स्तंभ बकलिंग: चरण-दर-चरण हल सहित अभ्यास प्रश्न

Q: स्तंभ बकलिंग के प्रश्न चरण-दर-चरण कैसे हल करें?

ऑयलर बकलिंग: पतला स्तंभ Pcr = π²EI/(KL)² पर अस्थिर हो जाता है, जहाँ KL प्रभावी लंबाई है: पिन–पिन के लिए K = 1, जड़ित–मुक्त के लिए 2, जड़ित–पिन के लिए 0.7 और जड़ित–जड़ित के लिए 0.5। यह सबसे छोटे I वाली अक्ष के परितः मुड़ता है। सूत्र उन पतले स्तंभों के लिए मान्य है जिनका क्रांतिक प्रतिबल पराभव प्रतिबल से कम रहता है।

Q: स्तंभ बकलिंग के अभ्यास में क्या शामिल है?

आसान: पिन किए सिरे मध्यम: अन्य सिरा स्थितियाँ कठिन: डिज़ाइन और क्रांतिक प्रतिबल हर प्रश्न में नए मान होते हैं, इसलिए आप उत्तर नहीं बल्कि विधि सीखते हैं। अटक गए? पहले एक छोटा संकेत खोलें, और पूरी व्याख्या तभी जब ज़रूरत हो।

आरेखों, संकेतों और पूर्ण हल के साथ मुफ़्त स्तंभ बकलिंग अभ्यास प्रश्न। हर बार नए मान, तीन स्तरों पर: पिन किए सिरे, अन्य सिरा स्थितियाँ, डिज़ाइन और क्रांतिक प्रतिबल।

मुफ़्त अभ्यास प्रश्नआसान

स्टील से बना L लंबाई का एक स्तंभ दोनों सिरों पर पिन किया हुआ है। ऑयलर सूत्र से उसका क्रांतिक बकलिंग भार P_cr ज्ञात कीजिए।

L = 2.5 mE = 200 GPa (स्टील)b × h = 40 × 80 mm

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आप क्या अभ्यास करेंगे

आसानपिन किए सिरे
मध्यमअन्य सिरा स्थितियाँ
कठिनडिज़ाइन और क्रांतिक प्रतिबल

मुख्य सूत्र

ऑयलर भार: P_cr = π²EI/(KL)²
प्रभावी लंबाई गुणांक: K = 1 पिन–पिन, 0.5 स्थिर–स्थिर, 0.7 स्थिर–पिन, 2 स्थिर–मुक्त
क्रांतिक प्रतिबल: σ_cr = P_cr/A
पतलापन अनुपात: λ = KL/r, r = √(I/A)

स्तंभ बकलिंग शुरू से सीखें

इससे पहले: केंद्रक और जड़त्व आघूर्ण

1बकलन क्या है

प्लास्टिक के स्केल के दोनों सिरों को दबाएँ। पहले कुछ होता नहीं दिखता। फिर अचानक वह बगल की ओर मुड़ जाता है। यही बकलन है।

स्तंभ वह अवयव है जिस पर उसकी लंबाई के अनुदिश संपीडन भार लगता है: इमारत का स्तंभ, छत का टेक, पिस्टन की छड़।

छोटा, मोटा स्तंभ कुचलने से विफल होता है: प्रतिबल P/A पदार्थ की सामर्थ्य तक पहुँच जाता है। लंबा, पतला स्तंभ कहीं कम भार पर बकल हो जाता है, जबकि प्रतिबल उस सामर्थ्य से अभी बहुत नीचे होता है।

जिस भार पर पतला स्तंभ बकल होता है वह उसका क्रांतिक भार P_cr है। इससे ऊपर स्तंभ अस्थिर हो जाता है और झुक जाता है।

स्व-जाँच दो इस्पात स्तंभों का अनुप्रस्थ काट समान है। एक 2 m लंबा है, दूसरा 4 m। कौन कम भार पर बकल होता है?

