बगीचे के पाइप के सिरे पर अँगूठा रख दें तो पानी ज़्यादा तेज़ी से निकलता है। उतना ही पानी छोटे छिद्र से निकलना है, इसलिए उसे तेज़ चलना पड़ता है।
यही सांतत्य का विचार है: भरे हुए पाइप में पानी न जमा हो सकता है और न गायब। हर सेकंड जितना भीतर आता है, उतना ही बाहर निकलना चाहिए।
दूसरा विचार, बर्नूली समीकरण, चाल, दाब और ऊँचाई को जोड़ता है। जहाँ पानी तेज़ होता है, उसका दाब घटता है। जहाँ वह ऊपर चढ़ता है, वहाँ भी उसका दाब घटता है।
ये दोनों विचार मिलकर आपको पाइप के किसी भी स्थान पर चाल और दाब का अनुमान लगाने देते हैं। इस विषय में तरल असंपीड्य (पानी जैसा) है और घर्षण से होने वाली हानियों की अनदेखी की जाती है।
स्व-जाँच पानी एक ऐसे पाइप से बहता है जो संकरा होता जाता है। संकरे भाग में उसकी चाल का क्या होता है?
घटती है
पानी रुक जाता है
बढ़ती है
यह वही रहता है
उत्तर: बढ़ती है. प्रति सेकंड उतना ही आयतन छोटे क्षेत्रफल से गुज़रना है, इसलिए पानी को तेज़ चलना पड़ेगा।
2प्रवाह दर और सांतत्य
आयतन प्रवाह दरQ प्रति सेकंड गुज़रने वाले तरल का आयतन है, m³/s में। एक लीटर प्रति सेकंड (L/s) 0.001 m³/s होता है।
क्षेत्रफल A के अनुप्रस्थ काट से माध्य चाल v से गतिमान तरल के लिए:
Q = A · v A = π · d² / 4
द्रव्यमान प्रवाह दरṁ = ρ · Q है, kg/s में, जहाँ ρ घनत्व है (पानी के लिए 1000 kg/m³)।
सांतत्य कहता है कि पाइप के हर खंड पर Q समान होता है:
A1 · v1 = A2 · v2
गोल पाइपों के लिए π/4 कट जाता है, इसलिए v2 = v1 · (d1 / d2)²। व्यास आधा करने पर पानी चार गुना तेज़ हो जाता है।
स्व-जाँच एक पाइप 80 mm से 40 mm तक संकरा होता है। चौड़े भाग में पानी 1 m/s से चलता है। संकरे भाग में वह कितनी तेज़ चलता है?
0.25 m/s
2 m/s
4 m/s
8 m/s
उत्तर: 4 m/s. v2 = 1 · (80/40)² = 4 m/s। क्षेत्रफल व्यास के वर्ग पर निर्भर करता है। व्यास के अनुपात का वर्ग किए बिना उपयोग करने पर 2 m/s मिलता है।
3बर्नूली समीकरण
बिना हानि वाली धारा रेखा के अनुदिश तरल के प्रति घन मीटर की ऊर्जा समान रहती है। इसके तीन भाग होते हैं: दाब, गति और ऊँचाई।
p1 + ½ρv1² + ρgz1 = p2 + ½ρv2² + ρgz2
p: दाब, Pa में।
½ρv²: प्रति m³ गतिज ऊर्जा, यह भी Pa में।
ρgz: प्रति m³ ऊँचाई की ऊर्जा, जहाँ z आपके चुने किसी भी संदर्भ स्तर से ऊँचाई है।
इसलिए यदि एक भाग बढ़ता है, तो दूसरा घटना चाहिए। तेज़ पानी का दाब कम होता है। ऊँचे पानी का दाब कम होता है।
एक उपयोगी विशेष स्थिति ऐसी टंकी है जो खुली सतह से गहराई h पर बने छोटे छिद्र से खाली होती है। सतह लगभग नहीं हिलती और दोनों बिंदु वायुमंडलीय दाब पर हैं, जिससे टोरिसेली का नियम मिलता है:
v = √(2gh)
स्व-जाँच पानी की एक खुली टंकी जल सतह से 5 m नीचे बने छोटे छिद्र से खाली होती है। हानियों की अनदेखी करते हुए, धार छिद्र से कितनी तेज़ निकलती है? (g = 9.81 m/s²)
49.1 m/s
7.00 m/s
9.90 m/s
98.1 m/s
उत्तर: 9.90 m/s. v = √(2 · 9.81 · 5) = √98.1 = 9.90 m/s। 2 भूल जाने पर 7.00 m/s आता है, और वर्गमूल भूल जाने पर 98.1।
4विधि चरण-दर-चरण
पाइप का रेखाचित्र बनाएँ और दो खंडों को क्रमांक दें: खंड 1 जहाँ सबसे ज़्यादा ज्ञात है, खंड 2 जहाँ अज्ञात है।
इकाइयाँ बदलें: mm से m, kPa से Pa, L/s से m³/s।
क्षेत्रफल A = π·d²/4 निकालें और सांतत्य से छूटा हुआ वेग ज्ञात करें।
