केंद्रक और जड़त्व आघूर्ण

चरण-दर-चरण हल सहित अभ्यास प्रश्न।

3 स्तरहर बार नए मान

संरचनात्मक विश्लेषणT-खंड के निचले किनारे से उसके केंद्रक की ऊँचाई ȳ ज्ञात कीजिए।

संकेत। T को फ़्लेंज और वेब में बाँटें, और हर एक का क्षेत्रफल और…

✓ सही!ȳ = 132.3 mm

अभी अभ्यास करेंहर दिन मुफ़्त
कार्ड नहीं

केंद्रक और जड़त्व आघूर्ण: चरण-दर-चरण हल सहित अभ्यास प्रश्न

Q: केंद्रक और जड़त्व आघूर्ण के प्रश्न चरण-दर-चरण कैसे हल करें?

संयुक्त क्षेत्रफल: खंड को आयतों में बाँटें। केंद्रक क्षेत्रफल-भारित औसत है ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ। केंद्रक अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण हर भाग के अपने bh³/12 और समांतर-अक्ष पद A·d² को जोड़ता है, जहाँ d भाग के केंद्रक से कुल केंद्रक की दूरी है। बंकन प्रतिबल σ = M·y/I है।

Q: केंद्रक और जड़त्व आघूर्ण के अभ्यास में क्या शामिल है?

आसान: केंद्रक मध्यम: जड़त्व आघूर्ण कठिन: बंकन प्रतिबल हर प्रश्न में नए मान होते हैं, इसलिए आप उत्तर नहीं बल्कि विधि सीखते हैं। अटक गए? पहले एक छोटा संकेत खोलें, और पूरी व्याख्या तभी जब ज़रूरत हो।

आरेखों, संकेतों और पूर्ण हल के साथ मुफ़्त केंद्रक और जड़त्व आघूर्ण अभ्यास प्रश्न। हर बार नए मान, तीन स्तरों पर: केंद्रक, जड़त्व आघूर्ण, बंकन प्रतिबल।

मुफ़्त अभ्यास प्रश्नआसान

T-खंड के निचले किनारे से उसके केंद्रक की ऊँचाई ȳ ज्ञात कीजिए।

b_f = 100 mmt_f = 25 mmt_w = 12 mmh_w = 160 mm

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केंद्रक और जड़त्व आघूर्ण का मुफ़्त अभ्यास करें अभी केंद्रक और जड़त्व आघूर्ण का अभ्यास करेंहर दिन 5 मुफ़्त प्रश्न। कार्ड की ज़रूरत नहीं।

आप क्या अभ्यास करेंगे

आसानकेंद्रक
मध्यमजड़त्व आघूर्ण
कठिनबंकन प्रतिबल

सीखें

मुख्य सूत्र

केंद्रक: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
आयत: I = bh³/12
समांतर अक्ष प्रमेय: I = I_c + A·d²
संयुक्त खंड: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

केंद्रक और जड़त्व आघूर्ण शुरू से सीखें

1परिच्छेद का आकार क्यों मायने रखता है

किसी धरन को सीधे आर-पार काटें और कटे हुए फलक को देखें। वह आकार अनुप्रस्थ परिच्छेद, या केवल परिच्छेद, कहलाता है।

100 × 20 mm का एक लकड़ी का तख़्ता लें। उसे एक खाई के आर-पार चपटा रखें तो वह बहुत झुकता है। उसी तख़्ते को किनारे पर खड़ा करें तो वह कहीं अधिक कठोर होता है, जबकि उसका क्षेत्रफल बिल्कुल वही है।

मायने यह रखता है कि पदार्थ उस अक्ष से कितनी दूर है जिसके परितः धरन झुकती है। उस अक्ष से दूर का पदार्थ कहीं अधिक काम करता है।

दो गुण इसे बताते हैं। केंद्रक परिच्छेद का ज्यामितीय केंद्र है: धरन उससे होकर जाने वाले अक्ष के परितः झुकती है। क्षेत्रफल का द्वितीय आघूर्ण I मापता है कि क्षेत्रफल उस अक्ष से कितनी दूर फैला है।

स्व-जाँच वही तख़्ता चपटा (a) और किनारे पर (b) उपयोग किया जाता है, क्षैतिज अक्ष के परितः झुकाया जाता है। कौन अधिक कठोर है?

