अपरूपण बल और बंकन आघूर्ण: चरण-दर-चरण हल सहित अभ्यास प्रश्न

Q: अपरूपण बल और बंकन आघूर्ण के अभ्यास में क्या शामिल है?

आसान: बिंदु भार मध्यम: पूरे विस्तार पर वितरित भार कठिन: बिंदु भार + वितरित भार हर प्रश्न में नए मान होते हैं, इसलिए आप उत्तर नहीं बल्कि विधि सीखते हैं। अटक गए? पहले एक छोटा संकेत खोलें, और पूरी व्याख्या तभी जब ज़रूरत हो।

आरेखों, संकेतों और पूर्ण हल के साथ मुफ़्त अपरूपण बल और बंकन आघूर्ण अभ्यास प्रश्न। हर बार नए मान, तीन स्तरों पर: बिंदु भार, पूरे विस्तार पर वितरित भार, बिंदु भार + वितरित भार।

मुफ़्त अभ्यास प्रश्नआसान

सरल आलंबित बीम एक अकेला बिंदु भार P वहन करता है। भार के ठीक दाईं ओर अपरूपण बल V_x ज्ञात कीजिए। सैगिंग आघूर्णों को और बाएँ फलक पर ऊपर की ओर अपरूपण को धनात्मक लें।

L = 5 mP = 60 kN पर 2.5 m

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अपरूपण बल और बंकन आघूर्ण का मुफ़्त अभ्यास करें अभी अपरूपण बल और बंकन आघूर्ण का अभ्यास करेंहर दिन 5 मुफ़्त प्रश्न। कार्ड की ज़रूरत नहीं।

आप क्या अभ्यास करेंगे

आसानबिंदु भार
मध्यमपूरे विस्तार पर वितरित भार
कठिनबिंदु भार + वितरित भार

अपरूपण बल और बंकन आघूर्ण के प्रश्न कैसे हल करें

पूरे बीम के संतुलन से आलंब प्रतिक्रियाएँ ज्ञात करें।
बीम को आवश्यक खंड पर काटें और एक भाग रखें।
अपरूपण बल: उस भाग पर ऊर्ध्वाधर बलों का योग। बंकन आघूर्ण: कट के परितः उनके आघूर्णों का योग।
अधिकतम आघूर्ण के लिए वह स्थान ज्ञात करें जहाँ अपरूपण बल शून्य है।

सामान्य गलतियाँ

कट के दोनों ओर के भारों को शामिल करना।
सैगिंग और हॉगिंग आघूर्णों के लिए गलत चिह्न परिपाटी का उपयोग करना।
बंकन आघूर्ण पूछे जाने पर अपरूपण बल से उत्तर देना।

मुख्य सूत्र

अपरूपण बल और आघूर्ण: V = एक ओर का ΣF, M = एक ओर का ΣF·d
बंकन प्रतिबल: σ = M·y/I
आयत: I = bh³/12
खंड मापांक: W = I/y_max
सरल आधारित, एकसमान भार: M_max = wL²/8

अपरूपण बल और बंकन आघूर्ण शुरू से सीखें

इससे पहले: बीम आलंब प्रतिक्रियाएँ

1बीम के भीतर क्या होता है

प्रतिक्रियाओं वाले पाठ में आपने बीम पर बाहर से लगने वाले बल ज्ञात किए थे। अब भीतर देखें: बीम के किसी एक बिंदु पर पदार्थ को क्या वहन करना पड़ता है?

कल्पना करें कि आप बीम को किसी बिंदु पर आरी से दो टुकड़ों में काट देते हैं। दोनों भाग गिर जाएँगे। एक भाग को अपनी जगह रोके रखने के लिए दूसरे भाग को दो आंतरिक क्रियाओं से उसे थामना होगा:

अपरूपण बल V, जो एक भाग को दूसरे के सापेक्ष ऊपर या नीचे फिसलने से रोकता है (kN में);
बंकन आघूर्ण M, जो एक भाग को दूसरे के सापेक्ष घूमने से रोकता है (kN·m में)।

जो बीम मुस्कान की तरह मुड़ती है, जिसका निचला भाग खिंचता है, वह सैगिंग करती है। जो बीम भौंह की तरह मुड़ती है, जैसे बालकनी, वह हॉगिंग करती है।

इंजीनियरों को M इसलिए चाहिए कि बीम में बंकन प्रतिबल उसके साथ बढ़ता है, और V इसलिए कि आलंबों के पास बीम कटकर टूटनी नहीं चाहिए।

स्व-जाँच एक सरल आलंबित बीम नीचे की ओर भार वहन करती है। बीम का कौन-सा पक्ष खिंचता है?

