शाफ़्ट का मरोड़: चरण-दर-चरण हल सहित अभ्यास प्रश्न

Q: शाफ़्ट का मरोड़ क्या है?

घुमाने वाला प्रयास बल-आघूर्ण T है। यह बल गुणा उस भुजा के बराबर है जिस पर वह लगता है, N·m में। 0.5 m के रिंच के सिरे पर 200 N धकेलने से T = 200 · 0.5 = 100 N·m मिलता है। बल-आघूर्ण से लदा शाफ़्ट ऐंठन में होता है। वह थोड़ा मुड़ता है, और उसका पदार्थ अपरूपण प्रतिबल τ (ताउ) वहन करता है: शाफ़्ट के पास-पास के टुकड़े एक-दूसरे के ऊपर से फिसलने की कोशिश करते हैं।

Q: शाफ़्ट का मरोड़ के अभ्यास में क्या शामिल है?

आसान: अपरूपण प्रतिबल मध्यम: मरोड़ कोण कठिन: शक्ति संचरण हर प्रश्न में नए मान होते हैं, इसलिए आप उत्तर नहीं बल्कि विधि सीखते हैं। अटक गए? पहले एक छोटा संकेत खोलें, और पूरी व्याख्या तभी जब ज़रूरत हो।

आरेखों, संकेतों और पूर्ण हल के साथ मुफ़्त शाफ़्ट का मरोड़ अभ्यास प्रश्न। हर बार नए मान, तीन स्तरों पर: अपरूपण प्रतिबल, मरोड़ कोण, शक्ति संचरण।

मुफ़्त अभ्यास प्रश्नआसान

एक ठोस वृत्ताकार शाफ़्ट बलाघूर्ण T वहन करता है। शाफ़्ट में अधिकतम अपरूपण प्रतिबल τ_max ज्ञात कीजिए।

T = 250 N·md = 20 mm

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आप क्या अभ्यास करेंगे

आसानअपरूपण प्रतिबल
मध्यममरोड़ कोण
कठिनशक्ति संचरण

शाफ़्ट का मरोड़ के प्रश्न कैसे हल करें

ध्रुवीय क्षेत्र आघूर्ण ज्ञात करें: ठोस शाफ़्ट के लिए J = πd⁴/32।
सतह पर अपरूपण प्रतिबल: τ = T·r/J, जहाँ r बाहरी त्रिज्या है।
ऐंठन कोण: रेडियन में φ = TL/(GJ)।
यदि शक्ति दी गई है, तो पहले P = T·ω, ω = 2πn/60 से बलाघूर्ण ज्ञात करें।

सामान्य गलतियाँ

τ = T·r/J में त्रिज्या के बजाय व्यास का उपयोग करना।
rpm को rad/s में बदलना भूल जाना।
डिग्री पूछे जाने पर ऐंठन कोण रेडियन में देना।

मुख्य सूत्र

अपरूपण प्रतिबल: τ = T·r/J
ठोस शाफ़्ट: J = πd⁴/32
खोखला शाफ़्ट: J = π(D⁴ − d⁴)/32
मरोड़ कोण: φ = TL/(GJ)
शक्ति: P = T·ω = 2πnT/60

शाफ़्ट का मरोड़ शुरू से सीखें

इससे पहले: अक्षीय प्रतिबल और विकृति

1ऐंठन क्या है

शाफ़्ट एक घूमती छड़ है जो घुमाने वाला प्रयास आगे पहुँचाती है: कार की ड्राइव शाफ़्ट, ड्रिल की स्पिंडल, पंप की धुरी।

घुमाने वाला प्रयास बल-आघूर्ण T है। यह बल गुणा उस भुजा के बराबर है जिस पर वह लगता है, N·m में। 0.5 m के रिंच के सिरे पर 200 N धकेलने से T = 200 · 0.5 = 100 N·m मिलता है।

बल-आघूर्ण से लदा शाफ़्ट ऐंठन में होता है। वह थोड़ा मुड़ता है, और उसका पदार्थ अपरूपण प्रतिबल τ (ताउ) वहन करता है: शाफ़्ट के पास-पास के टुकड़े एक-दूसरे के ऊपर से फिसलने की कोशिश करते हैं।

अभिकल्प में दो प्रश्न मायने रखते हैं: क्या अपरूपण प्रतिबल पर्याप्त कम है (सामर्थ्य), और क्या मरोड़ पर्याप्त छोटी है (कठोरता)?

स्व-जाँच आप 0.5 m के रिंच के सिरे पर, समकोण पर, 200 N धकेलते हैं। आप कितना बल-आघूर्ण लगाते हैं?