किनारे पर (b)
चपटा (a)
दोनों समान हैं, क्योंकि क्षेत्रफल समान है
यह केवल पदार्थ पर निर्भर करता है

उत्तर: किनारे पर (b). किनारे पर पदार्थ झुकाव अक्ष से अधिक दूर होता है। क्षेत्रफल समान है, पर अक्ष से उसकी दूरी ही मायने रखती है।

2संयुक्त परिच्छेद का केंद्रक

आयत का केंद्रक बीच में होता है। T जैसे कई धरन परिच्छेद आयतों से बने होते हैं।

परिच्छेद को आयतों में बाँटें। हर एक के लिए उसका क्षेत्रफल A_i और उसके अपने केंद्रक की ऊँचाई y_i ज्ञात करें, जो एक संदर्भ रेखा से, आमतौर पर निचले किनारे से, मापी जाती है।

पूरे परिच्छेद का केंद्रक उन ऊँचाइयों का क्षेत्रफल-भारित औसत है:

ȳ = Σ A_i·y_i / Σ A_i

बड़ा भाग केंद्रक को अपनी ओर खींचता है। ऊपर फ़्लैंज वाले T-परिच्छेद में केंद्रक आधी ऊँचाई से ऊपर होता है।

स्व-जाँच भाग 1 का A = 3000 mm² है, y = 20 mm पर। भाग 2 का A = 1000 mm² है, y = 100 mm पर। केंद्रक कहाँ है?

ȳ = 160 mm
ȳ = 40 mm
ȳ = 60 mm
ȳ = 80 mm

उत्तर: ȳ = 40 mm. ȳ = (3000·20 + 1000·100)/4000 = 160 000/4000 = 40 mm। 60 mm ऊँचाइयों का सादा औसत है, जो क्षेत्रफलों की अनदेखी करता है। 80 mm क्षेत्रफलों को आपस में बदल देता है।

3क्षेत्रफल का द्वितीय आघूर्ण

चौड़ाई b और ऊँचाई h के आयत के लिए, उसके अपने केंद्रक से होकर जाने वाले क्षैतिज अक्ष के परितः झुकाव में:

I_c = b · h³ / 12

ऊँचाई का घन होता है, इसीलिए किनारे पर रखा तख़्ता 25 गुना कठोर है: 20·100³ / (100·20³) = 25।

संयुक्त परिच्छेद में हर भाग समग्र केंद्रक से होकर जाने वाले अक्ष से कुछ दूरी d पर होता है। समांतर-अक्ष प्रमेय उस विस्थापन के लिए एक पद जोड़ता है:

I = Σ ( I_c,i + A_i · d_i² )

इकाई mm⁴ है। संख्याएँ बड़ी हो जाती हैं, इसलिए उत्तर अक्सर “× 10⁶ mm⁴” में दिए जाते हैं।

I मिल जाने पर, केंद्रीय अक्ष से दूरी y पर बंकन प्रतिबल बंकन आघूर्ण M से मिलता है:

σ = M · y / I

स्व-जाँच 100 mm चौड़ा और 20 mm ऊँचा एक आयत: उसके अपने क्षैतिज केंद्रीय अक्ष के परितः I क्या है?

1 666 667 mm⁴
400 000 mm⁴
66 667 mm⁴
800 000 mm⁴

उत्तर: 66 667 mm⁴. I = bh³/12 = 100·20³/12 = 66 667 mm⁴। 1 666 667 में b और h बदल गए हैं (वह किनारे पर रखा तख़्ता है); 800 000 में 12 से भाग देना भूल गए हैं।

4विधि चरण-दर-चरण

परिच्छेद को आयतों में बाँटें और उन्हें क्रमांक दें।
हर भाग के लिए: क्षेत्रफल A_i और केंद्रक की ऊँचाई y_i, सब निचले किनारे से मापे गए।
केंद्रक: ȳ = ΣA_iy_i / ΣA_i।
हर भाग के लिए: अपना I_c = bh³/12 और दूरी d_i = y_i − ȳ।
जोड़ें: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)।
यदि प्रतिबल पूछा गया हो: σ = M·y/I, जहाँ y अक्ष से उस किनारे तक की दूरी है जो आपको चाहिए।

