द्रवस्थैतिक बल: चरण-दर-चरण हल सहित अभ्यास प्रश्न

Q: द्रवस्थैतिक बल के प्रश्न चरण-दर-चरण कैसे हल करें?

द्रवस्थैतिक बल: समतल सतह पर F = ρ·g·yc·A, जहाँ yc केंद्रक की गहराई है। यह केंद्रक के नीचे, दाब केंद्र पर कार्य करता है।

Q: द्रवस्थैतिक बल के अभ्यास में क्या शामिल है?

आसान: ऊर्ध्वाधर दीवार मध्यम: डूबा हुआ फाटक कठिन: दाब केंद्र हर प्रश्न में नए मान होते हैं, इसलिए आप उत्तर नहीं बल्कि विधि सीखते हैं। अटक गए? पहले एक छोटा संकेत खोलें, और पूरी व्याख्या तभी जब ज़रूरत हो।

आरेखों, संकेतों और पूर्ण हल के साथ मुफ़्त द्रवस्थैतिक बल अभ्यास प्रश्न। हर बार नए मान, तीन स्तरों पर: ऊर्ध्वाधर दीवार, डूबा हुआ फाटक, दाब केंद्र।

मुफ़्त अभ्यास प्रश्नआसान

एक ऊर्ध्वाधर दीवार के सामने पानी 3 m गहरा है। आधार के ऊपर वह ऊँचाई ȳ ज्ञात कीजिए जिस पर परिणामी बल कार्य करता है।

h = 3 mb = 4 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

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द्रवस्थैतिक बल का मुफ़्त अभ्यास करें अभी द्रवस्थैतिक बल का अभ्यास करेंहर दिन 5 मुफ़्त प्रश्न। कार्ड की ज़रूरत नहीं।

आप क्या अभ्यास करेंगे

आसानऊर्ध्वाधर दीवार
मध्यमडूबा हुआ फाटक
कठिनदाब केंद्र

मुख्य सूत्र

गहराई पर दाब: p = ρgh
ऊर्ध्वाधर दीवार पर बल: F = ρg·h_c·A
दाब केंद्र: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
आयत: I_c = bH³/12

द्रवस्थैतिक बल शुरू से सीखें

1द्रवस्थैतिक बल क्या है

स्थिर पानी अपने संपर्क में आने वाली हर सतह पर धक्का देता है: टंकी की दीवार, बाँध, लॉक का द्वार। वह धक्का द्रवस्थैतिक बल है।

आप जितना गहरे जाते हैं, पानी उतना ज़ोर से धक्का देता है। इसे आप तब कानों में महसूस करते हैं जब आप स्विमिंग पूल की तली तक गोता लगाते हैं।

मुक्त सतह से h गहराई पर दाब, एक वर्ग मीटर के ऊपर के पानी के स्तंभ का भार है:

p = ρ · g · h

ρ घनत्व है (मीठे पानी के लिए 1000 kg/m³) और g = 9.81 m/s²। h को मीटर में लेने पर p का मान Pa (N/m²) में आता है। kPa के लिए 1000 से भाग दीजिए।

दाब सतह के समकोण पर कार्य करता है। यह टंकी के आकार या चौड़ाई पर निर्भर नहीं करता, केवल गहराई पर निर्भर करता है।

स्व-जाँच किसी झील में सतह से 5 m नीचे पानी का दाब क्या है? (ρ = 1000 kg/m³, g = 9.81 m/s²)

24.5 kPa
49.05 kPa
5 kPa
98.1 kPa

उत्तर: 49.05 kPa. p = 1000 · 9.81 · 5 = 49 050 Pa = 49.05 kPa। g छोड़ देने पर 5 kPa मिलता है, जो प्रति क्षेत्रफल द्रव्यमान है, दाब नहीं।

2ऊर्ध्वाधर दीवार पर बल

ऊर्ध्वाधर दीवार पर दाब सतह पर शून्य से तली पर ρgh तक सीधी रेखा में बढ़ता है। दीवार पर भार एक त्रिभुज है।