ऊपरी पक्ष: बीम हॉगिंग करती है
कोई पक्ष नहीं, बीम केवल छोटी होती है
दोनों पक्ष समान रूप से
निचला पक्ष: बीम सैगिंग करती है

उत्तर: निचला पक्ष: बीम सैगिंग करती है. दो आलंबों पर टिकी बीम नीचे की ओर भार लगने पर मुस्कान की तरह मुड़ती है। निचले रेशे लंबे होते हैं (तनाव), ऊपरी रेशे छोटे (संपीडन)।

2खंड विधि

A से दूरी x पर V और M ज्ञात करने के लिए बीम को वहीं काटें और केवल कट के बाईं ओर का भाग रखें। वह भाग अकेले ही संतुलन में है।

सामान्य चिह्न परिपाटी: बाएँ भाग पर ऊपर की ओर का बल धनात्मक अपरूपण गिना जाता है, और सैगिंग आघूर्ण धनात्मक होता है। इससे दो छोटे नुस्खे मिलते हैं:

अपरूपण बल: V = R_A में से कट के बाईं ओर के सभी नीचे की ओर के भार घटाएँ।
बंकन आघूर्ण: M = R_A·x में से, कट के बाईं ओर के हर भार के लिए, भार गुणा कट से उसकी दूरी घटाएँ।

कट के बाईं ओर का UDL वाला भाग अपने ही मध्य पर एक बल w·ℓ की तरह कार्य करता है, ठीक प्रतिक्रियाओं वाले पाठ की तरह।

आप इसके बजाय दायाँ भाग भी रख सकते हैं। V और M वही मिलते हैं, जो एक उपयोगी जाँच है।

स्व-जाँच R_A = 10 kN है। पहला भार A से 5 m दूर है। x = 3 m पर बंकन आघूर्ण कितना है?

10 kN·m
13 kN·m
3.3 kN·m
30 kN·m

उत्तर: 30 kN·m. कट के बाईं ओर कोई भार नहीं है, इसलिए M = R_A·x = 10·3 = 30 kN·m। 10 kN वहाँ अपरूपण बल है, आघूर्ण नहीं।

3आरेख और अधिकतम आघूर्ण

यदि आप हर x पर V और M निकालें, तो आपको अपरूपण बल आरेख और बंकन आघूर्ण आरेख मिलते हैं। उनके आकार सरल नियमों का पालन करते हैं:

बिंदु भारों के बीच V स्थिर रहता है और M एक सीधी रेखा होता है।
UDL के नीचे V सीधी रेखा में नीचे की ओर ढलता है और M एक वक्र (परवलय) होता है।
एक बिंदु भार V को भार के बराबर छलाँग लगवा देता है।
M सबसे अधिक वहाँ होता है जहाँ V चिह्न बदलता है, यानी शून्य से गुज़रता है।

दो परिणाम इतनी बार आते हैं कि उन्हें जानना उचित है:

मध्य-विस्तार पर बिंदु भार P: M_max = P·L / 4
पूरे विस्तार पर UDL w: M_max = w·L² / 8

स्व-जाँच 6 m की एक सरल आलंबित बीम अपने पूरे विस्तार पर 4 kN/m का UDL वहन करती है। सबसे बड़ा बंकन आघूर्ण कितना है?

12 kN·m
144 kN·m
18 kN·m
36 kN·m

उत्तर: 18 kN·m. M_max = wL²/8 = 4·36/8 = 18 kN·m मध्य-विस्तार पर। 36 में /4 लिया गया है (बिंदु भार का नियम); 12 kN प्रतिक्रिया wL/2 है।

4विधि चरण-दर-चरण

पूरे बीम के संतुलन से आलंब प्रतिक्रियाएँ ज्ञात करें।
बीम को खंड x पर काटें और बायाँ भाग रखें।
अपरूपण बल: V = R_A में से बाएँ भाग के सभी नीचे की ओर के भार घटाएँ।
बंकन आघूर्ण: M = R_A·x में से बाएँ भाग के हर भार को कट से उसकी दूरी से गुणा करके घटाएँ।
अधिकतम आघूर्ण के लिए: पता करें कि V = 0 कहाँ है और वहाँ M निकालें।

