडन पर गुटका क्षण भर के लिए रुकता है, इसलिए उसकी पूरी गतिज ऊर्जा स्प्रिंग में होती है: ½·m·v² = ½·k·x²।
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