चुंबकीय क्षेत्र और प्रेरण: चरण-दर-चरण हल सहित अभ्यास प्रश्न
आरेखों, संकेतों और पूर्ण हल के साथ मुफ़्त चुंबकीय क्षेत्र और प्रेरण अभ्यास प्रश्न। हर बार नए मान, तीन स्तरों पर: धाराओं के क्षेत्र और चुंबकीय बल, आवेशित कण, फैराडे और लेंज़, जनित्र, प्रेरकत्व और कण पुंज।
मुफ़्त अभ्यास प्रश्नआसान
100 फेरों और 2 cm त्रिज्या की एक समतल वृत्ताकार कुंडली में 0.5 A धारा बह रही है। इसके केंद्र पर चुंबकीय फ्लक्स घनत्व B ज्ञात करें।
हर विद्युत धारा के चारों ओर चुंबकीय क्षेत्र B होता है, जिसे टेस्ला (T) में मापा जाता है। पृथ्वी का क्षेत्र लगभग 50 µT है; फ्रिज के चुंबक का कुछ mT।
लंबे सीधे तार के चारों ओर क्षेत्र रेखाएँ वृत्ताकार होती हैं। दाहिने हाथ का अँगूठा धारा की दिशा में रखें: उँगलियाँ B की दिशा में मुड़ती हैं (दाहिने हाथ की पकड़ का नियम)। चित्रों में ⊗ का अर्थ पृष्ठ के भीतर जाता क्षेत्र है और ⊙ का अर्थ पृष्ठ से बाहर आता क्षेत्र।
तार: B = μ₀I/(2πr) लूप का केंद्र: B = μ₀NI/(2R) परिनालिका: B = μ₀(N/L)·I
μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A। हमेशा मीटर का उपयोग करें: 5 cm यानी 0.05 m। लंबी परिनालिका के भीतर क्षेत्र एकसमान होता है और त्रिज्या पर निर्भर नहीं करता।
स्व-जाँच लंबे सीधे तार से दूरी दोगुनी हो जाती है। B का क्या होता है?
यह एक-चौथाई रह जाता है
यह वही रहता है
वह आधा हो जाता है
वह दुगुना हो जाता है
उत्तर: वह आधा हो जाता है. B = μ₀I/(2πr), 1/r के साथ घटता है, इसलिए दूरी दोगुनी होने पर क्षेत्र आधा रह जाता है। 1/r² नियम बिंदु आवेशों का है, तारों का नहीं।
2चुंबकीय बल
क्षेत्र गतिमान आवेशों पर बल लगाता है। धारा I ले जाने वाले लंबाई L के सीधे तार पर, और v वेग से चलते एकल आवेश q पर:
F = BIL·sin θ F = |q|vB·sin θ
θ धारा (या वेग) और क्षेत्र के बीच का कोण है: B के समांतर तार पर कोई बल नहीं लगता। बल दोनों के लंबवत होता है। दाहिने हाथ की उँगलियाँ v की दिशा में रखें, उन्हें B की ओर मोड़ें: अँगूठा धनात्मक आवेश के लिए F देता है। इलेक्ट्रॉन के लिए इसे उलट दें।
चूँकि बल हमेशा वेग के लंबवत होता है, एकसमान क्षेत्र के आर-पार चलता आवेश वृत्त में घूमता है। |q|vB = mv²/r रखने पर r = mv/(|q|B) मिलता है। एक चक्कर का समय T = 2πm/(|q|B) चाल पर निर्भर नहीं करता।
दो समांतर तार तब आकर्षित करते हैं जब उनकी धाराएँ एक ही दिशा में बहती हैं और तब प्रतिकर्षित करते हैं जब वे विपरीत दिशाओं में बहती हैं, F/L = μ₀I₁I₂/(2πd) के साथ।
स्व-जाँच एक प्रोटॉन और एक इलेक्ट्रॉन एक ही क्षेत्र के आर-पार समान चाल से चलते हैं। कौन बड़े वृत्त में चलता है?
