अक्षीय प्रतिबल और विकृति: चरण-दर-चरण हल सहित अभ्यास प्रश्न

Q: अक्षीय प्रतिबल और विकृति के प्रश्न चरण-दर-चरण कैसे हल करें?

दो पदार्थ: श्रेणी में (एक के बाद एक) हर खंड समान बल वहन करता है और विस्तार जुड़ते हैं: δ = P·Σ L/(E·A)। समानांतर में (दृढ़ प्लेटों के बीच अगल-बगल) दोनों भाग समान मात्रा से छोटे होते हैं, इसलिए उनके विकृति समान हैं: अधिक कठोर भाग बड़ा हिस्सा लेता है, Pi = P·EiAi/ΣEA, और σi = Ei·ε। दो दृढ़ दीवारों के बीच जकड़ी छड़, जिसके जोड़ पर भार लगा है, स्थैतिक रूप से अनिर्धार्य है: दोनों खंड भार को अपनी कठोरता k = EA/L के अनुपात में बाँटते हैं।

Q: अक्षीय प्रतिबल और विकृति के अभ्यास में क्या शामिल है?

आसान: अभिलंब प्रतिबल मध्यम: विकृति और दीर्घीकरण कठिन: सोपानी छड़ हर प्रश्न में नए मान होते हैं, इसलिए आप उत्तर नहीं बल्कि विधि सीखते हैं। अटक गए? पहले एक छोटा संकेत खोलें, और पूरी व्याख्या तभी जब ज़रूरत हो।

आरेखों, संकेतों और पूर्ण हल के साथ मुफ़्त अक्षीय प्रतिबल और विकृति अभ्यास प्रश्न। हर बार नए मान, तीन स्तरों पर: अभिलंब प्रतिबल, विकृति और दीर्घीकरण, सोपानी छड़।

मुफ़्त अभ्यास प्रश्नआसान

एक स्टील छड़ (व्यास 30 mm, E = 200 GPa) पीतल की बनी नलिका (बाहरी व्यास 100 mm, भीतरी व्यास 50 mm, E = 100 GPa) के भीतर है। दोनों 800 mm लंबे हैं और दृढ़ प्लेटों के बीच 80 kN से साथ-साथ संपीडित किए जाते हैं। छड़ में संपीडन प्रतिबल σ_r ज्ञात कीजिए।

P = 80 kNछड़: Ø30 mm, E = 200 GPaनलिका: Ø100/Ø50 mm, E = 100 GPaL = 800 mm

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अक्षीय प्रतिबल और विकृति का मुफ़्त अभ्यास करें अभी अक्षीय प्रतिबल और विकृति का अभ्यास करेंहर दिन 5 मुफ़्त प्रश्न। कार्ड की ज़रूरत नहीं।

आप क्या अभ्यास करेंगे

आसानअभिलंब प्रतिबल
मध्यमविकृति और दीर्घीकरण
कठिनसोपानी छड़

मुख्य सूत्र

अभिलंब प्रतिबल: σ = F/A
विकृति: ε = ΔL/L
हुक का नियम: σ = E·ε
दीर्घीकरण: ΔL = FL/(EA)
तापीय विकृति: ε_T = α·ΔT

अक्षीय प्रतिबल और विकृति शुरू से सीखें

1प्रतिबल क्या है

इस्पात की छड़ को खींचें तो वह प्रतिरोध करती है। वह टूटेगी या नहीं, यह केवल बल पर नहीं, बल्कि इस पर निर्भर करता है कि उस बल को कितना पदार्थ बाँटता है।

एक पतला तार और एक मोटा केबल समान भार वहन कर सकते हैं। पतले तार के विफल होने की संभावना कहीं अधिक है, क्योंकि उसका हर वर्ग मिलीमीटर अधिक भार वहन करता है।

अभिलंब प्रतिबल σ (सिग्मा) अनुप्रस्थ काट के प्रति इकाई क्षेत्रफल पर बल है। बल P छड़ की अक्ष के अनुदिश कार्य करता है, इसलिए इसे अक्षीय भार कहते हैं।

σ = P / A

इंजीनियर न्यूटन और मिलीमीटर में काम करते हैं। एक न्यूटन प्रति वर्ग मिलीमीटर एक मेगापास्कल है:

1 N/mm² = 1 MPa

इसलिए पहले kN को N में बदलें (× 1000)। व्यास d वाली गोल छड़ के लिए क्षेत्रफल एक वृत्त है:

A = π · d² / 4

स्व-जाँच 100 mm² अनुप्रस्थ काट वाली एक छड़ 10 kN वहन करती है। प्रतिबल क्या है?

