मोर वृत्त और प्रतिबल रूपांतरण: चरण-दर-चरण हल सहित अभ्यास प्रश्न

Q: मोर वृत्त और प्रतिबल रूपांतरण के अभ्यास में क्या शामिल है?

आसान: मुख्य प्रतिबल मध्यम: अधिकतम अपरूपण और मुख्य दिशा कठिन: झुके तल पर प्रतिबल हर प्रश्न में नए मान होते हैं, इसलिए आप उत्तर नहीं बल्कि विधि सीखते हैं। अटक गए? पहले एक छोटा संकेत खोलें, और पूरी व्याख्या तभी जब ज़रूरत हो।

आरेखों, संकेतों और पूर्ण हल के साथ मुफ़्त मोर वृत्त और प्रतिबल रूपांतरण अभ्यास प्रश्न। हर बार नए मान, तीन स्तरों पर: मुख्य प्रतिबल, अधिकतम अपरूपण और मुख्य दिशा, झुके तल पर प्रतिबल।

मुफ़्त अभ्यास प्रश्नआसान

किसी भारित भाग के एक बिंदु पर तलीय मुख्य प्रतिबल σ₁ = 90 MPa और σ₂ = −20 MPa हैं (तनन धनात्मक)। अधिकतम तलीय अपरूपण प्रतिबल वाले तलों पर कार्य करने वाला अभिलंब प्रतिबल σ_avg ज्ञात कीजिए।

σ₁ = 90 MPaσ₂ = −20 MPa

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मोर वृत्त और प्रतिबल रूपांतरण का मुफ़्त अभ्यास करें अभी मोर वृत्त और प्रतिबल रूपांतरण का अभ्यास करेंहर दिन 5 मुफ़्त प्रश्न। कार्ड की ज़रूरत नहीं।

आप क्या अभ्यास करेंगे

आसानमुख्य प्रतिबल
मध्यमअधिकतम अपरूपण और मुख्य दिशा
कठिनझुके तल पर प्रतिबल

मोर वृत्त और प्रतिबल रूपांतरण के प्रश्न कैसे हल करें

मोर वृत्त का केंद्र निकालें: C = (σx + σy)/2।
त्रिज्या निकालें: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)।
मुख्य प्रतिबल C ± R हैं और तल में सबसे बड़ा अपरूपण प्रतिबल R है।
वृत्त पर कोण अवयव पर कोणों के दोगुने होते हैं: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)।

सामान्य गलतियाँ

रूपांतरण समीकरणों में 2θ के बजाय θ का उपयोग करना।
(σx − σy)/2 और τxy को पाइथागोरस से मिलाने के बजाय सीधे जोड़ना।
अपरूपण प्रतिबल की चिह्न परिपाटी गलत लेना।

मुख्य सूत्र

केंद्र: C = (σ_x + σ_y)/2
त्रिज्या: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
मुख्य प्रतिबल: σ_1,2 = C ± R
मुख्य दिशा: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
झुका हुआ तल: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

मोर वृत्त और प्रतिबल रूपांतरण शुरू से सीखें

इससे पहले: अक्षीय प्रतिबल और विकृति

1प्रतिबल दिशा पर निर्भर क्यों करता है

अक्षीय पाठ में प्रतिबल एक संख्या था: बल को क्षेत्रफल से भाग देना। लेकिन किसी बिंदु पर प्रतिबल उस काट की दिशा पर निर्भर करता है जिसे आप देखते हैं।

चॉक के टुकड़े को तब तक मरोड़ें जब तक वह टूट न जाए। वह सीधे आर-पार नहीं, 45° की सर्पिल रेखा पर टूटता है। उस 45° वाले तल पर तनाव सबसे अधिक होता है, और चॉक तनाव में कमज़ोर होती है।

एक बिंदु पर प्रतिबल का वर्णन करने के लिए इंजीनियर एक छोटा वर्ग बनाते हैं, प्रतिबल अवयव, जिसके फलकों पर प्रतिबल दिखाए जाते हैं:

σ_x और σ_y अभिलंब प्रतिबल हैं, जो फलकों के लंबवत होते हैं। धनात्मक का अर्थ तनाव (तीर बाहर की ओर), ऋणात्मक का अर्थ संपीडन।
τ_xy अपरूपण प्रतिबल है, जो फलकों के अनुदिश होता है। यह वर्ग को समचतुर्भुज बनाने की कोशिश करता है।

वर्ग को घुमाएँ, तो उसके फलकों पर प्रतिबल बदल जाते हैं। यह पाठ दिखाता है कि हर दिशा के लिए उन्हें कैसे ज्ञात करें, और कौन-सी दिशाएँ सबसे खतरनाक हैं।

स्व-जाँच किसी बिंदु पर σ_x = −40 MPa है। इसका क्या अर्थ है?