100 N·m
200 N·m
400 N·m
50 N·m

उत्तर: 100 N·m. T = F·r = 200 · 0.5 = 100 N·m। 0.5 से भाग देने पर 400 आता है; भुजा भूल जाने पर 200।

2अपरूपण प्रतिबल और ध्रुवीय आघूर्ण

शाफ़्ट का केंद्र लगभग विकृत नहीं होता। कोई बिंदु केंद्र से जितना दूर हो, उतना अधिक अपरूपित होता है। इसलिए अपरूपण प्रतिबल त्रिज्या के साथ रैखिक रूप से बढ़ता है, केंद्र पर शून्य से सतह पर अधिकतम तक।

τ = T · ρ / J τ_max = T · r / J

यहाँ ρ (रो) केंद्र से दूरी है, r = d/2 बाहरी त्रिज्या है, और J क्षेत्रफल का ध्रुवीय द्वितीय आघूर्ण है। J मापता है कि परिच्छेद ऐंठन का कितनी अच्छी तरह प्रतिरोध करता है:

व्यास d के ठोस शाफ़्ट के लिए, और बाहरी व्यास d_o तथा भीतरी व्यास d_i के खोखले शाफ़्ट के लिए:

J = π · d⁴ / 32 J = π · (d_o⁴ − d_i⁴) / 32

ठोस शाफ़्ट के लिए दोनों सूत्र मिलकर एक छोटा सूत्र बनाते हैं:

τ_max = 16 · T / (π · d³)

N·mm और mm में काम करें, ताकि प्रतिबल N/mm² = MPa में आए। 1 N·m = 1000 N·mm।

स्व-जाँच एक ठोस शाफ़्ट में τ_max = 60 MPa है। केंद्र और सतह के ठीक बीच में अपरूपण प्रतिबल क्या है?

0 MPa
15 MPa
30 MPa
60 MPa

उत्तर: 30 MPa. प्रतिबल ρ के साथ रैखिक रूप से बढ़ता है, इसलिए ρ = r/2 पर वह τ_max का आधा, 30 MPa, होता है। वह हर जगह समान नहीं है, और केवल केंद्र पर शून्य है।

3ऐंठन कोण और शक्ति

शाफ़्ट का मुक्त सिरा ऐंठन कोण φ (फ़ाई) से घूमता है। लंबा या पतला शाफ़्ट अधिक मुड़ता है; कठोर पदार्थ कम मुड़ता है:

φ = T · L / (G · J)

G पदार्थ का अपरूपण गुणांक है: इस्पात के लिए लगभग 80 GPa और ऐलुमिनियम के लिए 26 GPa। सूत्र φ को रेडियन में देता है। अंश में बदलने के लिए 180/π से गुणा करें।

शाफ़्ट अक्सर मोटर से शक्ति वहन करते हैं। शक्ति बल-आघूर्ण गुणा कोणीय चाल है, जहाँ rpm में चाल को पहले rad/s में बदलना होगा:

P = T · ω ω = 2π · N / 60

इसलिए kW और rpm देने वाला प्रश्न T = P/ω से शुरू होता है, P को वाट में लेकर।

स्व-जाँच एक शाफ़्ट ω = 100 rad/s पर घूमता है और 5 kW संचारित करता है। वह कितना बल-आघूर्ण वहन करता है?

0.05 N·m
20 N·m
50 N·m
500 000 N·m

उत्तर: 50 N·m. T = P/ω = 5000 W / 100 rad/s = 50 N·m। 0.05, 5000 W की जगह 5 लेने से आता है; 20 में ω को P से भाग दिया गया है।

4विधि चरण-दर-चरण

यदि शक्ति और चाल दी गई हों, तो पहले बल-आघूर्ण ज्ञात करें: ω = 2πN/60, फिर T = P/ω।
N और mm में बदलें: T को N·mm में (N·m × 1000), L को mm में, G को MPa में (GPa × 1000)।
J ज्ञात करें: ठोस शाफ़्ट के लिए π·d⁴/32, खोखले के लिए π(d_o⁴ − d_i⁴)/32।
अपरूपण प्रतिबल: τ_max = T·r/J, जहाँ r बाहरी त्रिज्या है।
ऐंठन: φ = TL/(GJ) रेडियन में, फिर यदि अंश पूछे गए हों तो × 180/π।

अभिकल्प प्रश्न (d ज्ञात करना) के लिए τ_max = 16T/(πd³) को अनुमत प्रतिबल के बराबर लिखें और d के लिए हल करें।

5एक हल किया गया उदाहरण

हर चरण का अनुसरण करें। अगला चरण खोलने से पहले उसका अनुमान लगाने का प्रयास करें।

हल किया गया उदाहरण

व्यास 40 mm और लंबाई 1 m का एक ठोस इस्पात शाफ़्ट (G = 80 GPa) एक सिरे पर जड़ा है। मुक्त सिरे पर 500 N·m का बल-आघूर्ण लगता है। τ_max और ऐंठन कोण φ अंशों में ज्ञात कीजिए।

