बीम विक्षेप: चरण-दर-चरण हल सहित अभ्यास प्रश्न

Q: बीम विक्षेप के प्रश्न चरण-दर-चरण कैसे हल करें?

बीम विक्षेप: विक्षेप वक्रता M/(EI) को दो बार समाकलित करके मिलते हैं। मानक स्थितियाँ सारणीबद्ध हैं, जैसे सिरे पर भार वाले कैंटिलीवर के लिए PL³/(3EI) और पूरे विस्तार पर समान भार वाले सरल आलंबित बीम के लिए 5wL⁴/(384EI)। अलग-अलग भारों के विक्षेप जुड़ते हैं (अध्यारोपण)।

Q: बीम विक्षेप के अभ्यास में क्या शामिल है?

आसान: कैंटिलीवर, सिरे पर भार मध्यम: समान भार कठिन: अध्यारोपण और डिज़ाइन हर प्रश्न में नए मान होते हैं, इसलिए आप उत्तर नहीं बल्कि विधि सीखते हैं। अटक गए? पहले एक छोटा संकेत खोलें, और पूरी व्याख्या तभी जब ज़रूरत हो।

आरेखों, संकेतों और पूर्ण हल के साथ मुफ़्त बीम विक्षेप अभ्यास प्रश्न। हर बार नए मान, तीन स्तरों पर: कैंटिलीवर, सिरे पर भार, समान भार, अध्यारोपण और डिज़ाइन।

मुफ़्त अभ्यास प्रश्नआसान

एक कैंटिलीवर अपने मुक्त सिरे पर बिंदु भार P वहन करता है। मुक्त सिरे पर विक्षेप δ ज्ञात कीजिए।

P = 3 kNL = 1.5 mE = 200 GPa (स्टील)I = 8.5 × 10⁶ mm⁴

अगला प्रश्न →

बीम विक्षेप का मुफ़्त अभ्यास करें अभी बीम विक्षेप का अभ्यास करेंहर दिन 5 मुफ़्त प्रश्न। कार्ड की ज़रूरत नहीं।

आप क्या अभ्यास करेंगे

आसानकैंटिलीवर, सिरे पर भार
मध्यमसमान भार
कठिनअध्यारोपण और डिज़ाइन

मुख्य सूत्र

मध्य-विस्तार पर बिंदु भार: δ = PL³/(48EI)
एकसमान भार, सरल आधारित: δ = 5wL⁴/(384EI)
कैंटिलीवर, सिरे पर भार: δ = PL³/(3EI)
कैंटिलीवर, एकसमान भार: δ = wL⁴/(8EI)
अध्यारोपण: δ = δ₁ + δ₂

बीम विक्षेप शुरू से सीखें

इससे पहले: अपरूपण बल और बंकन आघूर्ण, केंद्रक और जड़त्व आघूर्ण

1विक्षेप क्या है

हर बीम भार के अधीन थोड़ी मुड़ती है। बीम का कोई बिंदु जितना नीचे खिसकता है वह उसका विक्षेप δ है, आमतौर पर mm में।

बीम पर्याप्त मज़बूत होने पर भी बहुत ज़्यादा झुक सकती है। तब फ़र्श उछलते महसूस होते हैं, प्लास्टर में दरारें पड़ती हैं और दरवाज़े अटकते हैं। फ़र्शों के लिए एक सामान्य सीमा विस्तार/360 है: 3.6 m के फ़र्श का विक्षेप अधिकतम 10 mm हो सकता है।

बीम कितनी झुकती है यह चार बातों पर निर्भर करता है:

भार: दुगुना भार दुगुना विक्षेप देता है;
विस्तार: विक्षेप लंबाई के साथ बहुत तेज़ी से बढ़ता है (L³ या L⁴);
पदार्थ का यंग गुणांक E: कठोर पदार्थ कम झुकता है;
काट का क्षेत्रफल का द्वितीय आघूर्ण I: गहरा काट कम झुकता है।

E और I हमेशा गुणनफल EI के रूप में साथ आते हैं, जो बीम की बंकन दृढ़ता है।

स्व-जाँच आप एक बीम को ऐसी बीम से बदलते हैं जिसका क्षेत्रफल का द्वितीय आघूर्ण I दुगुना है। बाकी सब वही रहता है। विक्षेप का क्या होता है?