खंड 1 और 2 के बीच बर्नूली लिखें। क्षैतिज पाइप के लिए z1 = z2 होता है, इसलिए ऊँचाई वाले पद कट जाते हैं।
अज्ञात के लिए हल करें, फिर ज़रूरत हो तो वापस kPa में बदलें।
इकाइयाँ एक-सी रखें। ρ को kg/m³ में और v को m/s में लेने पर पद ½ρv² Pa में आता है, kPa में नहीं।
5एक हल किया गया उदाहरण
हर चरण का अनुसरण करें। अगला चरण खोलने से पहले उसका अनुमान लगाने का प्रयास करें।
हल किया गया उदाहरण
पानी (ρ = 1000 kg/m³) एक क्षैतिज पाइप से बहता है जो 100 mm से 50 mm तक संकरा होता है। चौड़े खंड में दाब 200 kPa और वेग 1.5 m/s है। हानियों की अनदेखी करते हुए, संकरे खंड में दाब ज्ञात कीजिए।
1
पाइप बनाएँ
खंड 1 चौड़ा भाग है, जहाँ सब कुछ ज्ञात है। खंड 2 संकरा भाग है।
2
संकरे भाग में वेग
व्यास आधा हो जाता है, इसलिए चाल (100/50)² = 4 गुना बढ़ जाती है:
v2 = 1.5 · (100 / 50)² = 6 m/s
3
बर्नूली लिखें
पाइप क्षैतिज है, इसलिए ऊँचाई वाले पद कट जाते हैं:
p2 = p1 + ½ρ(v1² − v2²)
4
पास्कल में मान रखें
½ · 1000 · (1.5² − 6²) = 500 · (2.25 − 36) = −16 875 Pa
p2 = 200 000 − 16 875 = 183 125 Pa ≈ 183.1 kPa
5
उत्तर जाँचें
संकरे भाग में पानी तेज़ है, इसलिए उसका दाब कम होना चाहिए। 183.1 kPa, 200 kPa से कम है, जैसी अपेक्षा थी।
दोनों खंडों में प्रवाह दर Q = 0.007854 · 1.5 = 11.8 L/s है।
उत्तर
संकरे खंड में p2 ≈ 183.1 kPa (v2 = 6 m/s)।
6सामान्य गलतियाँ
क्षेत्रफल के अनुपात की जगह व्यास का अनुपात लेना: चाल व्यास के वर्ग के अनुसार बदलती है।
A = π·d²/4 में त्रिज्या को व्यास की तरह लेना, या /4 भूल जाना।
kPa और Pa को मिला देना। बर्नूली में Pa में काम करें, फिर अंत में बदलें।
m³/s को L/s कहकर बताना। L/s पाने के लिए m³/s को 1000 से गुणा करें।
पाइप के ऊपर या नीचे जाने पर ऊँचाई वाला पद ρ·g·Δz भूल जाना।
स्व-जाँच पानी 100 mm भीतरी व्यास वाले पाइप से 2 m/s पर बहता है। आयतन प्रवाह दर कितनी है?
0.0157 L/s
15.7 L/s
20 L/s
62.8 L/s
उत्तर: 15.7 L/s. A = π · 0.1²/4 = 0.007854 m², इसलिए Q = 0.007854 · 2 = 0.0157 m³/s = 15.7 L/s। /4 भूल जाने पर 62.8 आता है, और π/4 भूल जाने पर 20।
7परीक्षा प्रश्न कैसे दिखते हैं
आसान: सांतत्य। प्रवाह दर, द्रव्यमान प्रवाह दर, संकरे खंड में वेग, या किसी दिए गए प्रवाह के लिए आवश्यक पाइप का व्यास ज्ञात करें। कुछ प्रश्न खाली होती टंकी के लिए टोरिसेली के नियम का उपयोग करते हैं।
मध्यम: एक क्षैतिज रिड्यूसर। एक खंड का दाब दूसरे से ज्ञात करें। रूपांतरों में वेंचुरी मीटर, पिटोट ट्यूब (v = √(2Δp/ρ)) या निस्सरण गुणांक वाला छिद्र आता है।
कठिन: ऊपर चढ़ता पाइप। ऊँचाई वाला पद मायने रखता है: पानी के लिए हर एक मीटर की चढ़ाई दाब को ρ·g·1 = 9.81 kPa घटाती है। रूपांतरों में साइफ़न, दाबयुक्त टंकी और फ़व्वारा शामिल हैं।
ऊपर के उदाहरण में, खंडों के बीच 5 m की चढ़ाई p2 को 1000 · 9.81 · 5 = 49 050 Pa और घटाकर 134.1 kPa कर देगी।
पानी एक पाइप में बहता है जिसका व्यास 100 mm से 50 mm तक घटता है। चौड़े भाग में वेग 2.75 m/s है। संकरे भाग में वेग v2 ज्ञात कीजिए।
d1 = 100 mmd2 = 50 mmv1 = 2.75 m/s
ज्ञात करें: v2(m/s)
संकेत दिखाएँ
हर सेकंड हर खंड से समान आयतन पानी गुज़रता है: Q = A·v।
A₁v₁ = A₂v₂, और क्षेत्रफल d² के अनुपात में है, इसलिए v₂ = v₁·(d₁/d₂)²।
A1 = 0.007854 m².