2 m वाला स्तंभ
4 m वाला स्तंभ
कोई नहीं: इस्पात स्तंभ बकल नहीं हो सकते
दोनों समान भार पर

उत्तर: 4 m वाला स्तंभ. लंबा स्तंभ अधिक पतला होता है और आसानी से बकल हो जाता है। बकलन में लंबाई सबसे महत्वपूर्ण कारक है।

2ऑयलर का सूत्र

लियोनार्ड ऑयलर ने पतले स्तंभ का क्रांतिक भार निकाला:

P_cr = π² · E · I / (K·L)²

E पदार्थ का यंग गुणांक है: इस्पात के लिए 200 GPa।
I अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल का द्वितीय आघूर्ण है। सबसे छोटा वाला लें: स्तंभ आसान दिशा में मुड़ता है।
L लंबाई है, और K प्रभावी लंबाई गुणक है, जो इस पर निर्भर करता है कि सिरे कैसे थामे गए हैं।

पिन वाला सिरा घूम सकता है; स्थिर सिरा नहीं घूम सकता। सिरों को अधिक मज़बूती से थामने पर प्रभावी लंबाई KL छोटी होती है और P_cr बहुत अधिक, क्योंकि KL का वर्ग होता है।

गोल छड़ के लिए I = π·d⁴/64। b × h आयत के लिए, जहाँ b छोटी भुजा है, I_min = h·b³/12।

स्व-जाँच एक पिन–पिन स्तंभ का P_cr = 100 kN है। उसी स्तंभ को आधार पर स्थिर और शीर्ष पर मुक्त (K = 2) बना दिया जाता है। अब P_cr कितना है?

200 kN
25 kN
400 kN
50 kN

उत्तर: 25 kN. P_cr को K² = 4 से भाग दिया जाता है: 100/4 = 25 kN। 50 kN में K का वर्ग करना भूल गए हैं; 200 और 400 kN में भाग देने के बजाय गुणा किया गया है।

3कृशता और क्रांतिक प्रतिबल

P_cr को क्षेत्रफल से भाग देने पर क्रांतिक प्रतिबल मिलता है। इसे परिभ्रमण त्रिज्या r और कृशता अनुपात λ (लैम्डा) के साथ लिखना सबसे सुघड़ है:

r = √(I / A) λ = K·L / r σ_cr = π² · E / λ²

ठोस गोल छड़ के लिए r = d/4।

ऑयलर का सूत्र तभी तक मान्य है जब तक σ_cr पदार्थ के पराभव प्रतिबल से नीचे रहता है। संरचनात्मक इस्पात के लिए इसका मतलब लगभग कृशता λ > 100 है। ठिगने स्तंभ पराभव से या दोनों के मिश्रण से विफल होते हैं, और उनके लिए दूसरे डिज़ाइन नियम चाहिए।

स्व-जाँच एक आयताकार स्तंभ का काट 20 mm × 40 mm है। क्षेत्रफल का सबसे छोटा द्वितीय आघूर्ण कितना है?

106 667 mm⁴
26 667 mm⁴
320 000 mm⁴
7854 mm⁴

उत्तर: 26 667 mm⁴. कमज़ोर अक्ष में छोटी भुजा का घन लिया जाता है: 40·20³/12 = 26 667 mm⁴। 106 667 मज़बूत अक्ष का है; 320 000 में /12 भूल गए हैं; 7854 में वृत्त का सूत्र लगाया गया है।

4विधि चरण-दर-चरण

सिरों की स्थितियाँ पढ़ें और K चुनें: 1, 2, 0.7 या 0.5।
काट का सबसे छोटा I ज्ञात करें, mm⁴ में।
N और mm में बदलें: L को mm में, E को N/mm² में (GPa × 1000)।
प्रभावी लंबाई: KL।
क्रांतिक भार: P_cr = π²EI/(KL)², N में। kN के लिए 1000 से भाग दें।
पूछा जाए तो कृशता KL/r या क्रांतिक प्रतिबल P_cr/A जाँचें।

सुरक्षा गुणक n वाले डिज़ाइन प्रश्न के लिए स्तंभ का P_cr = n·P होना चाहिए। ऑयलर सूत्र को I के लिए हल करें, फिर व्यास के लिए।

5एक हल किया गया उदाहरण

हर चरण का अनुसरण करें। अगला चरण खोलने से पहले उसका अनुमान लगाने का प्रयास करें।

हल किया गया उदाहरण

व्यास 40 mm और लंबाई 2 m का एक ठोस गोल इस्पात स्तंभ (E = 200 GPa) दोनों सिरों पर पिन किया गया है। उसका क्रांतिक बकलन भार P_cr ज्ञात कीजिए। फिर उसी स्तंभ के लिए इसे दोबारा ज्ञात कीजिए जब वह आधार पर स्थिर और शीर्ष पर मुक्त हो।

