बीम आलंब प्रतिक्रियाएँ: चरण-दर-चरण हल सहित अभ्यास प्रश्न

Q: बीम आलंब प्रतिक्रियाएँ के अभ्यास में क्या शामिल है?

आसान: 1 बिंदु भार मध्यम: 2 बिंदु भार कठिन: बिंदु भार + वितरित भार हर प्रश्न में नए मान होते हैं, इसलिए आप उत्तर नहीं बल्कि विधि सीखते हैं। अटक गए? पहले एक छोटा संकेत खोलें, और पूरी व्याख्या तभी जब ज़रूरत हो।

आरेखों, संकेतों और पूर्ण हल के साथ मुफ़्त बीम आलंब प्रतिक्रियाएँ अभ्यास प्रश्न। हर बार नए मान, तीन स्तरों पर: 1 बिंदु भार, 2 बिंदु भार, बिंदु भार + वितरित भार।

मुफ़्त अभ्यास प्रश्नआसान

सरल आलंबित बीम में A पर पिन और B पर रोलर है। ऊर्ध्वाधर आलंब प्रतिक्रिया R_A ज्ञात कीजिए।

L = 8 mP = 20 kN पर 3 m

अगला प्रश्न →

बीम आलंब प्रतिक्रियाएँ का मुफ़्त अभ्यास करें अभी बीम आलंब प्रतिक्रियाएँ का अभ्यास करेंहर दिन 5 मुफ़्त प्रश्न। कार्ड की ज़रूरत नहीं।

आप क्या अभ्यास करेंगे

आसान1 बिंदु भार
मध्यम2 बिंदु भार
कठिनबिंदु भार + वितरित भार

बीम आलंब प्रतिक्रियाएँ के प्रश्न कैसे हल करें

मुक्त-पिंड आरेख बनाएँ और हर आलंब को उसकी प्रतिक्रियाओं से बदलें।
हर वितरित भार को उसके केंद्रक पर एक अकेले बल से बदलें।
एक आलंब के परितः आघूर्ण लेकर दूसरे की प्रतिक्रिया ज्ञात करें।
शेष प्रतिक्रिया ज्ञात करने के लिए ΣF_y = 0 का उपयोग करें, और दूसरे आघूर्ण समीकरण से जाँचें।

सामान्य गलतियाँ

आघूर्ण भुजा गलत बिंदु से लेना।
वितरित भार को उसके परिणामी में बदलना भूल जाना।
यह गड़बड़ करना कि कौन-सा आलंब कौन-सी प्रतिक्रिया वहन करता है।

मुख्य सूत्र

संतुलन: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
एकसमान भार: परिणामी w·L भार के मध्य में
आघूर्ण: M = F·d

बीम आलंब प्रतिक्रियाएँ शुरू से सीखें

1आलंब अभिक्रियाएँ क्या हैं

बीम एक लंबा सीधा अवयव है जो किसी अंतराल के पार भार वहन करता है, जैसे शेल्फ़, फ़र्श की धरन या छोटा पुल।

बीम आलंबों पर टिकी होती है। जब भार बीम को नीचे धकेलते हैं, तो आलंब ऊपर की ओर धक्का देते हैं। ये ऊपर की ओर के बल आलंब अभिक्रियाएँ हैं।

यहाँ 10 kN का भार ठीक बीच में है। सममिति के कारण हर आलंब उसका आधा वहन करता है: R_A = R_B = 5 kN।

जब भार बीच में न हो, तो निकट का आलंब अधिक वहन करता है। ठीक कितना, यह इस पाठ का विषय है।

लगभग हर अन्य बीम प्रश्न के लिए आपको पहले अभिक्रियाएँ चाहिए: अपरूपण बल, बंकन आघूर्ण, प्रतिबल और विक्षेप।

स्व-जाँच दो आलंबों पर रखी बीम मध्य-विस्तार पर ठीक 10 kN वहन करती है। हर आलंब पर अभिक्रिया क्या है?

