आरेखों, संकेतों और पूर्ण हल के साथ मुफ़्त प्रक्षेप्य गति अभ्यास प्रश्न। हर बार नए मान, तीन स्तरों पर: क्षैतिज प्रक्षेपण, ज़मीन से प्रक्षेपण, ऊँचाई से प्रक्षेपण।
मुफ़्त अभ्यास प्रश्नआसान
एक 20 m ऊँची दीवार के शीर्ष से एक पत्थर क्षैतिज रूप से फेंका जाता है और दीवार के आधार से 22 m पर गिरता है। वायु प्रतिरोध को नगण्य मानें और g = 9.81 m/s² लें। प्रक्षेपण चाल v0 ज्ञात कीजिए।
प्रक्षेप्य वह वस्तु है जो हवा में उड़ती है और जिस पर केवल गुरुत्व कार्य करता है। लात मारी गई गेंद, पुल से फेंका गया पत्थर और नली से निकला पानी, सभी प्रक्षेप्य हैं।
इस विषय में आप वायु प्रतिरोध की उपेक्षा करते हैं। तब पथ हमेशा एक सुचारु वक्र होता है जिसे परवलय कहते हैं।
मुख्य विचार: गति दो अलग भागों में बँट जाती है। बगल की ओर, कुछ भी वस्तु को धक्का नहीं देता या धीमा नहीं करता। ऊपर–नीचे, गुरुत्व उसे g = 9.81 m/s² से खींचता है।
इसलिए क्षैतिज चाल पूरे समय समान रहती है, जबकि ऊर्ध्वाधर चाल हर सेकंड बदलती है। दोनों भाग केवल एक चीज़ साझा करते हैं: समय।
स्व-जाँच एक गेंद बिना वायु प्रतिरोध के हवा में उड़ती है। उड़ान के दौरान कौन-सी राशि अचर रहती है?
ऊँचाई
ऊर्ध्वाधर वेग
कुल चाल
क्षैतिज वेग
उत्तर: क्षैतिज वेग. बगल की ओर कोई बल नहीं लगता, इसलिए क्षैतिज वेग कभी नहीं बदलता। गुरुत्व ऊर्ध्वाधर वेग बदलता है, और उसके साथ कुल चाल और ऊँचाई भी।
2दो गतियाँ, एक घड़ी
मूल बिंदु को प्रक्षेपण बिंदु पर रखिए, x क्षैतिज और y ऊर्ध्वाधर (ऊपर धनात्मक) लेते हुए। समय t के बाद:
x = vx · t
y = h + vy · t − ½ · g · t²
यहाँ h भूमि से ऊपर प्रक्षेपण की ऊँचाई है, vx क्षैतिज वेग है और vy प्रारंभिक ऊर्ध्वाधर वेग है।
गेंद जमीन से तब टकराती है जब y = 0। आप उस समय के लिए ऊर्ध्वाधर समीकरण हल करते हैं, फिर वही समय क्षैतिज समीकरण में रखते हैं।
क्षैतिज प्रक्षेपण के लिए, vy = 0। ऊर्ध्वाधर समीकरण h = ½ · g · t² बन जाता है, इसलिए गिरने का समय है:
t = √(2h / g)
यह गिरने का समय क्षैतिज चाल पर बिल्कुल निर्भर नहीं करता।
स्व-जाँच उसी मेज़ से, गेंद A 1 m/s से किनारे से लुढ़कती है और गेंद B 3 m/s से। कौन पहले गिरती है?
गेंद A
गेंद B
यह उनके द्रव्यमानों पर निर्भर करता है
वे एक ही समय पर गिरती हैं
उत्तर: वे एक ही समय पर गिरती हैं. दोनों शून्य ऊर्ध्वाधर वेग से शुरू करती हैं और समान ऊँचाई गिरती हैं, इसलिए t = √(2h/g) समान है। गेंद B केवल अधिक दूर गिरती है।
3कोण पर प्रक्षेपण
जब गेंद चाल v0 और क्षैतिज से ऊपर कोण θ पर फेंकी जाती है, तो पहले वेग को उसके दो भागों में बाँटिए, यानी घटकों में:
vx = v0 · cos θ vy = v0 · sin θ
समतल भूमि से, गेंद तब तक ऊपर उठती है जब तक उसका ऊर्ध्वाधर वेग शून्य नहीं हो जाता, फिर नीचे गिरती है। उठने और गिरने में समान समय लगता है। इससे तीन उपयोगी परिणाम मिलते हैं:
ttop = vy / g t = 2 · vy / g
H = vy² / (2g) R = v0² · sin 2θ / g
R का परास सूत्र तभी मान्य है जब गेंद उसी ऊँचाई पर गिरे जहाँ से फेंकी गई थी।
स्व-जाँच एक गेंद 20 m/s पर और क्षैतिज से 30° ऊपर फेंकी जाती है। उसके वेग के घटक क्या हैं?