स्तंभ को देखें

दोनों सिरों पर पिन है, इसलिए K = 1 और KL = 2000 mm। E = 200 000 N/mm²।

क्षेत्र का द्वितीय आघूर्ण

गोल काट का I हर अक्ष के परितः समान होता है:

I = π · 40⁴ / 64 = 125 664 mm⁴

क्रांतिक भार

P_cr = π² · 200 000 · 125 664 / 2000² = 62 013 N ≈ 62.0 kN

जाँचें कि ऑयलर लागू होता है

r = d/4 = 10 mm λ = 2000 / 10 = 200

σ_cr = π² · 200 000 / 200² = 49.3 MPa

यह इस्पात के पराभव प्रतिबल (लगभग 250 MPa) से बहुत कम है, इसलिए स्तंभ पतला है और ऑयलर का सूत्र मान्य है।

स्थिर आधार, मुक्त शीर्ष

अब K = 2 है, इसलिए प्रभावी लंबाई दुगुनी होकर 4000 mm हो जाती है और P_cr 2² = 4 गुना घट जाता है:

P_cr = 62.0 / 4 = 15.5 kN

उत्तर

दोनों सिरों पर पिन होने पर P_cr = 62.0 kN, और आधार पर स्थिर व शीर्ष पर मुक्त होने पर 15.5 kN।

6सामान्य गलतियाँ

गलत K चुनना, या उसका वर्ग करना भूल जाना।
आयत का बड़ा I लेना। स्तंभ हमेशा अपने कमज़ोर अक्ष के परितः बकल होता है।
इकाइयाँ मिला देना: L को मीटर में और E को N/mm² में लेना। पूरे समय N और mm में काम करें।
π·d⁴/64 की जगह π·d⁴/32 (मरोड़ का ध्रुवीय आघूर्ण J) का उपयोग करना।
ऑयलर को ऐसे छोटे, ठिगने स्तंभ पर लगाना जिसका क्रांतिक प्रतिबल पराभव प्रतिबल से ऊपर होता।

स्व-जाँच दोनों सिरों पर पिन किए स्तंभ का P_cr = 40 kN है। उसी स्तंभ को दोनों सिरों पर स्थिर (K = 0.5) किया जाता है। P_cr कितना है?

10 kN
160 kN
20 kN
80 kN

उत्तर: 160 kN. P_cr को K² = 0.25 से भाग दिया जाता है, इसलिए वह चार गुना बड़ा हो जाता है: 160 kN। 80 kN में K का वर्ग करना भूल गए हैं; 10 kN में भाग देने के बजाय K² से गुणा किया गया है।

7परीक्षा प्रश्न कैसे दिखते हैं

आसान: पिन वाले सिरे। गोल या आयताकार इस्पात अथवा एल्युमिनियम स्तंभ का P_cr ज्ञात करें।
मध्यम: सिरों की अन्य स्थितियाँ। वही प्रश्न K = 2, 0.7 या 0.5 के साथ।
कठिन: डिज़ाइन और क्रांतिक प्रतिबल। वह सबसे छोटा व्यास ज्ञात करें जो सुरक्षा गुणक के साथ भार वहन करे, या कृशता और σ_cr ज्ञात करें।

गोल छड़ के डिज़ाइन मामले के लिए: d = (64·n·P·(KL)² / (π³·E))^1/4।

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हल किए गए उदाहरण

उदाहरण 1आसान

एल्युमिनियम से बना L लंबाई का एक स्तंभ दोनों सिरों पर पिन किया हुआ है। ऑयलर सूत्र से उसका क्रांतिक बकलिंग भार P_cr ज्ञात कीजिए।

L = 5 mE = 70 GPa (एल्युमिनियम)d = 50 mm

ज्ञात करें: P_cr (kN)

संकेत दिखाएँ

ऑयलर: P_cr = π²EI/(KL)²।
प्रभावी लंबाई गुणक: दोनों सिरों पर पिन किया हुआ स्तंभ के लिए K = 1।
I = 306796 mm⁴.