10 kN
2.5 kN
20 kN
5 kN

उत्तर: 5 kN. दोनों अभिक्रियाओं को मिलकर पूरा 10 kN वहन करना है, और सममिति से वे बराबर हैं: 10/2 = 5 kN। हर आलंब पर 10 kN भार को दो बार वहन करवाता।

2आलंब, आघूर्ण और साम्य

हर प्रकार का आलंब अपने तरीके से विपरीत धक्का दे सकता है।

रोलर (चित्र में B) केवल उस सतह के समकोण पर धक्का दे सकता है जिस पर वह लुढ़कता है। वह एक ऊर्ध्वाधर अभिक्रिया देता है।
पिन (A) बीम को किसी भी दिशा में हिलने से रोकता है। वह एक ऊर्ध्वाधर और एक क्षैतिज अभिक्रिया देता है। केवल ऊर्ध्वाधर भारों के साथ, क्षैतिज अभिक्रिया शून्य होती है।
स्थिर आलंब, जैसे दीवार, बीम को घूमने से भी रोकता है। वह एक ऊर्ध्वाधर बल और एक अभिक्रिया आघूर्ण देता है।

आघूर्ण किसी बिंदु के सापेक्ष बल का घुमाने वाला प्रभाव है। यह बल गुणा उस बिंदु से उसकी लंबवत दूरी है:

M = F · d

विरामावस्था में बीम न हिलती है, न घूमती है। इसलिए तीन साम्य समीकरण लागू होते हैं:

ΣF_x = 0 ΣF_y = 0 ΣM = 0

आघूर्ण समीकरण किसी भी बिंदु के सापेक्ष लागू होता है। उस बिंदु के रूप में एक आलंब चुनिए: उसकी अभिक्रिया की दूरी शून्य है, इसलिए वह समीकरण से बाहर हो जाती है।

स्व-जाँच 6 kN का बल बिंदु A से 2 m दूर कार्य करता है। A के सापेक्ष उसका आघूर्ण क्या है?

12 kN·m
3 kN·m
6 kN·m
8 kN·m

उत्तर: 12 kN·m. M = F·d = 6·2 = 12 kN·m। बल और दूरी को भाग देना (3) या जोड़ना (8) सामान्य चूकें हैं।

3वितरित भार

कुछ भार बीम के अनुदिश फैले होते हैं, जैसे फ़र्श या बर्फ़ का भार। एकसमान वितरित भार (UDL) का हर मीटर पर समान मान w होता है, kN/m में।

अभिक्रियाओं के लिए आप UDL को एक एकल बल से बदल सकते हैं। उसका परिमाण प्रति मीटर भार गुणा भारित लंबाई है, और वह भारित भाग के मध्य में कार्य करता है:

W = w · ℓ

चित्र में, ℓ = 3 m है, इसलिए W = 4 · 3 = 12 kN। यह भार के मध्य पर, A से x = 1 + 1.5 = 2.5 m पर कार्य करता है।

कैंटिलीवर केवल एक सिरे पर स्थिर होता है, जैसे बालकनी। दीवार ऊपर की ओर बल और एक आघूर्ण देती है। दूरी L पर सिरे के भार P के लिए: R_A = P और M_A = P·L।

इस कैंटिलीवर में, R_A = 5 kN और M_A = 5 · 3 = 15 kN·m।

स्व-जाँच 4 kN/m का UDL x = 1 m से x = 4 m तक कार्य करता है। उसे कौन-सा एकल बल और कहाँ बदलता है?

x = 1.5 m पर 12 kN
x = 2 m पर 12 kN
x = 2.5 m पर 12 kN
x = 2.5 m पर 4 kN

उत्तर: x = 2.5 m पर 12 kN. W = 4·3 = 12 kN, भार के मध्य पर, A से 1 + 1.5 = 2.5 m। 1.5 m भार के आरंभ से मापा गया है, A से नहीं। 2 m पूरे विस्तार का मध्य है, भारित भाग का नहीं।

4विधि चरण-दर-चरण

बीम बनाइए और हर आलंब को उसकी अभिक्रियाओं से बदलिए: पिन पर R_A और रोलर पर R_B।
हर UDL को भारित भाग के मध्य पर एक एकल बल w·ℓ से बदलिए।
A के सापेक्ष आघूर्ण लीजिए। R_A बाहर हो जाता है, इसलिए आपको सीधे R_B मिलता है: R_B·L = Σ(हर भार × A से उसकी दूरी)।
ΣF_y = 0 का उपयोग कीजिए: R_A = (कुल भार) − R_B।
जाँच: B के सापेक्ष आघूर्ण लीजिए। इससे वही R_A मिलना चाहिए।