उत्तर और चरण-दर-चरण हल दिखाएँ
सांतत्य और बर्नूली: असंपीड्य तरल के लिए हर खंड पर प्रवाह दर समान है, Q = A₁v₁ = A₂v₂। बिना हानि के धारारेखा के साथ p + ½ρv² + ρgz स्थिर रहता है, इसलिए जहाँ तरल तेज़ या ऊँचा हो वहाँ उसका दाब कम होता है।
सांतत्य
दोनों खंडों में प्रवाह दर समान है।
A1v1 = A2v2
v2 = v1·(d1/d2)² = 2.75·(100/50)² = 11 m/s
उत्तर
v2 = 11 m/s
उदाहरण 2मध्यम
पानी एक क्षैतिज पाइप में बहता है जो 150 mm से 50 mm तक संकरा होता है। चौड़े भाग में दाब 250 kPa और वेग 0.5 m/s है। हानियाँ नगण्य मानकर संकरे भाग में दाब p2 ज्ञात कीजिए।
क्षैतिज पाइप के लिए बर्नूली: p₁ + ½ρv₁² = p₂ + ½ρv₂²।
v2 = 4.5 m/s.
उत्तर और चरण-दर-चरण हल दिखाएँ
सांतत्य और बर्नूली: असंपीड्य तरल के लिए हर खंड पर प्रवाह दर समान है, Q = A₁v₁ = A₂v₂। बिना हानि के धारारेखा के साथ p + ½ρv² + ρgz स्थिर रहता है, इसलिए जहाँ तरल तेज़ या ऊँचा हो वहाँ उसका दाब कम होता है।
सांतत्य और बर्नूली
Pa में काम करें, फिर kPa पाने के लिए 1000 से भाग दें।
एक बंद पानी की टंकी में पानी के ऊपर 190 kPa गेज दाब पर संपीडित वायु है। पानी सतह से 4 m नीचे 25 mm व्यास वाले छिद्र से खुली हवा में निकलता है। हानियों को नगण्य मानते हुए ज्ञात कीजिए: प्रवाह दर Q। g = 9.81 m/s² लें।
पानी की सतह (गेज दाब p, विराम में) से जेट (वायुमंडलीय) तक बर्नूली।
p/ρ + gh = ½v², इसलिए v = √(2(p/ρ + gh)), p को Pa में लेकर।
p/ρ + gh = 229.2 m²/s².
उत्तर और चरण-दर-चरण हल दिखाएँ
Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.
बगीचे के पाइप के सिरे पर अँगूठा रख दें तो पानी ज़्यादा तेज़ी से निकलता है। उतना ही पानी छोटे छिद्र से निकलना है, इसलिए उसे तेज़ चलना पड़ता है।
यही सांतत्य का विचार है: भरे हुए पाइप में पानी न जमा हो सकता है और न गायब। हर सेकंड जितना भीतर आता है, उतना ही बाहर निकलना चाहिए।
सांतत्य और बर्नूली के प्रश्न चरण-दर-चरण कैसे हल करें?
सांतत्य और बर्नूली: असंपीड्य तरल के लिए हर खंड पर प्रवाह दर समान है, Q = A₁v₁ = A₂v₂। बिना हानि के धारारेखा के साथ p + ½ρv² + ρgz स्थिर रहता है, इसलिए जहाँ तरल तेज़ या ऊँचा हो वहाँ उसका दाब कम होता है।
सांतत्य और बर्नूली में आम गलतियाँ क्या हैं?
वायु दाब भी पानी को बाहर धकेलता है: बर्नूली समीकरण में p/ρ शामिल करें।
पानी की ऊँचाई भी वेग में जुड़ती है: v = √(2(p/ρ + gh))।
सांतत्य और बर्नूली के अभ्यास में क्या शामिल है?
आसान: सांतत्य
मध्यम: क्षैतिज संकुचन
कठिन: ऊपर उठता पाइप
हर प्रश्न में नए मान होते हैं, इसलिए आप उत्तर नहीं बल्कि विधि सीखते हैं। अटक गए? पहले एक छोटा संकेत खोलें, और पूरी व्याख्या तभी जब ज़रूरत हो।
अभ्यास कैसे काम करता है
हर प्रश्न में नए मान होते हैं, इसलिए आप उत्तर नहीं बल्कि विधि सीखते हैं।
अटक गए? पहले एक छोटा संकेत खोलें, और पूरी व्याख्या तभी जब ज़रूरत हो।
आपकी प्रगति, गलतियाँ और सहेजे गए प्रश्न रखे जाते हैं, ताकि आप परीक्षा से पहले दोहरा सकें।