उत्तर और चरण-दर-चरण हल दिखाएँ

ऑयलर बकलिंग: पतला स्तंभ P_cr = π²EI/(KL)² पर अस्थिर हो जाता है, जहाँ KL प्रभावी लंबाई है: पिन–पिन के लिए K = 1, जड़ित–मुक्त के लिए 2, जड़ित–पिन के लिए 0.7 और जड़ित–जड़ित के लिए 0.5। यह सबसे छोटे I वाली अक्ष के परितः मुड़ता है। सूत्र उन पतले स्तंभों के लिए मान्य है जिनका क्रांतिक प्रतिबल पराभव प्रतिबल से कम रहता है।

न्यूनतम जड़त्व आघूर्ण

गोल खंड का I हर अक्ष के परितः समान होता है।

I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴

प्रभावी लंबाई

KL = 1·5000 = 5000 mm

क्रांतिक भार

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·306796/5000² = 8478 N = 8.478 kN

उत्तर

P_cr = 8.478 kN

उदाहरण 2मध्यम

स्टील से बना L लंबाई का एक स्तंभ आधार पर जड़ित और शीर्ष पर मुक्त है। ऑयलर सूत्र से उसका क्रांतिक बकलिंग भार P_cr ज्ञात कीजिए।

L = 2.5 mE = 200 GPa (स्टील)d = 30 mm

ज्ञात करें: P_cr (kN)

संकेत दिखाएँ

ऑयलर: P_cr = π²EI/(KL)²।
प्रभावी लंबाई गुणक: आधार पर जड़ित और शीर्ष पर मुक्त स्तंभ के लिए K = 2।
I = 39761 mm⁴.

उत्तर और चरण-दर-चरण हल दिखाएँ

न्यूनतम जड़त्व आघूर्ण

गोल खंड का I हर अक्ष के परितः समान होता है।

I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴

प्रभावी लंबाई

KL = 2·2500 = 5000 mm

क्रांतिक भार

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·39761/5000² = 3139 N = 3.139 kN

उत्तर

P_cr = 3.139 kN

उदाहरण 3कठिन

एल्युमिनियम से बना L लंबाई का एक स्तंभ दोनों सिरों पर पिन किया हुआ है। उसकी तनुता और ऑयलर सूत्र से क्रांतिक बकलिंग प्रतिबल σ_cr ज्ञात कीजिए।

L = 2.5 mE = 70 GPa (एल्युमिनियम)d = 25 mm

ज्ञात करें: σ_cr (MPa)

संकेत दिखाएँ

σ_cr = P_cr/A = π²E/(KL/r)², जहाँ r = √(I/A) परिभ्रमण त्रिज्या है।
सबसे छोटे I का उपयोग करें, क्योंकि स्तंभ अपनी सबसे कमज़ोर अक्ष के परितः मुड़ता है।
r = 6.25 mm.

उत्तर और चरण-दर-चरण हल दिखाएँ

न्यूनतम जड़त्व आघूर्ण

गोल खंड का I हर अक्ष के परितः समान होता है।

I = πd⁴/64 = π·25⁴/64 = 19175 mm⁴

परिभ्रमण त्रिज्या और तनुता

A = 490.9 mm²

r = √(I/A) = √(19175/490.9) = 6.25 mm

KL = 1·2500 = 2500 mm

KL/r = 2500/6.25 = 400

क्रांतिक प्रतिबल

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/400² = 4.318 MPa

उत्तर

σ_cr = 4.318 MPa

प्रश्न और उत्तर

स्तंभ बकलिंग क्या है?

स्तंभ बकलिंग के प्रश्न चरण-दर-चरण कैसे हल करें?

स्तंभ बकलिंग के अभ्यास में क्या शामिल है?

आसान: पिन किए सिरे
मध्यम: अन्य सिरा स्थितियाँ
कठिन: डिज़ाइन और क्रांतिक प्रतिबल

हर प्रश्न में नए मान होते हैं, इसलिए आप उत्तर नहीं बल्कि विधि सीखते हैं। अटक गए? पहले एक छोटा संकेत खोलें, और पूरी व्याख्या तभी जब ज़रूरत हो।

अभ्यास कैसे काम करता है

हर प्रश्न में नए मान होते हैं, इसलिए आप उत्तर नहीं बल्कि विधि सीखते हैं।
अटक गए? पहले एक छोटा संकेत खोलें, और पूरी व्याख्या तभी जब ज़रूरत हो।
आपकी प्रगति, गलतियाँ और सहेजे गए प्रश्न रखे जाते हैं, ताकि आप परीक्षा से पहले दोहरा सकें।

इससे पहले और बाद के विषय

पहले सीखें

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