vx = 10 m/s और vy = 10 m/s
vx = 10 m/s और vy = 17.3 m/s
vx = 17.3 m/s और vy = 10 m/s
vx = 20 m/s और vy = 20 m/s
उत्तर: vx = 17.3 m/s और vy = 10 m/s. vx = 20 · cos 30° = 17.3 m/s और vy = 20 · sin 30° = 10 m/s। उन्हें आपस में बदलने पर क्षैतिज भाग के लिए sin का उपयोग होता है, जो क्लासिक गड़बड़ी है।
4विधि चरण-दर-चरण
पथ बनाइए। प्रक्षेपण की ऊँचाई h, प्रक्षेपण चाल v0, कोण θ और जो ज्ञात करना है उसे चिह्नित कीजिए।
प्रक्षेपण वेग को घटकों में बाँटिए: vx = v0 · cos θ और vy = v0 · sin θ। क्षैतिज प्रक्षेपण में vy = 0 होता है।
उड़ान का समय ज्ञात करने के लिए ऊर्ध्वाधर गति का उपयोग कीजिए: y = h + vy·t − ½·g·t² में y = 0 रखिए और t के लिए हल कीजिए।
उस समय को क्षैतिज गति में रखिए: x = vx · t।
किसी भी क्षण की चाल के लिए, घटकों को जोड़िए: v = √(vx² + (vy − g·t)²)।
डिग्री में दिए गए कोण का sin या cos लेने से पहले जाँच लीजिए कि आपका कैलकुलेटर डिग्री पर सेट है।
5एक हल किया गया उदाहरण
हर चरण का अनुसरण करें। अगला चरण खोलने से पहले उसका अनुमान लगाने का प्रयास करें।
हल किया गया उदाहरण
एक गेंद 45 m ऊँची चट्टान की चोटी से 12 m/s पर क्षैतिज फेंकी जाती है। वायु प्रतिरोध की उपेक्षा कीजिए और g = 9.81 m/s² लीजिए। वह चट्टान की तली से कितनी दूर गिरती है?
1
स्थिति का चित्र बनाइए
प्रक्षेपण क्षैतिज है, इसलिए vx = 12 m/s और vy = 0। गेंद को h = 45 m गिरना है।
2
उड़ान का समय ज्ञात कीजिए
ऊर्ध्वाधर गति विरामावस्था से 45 m का गिरना है:
t = √(2h / g) = √(2 · 45 / 9.81) = √9.174 = 3.03 s
3
बगल की गति के लिए समय का उपयोग कीजिए
उन 3.03 s में गेंद 12 m/s पर बगल की ओर चलती रहती है:
x = vx · t = 12 · 3.029 = 36.3 m
4
उत्तर जाँचें
समय को ऊर्ध्वाधर गति में वापस रखिए: ½ · 9.81 · 3.029² = 45.0 m। यह ठीक चट्टान की ऊँचाई है, इसलिए समय सही है।
3 s में 12 m/s के प्रक्षेपण के लिए लगभग 36 m की दूरी भी उचित आकार की है।
5
आगे बढ़ते हुए: टकराने की चाल
गिरने से ठीक पहले, vy = g · t = 9.81 · 3.029 = 29.7 m/s नीचे की ओर है, जबकि vx अब भी 12 m/s है।
v = √(12² + 29.7²) = 32.0 m/s
उत्तर
गेंद 3.03 s बाद चट्टान की तली से x ≈ 36.3 m दूर गिरती है।
6सामान्य गलतियाँ
जहाँ घटक आना चाहिए वहाँ पूरी चाल v0 का उपयोग करना। उड़ान का समय केवल vy से आता है, परास केवल vx से।
sin और cos को गड़बड़ा देना। जब θ क्षैतिज से मापा जाए तो क्षैतिज घटक cos θ के साथ आता है।
कोण डिग्री में होने पर कैलकुलेटर का रेडियन में होना।
जब गेंद शुरुआत से नीचे या ऊपर गिरती है तब R = v0² · sin 2θ / g का उपयोग करना। तब आपको ऊर्ध्वाधर समीकरण हल करना होगा।
क्षैतिज गति को त्वरण दे देना। बगल की ओर चाल अचर है।