कुल बल उस त्रिभुज का क्षेत्रफल गुणा दीवार की चौड़ाई b है:

F = ½ · ρg·h · h · b = ½ · ρ · g · h² · b

बल त्रिभुज के केंद्रक से होकर कार्य करता है, जो आधार से ऊँचाई के एक-तिहाई पर होता है:

ȳ = h / 3 (आधार से ऊपर)

इसलिए बल दीवार के मध्य से नीचे कार्य करता है। यह तर्कसंगत है: निचला भाग सबसे ज़ोर से धकेला जाता है।

स्व-जाँच 2 m गहरा पानी 1 m चौड़ी ऊर्ध्वाधर दीवार के सामने खड़ा है। परिणामी बल क्या है? (ρg = 9810 N/m³)

19.62 kN
39.24 kN
4 kN
9.81 kN

उत्तर: 19.62 kN. F = ½ · 9810 · 2² · 1 = 19 620 N = 19.62 kN। पूरी दीवार पर तली का दाब लेने पर (39.24 kN) ½ छूट जाता है: ऊपर दाब शून्य है।

3डूबे हुए द्वार और दाब केंद्र

टंकी की दीवार में गहराई पर लगा द्वार सतह से शुरू नहीं होता। किसी भी समतल सतह के लिए, बल उसके केंद्रक पर दाब गुणा उसके क्षेत्रफल के बराबर होता है:

F = ρ · g · y_c · A

y_c केंद्रक की गहराई है। H ऊँचाई वाले आयताकार द्वार के लिए, जिसका ऊपरी किनारा सतह से d नीचे है, y_c = d + H/2 और A = H·b।

बल केंद्रक पर कार्य नहीं करता। वह थोड़ा नीचे, दाब केंद्र पर कार्य करता है, क्योंकि द्वार का निचला भाग अधिक ज़ोर से धकेला जाता है:

y_cp = y_c + I_c / (y_c · A), I_c = b·H³/12

I_c द्वार का अपने केंद्रक के सापेक्ष क्षेत्रफल का द्वितीय आघूर्ण है। द्वार जितना गहरा होता है, y_cp उतना ही y_c के करीब आता है।

सतह से शुरू होने वाली दीवार (d = 0) के लिए यह y_cp = सतह से 2h/3 नीचे देता है, जो आधार से h/3 ऊपर के बराबर है।

4विधि चरण-दर-चरण

सतह का चित्र बनाइए और मुक्त सतह से उसकी गहराई चिह्नित कीजिए: ऊपरी किनारा d और ऊँचाई H (या दीवार के लिए गहराई h)।
केंद्रक की गहराई y_c और क्षेत्रफल A ज्ञात कीजिए।
प्रश्न में दिए गए द्रव का घनत्व लीजिए: पानी 1000, समुद्री जल 1025, तेल 880 kg/m³।
बल: F = ρ·g·y_c·A। kN के लिए 1000 से भाग दीजिए।
यदि क्रिया रेखा पूछी जाए: y_cp = y_c + I_c/(y_c·A), मुक्त सतह से नीचे की ओर मापा हुआ।

5एक हल किया गया उदाहरण

हर चरण का अनुसरण करें। अगला चरण खोलने से पहले उसका अनुमान लगाने का प्रयास करें।

हल किया गया उदाहरण

पानी की टंकी की दीवार में 2 m चौड़ा और 2 m ऊँचा एक ऊर्ध्वाधर आयताकार द्वार लगा है, जिसका ऊपरी किनारा सतह से 1 m नीचे है। द्वार पर परिणामी द्रवस्थैतिक बल F ज्ञात कीजिए।

द्वार को देखिए

द्वार सतह से 1 m से 3 m नीचे तक फैला है। पृष्ठ के भीतर उसकी चौड़ाई b = 2 m है।

केंद्रक की गहराई

y_c = d + H/2 = 1 + 2/2 = 2 m

क्षेत्रफल

A = H · b = 2 · 2 = 4 m²

केंद्रक पर दाब

p_c = ρ·g·y_c = 1000 · 9.81 · 2 = 19 620 Pa = 19.62 kPa

परिणामी बल

F = p_c · A = 19.62 · 4 = 78.48 kN

उत्तर जाँचें

ऊपरी किनारे पर दाब 9.81 kPa और निचले किनारे पर 29.43 kPa है। उनका औसत 19.62 kPa है, इसलिए बल फिर 19.62 · 4 = 78.48 kN आता है।