चरण 3 के लिए चिह्न नियम: अभिक्रिया R_B बीम को A के सापेक्ष एक ओर घुमाती है, नीचे के भार उसे दूसरी ओर घुमाते हैं। उनके आघूर्ण संतुलित होने चाहिए।

5एक हल किया गया उदाहरण

हर चरण का अनुसरण करें। अगला चरण खोलने से पहले उसका अनुमान लगाने का प्रयास करें।

हल किया गया उदाहरण

6 m विस्तार की एक सरलता से आलंबित बीम A से 2 m पर P₁ = 12 kN और A से 4 m पर P₂ = 6 kN वहन करती है। R_A और R_B ज्ञात कीजिए।

मुक्त-वस्तु आरेख बनाइए

A पर पिन और B पर रोलर प्रत्येक एक ऊपर की ओर अभिक्रिया देते हैं। दो अज्ञात हैं, इसलिए दो समीकरण पर्याप्त हैं।

A के परितः आघूर्ण

R_A A से होकर गुज़रती है, इसलिए A के सापेक्ष उसका कोई आघूर्ण नहीं है। भार बीम को दक्षिणावर्त घुमाते हैं, R_B उसे वामावर्त घुमाती है:

R_B · 6 = 12 · 2 + 6 · 4 = 48

R_B = 48 / 6 = 8 kN

ऊर्ध्वाधर बल संतुलन

दोनों अभिक्रियाएँ मिलकर 12 + 6 = 18 kN का कुल भार वहन करती हैं।

R_A = 18 − 8 = 10 kN

उत्तर जाँचें

इसके बजाय B के सापेक्ष आघूर्ण लीजिए। B तक की दूरियाँ P₁ के लिए 4 m और P₂ के लिए 2 m हैं।

R_A · 6 = 12 · 4 + 6 · 2 = 60 ⇒ R_A = 10 kN

दोनों तरीके एक-दूसरे से मेल खाते हैं। R_A बड़ा है, जो उचित है: भारी भार A के निकट है।

उत्तर

R_A = 10 kN और R_B = 8 kN।

6सामान्य गलतियाँ

दूरी को गलत बिंदु से मापना। A के सापेक्ष आघूर्ण समीकरण में हर दूरी A से मापी जाती है।
अभिक्रियाओं को आपस में बदल देना। A के सापेक्ष आघूर्ण लेने से R_B मिलता है, R_A नहीं।
UDL को एक बल w·ℓ में बदलना भूल जाना, या उस बल को भार के मध्य के बजाय विस्तार के मध्य पर रखना।
घुमाव की दिशाओं को गड़बड़ा देना, जिससे आघूर्ण समीकरण में भार और अभिक्रिया को समान चिह्न मिल जाता है।
जाँच न करना। B के सापेक्ष दूसरा आघूर्ण समीकरण अधिकांश चूकों को कुछ सेकंड में पकड़ लेता है।

स्व-जाँच 4 m की बीम दो आलंबों पर A से 1 m पर 8 kN वहन करती है। R_A क्या है?

2 kN
4 kN
6 kN
8 kN

उत्तर: 6 kN. A के सापेक्ष आघूर्ण: R_B·4 = 8·1, इसलिए R_B = 2 kN और R_A = 8 − 2 = 6 kN। 2 kN R_B है: भार के निकट का आलंब अधिक वहन करता है।

7परीक्षा प्रश्न कैसे दिखते हैं

आसान: एक बिंदु भार वाली सरलता से आलंबित बीम। आप R_A या R_B ज्ञात करते हैं।
मध्यम: दो बिंदु भार, जैसे हल किए गए उदाहरण में।
कठिन: बिंदु भार के साथ विस्तार के कुछ भाग या पूरे पर UDL। पहले UDL को उसके मध्य पर w·ℓ से बदलिए।