बाएँ भाग को एक छोटे अलग रेखाचित्र में बनाएँ। इससे साफ़ दिख जाता है कि कौन-से भार शामिल करने हैं।

5एक हल किया गया उदाहरण

हर चरण का अनुसरण करें। अगला चरण खोलने से पहले उसका अनुमान लगाने का प्रयास करें।

हल किया गया उदाहरण

6 m विस्तार की एक सरल आलंबित बीम अपनी पूरी लंबाई पर 4 kN/m का UDL वहन करती है। A से x = 2 m पर अपरूपण बल V और बंकन आघूर्ण M ज्ञात कीजिए।

बीम को देखें

आलंब प्रतिक्रियाएँ

कुल भार 4 · 6 = 24 kN है, मध्य में। सममिति से हर आलंब आधा वहन करता है:

R_A = R_B = 12 kN

बायाँ भाग रखें

बाएँ भाग पर UDL 4 · 2 = 8 kN है। यह अपने ही मध्य पर, कट से 1 m दूर, कार्य करता है।

अपरूपण बल

V = 12 − 8 = 4 kN

बंकन आघूर्ण

M = 12 · 2 − 8 · 1 = 16 kN·m

यह धनात्मक है, इसलिए बीम यहाँ सैगिंग करती है।

उत्तर जाँचें

इसके बजाय दायाँ भाग लें: वह 4 m लंबा है, जिसमें R_B = 12 kN है और कट से 2 m पर 16 kN का UDL है।

M = 12 · 4 − 16 · 2 = 16 kN·m

पूरा आरेख एक परवलय है जिसका शिखर मध्य-विस्तार पर wL²/8 = 18 kN·m है। x = 2 m पर 16 kN·m इससे मेल खाता है।

उत्तर

V = 4 kN और M = 16 kN·m (सैगिंग)।

6सामान्य गलतियाँ

कट के दोनों ओर के भारों को शामिल करना। केवल उसी भाग का उपयोग करें जिसे आपने रखा है।
भुजा की लंबाई A से नापना, कट से नहीं। M में हर दूरी भार से कट तक होती है।
M पूछे जाने पर V में उत्तर देना, या उल्टा। इकाई जाँचें: kN या kN·m।
कट के बाईं ओर के केवल उस भाग की जगह पूरा UDL ले लेना।
चिह्न परिपाटियों को मिला देना। सामान्य परिपाटी में, नीचे की ओर के भारों के अधीन सरल आलंबित बीम में हर जगह आघूर्ण धनात्मक (सैगिंग) होते हैं।

स्व-जाँच 4 m की एक सरल आलंबित बीम मध्य-विस्तार पर 20 kN वहन करती है, इसलिए R_A = 10 kN है। x = 1 m पर M कितना है?

0 kN·m
10 kN
10 kN·m
20 kN·m

उत्तर: 10 kN·m. कट के बाईं ओर केवल R_A है: M = 10·1 = 10 kN·m। 0 में भार को गलती से घटा दिया गया है, जबकि वह कट के दाईं ओर है। 20 kN·m PL/4 है, मध्य-विस्तार का अधिकतम मान। 10 kN अपरूपण बल है।

7परीक्षा प्रश्न कैसे दिखते हैं

आसान: एक बिंदु भार। भार पर M, या उसके ठीक बगल में V ज्ञात करें। कुछ रूपों में कैंटिलीवर होता है, जहाँ M दीवार पर सबसे अधिक होता है।
मध्यम: पूरे विस्तार पर UDL, जैसा उदाहरण में है। दिए गए x पर V या M, या अधिकतम आघूर्ण ज्ञात करें।
कठिन: बिंदु भार और UDL साथ-साथ, या आंशिक UDL। किसी खंड पर M, या जहाँ V = 0 है वहाँ अधिकतम आघूर्ण ज्ञात करें।

कुछ रूपों में बीम किसी आलंब के आगे निकली होती है। निकला हुआ भाग हॉगिंग करता है, इसलिए वहाँ M ऋणात्मक होता है।

हमेशा प्रतिक्रियाओं से शुरू करें और उन्हें अपने रेखाचित्र पर लिख दें।

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हल किए गए उदाहरण

उदाहरण 1आसान

चिह्न A से G धरन को छह बराबर भागों में बाँटते हैं। किस चिह्न पर बंकन आघूर्ण परिमाण में सबसे बड़ा है, अधोमुखी या ऊर्ध्वमुखी? उसे आरेख में क्लिक करें।