0.1 MPa
10 MPa
100 MPa
1000 MPa

उत्तर: 100 MPa. σ = 10 000 N / 100 mm² = 100 N/mm² = 100 MPa। 0.1 MPa, kN को N में बदलना भूलने से आता है।

2विकृति और हुक का नियम

भार के अंतर्गत छड़ थोड़ी लंबी भी होती है। लंबाई में यह परिवर्तन दीर्घीकरण δ (डेल्टा) है।

विकृति ε (एप्सिलॉन) दीर्घीकरण भाग मूल लंबाई है। इसकी कोई इकाई नहीं होती, क्योंकि यह mm प्रति mm है:

ε = δ / L

धातुओं में विकृतियाँ बहुत छोटी होती हैं, इसलिए उन्हें अक्सर माइक्रोविकृति में दिया जाता है: 1 µε = 10⁻⁶। 0.0008 की विकृति 800 µε है।

अधिकांश पदार्थों के लिए, जब तक भार बहुत बड़ा न हो, प्रतिबल और विकृति समानुपाती होते हैं। यह हुक का नियम है:

σ = E · ε

E यंग प्रत्यास्थता गुणांक है, पदार्थ की दृढ़ता। इस्पात का E ≈ 200 GPa, ऐलुमिनियम का लगभग 70 GPa है। चूँकि 1 GPa = 1000 MPa, इस्पात का E = 200 000 MPa है।

तीनों सूत्रों को मिलाने से सीधे दीर्घीकरण मिलता है:

δ = P · L / (A · E)

स्व-जाँच एक इस्पात छड़ (E = 200 GPa) में 200 MPa का प्रतिबल है। विकृति क्या है?

0.001
0.1
1000
1

उत्तर: 0.001. E को MPa में बदलें: 200 GPa = 200 000 MPa। फिर ε = 200/200 000 = 0.001 = 1000 µε। बिना बदले 200 को 200 से भाग देने पर 1 मिलता है, जो बहुत बड़ा है।

3विधि चरण-दर-चरण

सभी मान N और mm में लिखें: P को N में (kN × 1000), लंबाइयाँ mm में (m × 1000), E को MPa में (GPa × 1000)।
क्षेत्रफल ज्ञात करें: गोल छड़ के लिए A = π·d²/4।
प्रतिबल ज्ञात करें: σ = P/A, MPa में।
विकृति ज्ञात करें: ε = σ/E। यदि उत्तर µε में चाहिए तो 10⁶ से गुणा करें।
दीर्घीकरण ज्ञात करें: δ = ε·L, mm में।

उस चरण पर रुकें जो प्रश्न पूछता है। अधिकांश प्रश्न केवल पहले दो या तीन चरणों का उपयोग करते हैं।

4एक हल किया गया उदाहरण

हर चरण का अनुसरण करें। अगला चरण खोलने से पहले उसका अनुमान लगाने का प्रयास करें।

हल किया गया उदाहरण

एक इस्पात छड़ (E = 200 GPa) का व्यास 20 mm और लंबाई 2 m है। यह 50 kN का अक्षीय तनन भार वहन करती है। प्रतिबल, विकृति और दीर्घीकरण ज्ञात कीजिए।

छड़ को देखें और इकाइयाँ बदलें

P = 50 kN = 50 000 N, L = 2 m = 2000 mm और E = 200 GPa = 200 000 MPa।

क्षेत्रफल

A = π · 20² / 4 = 314.2 mm²

प्रतिबल

σ = P / A = 50 000 / 314.2 = 159.2 MPa

यह साधारण इस्पात की सामर्थ्य (लगभग 250 MPa) से काफ़ी नीचे है, इसलिए हुक का नियम लागू होता है।

विकृति

ε = σ / E = 159.2 / 200 000 = 0.000796 = 796 µε

दीर्घीकरण

δ = ε · L = 0.000796 · 2000 = 1.59 mm

उत्तर जाँचें

दूसरे मार्ग के रूप में संयुक्त सूत्र का उपयोग करें:

δ = P·L / (A·E) = 50 000 · 2000 / (314.2 · 200 000) = 1.59 mm

2 m की इस्पात छड़ का लगभग 1.6 mm खिंचना यथार्थवादी है: इस्पात की विकृतियाँ 0.2 % से काफ़ी नीचे रहती हैं।

उत्तर

σ = 159.2 MPa, ε = 796 µε और δ = 1.59 mm।

5एक से अधिक खंड वाली छड़ें

सोपानी छड़ अलग-अलग व्यासों, और कभी-कभी अलग-अलग पदार्थों, वाले खंडों से बनी होती है।

छड़ को कहीं भी काटें और कट के दाईं ओर के भाग को देखें। उस पर केवल P खींचता है, इसलिए हर खंड समान बल P वहन करता है।

क्षेत्रफल अलग हैं, इसलिए प्रतिबल अलग हैं। सबसे पतले खंड में सबसे बड़ा प्रतिबल होता है।

हर खंड अपने A, L और E के साथ अलग से खिंचता है। कुल दीर्घीकरण योग है:

δ = P·L₁ / (A₁·E₁) + P·L₂ / (A₂·E₂)

स्व-जाँच एक सोपानी छड़ 20 kN वहन करती है। खंड 1 का A = 400 mm², खंड 2 का A = 100 mm² है। छड़ में सबसे बड़ा प्रतिबल क्या है?