A, y, A·y, I_c, d और A·d² स्तंभों वाली एक छोटी सारणी हर चीज़ को क्रम में रखती है।

5एक हल किया गया उदाहरण

हर चरण का अनुसरण करें। अगला चरण खोलने से पहले उसका अनुमान लगाने का प्रयास करें।

हल किया गया उदाहरण

एक T-परिच्छेद में 100 × 20 mm का फ़्लैंज 20 × 100 mm के वेब के ऊपर है। केंद्रक की ऊँचाई ȳ, क्षेत्रफल का द्वितीय आघूर्ण I_x, और 4 kN·m के अधोमुखी (सैगिंग) आघूर्ण के लिए ऊपरी और निचले किनारों पर बंकन प्रतिबल ज्ञात कीजिए।

दो आयतों में बाँटें

फ़्लैंज (1): A₁ = 100·20 = 2000 mm², केंद्रक y₁ = 100 + 10 = 110 mm पर।

वेब (2): A₂ = 20·100 = 2000 mm², केंद्रक y₂ = 50 mm पर।

केंद्रक

ȳ = (2000·110 + 2000·50) / 4000 = 80 mm

दोनों क्षेत्रफल बराबर हैं, इसलिए ȳ 110 और 50 mm के ठीक बीच में है।

अपने द्वितीय आघूर्ण

I_c,1 = 100·20³/12 = 66 667 mm⁴

I_c,2 = 20·100³/12 = 1 666 667 mm⁴

समांतर-अक्ष पद

प्रत्येक केंद्रक अक्ष x से 30 mm दूर है: d₁ = 110 − 80 = 30 mm और d₂ = 50 − 80 = −30 mm।

प्रत्येक भाग के लिए:

A·d² = 2000·30² = 1 800 000 mm⁴

क्षेत्रफल का कुल द्वितीय आघूर्ण

I_x = 66 667 + 1 800 000 + 1 666 667 + 1 800 000 = 5 333 333 mm⁴ ≈ 5.33 × 10⁶ mm⁴

बंकन प्रतिबल

M = 4 kN·m = 4 × 10⁶ N·mm। निचला किनारा अक्ष से 80 mm दूर है, ऊपरी किनारा 120 − 80 = 40 mm।

σ_bottom = 4 × 10⁶ · 80 / 5 333 333 = 60 MPa

σ_top = 4 × 10⁶ · 40 / 5 333 333 = 30 MPa

निचला किनारा तनाव में है और ऊपरी किनारा संपीड़न में, जैसा किसी भी अधोमुखी धरन में होता है।

उत्तर

ȳ = 80 mm, I_x = 5.33 × 10⁶ mm⁴, σ_bottom = 60 MPa और σ_top = 30 MPa।

6सामान्य गलतियाँ

A·d² पद भूल जाना। उसके बिना आप केवल भागों के अपने I मान जोड़ते हैं, जो बहुत छोटा होता है।
ऊँचाइयों y_i को अलग-अलग संदर्भ रेखाओं से मापना। निचला किनारा चुनें और उसी पर टिके रहें।
समग्र केंद्रक की जगह निचले किनारे से d लेना।
bh³/12 में b और h को आपस में बदल देना। झुकाव अक्ष के लंबवत वाली विमा का घन होता है।
σ = M·y/I में किनारे की ग़लत दूरी लेना। अक्ष से सबसे दूर का किनारा सबसे अधिक प्रतिबल पाता है।

स्व-जाँच एक 100 × 20 mm (चौड़ाई × ऊँचाई) का आयत, जिसका केंद्रक अक्ष x से 50 mm दूर है। I_x में उसका योगदान क्या है?