40 kN @ 2 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)

संकेत दिखाएँ

बंकन आघूर्ण के शिखर वहाँ होते हैं जहाँ अपरूपण बल का चिह्न बदलता है, जड़ी हुई दीवार पर, या ओवरहैंग के पास वाले आधार के ऊपर।
पहले आधार अभिक्रियाएँ ज्ञात करें: R₁ = 33.33 kN।
संभावित चिह्नों पर आघूर्णों की तुलना करें; सबसे बड़ा परिमाण 66.67 kN·m है।

उत्तर और व्याख्या दिखाएँ

सबसे बड़ा बंकन आघूर्ण: जहाँ भी अपरूपण बल बदलता है वहाँ M का ढाल बदलता है, इसलिए उसके शिखर वहाँ होते हैं जहाँ अपरूपण बल शून्य को पार करता है: बिंदु भार के नीचे, वितरित भार के भीतर, या ओवरहैंग वाले आधार के ऊपर। कैंटिलीवर के जड़े आधार पर आघूर्ण दीवार पर सबसे अधिक होता है। उन स्थानों पर M के परिमाण की तुलना करें, अधोमुखी या ऊर्ध्वमुखी।

आलंब प्रतिक्रियाएँ

एक आधार के परितः आघूर्ण लें, फिर ऊर्ध्वाधर बल संतुलन का उपयोग करें।

R₁ = 33.33 kN, R₂ = 6.667 kN

हर चिह्न पर बंकन आघूर्ण

कट की एक ओर के सभी बलों के आघूर्ण जोड़ें। अधोमुखी धनात्मक है, ऊर्ध्वमुखी ऋणात्मक।

M_A = 0, M_B = 66.67 kN·m, M_C = 53.33, M_D = 40, M_E = 26.67, M_F = 13.33, M_G = 0

उत्तर

चिह्न B: M_B = 66.67 kN·m

उदाहरण 2मध्यम

आलंब A से x = 0.5 m पर खंड में बंकन आघूर्ण M_x ज्ञात कीजिए। नीचे के रेशों को खींचने वाले आघूर्ण और बाएँ फलक पर ऊपर की ओर अपरूपण बल को धनात्मक लें।

L = 6 mw = 5 kN/m, 0 से 6 m तकx = 0.5 m

ज्ञात करें: M_x (kN·m)

संकेत दिखाएँ

पहले पूरे बीम के संतुलन से आलंब प्रतिक्रियाएँ ज्ञात करें।
फिर बीम को x = 0.5 m पर काटें और केवल कट के बाईं ओर वाले भाग को देखें। कट के परितः उन बलों के आघूर्ण जोड़ें।
R_A = 15 kN.

उत्तर और चरण-दर-चरण हल दिखाएँ

खंड विधि: जहाँ आंतरिक बल चाहिए वहाँ बीम काटें और एक भाग रखें। अपरूपण बल V उस भाग के ऊर्ध्वाधर बलों को संतुलित करता है, और बंकन आघूर्ण M कट के परितः उनके आघूर्णों को।

आलंब प्रतिक्रियाएँ

पूरे बीम का संतुलन।

वितरित भार का परिणामी: W = w·ℓ = 5·6 = 30 kN, x̄ = 3 m पर कार्य करता है

ΣM_A = 0: R_B·6 = 5·6·3

R_B = 90/6 = 15 kN

ΣF_y = 0: R_A = 30 − 15 = 15 kN

x = 0.5 m पर काटें और बायाँ भाग रखें

केवल कट के बाईं ओर के बल आते हैं। वितरित भार का एक हिस्सा उस हिस्से के मध्य में एक बल की तरह कार्य करता है।

M = R_A·x − (कट के बाईं ओर हर भार × कट से उसकी दूरी)

M_x = 15·0.5 − 5·0.5·0.25 = 6.875 kN·m

उत्तर

M_x = 6.875 kN·m

उदाहरण 3कठिन

आलंब A से x = 5 m पर खंड में बंकन आघूर्ण M_x ज्ञात कीजिए। नीचे के रेशों को खींचने वाले आघूर्ण और बाएँ फलक पर ऊपर की ओर अपरूपण बल को धनात्मक लें।

L = 6 mP = 45 kN पर 1.5 mw = 6 kN/m, 0 से 6 m तकx = 5 m

ज्ञात करें: M_x (kN·m)

संकेत दिखाएँ

पहले पूरे बीम के संतुलन से आलंब प्रतिक्रियाएँ ज्ञात करें।
फिर बीम को x = 5 m पर काटें और केवल कट के बाईं ओर वाले भाग को देखें। कट के परितः उन बलों के आघूर्ण जोड़ें।
R_A = 51.75 kN.