उत्तर

F = 78.48 kN, जो द्वार पर क्षैतिज रूप से कार्य करता है।

6सामान्य गलतियाँ

बल को केंद्रक पर मान लेना। वह नीचे कार्य करता है: दीवार के लिए आधार से h/3 ऊपर, द्वार के लिए y_cp पर।
ȳ को सतह से मापना जबकि प्रश्न आधार से ऊँचाई पूछता है, या इसका उलटा।
केंद्रक की गहराई के बजाय ऊपरी किनारे या निचले किनारे की गहराई का उपयोग करना।
सतह से शुरू होने वाली दीवार के लिए ½ भूल जाना।
g छोड़ देना, या तेल अथवा समुद्री जल के लिए पानी का घनत्व प्रयोग करना।

स्व-जाँच ऊर्ध्वाधर दीवार के सामने पानी 6 m गहरा है। परिणामी बल कहाँ कार्य करता है?

आधार से 2 m ऊपर
आधार से 3 m ऊपर
आधार से 4 m ऊपर
सतह से 2 m नीचे

उत्तर: आधार से 2 m ऊपर. त्रिभुजाकार भार अपने केंद्रक से होकर, आधार से h/3 = 2 m ऊपर कार्य करता है। 3 m दीवार का मध्य है, जहाँ बल तभी कार्य करता जब दाब एकसमान होता।

7परीक्षा प्रश्न कैसे दिखते हैं

आसान: सतह से नीचे तक ऊर्ध्वाधर दीवार के सामने पानी। F = ½ρgh²b या आधार से ऊँचाई ȳ = h/3 ज्ञात कीजिए।
मध्यम: पानी में डूबा आयताकार द्वार। उदाहरण की तरह F = ρg·y_c·A ज्ञात कीजिए।
कठिन: वही द्वार तेल, समुद्री जल या ग्लिसरीन में, और कभी-कभी दाब केंद्र की गहराई y_cp।

उदाहरण के द्वार के लिए: I_c = 2 · 2³/12 = 1.333 m⁴, इसलिए y_cp = 2 + 1.333/(2 · 4) = सतह से 2.167 m नीचे। यह केंद्रक से 0.167 m नीचे है।

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हल किए गए उदाहरण

उदाहरण 1आसान

एक ऊर्ध्वाधर दीवार के सामने पानी 4 m गहरा है। आधार के ऊपर वह ऊँचाई ȳ ज्ञात कीजिए जिस पर परिणामी बल कार्य करता है।

h = 4 mb = 2 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

ज्ञात करें: ȳ (m)

संकेत दिखाएँ

स्थिर द्रव में दाब p = ρ·g·z है।
दीवार पर दाब आरेख एक त्रिभुज है। F उसका क्षेत्रफल गुणा चौड़ाई है; यह उसके केंद्रक से होकर कार्य करता है।
आधार पर दाब 39.24 kPa है।

उत्तर और चरण-दर-चरण हल दिखाएँ

द्रवस्थैतिक बल: समतल सतह पर F = ρ·g·y_c·A, जहाँ y_c केंद्रक की गहराई है। यह केंद्रक के नीचे, दाब केंद्र पर कार्य करता है।