0.067 × 10⁶ mm⁴
5.00 × 10⁶ mm⁴
5.07 × 10⁶ mm⁴
6.67 × 10⁶ mm⁴

उत्तर: 5.07 × 10⁶ mm⁴. I = bh³/12 + A·d² = 66 667 + 2000·50² = 5 066 667 mm⁴। 0.067 × 10⁶ में A·d² भूल गए हैं; 5.00 × 10⁶ में अपना पद भूल गए हैं; 6.67 × 10⁶ में 1 666 667 (b और h बदले हुए) और A·d² लिया गया है।

7परीक्षा प्रश्न कैसे दिखते हैं

आसान: केंद्रक। T-परिच्छेद के निचले किनारे से ऊपर ȳ ज्ञात करें। रूपांतर: कोणीय परिच्छेद, या एकल आयत, वृत्त (πd⁴/64) या बॉक्स का I।
मध्यम: क्षेत्रफल का द्वितीय आघूर्ण। T-परिच्छेद का उसके केंद्रीय अक्ष के परितः I_x ज्ञात करें। रूपांतर: I-परिच्छेद, चैनल, और घूर्णन त्रिज्या r = √(I/A)।
कठिन: बंकन प्रतिबल। T-परिच्छेद आघूर्ण M वहन करता है; σ = M·y/I से ऊपरी या निचले किनारे पर प्रतिबल ज्ञात करें।

दिए गए माप फ़्लैंज के लिए b_f और t_f हैं, और वेब के लिए t_w और h_w।

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हल किए गए उदाहरण

उदाहरण 1आसान

T-खंड के निचले किनारे से उसके केंद्रक की ऊँचाई ȳ ज्ञात कीजिए।

b_f = 260 mmt_f = 10 mmt_w = 8 mmh_w = 280 mm

ज्ञात करें: ȳ (mm)

संकेत दिखाएँ

T को फ़्लेंज और वेब में बाँटें, और हर एक का क्षेत्रफल और केंद्रक ऊँचाई ज्ञात करें।
ȳ = ΣA·y / ΣA, हर y निचले किनारे से मापा गया।
A_f = 2600 mm², A_w = 2240 mm².

उत्तर और चरण-दर-चरण हल दिखाएँ

संयुक्त क्षेत्रफल: खंड को आयतों में बाँटें। केंद्रक क्षेत्रफल-भारित औसत है ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ। केंद्रक अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण हर भाग के अपने bh³/12 और समांतर-अक्ष पद A·d² को जोड़ता है, जहाँ d भाग के केंद्रक से कुल केंद्रक की दूरी है। बंकन प्रतिबल σ = M·y/I है।

दो आयतों में बाँटें

हर y को निचले किनारे से मापें।

फ़्लेंज: A_f = 260·10 = 2600 mm², y_f = 280 + 10/2 = 285 mm

वेब: A_w = 8·280 = 2240 mm², y_w = 280/2 = 140 mm

केंद्रक

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (2600·285 + 2240·140)/4840 = 217.9 mm

उत्तर

ȳ = 217.9 mm

उदाहरण 2मध्यम

100 mm × 240 mm की एक प्लेट में उसकी ऊर्ध्वाधर केंद्र रेखा पर व्यास 30 mm का वृत्ताकार छिद्र है, जिसका केंद्र नीचे से 156 mm ऊपर है। केंद्रक से गुज़रने वाले क्षैतिज अक्ष के परितः क्षेत्रफल का द्वितीय आघूर्ण I_x ज्ञात कीजिए।

b = 100 mmh = 240 mmd = 30 mmछिद्र का केंद्र: y = 156 mm

ज्ञात करें: I_x (× 10⁶ mm⁴)

संकेत दिखाएँ

पहले केंद्रक ज्ञात करें: प्लेट घटा छिद्र।
ȳ = 118.9 mm.
फिर ȳ के परितः I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²)।

उत्तर और चरण-दर-चरण हल दिखाएँ

छिद्र वाले परिच्छेद: छिद्र को ऋणात्मक क्षेत्रफल मानें। केंद्रक ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂) है, जहाँ A₁, y₁ पूरी प्लेट के लिए और A₂, y₂ छिद्र के लिए हैं। केंद्रक अक्ष के परितः क्षेत्रफल के द्वितीय आघूर्ण के लिए हर भाग पर समांतर-अक्ष प्रमेय लगाएँ और छिद्र घटाएँ: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²), जहाँ d हर भाग के अपने केंद्रक से ȳ से गुज़रने वाले अक्ष तक की दूरी है। आयत के लिए I_c = bh³/12 और वृत्त के लिए I_c = πd⁴/64।