उत्तर और चरण-दर-चरण हल दिखाएँ

आलंब प्रतिक्रियाएँ

पूरे बीम का संतुलन।

वितरित भार का परिणामी: W = w·ℓ = 6·6 = 36 kN, x̄ = 3 m पर कार्य करता है

ΣM_A = 0: R_B·6 = 45·1.5 + 6·6·3

R_B = 175.5/6 = 29.25 kN

ΣF_y = 0: R_A = 81 − 29.25 = 51.75 kN

x = 5 m पर काटें और बायाँ भाग रखें

M = R_A·x − (कट के बाईं ओर हर भार × कट से उसकी दूरी)

M_x = 51.75·5 − 45·(5 − 1.5) − 6·5·2.5 = 26.25 kN·m

उत्तर

M_x = 26.25 kN·m

प्रश्न और उत्तर

अपरूपण बल और बंकन आघूर्ण क्या है?

अपरूपण बल और बंकन आघूर्ण के प्रश्न चरण-दर-चरण कैसे हल करें?

पूरे बीम के संतुलन से आलंब प्रतिक्रियाएँ ज्ञात करें।
बीम को आवश्यक खंड पर काटें और एक भाग रखें।
अपरूपण बल: उस भाग पर ऊर्ध्वाधर बलों का योग। बंकन आघूर्ण: कट के परितः उनके आघूर्णों का योग।
अधिकतम आघूर्ण के लिए वह स्थान ज्ञात करें जहाँ अपरूपण बल शून्य है।

अपरूपण बल और बंकन आघूर्ण में आम गलतियाँ क्या हैं?

कट के दोनों ओर के भारों को शामिल करना।
सैगिंग और हॉगिंग आघूर्णों के लिए गलत चिह्न परिपाटी का उपयोग करना।
बंकन आघूर्ण पूछे जाने पर अपरूपण बल से उत्तर देना।

अपरूपण बल और बंकन आघूर्ण के अभ्यास में क्या शामिल है?

आसान: बिंदु भार
मध्यम: पूरे विस्तार पर वितरित भार
कठिन: बिंदु भार + वितरित भार

हर प्रश्न में नए मान होते हैं, इसलिए आप उत्तर नहीं बल्कि विधि सीखते हैं। अटक गए? पहले एक छोटा संकेत खोलें, और पूरी व्याख्या तभी जब ज़रूरत हो।

अभ्यास कैसे काम करता है

हर प्रश्न में नए मान होते हैं, इसलिए आप उत्तर नहीं बल्कि विधि सीखते हैं।
अटक गए? पहले एक छोटा संकेत खोलें, और पूरी व्याख्या तभी जब ज़रूरत हो।
आपकी प्रगति, गलतियाँ और सहेजे गए प्रश्न रखे जाते हैं, ताकि आप परीक्षा से पहले दोहरा सकें।

इससे पहले और बाद के विषय

पहले सीखें

बीम आलंब प्रतिक्रियाएँ

इसके बाद

बीम विक्षेप

कैलकुलेटर

अपरूपण बल और बंकन आघूर्ण आरेख कैलकुलेटर बंकन प्रतिबल कैलकुलेटर (σ = My/I)

इस विषय वाले कोर्स

स्थैतिकी पदार्थ सामर्थ्य संरचना विश्लेषण FE Mechanical परीक्षा अभ्यास FE Civil परीक्षा अभ्यास

सिविल में और विषय

ट्रस: जोड़ विधि बीम विक्षेप केंद्रक और जड़त्व आघूर्ण स्तंभ बकलिंग मृदा में प्रभावी प्रतिबल समेकन निषदन द्रवस्थैतिक बल खुली वाहिका प्रवाह (मैनिंग)

प्रिंट करने योग्य वर्कशीट

उत्तरों सहित अपरूपण बल और बंकन आघूर्ण वर्कशीट