यह वही रहता है
वह आधा हो जाता है
वह चौथाई हो जाता है
वह दुगुना हो जाता है

उत्तर: वह आधा हो जाता है. विक्षेप EI के व्युत्क्रमानुपाती होता है। I को दुगुना करने पर δ आधा हो जाता है।

2मानक सूत्र

विक्षेप बंकन आघूर्ण को दो बार समाकलित करने से मिलते हैं, पर सामान्य स्थितियों के लिए परिणाम सारणी में दिए होते हैं। चार स्थितियाँ अधिकांश प्रश्नों को कवर करती हैं:

कैंटिलीवर, मुक्त सिरे पर बिंदु भार P: δ = P·L³ / (3·E·I)
कैंटिलीवर, पूरी लंबाई पर UDL w: δ = w·L⁴ / (8·E·I)
सरल आलंबित, मध्य-विस्तार पर बिंदु भार P: δ_max = P·L³ / (48·E·I)
सरल आलंबित, पूरे विस्तार पर UDL w: δ_max = 5·w·L⁴ / (384·E·I)

कैंटिलीवर के लिए सबसे बड़ा विक्षेप मुक्त सिरे पर होता है; सममित भारों वाली सरल आलंबित बीम के लिए मध्य-विस्तार पर।

जब बीम कई भार वहन करती है, तो हर भार से अकेले होने वाले विक्षेप जुड़ जाते हैं। यह अध्यारोपण है।

स्व-जाँच अंतिम भार वाले एक कैंटिलीवर का सिरे पर विक्षेप 2 mm है। कैंटिलीवर को दुगुना लंबा बना दिया जाता है। नया विक्षेप कितना है?

16 mm
32 mm
4 mm
8 mm

उत्तर: 16 mm. δ, L³ के समानुपाती है, इसलिए L को दुगुना करने पर δ, 2³ = 8 गुना हो जाता है: 2·8 = 16 mm। 4 mm इसे रैखिक मानता है; 32 mm में L⁴ लिया गया है, जो UDL की स्थिति है।

3इकाइयाँ: N और mm में काम करें

सूत्र केवल संगत इकाइयों के साथ काम करते हैं। सुरक्षित चुनाव न्यूटन और मिलीमीटर है:

P को N में: kN × 1000।
w को N/mm में: 1 kN/m ठीक 1 N/mm है।
L को mm में: m × 1000।
E को N/mm² में: GPa × 1000। इस्पात: 200 GPa = 200 000 N/mm²।
I को mm⁴ में: “36 × 10⁶ mm⁴” का अर्थ 36 000 000 mm⁴ है।

तब विक्षेप mm में आता है। क्योंकि L को तीसरी या चौथी घात तक बढ़ाया जाता है, संख्याएँ बड़ी हो जाती हैं। दस की घातों वाला कैलकुलेटर उन्हें नियंत्रण में रखता है।

स्व-जाँच एक बीम इस्पात की है, E = 200 GPa। N और mm के साथ आप E का कौन-सा मान लेंगे?