केंद्रक

ȳ = (24000·120 − 706.9·156)/(24000 − 706.9) = 118.9 mm

ȳ के परितः पूरी प्लेट

100·240³/12 + 24000·1.092² = 115.2 × 10⁶ mm⁴

ȳ के परितः छिद्र

π·30⁴/64 + 706.9·37.09² = 1.012 × 10⁶ mm⁴

घटाइए

I_x = 114.2 × 10⁶ mm⁴

उत्तर

I_x = 114.2 × 10⁶ mm⁴

उदाहरण 3कठिन

100 mm × 200 mm की एक प्लेट में 30 mm चौड़ा और 20 mm ऊँचा आयताकार कटाव है, जो ऊर्ध्वाधर केंद्र रेखा पर केंद्रित है और जिसका केंद्र नीचे से 120 mm ऊपर है। केंद्रक से गुज़रने वाले क्षैतिज अक्ष के परितः क्षेत्रफल का द्वितीय आघूर्ण I_x ज्ञात कीजिए।

b = 100 mmh = 200 mmकटाव: 30 × 20 mmछिद्र का केंद्र: y = 120 mm

ज्ञात करें: I_x (× 10⁶ mm⁴)

संकेत दिखाएँ

पहले केंद्रक ज्ञात करें: प्लेट घटा छिद्र।
ȳ = 99.38 mm.
फिर ȳ के परितः I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²)।

उत्तर और चरण-दर-चरण हल दिखाएँ

केंद्रक

ȳ = (20000·100 − 600·120)/(20000 − 600) = 99.38 mm

ȳ के परितः पूरी प्लेट

100·200³/12 + 20000·0.6186² = 66.67 × 10⁶ mm⁴

ȳ के परितः छिद्र

30·20³/12 + 600·20.62² = 0.2751 × 10⁶ mm⁴

घटाइए

I_x = 66.4 × 10⁶ mm⁴

उत्तर

I_x = 66.4 × 10⁶ mm⁴

प्रश्न और उत्तर

केंद्रक और जड़त्व आघूर्ण क्या है?

केंद्रक और जड़त्व आघूर्ण के प्रश्न चरण-दर-चरण कैसे हल करें?

केंद्रक और जड़त्व आघूर्ण के अभ्यास में क्या शामिल है?

आसान: केंद्रक
मध्यम: जड़त्व आघूर्ण
कठिन: बंकन प्रतिबल

हर प्रश्न में नए मान होते हैं, इसलिए आप उत्तर नहीं बल्कि विधि सीखते हैं। अटक गए? पहले एक छोटा संकेत खोलें, और पूरी व्याख्या तभी जब ज़रूरत हो।

अभ्यास कैसे काम करता है

हर प्रश्न में नए मान होते हैं, इसलिए आप उत्तर नहीं बल्कि विधि सीखते हैं।
अटक गए? पहले एक छोटा संकेत खोलें, और पूरी व्याख्या तभी जब ज़रूरत हो।
आपकी प्रगति, गलतियाँ और सहेजे गए प्रश्न रखे जाते हैं, ताकि आप परीक्षा से पहले दोहरा सकें।

इससे पहले और बाद के विषय

इसके बाद

स्तंभ बकलिंग बीम विक्षेप

कैलकुलेटर

जड़त्व आघूर्ण कैलकुलेटर (क्षेत्र का द्वितीय आघूर्ण)केंद्रक कैलकुलेटर (संयुक्त आकृतियाँ और बहुभुज)

इस विषय वाले कोर्स

स्थैतिकी पदार्थ सामर्थ्य FE Civil परीक्षा अभ्यास

सिविल में और विषय

अपरूपण बल और बंकन आघूर्ण ट्रस: जोड़ विधि बीम विक्षेप स्तंभ बकलिंग मृदा में प्रभावी प्रतिबल समेकन निषदन द्रवस्थैतिक बल खुली वाहिका प्रवाह (मैनिंग)

प्रिंट करने योग्य वर्कशीट

उत्तरों सहित केंद्रक और जड़त्व आघूर्ण वर्कशीट