अन्य रूप वही तीन समीकरण उपयोग करते हैं: कैंटिलीवर (दीवार का आघूर्ण M_A ज्ञात करना), तिरछा भार (केवल उसका ऊर्ध्वाधर घटक P·sin θ लीजिए), लगाया गया बल-युग्म, आलंब से बाहर निकली बीम, या त्रिभुजाकार भार (परिणामी ½·w·ℓ, ऊँचे सिरे से उसकी लंबाई के एक-तिहाई पर)।

बीम के नीचे की विमाएँ ध्यान से पढ़िए और शुरू करने से पहले हर दूरी A से लिख लीजिए।

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हल किए गए उदाहरण

उदाहरण 1आसान

सरल आलंबित बीम में A पर पिन और B पर रोलर है। ऊर्ध्वाधर आलंब प्रतिक्रिया R_B ज्ञात कीजिए।

L = 4 mP = 55 kN पर 2 m

ज्ञात करें: R_B (kN)

संकेत दिखाएँ

स्थैतिक संतुलन का उपयोग करें: ΣF_y = 0 और ΣM = 0। दो अज्ञात, दो समीकरण।
A के परितः आघूर्ण लें। R_A, A से होकर जाता है इसलिए हट जाता है और आपको सीधे R_B मिलता है।
कुल नीचे की ओर भार 55 kN है, इसलिए R_A + R_B = 55 kN।

उत्तर और चरण-दर-चरण हल दिखाएँ

स्थैतिक संतुलन: स्थिर वस्तु के लिए किसी भी बिंदु के परितः ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 और ΣM = 0। एक आलंब के परितः आघूर्ण लेने से उस आलंब की प्रतिक्रिया समीकरण से हट जाती है।

मुक्त-पिंड आरेख

आलंबों को प्रतिक्रिया बलों से बदलें। रोलर एक ऊर्ध्वाधर प्रतिक्रिया देता है; केवल ऊर्ध्वाधर भारों के साथ पिन भी एक ऊर्ध्वाधर प्रतिक्रिया देता है।

संतुलन

A के परितः आघूर्ण, वामावर्त धनात्मक। फिर ऊर्ध्वाधर बल संतुलन।

ΣM_A = 0: R_B·4 = 55·2

R_B = 110/4 = 27.5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 55 − 27.5 = 27.5 kN

उत्तर

R_B = 27.5 kN

उदाहरण 2मध्यम

L = 6 mP₁ = 15 kN पर 2 mP₂ = 30 kN पर 3 m

ज्ञात करें: R_B (kN)

संकेत दिखाएँ

स्थैतिक संतुलन का उपयोग करें: ΣF_y = 0 और ΣM = 0। दो अज्ञात, दो समीकरण।
A के परितः आघूर्ण लें। R_A, A से होकर जाता है इसलिए हट जाता है और आपको सीधे R_B मिलता है।
कुल नीचे की ओर भार 45 kN है, इसलिए R_A + R_B = 45 kN।

उत्तर और चरण-दर-चरण हल दिखाएँ

मुक्त-पिंड आरेख

संतुलन

A के परितः आघूर्ण, वामावर्त धनात्मक। फिर ऊर्ध्वाधर बल संतुलन।

ΣM_A = 0: R_B·6 = 15·2 + 30·3

R_B = 120/6 = 20 kN

ΣF_y = 0: R_A = 45 − 20 = 25 kN

उत्तर

R_B = 20 kN

उदाहरण 3कठिन

सरल आलंबित बीम में A पर पिन और B पर रोलर है। A से 3 m पर एक भार P क्षैतिज से 30° पर झुका हुआ कार्य करता है, और A से 2 m पर एक ऊर्ध्वाधर भार Q कार्य करता है। पिन A पर कुल प्रतिक्रिया बल R_A का परिमाण ज्ञात कीजिए।

L = 4 mP = 25 kN पर 3 m, θ = 30°Q = 25 kN पर 2 m

ज्ञात करें: R_A (kN)

संकेत दिखाएँ

P को P·cos θ (क्षैतिज) और P·sin θ (ऊर्ध्वाधर) में बाँटें। रोलर कोई क्षैतिज बल नहीं लेता।
A के परितः आघूर्णों से R_B ज्ञात करें, फिर ΣF_y = 0 से A_y और ΣF_x = 0 से A_x।
A_x = 21.65 kN, A_y = 15.63 kN.