0.2 N/mm²
200 000 000 N/mm²
200 000 N/mm²
200 N/mm²

उत्तर: 200 000 N/mm². 1 GPa = 1000 MPa = 1000 N/mm², इसलिए 200 GPa = 200 000 N/mm²। 200 लेने पर विक्षेप 1000 गुना बड़ा आता है।

4विधि चरण-दर-चरण

स्थिति पहचानें: कैंटिलीवर या सरल आलंबित, बिंदु भार या UDL।
P, w, L, E और I को N और mm में बदलें।
मेल खाता सूत्र चुनें।
δ को mm में निकालें।
कई भारों के लिए: हर एक को अलग से निकालें और जोड़ें।
डिज़ाइन प्रश्न के लिए: δ को अनुमत मान (उदाहरण के लिए L/360) के बराबर रखें और I के लिए हल करें।

5एक हल किया गया उदाहरण

हर चरण का अनुसरण करें। अगला चरण खोलने से पहले उसका अनुमान लगाने का प्रयास करें।

हल किया गया उदाहरण

एक इस्पात कैंटिलीवर (E = 200 GPa, I = 36 × 10⁶ mm⁴) 3 m लंबा है और अपने मुक्त सिरे पर 8 kN का बिंदु भार वहन करता है। मुक्त सिरे पर विक्षेप ज्ञात कीजिए।

स्थिति पहचानें

मुक्त सिरे पर बिंदु भार वाला कैंटिलीवर: δ = PL³/(3EI)।

N और mm में बदलें

P = 8000 N, L = 3000 mm, E = 200 000 N/mm², I = 36 000 000 mm⁴।

बंकन दृढ़ता

E·I = 200 000 · 36 × 10⁶ = 7.2 × 10¹² N·mm²

सिरे का विक्षेप

L³ = 3000³ = 2.7 × 10¹⁰ mm³

δ = 8000 · 2.7 × 10¹⁰ / (3 · 7.2 × 10¹²) = 10 mm

उत्तर जाँचें

3 m के कैंटिलीवर पर 10 mm, L/300 है। भार वाली इस्पात बीम के लिए यह एक यथार्थवादी मान है: न एक मिलीमीटर का अंश, न दसियों सेंटीमीटर।

उत्तर

मुक्त सिरा δ = 10 mm विक्षेपित होता है।

6सामान्य गलतियाँ

इकाइयाँ मिला देना: L को मीटर में और E को N/mm² में लेने पर बेमतलब उत्तर आता है। पहले सब कुछ N और mm में बदलें।
E को GPa में छोड़ देना, जिससे δ 1000 गुना बड़ा आता है।
गलत स्थिति का उपयोग करना, उदाहरण के लिए कैंटिलीवर के लिए PL³/(48EI)। आलंब और भार का प्रकार जाँचें।
5wL⁴/(384EI) में 5 भूल जाना।
अध्यारोपण में हर भार के लिए अलग सूत्र लेना पर एक भार छोड़ देना।

स्व-जाँच एक सरल आलंबित बीम मध्य-विस्तार पर एक बिंदु भार वहन करती है जो अकेले 4 mm देता है, और एक UDL जो अकेले 6 mm देता है। मध्य-विस्तार पर विक्षेप कितना है?

10 mm
2 mm
24 mm
6 mm

उत्तर: 10 mm. अध्यारोपण से हर भार के विक्षेप जुड़ते हैं: 4 + 6 = 10 mm। केवल बड़ा लेना, अंतर लेना या गुणनफल लेना, सब गलत हैं।

7परीक्षा प्रश्न कैसे दिखते हैं

आसान: सिरे पर भार वाला कैंटिलीवर। δ = PL³/(3EI) ज्ञात करें। रूपांतर: केंद्र पर भार वाली सरल आलंबित बीम, सिरे का ढलान, या वह भार जो कोई निश्चित विक्षेप दे।
मध्यम: एकसमान भार। एक कैंटिलीवर (wL⁴/8EI) या एक सरल आलंबित बीम (5wL⁴/384EI)। रूपांतर: केंद्र से हटकर लगे भार और सिरों के ढलान।
कठिन: अध्यारोपण और डिज़ाइन। बिंदु भार और UDL के विक्षेप जोड़ें, या वह सबसे छोटा I ज्ञात करें जो δ को L/360 से नीचे रखे।