स्व-जाँच एक गेंद समतल भूमि से 20 m/s पर और क्षैतिज से 30° ऊपर लात से मारी जाती है। वह हवा में कितनी देर रहती है? (g = 9.81 m/s²)
1.02 s
2.04 s
3.53 s
4.08 s
उत्तर: 2.04 s. vy = 20 · sin 30° = 10 m/s, इसलिए t = 2 · 10 / 9.81 = 2.04 s। पूरे 20 m/s का उपयोग करने पर 4.08 s मिलता है, और 1.02 s केवल उच्चतम बिंदु तक का समय है।
7परीक्षा प्रश्न कैसे दिखते हैं
आसान: चट्टान या दीवार से क्षैतिज प्रक्षेपण। उड़ान का समय, गिरने की दूरी, दी गई गिरने की दूरी से प्रक्षेपण चाल, या टकराने की चाल ज्ञात कीजिए। कुछ आसान प्रश्न भूमि से प्रक्षेपण में उच्चतम बिंदु तक का समय पूछते हैं।
मध्यम: समतल भूमि से कोण पर प्रक्षेपण। उड़ान का समय, अधिकतम ऊँचाई या परास ज्ञात कीजिए। रूपांतर किसी विशेष परास के लिए प्रक्षेपण चाल या कोण पूछते हैं, या वह ऊँचाई जिस पर गेंद दीवार को पार करती है।
कठिन: चट्टान की चोटी से कोण पर प्रक्षेपण, या छत पर गिरना। y = 0 (या छत की ऊँचाई) रखने पर t में द्विघात समीकरण मिलता है: धनात्मक मूल लीजिए।
कठिन स्थिति में, क्षैतिज से नीचे टकराने का कोण अंतिम घटकों से मिलता है: tan α = |vy − g·t| / vx।
एक गेंद 55 m ऊँची चट्टान के शीर्ष से क्षैतिज रूप से फेंकी जाती है। वायु प्रतिरोध नगण्य मानें। गेंद के ज़मीन से टकराने से पहले तय की गई क्षैतिज दूरी x ज्ञात कीजिए।
v0 = 10 m/sθ = 0°h = 55 mg = 9.81 m/s²
ज्ञात करें: x(m)
संकेत दिखाएँ
क्षैतिज और ऊर्ध्वाधर गति को अलग-अलग लें। उनमें केवल समय t साझा है।
गेंद तब उतरती है जब उसकी ऊँचाई y(t) शून्य हो जाती है। y(t) = h + vyt − ½gt² लिखें।
vy = 0 m/s, और उड़ान 3.349 s चलती है.
उत्तर और चरण-दर-चरण हल दिखाएँ
प्रक्षेप्य गति: वायु प्रतिरोध के बिना x = vxt और y = h + vyt − ½gt²। दोनों दिशाएँ स्वतंत्र हैं, सिवाय इसके कि उनका समय एक ही है।
प्रक्षेपण वेग को विभाजित करें
क्षैतिज वेग स्थिर रहता है; ऊर्ध्वाधर गति का नीचे की ओर स्थिर त्वरण g = 9.81 m/s² है।
vx = v0·cos θ = 10·cos 0° = 10 m/s
vy = v0·sin θ = 10·sin 0° = 0 m/s
उड़ान का समय
y(t) = h + vy·t − ½gt² = 0 को धनात्मक मूल के लिए हल करें।
t = √(2h/g) = √(2·55/9.81) = 3.349 s
क्षैतिज दूरी
x = vx·t = 10·3.349 = 33.49 m
उत्तर
x = 33.49 m
उदाहरण 2मध्यम
एक गेंद समतल ज़मीन से क्षैतिज से 60° ऊपर फेंकी जाती है। वायु प्रतिरोध नगण्य मानें। गेंद के ज़मीन से टकराने तक उड़ान का समय t ज्ञात कीजिए।
v0 = 26 m/sθ = 60°g = 9.81 m/s²
ज्ञात करें: t(s)
संकेत दिखाएँ
क्षैतिज और ऊर्ध्वाधर गति को अलग-अलग लें। उनमें केवल समय t साझा है।
सममिति से, ऊपर जाने का समय नीचे आने के समय के बराबर है।
vy = 22.52 m/s.