40 MPa का अपरूपण प्रतिबल
x-दिशा में 40 MPa का तनाव
x-दिशा में 40 MPa का संपीडन
y-दिशा में 40 MPa का संपीडन

उत्तर: x-दिशा में 40 MPa का संपीडन. सामान्य चिह्न परिपाटी में तनाव धनात्मक होता है, इसलिए ऋणात्मक σ_x संपीडन है, जो x के लंबवत फलकों पर कार्य करता है।

2मोर वृत्त

मोर वृत्त सभी दिशाओं का एक साथ चित्र है। वृत्त का हर बिंदु पुर्ज़े में उस बिंदु से होकर जाने वाले एक संभावित काट का है।

अभिलंब प्रतिबल σ को दाईं ओर और अपरूपण प्रतिबल τ को ऊपर की ओर खींचें। फिर दो बिंदु आलेखित करें:

बिंदु x (σ_x, τ_xy) पर: x के लंबवत फलक पर प्रतिबल,
बिंदु y (σ_y, −τ_xy) पर: y के लंबवत फलक पर प्रतिबल।

वृत्त दोनों बिंदुओं से होकर जाता है। उसका केंद्र C σ-अक्ष पर उनके ठीक बीच में है। उसकी त्रिज्या R पाइथागोरस से मिलती है:

C = (σ_x + σ_y) / 2 R = √( ((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy² )

जहाँ वृत्त σ-अक्ष को काटता है, वहाँ अपरूपण प्रतिबल शून्य होता है। ये दो मान मुख्य प्रतिबल हैं, बिंदु पर सबसे बड़ा और सबसे छोटा अभिलंब प्रतिबल। वृत्त का शीर्ष समतल में सबसे बड़ा अपरूपण प्रतिबल है:

σ₁ = C + R σ₂ = C − R τ_max = R

स्व-जाँच σ_x = 50 MPa, σ_y = 10 MPa और τ_xy = 15 MPa है। σ₁ क्या है?

45 MPa
50 MPa
55 MPa
65 MPa

उत्तर: 55 MPa. C = 30 MPa और R = √(20² + 15²) = 25 MPa, इसलिए σ₁ = 55 MPa। 65 में पाइथागोरस की जगह 20 + 15 जोड़ा गया है; 50 अपरूपण प्रतिबल की अनदेखी करता है।

3कोण: वृत्त पर दुगुने

अवयव को कोण θ से घुमाने पर मोर वृत्त पर उसका बिंदु उसी दिशा में 2θ खिसकता है। वामावर्त धनात्मक है।

σ₁ की दिशा x-अक्ष से कोण θ_p है, जो इससे मिलता है:

tan 2θ_p = 2τ_xy / (σ_x − σ_y)

चतुर्थांश का ध्यान रखें। यदि σ_x − σ_y ऋणात्मक है, तो τ_xy > 0 होने पर 2θ_p में 180° जोड़ें, या τ_xy < 0 होने पर 180° घटाएँ। फिर उसे आधा करें।

अधिकतम अपरूपण वाले तल मुख्य दिशाओं से 45° दूर होते हैं (वृत्त पर 90°)।

उस तल के लिए जिसका अभिलंब x-अक्ष से θ घूमा हुआ है, प्रतिबल हैं:

σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2 · cos 2θ + τ_xy · sin 2θ

τ_θ = −(σ_x − σ_y)/2 · sin 2θ + τ_xy · cos 2θ

स्व-जाँच किसी बिंदु पर tan 2θ_p = 1 है और σ_x − σ_y धनात्मक है। θ_p क्या है?