डिज़ाइन स्थिति के लिए: I_req = 5wL⁴ / (384·E·δ_allow), जहाँ δ_allow = L/360।

ऐप में इसे चरण-दर-चरण सीखें ऐप में इसे चरण-दर-चरण सीखें

हल किए गए उदाहरण

उदाहरण 1आसान

एक सरल आलंबित बीम मध्य-विस्तार पर बिंदु भार P वहन करता है। मध्य विक्षेप δ_max ज्ञात कीजिए।

P = 19 kNL = 4 mE = 200 GPa (स्टील)I = 12 × 10⁶ mm⁴

ज्ञात करें: δ_max (mm)

संकेत दिखाएँ

केंद्रीय बिंदु भार वाले सरल आलंबित बीम के लिए मध्य विक्षेप δ = PL³/(48EI) है।
N और mm में काम करें: P N में, w N/mm में (kN/m = N/mm), L mm में, E N/mm² में (GPa × 1000), I mm⁴ में।
EI = 2.4 × 10¹² N·mm².

उत्तर और चरण-दर-चरण हल दिखाएँ

बीम विक्षेप: विक्षेप वक्रता M/(EI) को दो बार समाकलित करके मिलते हैं। मानक स्थितियाँ सारणीबद्ध हैं, जैसे सिरे पर भार वाले कैंटिलीवर के लिए PL³/(3EI) और पूरे विस्तार पर समान भार वाले सरल आलंबित बीम के लिए 5wL⁴/(384EI)। अलग-अलग भारों के विक्षेप जुड़ते हैं (अध्यारोपण)।

एकरूप इकाइयाँ

N और mm में काम करें: P N में, w N/mm में (kN/m = N/mm), L mm में, E N/mm² में (GPa × 1000), I mm⁴ में।

P = 19000 N, L = 4000 mm

EI = 2.4 × 10¹² N·mm²

मध्य विक्षेप

δ_max = PL³/(48EI) = 19000·4000³/(48·2.4 × 10¹²) = 10.56 mm

उत्तर

δ_max = 10.56 mm

उदाहरण 2मध्यम

लंबाई L का एक कैंटिलीवर A पर स्थिर है और A से a = 2 m की दूरी पर बिंदु भार P वहन करता है। मुक्त सिरे B पर विक्षेप δ_B ज्ञात कीजिए।

P = 26 kNa = 2 mL = 6 mE = 200 GPa (स्टील)I = 84 × 10⁶ mm⁴

ज्ञात करें: δ_B (mm)

संकेत दिखाएँ

A और भार के बीच का भाग सिरे पर भार वाले लंबाई a के कैंटिलीवर की तरह व्यवहार करता है: δ = Pa³/(3EI), θ = Pa²/(2EI)।
भार के आगे कोई आघूर्ण नहीं है, इसलिए वह भाग सीधा रहता है: δ_B = Pa³/(3EI) + Pa²/(2EI)·(L − a) = Pa²(3L − a)/(6EI)।
a = 2000 mm, EI = 1.68 × 10¹³ N·mm².

उत्तर और चरण-दर-चरण हल दिखाएँ

एकरूप इकाइयाँ

N और mm में काम करें: P N में, w N/mm में (kN/m = N/mm), L mm में, E N/mm² में (GPa × 1000), I mm⁴ में।

P = 26000 N, a = 2000 mm, L = 6000 mm

EI = 1.68 × 10¹³ N·mm²

मुक्त सिरे पर विक्षेप

भार पर विक्षेप जमा भार पर प्रवणता गुणा शेष लंबाई।

δ_P = Pa³/(3EI) = 4.127 mm

θ_P = Pa²/(2EI) = 0.003095 rad

δ_B = δ_P + θ_P·(L − a) = Pa²(3L − a)/(6EI) = 16.51 mm

उत्तर

δ_B = 16.51 mm

उदाहरण 3कठिन

आयताकार खंड वाला एक सरल आलंबित लकड़ी का बीम, 100 mm चौड़ा, अपने पूरे विस्तार पर समान वितरित भार w वहन करता है। उसका मध्य विक्षेप विस्तार/360 से अधिक नहीं हो सकता। खंड की न्यूनतम गहराई h_req ज्ञात कीजिए।

w = 4 kN/mL = 3 mE = 11 GPa (इमारती लकड़ी)b = 100 mm

ज्ञात करें: h_req (mm)

संकेत दिखाएँ

मध्य विक्षेप 5wL⁴/(384EI) को सीमा के बराबर रखें और आवश्यक I के लिए हल करें।
फिर आयत के लिए I = bh³/12 का उपयोग करें और h के लिए हल करें।
I_req = 4.602 × 10⁷ mm⁴.