उत्तर और चरण-दर-चरण हल दिखाएँ
प्रक्षेप्य गति: वायु प्रतिरोध के बिना x = vxt और y = h + vyt − ½gt²। दोनों दिशाएँ स्वतंत्र हैं, सिवाय इसके कि उनका समय एक ही है।
प्रक्षेपण वेग को विभाजित करें
क्षैतिज वेग स्थिर रहता है; ऊर्ध्वाधर गति का नीचे की ओर स्थिर त्वरण g = 9.81 m/s² है।
vx = v0·cos θ = 26·cos 60° = 13 m/s
vy = v0·sin θ = 26·sin 60° = 22.52 m/s
उड़ान का समय
समान ऊँचाई से प्रक्षेपण और उसी ऊँचाई पर उतरना: t = 2vy/g।
t = 2·22.52/9.81 = 4.591 s
उत्तर
t = 4.591 s
उदाहरण 3कठिन
एक गेंद 55 m ऊँची चट्टान के शीर्ष से क्षैतिज से 25° ऊपर फेंकी जाती है। वायु प्रतिरोध नगण्य मानें। गेंद के ज़मीन से टकराने तक उड़ान का समय t ज्ञात कीजिए।
v0 = 33 m/sθ = 25°h = 55 mg = 9.81 m/s²
ज्ञात करें: t(s)
संकेत दिखाएँ
क्षैतिज और ऊर्ध्वाधर गति को अलग-अलग लें। उनमें केवल समय t साझा है।
गेंद तब उतरती है जब उसकी ऊँचाई y(t) शून्य हो जाती है। y(t) = h + vyt − ½gt² लिखें।
vy = 13.95 m/s.
उत्तर और चरण-दर-चरण हल दिखाएँ
प्रक्षेप्य गति: वायु प्रतिरोध के बिना x = vxt और y = h + vyt − ½gt²। दोनों दिशाएँ स्वतंत्र हैं, सिवाय इसके कि उनका समय एक ही है।
प्रक्षेपण वेग को विभाजित करें
क्षैतिज वेग स्थिर रहता है; ऊर्ध्वाधर गति का नीचे की ओर स्थिर त्वरण g = 9.81 m/s² है।
vx = v0·cos θ = 33·cos 25° = 29.91 m/s
vy = v0·sin θ = 33·sin 25° = 13.95 m/s
उड़ान का समय
y(t) = h + vy·t − ½gt² = 0 को धनात्मक मूल के लिए हल करें।
0 = 55 + 13.95·t − 4.905·t²
t = (vy + √(vy² + 2gh))/g = (13.95 + √(194.5 + 1079))/9.81 = 5.06 s
उत्तर
t = 5.06 s
प्रश्न और उत्तर
प्रक्षेप्य गति क्या है?
इस विषय में आप वायु प्रतिरोध की उपेक्षा करते हैं। तब पथ हमेशा एक सुचारु वक्र होता है जिसे परवलय कहते हैं।
मुख्य विचार: गति दो अलग भागों में बँट जाती है। बगल की ओर, कुछ भी वस्तु को धक्का नहीं देता या धीमा नहीं करता। ऊपर–नीचे, गुरुत्व उसे g = 9.81 m/s² से खींचता है।
प्रक्षेप्य गति के प्रश्न चरण-दर-चरण कैसे हल करें?
प्रक्षेपण वेग को घटकों में विभाजित करें: vx = v₀·cos θ और vy = v₀·sin θ।
क्षैतिज गति की चाल नियत होती है; ऊर्ध्वाधर गति का त्वरण −g होता है।
ऊर्ध्वाधर गति से उड़ान का समय ज्ञात करें।
परास ज्ञात करने के लिए उस समय का क्षैतिज गति में उपयोग करें।
प्रक्षेप्य गति में आम गलतियाँ क्या हैं?
घटक के बजाय v₀ का उपयोग करना।
कोण डिग्री में होने पर कैलकुलेटर रेडियन में होना।
प्रक्षेपण और अवतरण की ऊँचाई अलग होने पर परास सूत्र v₀²·sin 2θ/g का उपयोग करना।
प्रक्षेप्य गति के अभ्यास में क्या शामिल है?
आसान: क्षैतिज प्रक्षेपण
मध्यम: ज़मीन से प्रक्षेपण
कठिन: ऊँचाई से प्रक्षेपण
हर प्रश्न में नए मान होते हैं, इसलिए आप उत्तर नहीं बल्कि विधि सीखते हैं। अटक गए? पहले एक छोटा संकेत खोलें, और पूरी व्याख्या तभी जब ज़रूरत हो।
अभ्यास कैसे काम करता है
हर प्रश्न में नए मान होते हैं, इसलिए आप उत्तर नहीं बल्कि विधि सीखते हैं।
अटक गए? पहले एक छोटा संकेत खोलें, और पूरी व्याख्या तभी जब ज़रूरत हो।
आपकी प्रगति, गलतियाँ और सहेजे गए प्रश्न रखे जाते हैं, ताकि आप परीक्षा से पहले दोहरा सकें।