22.5°
45°
90°
−67.5°

उत्तर: 22.5°. 2θ_p = 45°, इसलिए θ_p = 22.5°। 45° उत्तर देने में वृत्त से मिले कोण को आधा करना भूल गए हैं। −67.5° σ₂ की दिशा है, 90° दूर।

4विधि चरण-दर-चरण

σ_x, σ_y और τ_xy को उनके चिह्नों के साथ लिख लें: तनाव धनात्मक, संपीडन ऋणात्मक।
केंद्र C = (σ_x + σ_y)/2 ज्ञात करें।
त्रिज्या R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²) ज्ञात करें।
मुख्य प्रतिबल: σ₁ = C + R और σ₂ = C − R। समतल में सबसे बड़ा अपरूपण: τ_max = R।
दिशाएँ: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y), चतुर्थांश जाँचें, फिर आधा करें।
किसी दिए गए तल θ के लिए: 2θ के साथ σ_θ और τ_θ समीकरणों का उपयोग करें।

वृत्त का एक छोटा रेखाचित्र, चाहे मोटा-मोटा ही हो, आपको चिह्न और यह दिखा देता है कि कौन-सा बिंदु σ₁ है।

5एक हल किया गया उदाहरण

हर चरण का अनुसरण करें। अगला चरण खोलने से पहले उसका अनुमान लगाने का प्रयास करें।

हल किया गया उदाहरण

एक बिंदु पर σ_x = 80 MPa, σ_y = 20 MPa और τ_xy = 40 MPa है। मुख्य प्रतिबल, τ_max, σ₁ की दिशा θ_p, और 45° वामावर्त घूमे तल पर अभिलंब प्रतिबल ज्ञात कीजिए।

अवयव को देखें

दोनों अभिलंब प्रतिबल तनाव हैं। अपरूपण प्रतिबल धनात्मक है।

केंद्र और त्रिज्या

C = (80 + 20) / 2 = 50 MPa

R = √(30² + 40²) = 50 MPa

मुख्य प्रतिबल और अधिकतम अपरूपण

σ₁ = 50 + 50 = 100 MPa σ₂ = 50 − 50 = 0 MPa

τ_max = R = 50 MPa

मुख्य दिशा

tan 2θ_p = 2 · 40 / (80 − 20) = 1.333

σ_x − σ_y धनात्मक है, इसलिए किसी सुधार की ज़रूरत नहीं: 2θ_p = 53.1° और θ_p = x से 26.6° वामावर्त।

45° घूमा हुआ तल

θ = 45° के साथ 2θ = 90°: cos 2θ = 0 और sin 2θ = 1।

σ_θ = 50 + 30 · 0 + 40 · 1 = 90 MPa

उत्तर जाँचें

योग σ_x + σ_y = 100 MPa, σ₁ + σ₂ = 100 MPa के बराबर है। यह योग हर घूर्णन के लिए समान रहता है, इसलिए यह एक त्वरित जाँच है।

साथ ही, 90 MPa σ₂ = 0 और σ₁ = 100 MPa के बीच है, जैसा हर अभिलंब प्रतिबल के लिए होना चाहिए।

उत्तर

σ₁ = 100 MPa, σ₂ = 0, τ_max = 50 MPa, θ_p = 26.6° और σ_45° = 90 MPa।

6सामान्य गलतियाँ

(σ_x − σ_y)/2 और τ_xy को सीधे जोड़ देना। त्रिज्या उन्हें पाइथागोरस से मिलाती है।
रूपांतरण समीकरणों में 2θ की जगह θ का उपयोग करना, या वृत्त से पढ़े कोण को आधा करना भूल जाना।
ऋण चिह्न छोड़ देना: संपीडन प्रतिबल को ऋणात्मक संख्या के रूप में डालना चाहिए।
बिंदु y को (σ_y, +τ_xy) पर आलेखित करना। वह −τ_xy पर है, केंद्र के x से विपरीत ओर।
σ_x < σ_y होने पर 2θ_p का चतुर्थांश चूक जाना।

स्व-जाँच σ_x = 60 MPa, σ_y = 0 और τ_xy = 40 MPa है। समतल में अधिकतम अपरूपण प्रतिबल क्या है?