उत्तर और चरण-दर-चरण हल दिखाएँ

एकरूप इकाइयाँ

N और mm में काम करें: P N में, w N/mm में (kN/m = N/mm), L mm में, E N/mm² में (GPa × 1000), I mm⁴ में।

w = 4 N/mm, L = 3000 mm, E = 11000 N/mm²

विक्षेप सीमा

δ_allow = L/360 = 3000/360 = 8.333 mm

आवश्यक जड़त्व आघूर्ण

I_req = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·4·3000⁴/(384·11000·8.333) = 4.602 × 10⁷ mm⁴

आवश्यक गहराई

bh³/12 = I_req → h = (12·4.602 × 10⁷/100)^1/3 = 176.8 mm

उत्तर

h_req = 176.8 mm

व्यवहार में, इस मान से ऊपर की अगली मानक गहराई चुनें।

प्रश्न और उत्तर

बीम विक्षेप क्या है?

बीम विक्षेप के प्रश्न चरण-दर-चरण कैसे हल करें?

बीम विक्षेप में आम गलतियाँ क्या हैं?

PL³/(3EI) सिरे पर भार वाला कैंटिलीवर है। केंद्रीय भार वाला सरल आलंबित बीम PL³/(48EI) विक्षेपित होता है।
गुणांक 5/384 समान भार (wL⁴ के साथ) का है। केंद्रीय बिंदु भार के लिए 1/48 का उपयोग करें।
यह भार के नीचे का विक्षेप है। भार के आगे बीम सीधा पर झुका हुआ है, इसलिए θ·(L − a) जोड़ें।

बीम विक्षेप के अभ्यास में क्या शामिल है?

आसान: कैंटिलीवर, सिरे पर भार
मध्यम: समान भार
कठिन: अध्यारोपण और डिज़ाइन

हर प्रश्न में नए मान होते हैं, इसलिए आप उत्तर नहीं बल्कि विधि सीखते हैं। अटक गए? पहले एक छोटा संकेत खोलें, और पूरी व्याख्या तभी जब ज़रूरत हो।

अभ्यास कैसे काम करता है

हर प्रश्न में नए मान होते हैं, इसलिए आप उत्तर नहीं बल्कि विधि सीखते हैं।
अटक गए? पहले एक छोटा संकेत खोलें, और पूरी व्याख्या तभी जब ज़रूरत हो।
आपकी प्रगति, गलतियाँ और सहेजे गए प्रश्न रखे जाते हैं, ताकि आप परीक्षा से पहले दोहरा सकें।

इससे पहले और बाद के विषय

पहले सीखें

अपरूपण बल और बंकन आघूर्ण केंद्रक और जड़त्व आघूर्ण

कैलकुलेटर

बीम विक्षेप कैलकुलेटर

इस विषय वाले कोर्स

पदार्थ सामर्थ्य संरचना विश्लेषण FE Mechanical परीक्षा अभ्यास FE Civil परीक्षा अभ्यास

सिविल में और विषय

अपरूपण बल और बंकन आघूर्ण ट्रस: जोड़ विधि केंद्रक और जड़त्व आघूर्ण स्तंभ बकलिंग मृदा में प्रभावी प्रतिबल समेकन निषदन द्रवस्थैतिक बल खुली वाहिका प्रवाह (मैनिंग)

प्रिंट करने योग्य वर्कशीट

उत्तरों सहित बीम विक्षेप वर्कशीट