उत्तर और चरण-दर-चरण हल दिखाएँ

स्थैतिक संतुलन: विराम में पिंड के लिए ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 और किसी भी बिंदु के परितः ΣM = 0। हर वितरित भार को उसके परिणामी (उसका क्षेत्रफल) से बदलें जो भार आरेख के केंद्रक पर कार्य करता है, और किसी आलंब के परितः आघूर्ण लें ताकि उस आलंब की प्रतिक्रिया समीकरण से हट जाए।

P के घटक

P_v = 25·sin 30° = 12.5 kN

P_h = 25·cos 30° = 21.65 kN

प्रतिक्रियाएँ

ΣM_A = 0: R_B·4 = 12.5·3 + 25·2 → R_B = 21.88 kN

A_y = 12.5 + 25 − 21.88 = 15.63 kN

A_x = P_h = 21.65 kN

A पर परिणामी

R_A = √(21.65² + 15.63²) = 26.7 kN

उत्तर

R_A = 26.7 kN

प्रश्न और उत्तर

बीम आलंब प्रतिक्रियाएँ क्या है?

बीम आलंब प्रतिक्रियाएँ के प्रश्न चरण-दर-चरण कैसे हल करें?

मुक्त-पिंड आरेख बनाएँ और हर आलंब को उसकी प्रतिक्रियाओं से बदलें।
हर वितरित भार को उसके केंद्रक पर एक अकेले बल से बदलें।
एक आलंब के परितः आघूर्ण लेकर दूसरे की प्रतिक्रिया ज्ञात करें।
शेष प्रतिक्रिया ज्ञात करने के लिए ΣF_y = 0 का उपयोग करें, और दूसरे आघूर्ण समीकरण से जाँचें।

बीम आलंब प्रतिक्रियाएँ में आम गलतियाँ क्या हैं?

आघूर्ण भुजा गलत बिंदु से लेना।
वितरित भार को उसके परिणामी में बदलना भूल जाना।
यह गड़बड़ करना कि कौन-सा आलंब कौन-सी प्रतिक्रिया वहन करता है।

बीम आलंब प्रतिक्रियाएँ के अभ्यास में क्या शामिल है?

आसान: 1 बिंदु भार
मध्यम: 2 बिंदु भार
कठिन: बिंदु भार + वितरित भार

हर प्रश्न में नए मान होते हैं, इसलिए आप उत्तर नहीं बल्कि विधि सीखते हैं। अटक गए? पहले एक छोटा संकेत खोलें, और पूरी व्याख्या तभी जब ज़रूरत हो।

अभ्यास कैसे काम करता है

हर प्रश्न में नए मान होते हैं, इसलिए आप उत्तर नहीं बल्कि विधि सीखते हैं।
अटक गए? पहले एक छोटा संकेत खोलें, और पूरी व्याख्या तभी जब ज़रूरत हो।
आपकी प्रगति, गलतियाँ और सहेजे गए प्रश्न रखे जाते हैं, ताकि आप परीक्षा से पहले दोहरा सकें।

इससे पहले और बाद के विषय

इसके बाद

अपरूपण बल और बंकन आघूर्ण फ़्रेम और मशीनें ट्रस: जोड़ विधि

कैलकुलेटर

बीम प्रतिक्रिया कैलकुलेटर

इस विषय वाले कोर्स

स्थैतिकी संरचना विश्लेषण FE Mechanical परीक्षा अभ्यास FE Civil परीक्षा अभ्यास

मैकेनिकल में और विषय

फ़्रेम और मशीनें अक्षीय प्रतिबल और विकृति शाफ़्ट का मरोड़मोर वृत्त और प्रतिबल रूपांतरण प्रक्षेप्य गति कार्य और ऊर्जा दृढ़-पिंड घूर्णन यांत्रिक कंपन ऊष्मा इंजन और रेफ़्रिजरेटर गैस शक्ति चक्र सांतत्य और बर्नूली पाइप घर्षण और शीर्ष हानि पंप और पंप शक्ति ऊष्मा चालन गियर और गियर ट्रेन

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उत्तरों सहित बीम आलंब प्रतिक्रियाएँ वर्कशीट