30 MPa
40 MPa
50 MPa
70 MPa

उत्तर: 50 MPa. τ_max = R = √(30² + 40²) = 50 MPa। 70 में 30 + 40 जोड़ा गया है; 30 अपरूपण प्रतिबल की अनदेखी करता है; 40 केवल τ_xy है।

7परीक्षा प्रश्न कैसे दिखते हैं

आसान: मुख्य प्रतिबल। दिए गए σ_x, σ_y और τ_xy से σ₁ या σ₂ ज्ञात करें। रूपांतर: शुद्ध अपरूपण, या किसी कोण पर कटी अक्षीय छड़।
मध्यम: अधिकतम अपरूपण और मुख्य दिशा। τ_max = R या −90° और 90° के बीच कोण θ_p ज्ञात करें।
कठिन: आनत तल पर प्रतिबल। 2θ के साथ σ_θ या τ_θ समीकरण का उपयोग करें। रूपांतर अक्षीय भार और मरोड़ को मिलाते हैं, या वॉन माइसीज़ या ट्रेस्का जैसी विफलता जाँच में मुख्य प्रतिबलों का उपयोग करते हैं।

पहले C और R लिख लें। इस विषय का लगभग हर प्रश्न इन्हीं दो संख्याओं से हल होता है।

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हल किए गए उदाहरण

उदाहरण 1आसान

एक बिंदु पर σₓ = 30 MPa और σᵧ = 50 MPa है, साथ में कुछ अपरूपण प्रतिबल। 30° घुमाए गए अवयव पर घुमाई गई x′ दिशा में अभिलंब प्रतिबल 87 MPa है। घुमाई गई y′ दिशा में अभिलंब प्रतिबल σ_y′ ज्ञात कीजिए।

σ_x = 30 MPaσ_y = 50 MPaσ_x′ = 87 MPaθ = 30°

ज्ञात करें: σ_y′ (MPa)

संकेत दिखाएँ

आपको τₓᵧ या रूपांतरण समीकरणों की ज़रूरत नहीं है।
दो लंबवत तलों पर अभिलंब प्रतिबलों का योग हर अभिविन्यास के लिए समान है (मोर वृत्त का केंद्र नहीं हिलता)।
σₓ + σᵧ = 80 MPa.

उत्तर और चरण-दर-चरण हल दिखाएँ

समतल प्रतिबल रूपांतरण: θ से घुमाए गए तल पर σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ। मोर वृत्त सभी तलों को एक साथ दिखाता है: उसका केंद्र C = (σₓ + σᵧ)/2 पर और त्रिज्या R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²) है। मुख्य प्रतिबल C ± R हैं, और तल में सबसे बड़ा अपरूपण प्रतिबल R है।

प्रथम प्रतिबल निश्चर

बिंदु x′ और y′ एक व्यास के विपरीत सिरों पर हैं, इसलिए उनका औसत हमेशा केंद्र C है।

σ_x′ + σ_y′ = σ_x + σ_y

σ_y′ = 30 + 50 − 87 = −7 MPa

उत्तर

σ_y′ = −7 MPa

उदाहरण 2मध्यम

किसी भारित पुर्ज़े के एक बिंदु पर σₓ = 0 MPa, σᵧ = 20 MPa और τₓᵧ = −30 MPa है (तनन धनात्मक)। x-अक्ष से सबसे बड़े मुख्य प्रतिबल की दिशा तक का कोण θ_p, −90° और 90° के बीच, ज्ञात कीजिए।

σ_x = 0 MPaσ_y = 20 MPaτ_xy = −30 MPa

ज्ञात करें: θ_p (°)

संकेत दिखाएँ

मोर वृत्त बनाएँ: बिंदु x (σₓ, τₓᵧ) पर, बिंदु y (σᵧ, −τₓᵧ) पर, केंद्र C दोनों के बीचोंबीच।
tan 2θp = 2τₓᵧ/(σₓ − σᵧ)। चतुर्थांश का ध्यान रखें।
C = 10 MPa, R = 31.62 MPa.

उत्तर और चरण-दर-चरण हल दिखाएँ

वृत्त पर कोण

मोर वृत्त पर बिंदु x, σ-अक्ष से 2θp कोण पर होता है; चतुर्थांश σₓ − σᵧ और τₓᵧ के चिह्नों से तय होता है।

2θ_p = atan2(2·−30, 0 − 20) = −108.4°

अवयव पर कोण

θ_p = −54.22°

उत्तर

θ_p = −54.22°

धनात्मक कोण वामावर्त होते हैं।

उदाहरण 3कठिन

500 mm भीतरी व्यास और 5 mm दीवार मोटाई वाली एक पतली दीवार की बेलनाकार टंकी में 2.5 MPa गेज दाब पर गैस है। यह बेलन की अक्ष से 60° पर एक सर्पिल सीवन के साथ वेल्ड की गई प्लेट से बनी है। वेल्ड सीवन के साथ कार्य करने वाले अपरूपण प्रतिबल |τ_n| का परिमाण ज्ञात कीजिए।