शाफ़्ट देखें और इकाइयाँ बदलें

T = 500 N·m = 500 000 N·mm, L = 1000 mm, G = 80 000 MPa, r = 20 mm।

ध्रुवीय जड़त्व आघूर्ण

J = π · 40⁴ / 32 = 251 327 mm⁴

अधिकतम अपरूपण प्रतिबल

τ_max = T · r / J = 500 000 · 20 / 251 327 = 39.8 MPa

छोटा सूत्र वही देता है: 16 · 500 000 / (π · 40³) = 39.8 MPa।

रेडियन में ऐंठन कोण

φ = T·L / (G·J) = 500 000 · 1000 / (80 000 · 251 327) = 0.0249 rad

अंशों में बदलें

φ = 0.0249 · 180 / π = 1.42°

इस्पात के एक मीटर शाफ़्ट पर डेढ़ अंश से थोड़ा कम एक उचित मान है।

उत्तर

τ_max = 39.8 MPa और φ = 1.42°।

6सामान्य गलतियाँ

τ = T·r/J में त्रिज्या की जगह व्यास का उपयोग करना। इससे प्रतिबल दोगुना हो जाता है।
N·m को N·mm में बदलना भूल जाना, जिससे प्रतिबल 1000 गुना छोटा आता है।
P = T·ω में सीधे rpm का उपयोग करना। पहले ω = 2πN/60 से rad/s में बदलें।
अंश पूछे जाने पर φ को रेडियन में देना, या उलटा।
खोखले शाफ़्ट के लिए: चौथी घात लगाने से पहले व्यासों को घटाना। d_o⁴ − d_i⁴ का उपयोग करें।

स्व-जाँच बाहरी व्यास 40 mm वाले खोखले शाफ़्ट का J = 200 000 mm⁴ है। वह T = 1000 N·m वहन करता है। τ_max क्या है?

0.1 MPa
100 MPa
200 MPa
5 MPa

उत्तर: 100 MPa. τ = T·r/J = 1 000 000 · 20 / 200 000 = 100 MPa। r = 40 mm (व्यास) लेने पर 200 MPa आता है; T को N·m में छोड़ने पर 0.1 MPa; r भूलने पर 5।

7परीक्षा प्रश्न कैसे दिखते हैं

आसान: अपरूपण प्रतिबल। व्यास d का एक ठोस शाफ़्ट T वहन करता है; τ_max ज्ञात करें। रूपांतर किसी दी गई त्रिज्या पर प्रतिबल या अनुमत बल-आघूर्ण पूछते हैं।
मध्यम: ऐंठन कोण। आपको L और G भी मिलते हैं; φ अंशों में ज्ञात करें। रूपांतर खोखले या सीढ़ीदार शाफ़्ट का उपयोग करते हैं।
कठिन: शक्ति संचरण। kW में शक्ति और rpm में चाल दी गई है; बल-आघूर्ण ज्ञात करें, फिर खोखले शाफ़्ट में τ_max या अनुमत प्रतिबल के लिए सबसे छोटा व्यास।

किसी भी चीज़ से पहले प्रश्न के पास बल-आघूर्ण को N·mm में लिख लें। हर आगे का चरण यही संख्या उपयोग करता है।

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हल किए गए उदाहरण

उदाहरण 1आसान

40 mm व्यास वाला एक ठोस शाफ़्ट 750 N·m का बलाघूर्ण वहन करता है। केंद्र से 15 mm की त्रिज्या पर अपरूपण प्रतिबल τ_ρ ज्ञात कीजिए।

T = 750 N·md = 40 mmρ = 15 mm

ज्ञात करें: τ_ρ (MPa)

संकेत दिखाएँ

वृत्ताकार शाफ़्ट में अपरूपण प्रतिबल केंद्र से दूरी के समानुपाती है: τ = T·ρ/J।
हर जगह N और mm का उपयोग करें: T N·mm में, L mm में, G MPa (GPa × 1000) में, J mm⁴ में।
J = 251327 mm⁴.