दाब गहराई के साथ रैखिक रूप से बदलता है

p = ρ·g·z, सतह पर शून्य से तल पर ρ·g·h तक, इसलिए दीवार पर भार त्रिभुजाकार है।

p_base = ρgh = 1000·9.81·4 = 39.24 kPa

क्रिया रेखा

त्रिभुजाकार भार अपने केंद्रक पर, आधार से ऊँचाई के एक-तिहाई पर कार्य करता है

ȳ = h/3 = 4/3 = 1.333 m आधार के ऊपर

उत्तर

ȳ = 1.333 m

उदाहरण 2मध्यम

3 m चौड़ा एक ऊर्ध्वाधर आयताकार फाटक पानी वाली टंकी की दीवार में है, उसका ऊपरी किनारा सतह से 4 m नीचे है। फाटक पर परिणामी द्रवस्थैतिक बल F ज्ञात कीजिए।

d = 4 mH = 1.5 mb = 3 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

ज्ञात करें: F (kN)

संकेत दिखाएँ

समतल सतह के लिए F = ρ·g·y_c·A, जहाँ y_c फाटक के केंद्रक की गहराई है।
आयत का केंद्रक मध्य ऊँचाई पर होता है: y_c = d + H/2।
y_c = 4.75 m.

उत्तर और चरण-दर-चरण हल दिखाएँ

समतल सतह पर द्रवस्थैतिक बल: F = ρ·g·y_c·A। यह दाब केंद्र y_cp = y_c + I_c/(y_cA) पर कार्य करता है, जो हमेशा केंद्रक के नीचे होता है।

केंद्रक की गहराई और क्षेत्रफल

y_c = d + H/2 = 4 + 1.5/2 = 4.75 m

A = H·b = 1.5·3 = 4.5 m²

परिणामी बल

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9.81·4.75·4.5 = 209.7 kN

उत्तर

F = 209.7 kN

उदाहरण 3कठिन

1.5 m चौड़ा एक ऊर्ध्वाधर आयताकार फाटक समुद्री जल वाली टंकी की दीवार में है, उसका ऊपरी किनारा सतह से 2 m नीचे है। सतह के नीचे दाब केंद्र की गहराई y_cp ज्ञात कीजिए।

d = 2 mH = 2 mb = 1.5 mρ = 1025 kg/m³g = 9.81 m/s²

ज्ञात करें: y_cp (m)

संकेत दिखाएँ

समतल सतह के लिए F = ρ·g·y_c·A, जहाँ y_c फाटक के केंद्रक की गहराई है।
I_c = bH³/12 के साथ y_cp = y_c + I_c/(y_c·A) का उपयोग करें।
y_c = 3 m.

उत्तर और चरण-दर-चरण हल दिखाएँ

केंद्रक की गहराई और क्षेत्रफल

y_c = d + H/2 = 2 + 2/2 = 3 m

A = H·b = 2·1.5 = 3 m²

परिणामी बल

F = ρ·g·y_c·A = 1025·9.81·3·3 = 90.5 kN

दाब केंद्र

दाब गहराई के साथ बढ़ता है, इसलिए परिणामी केंद्रक के नीचे कार्य करता है।

I_c = b·H³/12 = 1.5·2³/12 = 1 m⁴

y_cp = y_c + I_c/(y_c·A) = 3 + 1/(3·3) = 3.111 m

उत्तर

y_cp = 3.111 m

प्रश्न और उत्तर

द्रवस्थैतिक बल क्या है?

द्रवस्थैतिक बल के प्रश्न चरण-दर-चरण कैसे हल करें?

द्रवस्थैतिक बल के अभ्यास में क्या शामिल है?

आसान: ऊर्ध्वाधर दीवार
मध्यम: डूबा हुआ फाटक
कठिन: दाब केंद्र

हर प्रश्न में नए मान होते हैं, इसलिए आप उत्तर नहीं बल्कि विधि सीखते हैं। अटक गए? पहले एक छोटा संकेत खोलें, और पूरी व्याख्या तभी जब ज़रूरत हो।

अभ्यास कैसे काम करता है

हर प्रश्न में नए मान होते हैं, इसलिए आप उत्तर नहीं बल्कि विधि सीखते हैं।
अटक गए? पहले एक छोटा संकेत खोलें, और पूरी व्याख्या तभी जब ज़रूरत हो।
आपकी प्रगति, गलतियाँ और सहेजे गए प्रश्न रखे जाते हैं, ताकि आप परीक्षा से पहले दोहरा सकें।

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