D = 500 mmt = 5 mmp = 2.5 MPaα = 60°

ज्ञात करें: |τ_n| (MPa)

संकेत दिखाएँ

परिधीय प्रतिबल σ_h = pr/t, अक्षीय प्रतिबल σ_a = pr/(2t)। अक्षीय और परिधीय तलों पर कोई अपरूपण नहीं है।
सीवन के साथ अपरूपण: |τ_n| = (σ_h − σ_a)·sin α·cos α।
σ_h = 125 MPa, σ_a = 62.5 MPa.

उत्तर और चरण-दर-चरण हल दिखाएँ

दीवार के प्रतिबल

r = 500/2 = 250 mm

σ_h = pr/t = 2.5·250/5 = 125 MPa

σ_a = pr/(2t) = 62.5 MPa

सीवन पर रूपांतरित करें

x को अक्ष के साथ (σ_a) और y को परिधि के साथ (σ_h) लें। सीवन का अभिलंब अक्ष से 90° − α बनाता है।

|τ_n| = (125 − 62.5)·sin 60°·cos 60° = 27.06 MPa

उत्तर

|τ_n| = 27.06 MPa

प्रश्न और उत्तर

मोर वृत्त और प्रतिबल रूपांतरण क्या है?

मोर वृत्त और प्रतिबल रूपांतरण के प्रश्न चरण-दर-चरण कैसे हल करें?

मोर वृत्त का केंद्र निकालें: C = (σx + σy)/2।
त्रिज्या निकालें: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)।
मुख्य प्रतिबल C ± R हैं और तल में सबसे बड़ा अपरूपण प्रतिबल R है।
वृत्त पर कोण अवयव पर कोणों के दोगुने होते हैं: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)।

मोर वृत्त और प्रतिबल रूपांतरण में आम गलतियाँ क्या हैं?

रूपांतरण समीकरणों में 2θ के बजाय θ का उपयोग करना।
(σx − σy)/2 और τxy को पाइथागोरस से मिलाने के बजाय सीधे जोड़ना।
अपरूपण प्रतिबल की चिह्न परिपाटी गलत लेना।

मोर वृत्त और प्रतिबल रूपांतरण के अभ्यास में क्या शामिल है?

आसान: मुख्य प्रतिबल
मध्यम: अधिकतम अपरूपण और मुख्य दिशा
कठिन: झुके तल पर प्रतिबल

हर प्रश्न में नए मान होते हैं, इसलिए आप उत्तर नहीं बल्कि विधि सीखते हैं। अटक गए? पहले एक छोटा संकेत खोलें, और पूरी व्याख्या तभी जब ज़रूरत हो।

अभ्यास कैसे काम करता है

हर प्रश्न में नए मान होते हैं, इसलिए आप उत्तर नहीं बल्कि विधि सीखते हैं।
अटक गए? पहले एक छोटा संकेत खोलें, और पूरी व्याख्या तभी जब ज़रूरत हो।
आपकी प्रगति, गलतियाँ और सहेजे गए प्रश्न रखे जाते हैं, ताकि आप परीक्षा से पहले दोहरा सकें।

इससे पहले और बाद के विषय

पहले सीखें

अक्षीय प्रतिबल और विकृति

कैलकुलेटर

मोर वृत्त कैलकुलेटर

इस विषय वाले कोर्स

पदार्थ सामर्थ्य मशीन डिज़ाइन FE Mechanical परीक्षा अभ्यास

मैकेनिकल में और विषय

बीम आलंब प्रतिक्रियाएँ फ़्रेम और मशीनें अक्षीय प्रतिबल और विकृति शाफ़्ट का मरोड़प्रक्षेप्य गति कार्य और ऊर्जा दृढ़-पिंड घूर्णन यांत्रिक कंपन ऊष्मा इंजन और रेफ़्रिजरेटर गैस शक्ति चक्र सांतत्य और बर्नूली पाइप घर्षण और शीर्ष हानि पंप और पंप शक्ति ऊष्मा चालन गियर और गियर ट्रेन

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