उत्तर और चरण-दर-चरण हल दिखाएँ

वृत्ताकार शाफ़्ट का मरोड़: अपरूपण प्रतिबल केंद्र पर शून्य से सतह पर τ_max = T·r/J तक रैखिक रूप से बढ़ता है, ठोस शाफ़्ट के लिए J = πd⁴/32 और खोखले के लिए J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32। मरोड़ कोण रेडियन में φ = TL/(GJ) है। शक्ति और बलाघूर्ण P = T·ω से जुड़े हैं।

ध्रुवीय जड़त्व आघूर्ण

J = π·40⁴/32 = 251327 mm⁴

ρ पर अपरूपण प्रतिबल

तुलना के लिए, सतह पर τ_max = 59.68 MPa।

T = 750 N·m = 750000 N·mm

τ_ρ = T·ρ/J = 750000·15/251327 = 44.76 MPa

उत्तर

τ_ρ = 44.76 MPa

उदाहरण 2मध्यम

पीतल का एक ठोस शाफ़्ट दीवार में जड़ित है और मुक्त सिरे पर बलाघूर्ण T से मरोड़ा जाता है। मुक्त सिरे का मरोड़ कोण φ डिग्री में ज्ञात कीजिए।

T = 750 N·md = 40 mmL = 1.5 mG = 39 GPa

ज्ञात करें: φ (°)

संकेत दिखाएँ

φ = TL/(GJ) का उपयोग करें, जो रेडियन देता है।
हर जगह N और mm का उपयोग करें: T N·mm में, L mm में, G MPa (GPa × 1000) में, J mm⁴ में।
J = 251327 mm⁴.

उत्तर और चरण-दर-चरण हल दिखाएँ

ध्रुवीय जड़त्व आघूर्ण

J = π·40⁴/32 = 251327 mm⁴

मरोड़ कोण

φ = TL/(GJ) = 750·1000·1500/(39000·251327) = 0.1148 rad

φ = 0.1148·180/π = 6.576°

उत्तर

φ = 6.576°

उदाहरण 3कठिन

एक ठोस शाफ़्ट को 1000 rpm पर 15 kW संचारित करना है, बिना अपरूपण प्रतिबल के 75 MPa से अधिक हुए। उपयुक्त सबसे छोटा व्यास d ज्ञात कीजिए।

P = 15 kWN = 1000 rpmτ_allow = 75 MPa

ज्ञात करें: d (mm)

संकेत दिखाएँ

शक्ति से बलाघूर्ण: T = P/ω, जहाँ ω = 2πN/60 rad/s में।
τ_max = 16T/(πd³) को अनुमेय प्रतिबल के बराबर रखें और d के लिए हल करें।
T = 143.2 N·m.

उत्तर और चरण-दर-चरण हल दिखाएँ

बलाघूर्ण

ω = 2πN/60 = 2π·1000/60 = 104.7 rad/s

T = P/ω = 15000/104.7 = 143.2 N·m

अनुमेय प्रतिबल से व्यास

d = ∛(16T/(π·τ_allow)) = ∛(16·143239/(π·75)) = 21.35 mm

उत्तर

d = 21.35 mm

व्यवहार में आप अगले मानक आकार तक पूर्णांकित करेंगे।

प्रश्न और उत्तर

शाफ़्ट का मरोड़ क्या है?

शाफ़्ट का मरोड़ के प्रश्न चरण-दर-चरण कैसे हल करें?

ध्रुवीय क्षेत्र आघूर्ण ज्ञात करें: ठोस शाफ़्ट के लिए J = πd⁴/32।
सतह पर अपरूपण प्रतिबल: τ = T·r/J, जहाँ r बाहरी त्रिज्या है।
ऐंठन कोण: रेडियन में φ = TL/(GJ)।
यदि शक्ति दी गई है, तो पहले P = T·ω, ω = 2πn/60 से बलाघूर्ण ज्ञात करें।

शाफ़्ट का मरोड़ में आम गलतियाँ क्या हैं?

τ = T·r/J में त्रिज्या के बजाय व्यास का उपयोग करना।
rpm को rad/s में बदलना भूल जाना।
डिग्री पूछे जाने पर ऐंठन कोण रेडियन में देना।

शाफ़्ट का मरोड़ के अभ्यास में क्या शामिल है?

आसान: अपरूपण प्रतिबल
मध्यम: मरोड़ कोण
कठिन: शक्ति संचरण

हर प्रश्न में नए मान होते हैं, इसलिए आप उत्तर नहीं बल्कि विधि सीखते हैं। अटक गए? पहले एक छोटा संकेत खोलें, और पूरी व्याख्या तभी जब ज़रूरत हो।

अभ्यास कैसे काम करता है

हर प्रश्न में नए मान होते हैं, इसलिए आप उत्तर नहीं बल्कि विधि सीखते हैं।
अटक गए? पहले एक छोटा संकेत खोलें, और पूरी व्याख्या तभी जब ज़रूरत हो।
आपकी प्रगति, गलतियाँ और सहेजे गए प्रश्न रखे जाते हैं, ताकि आप परीक्षा से पहले दोहरा सकें।

इससे पहले और बाद के विषय

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अक्षीय प्रतिबल और विकृति

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