200 MPa
250 MPa
40 MPa
50 MPa

उत्तर: 200 MPa. दोनों खंड 20 kN वहन करते हैं। पतले खंड में 20 000/100 = 200 MPa है। 50 MPa मोटा खंड है, 40 MPa गलती से क्षेत्रफलों को जोड़ता है, और 250 MPa गलती से दोनों प्रतिबलों को जोड़ता है।

6सामान्य गलतियाँ

kN को N में बदलना भूल जाना, जिससे प्रतिबल 1000 गुना छोटा हो जाता है।
MPa वाले प्रतिबल के साथ GPa में E का उपयोग करना। E को MPa (GPa × 1000) में लिखें।
वृत्त के क्षेत्रफल के लिए π·d²/4 के बजाय π·d² या π·d का उपयोग करना।
L को मीटर में छोड़ देना जबकि δ मिलीमीटर में आना चाहिए।
सोपानी छड़ के खंडों के बीच P को बाँट देना। हर खंड पूरा P वहन करता है।

स्व-जाँच A = 30 mm² वाली एक छड़ P = 6 kN वहन करती है। प्रतिबल क्या है?

0.2 MPa
180 MPa
200 MPa
5 MPa

उत्तर: 200 MPa. σ = 6000 N / 30 mm² = 200 MPa। 0.2 MPa में 6000 N के बजाय 6 लिया गया है; 5 MPa क्षेत्रफल को बल से भाग देता है; 180 उन्हें गुणा करता है।

7परीक्षा प्रश्न कैसे दिखते हैं

आसान: अभिलंब प्रतिबल। व्यास d की एक गोल छड़ P वहन करती है; σ = P/A ज्ञात करें।
मध्यम: विकृति और दीर्घीकरण। आपको L और पदार्थ का E भी मिलता है; ε (µε में) या δ (mm में) ज्ञात करें।
कठिन: दो खंडों वाली सोपानी छड़, संभवतः अलग पदार्थों की। कुल दीर्घीकरण या सबसे बड़ा प्रतिबल ज्ञात करें।

हर संख्या के साथ इकाइयाँ लिखें। इस विषय में लगभग सभी गलत उत्तर 1000 के गुणक से भिन्न होते हैं।

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हल किए गए उदाहरण

उदाहरण 1आसान

एक स्टील छड़ (व्यास 30 mm, E = 200 GPa) ताँबा की बनी नलिका (बाहरी व्यास 100 mm, भीतरी व्यास 50 mm, E = 120 GPa) के भीतर है। दोनों 500 mm लंबे हैं और दृढ़ प्लेटों के बीच 300 kN से साथ-साथ संपीडित किए जाते हैं। छड़ में संपीडन प्रतिबल σ_r ज्ञात कीजिए।

P = 300 kNछड़: Ø30 mm, E = 200 GPaनलिका: Ø100/Ø50 mm, E = 120 GPaL = 500 mm

ज्ञात करें: σ_r (MPa)

संकेत दिखाएँ

दृढ़ प्लेटें: छड़ और नलिका समान मात्रा से छोटी होती हैं, इसलिए दोनों में ε समान है।
ε = P/ΣEA.
σ = E·ε.

उत्तर और चरण-दर-चरण हल दिखाएँ

दो पदार्थ: श्रेणी में (एक के बाद एक) हर खंड समान बल वहन करता है और विस्तार जुड़ते हैं: δ = P·Σ L/(E·A)। समानांतर में (दृढ़ प्लेटों के बीच अगल-बगल) दोनों भाग समान मात्रा से छोटे होते हैं, इसलिए उनके विकृति समान हैं: अधिक कठोर भाग बड़ा हिस्सा लेता है, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, और σ_i = E_i·ε। दो दृढ़ दीवारों के बीच जकड़ी छड़, जिसके जोड़ पर भार लगा है, स्थैतिक रूप से अनिर्धार्य है: दोनों खंड भार को अपनी कठोरता k = EA/L के अनुपात में बाँटते हैं।

क्षेत्रफल

A_r = π·30²/4 = 706.9 mm²

A_t = π(100² − 50²)/4 = 5890 mm²

संयुक्त अक्षीय कठोरता

ΣEA = 200·10³·706.9 + 120·10³·5890 = 8.482 × 10⁸ N

उभयनिष्ठ विकृति

ε = 300000/8.482 × 10⁸ = 0.0003537

छड़ में प्रतिबल

σ_r = 200·10³·0.0003537 = 70.74 MPa

उत्तर

σ_r = 70.74 MPa

उदाहरण 2मध्यम

पीतल छड़ में अक्षीय विकृति ε माइक्रोस्ट्रेन (µε = 10⁻⁶) में ज्ञात कीजिए।

P = 10 kNd = 20 mmL = 2.5 mE = 100 GPa

ज्ञात करें: ε (µε)

संकेत दिखाएँ

तीन संबंध जोड़ें: σ = P/A, ε = σ/E, δ = ε·L।
E को MPa (GPa × 1000) में बदलें ताकि यह MPa में प्रतिबल से मेल खाए, और L को mm में।
σ = 31.83 MPa.

उत्तर और चरण-दर-चरण हल दिखाएँ

हुक का नियम: प्रत्यास्थ सीमा में σ = E·ε। σ = P/A और ε = δ/L के साथ मिलाने पर δ = PL/(AE) मिलता है।

प्रतिबल

A = π·20²/4 = 314.2 mm²

σ = P/A = 10·1000/314.2 = 31.83 MPa

विकृति (हुक का नियम)

E for पीतल = 100 GPa = 100000 MPa.

ε = σ/E = 31.83/100000 = 0.0003183 = 318.3 µε

उत्तर

ε = 318.3 µε

उदाहरण 3कठिन

एक स्टील खंड (व्यास 30 mm, लंबाई 300 mm, E = 200 GPa) और एल्युमिनियम का बना खंड (व्यास 30 mm, लंबाई 500 mm, E = 70 GPa) सिरे से सिरा जोड़कर दो दृढ़ दीवारों के बीच जकड़े हैं। जोड़ पर खंड 2 की ओर 40 kN का अक्षीय भार लगता है। खंड 2 में प्रतिबल σ₂ का परिमाण ज्ञात कीजिए।

खंड 1: स्टील, Ø30 mm, 300 mm, E = 200 GPaखंड 2: एल्युमिनियम, Ø30 mm, 500 mm, E = 70 GPaP = 40 kN

ज्ञात करें: σ₂ (MPa)

संकेत दिखाएँ

जोड़ दोनों खंडों के लिए समान मात्रा से खिसकता है: एक खिंचता है, दूसरा सिकुड़ता है।
k = E·A/L; P = k₁δ + k₂δ.
k₁ = 471239 N/mm, k₂ = 98960 N/mm.

उत्तर और चरण-दर-चरण हल दिखाएँ

कठोरताएँ

k₁ = 200000·706.9/300 = 471239 N/mm

k₂ = 70000·706.9/500 = 98960 N/mm

खंड 2 का हिस्सा

F₂ = 40000·98960/570199 = 6942 N

प्रतिबल

σ₂ = 6942/706.9 = 9.821 MPa (संपीडन)

उत्तर

σ₂ = 9.821 MPa

प्रश्न और उत्तर

अक्षीय प्रतिबल और विकृति क्या है?

अक्षीय प्रतिबल और विकृति के प्रश्न चरण-दर-चरण कैसे हल करें?

अक्षीय प्रतिबल और विकृति में आम गलतियाँ क्या हैं?

दोनों पदार्थ प्रतिबल समान नहीं बाँटते: वे विकृति बाँटते हैं। अधिक कठोर पर अधिक प्रतिबल पड़ता है।
नलिका भी भार का कुछ भाग वहन करती है।
यह नलिका में प्रतिबल है।

अक्षीय प्रतिबल और विकृति के अभ्यास में क्या शामिल है?

आसान: अभिलंब प्रतिबल
मध्यम: विकृति और दीर्घीकरण
कठिन: सोपानी छड़

हर प्रश्न में नए मान होते हैं, इसलिए आप उत्तर नहीं बल्कि विधि सीखते हैं। अटक गए? पहले एक छोटा संकेत खोलें, और पूरी व्याख्या तभी जब ज़रूरत हो।

अभ्यास कैसे काम करता है

हर प्रश्न में नए मान होते हैं, इसलिए आप उत्तर नहीं बल्कि विधि सीखते हैं।
अटक गए? पहले एक छोटा संकेत खोलें, और पूरी व्याख्या तभी जब ज़रूरत हो।
आपकी प्रगति, गलतियाँ और सहेजे गए प्रश्न रखे जाते हैं, ताकि आप परीक्षा से पहले दोहरा सकें।

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मोर वृत्त और प्रतिबल रूपांतरण शाफ़्ट का मरोड़

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