इलेक्ट्रॉन
कोई नहीं: वे सीधी रेखाओं में चलते हैं
दोनों के वृत्त समान आकार के हैं
प्रोटॉन
उत्तर: प्रोटॉन. r = mv/(|q|B)। दोनों के आवेश का परिमाण समान है, पर प्रोटॉन लगभग 1836 गुना भारी है, इसलिए उसका वृत्त 1836 गुना बड़ा है। वे विपरीत दिशाओं में भी मुड़ते हैं।
3फ्लक्स और फैराडे का नियम
किसी लूप से गुज़रने वाला चुंबकीय फ्लक्स बताता है कि उसमें से कितना क्षेत्र गुज़रता है: Φ = BA·cos θ, जहाँ θ, B और लूप के अभिलंब के बीच का कोण है। इकाई: वेबर (Wb = T·m²)।
जब कुंडली से गुज़रने वाला फ्लक्स बदलता है, तो विद्युत वाहक बल (emf) प्रेरित होता है (फैराडे का नियम)। प्रेरित धारा इस प्रकार बहती है कि उसका अपना क्षेत्र परिवर्तन का विरोध करे (लेंज़ का नियम):
ε = −N·ΔΦ/Δt
फ्लक्स इसलिए बदल सकता है क्योंकि B बदलता है, क्षेत्रफल बदलता है, या कुंडली घूमती है। क्षेत्र में कुंडली को पलटने से फ्लक्स उलट जाता है, इसलिए ΔΦ = 2BA।
क्षेत्र के आर-पार v से चलती लंबाई L की छड़ क्षेत्रफल बुहारती है, इसलिए ε = BLv। प्रतिरोधक R के साथ धारा I = ε/R होती है, और क्षेत्र उस धारा पर F = BIL बल से पीछे धकेलता है: छड़ को चलाए रखने के लिए आपको लगातार खींचना पड़ता है।
स्व-जाँच लूप से पृष्ठ के भीतर जाता क्षेत्र बढ़ रहा है। सामने से देखने पर प्रेरित धारा किस दिशा में बहती है?
कोई धारा नहीं बहती
दक्षिणावर्त
यह लूप के आकार पर निर्भर करता है
वामावर्त
उत्तर: वामावर्त. प्रेरित धारा पृष्ठ के भीतर जाते फ्लक्स की वृद्धि का विरोध करती है, इसलिए लूप के भीतर उसका अपना क्षेत्र पृष्ठ से बाहर की ओर होता है। पकड़ के नियम से इसके लिए वामावर्त धारा चाहिए।
4जनित्र और प्रेरकत्व
N फेरों और क्षेत्रफल A की कुंडली, क्षेत्र B में कोणीय चाल ω से घूमती हुई, ज्यावक्रीय emf देती है जिसका शिखर मान E₀ = NBAω है। rms मान E₀/√2 है, और n rpm के लिए ω = 2π·n/60 है।
कुंडली में बदलती धारा उसके अपने फ्लक्स को बदलती है, जो परिवर्तन का विरोध करने वाला emf प्रेरित करता है: यही स्वप्रेरकत्व L है, हेनरी (H) में।
ε = L·ΔI/Δt लंबी परिनालिका: L = μ₀N²A/l ऊर्जा: W = ½LI²
फ्लक्स साझा करने वाली दो कुंडलियों में अन्योन्य प्रेरकत्व M होता है: एक में बदलती धारा दूसरी में ε₂ = M·di₁/dt प्रेरित करती है, जहाँ M = k√(L₁L₂) और 0 ≤ k ≤ 1। ट्रांसफ़ॉर्मर इसका उपयोग करते हैं।
5एक हल किया गया उदाहरण
हर चरण का अनुसरण करें। अगला चरण खोलने से पहले उसका अनुमान लगाने का प्रयास करें।
हल किया गया उदाहरण
40 cm लंबी धातु की छड़ 0.5 T के क्षेत्र में पटरियों पर 5 m/s से फिसलती है। पटरियाँ 2 Ω के प्रतिरोधक से जुड़ी हैं। धारा और छड़ को स्थिर चाल से चलाए रखने के लिए आवश्यक बल ज्ञात करें।
1
प्रेरित emf
ε = BLv = 0.5 · 0.40 · 5 = 1.0 V
2
धारा
I = ε/R = 1.0/2 = 0.5 A
3
अवरोधक बल
छड़ में धारा क्षेत्र में है, इसलिए छड़ पर F = BIL बल लगता है, जो उसकी गति के विपरीत है (लेंज़)।
F = 0.5 · 0.5 · 0.40 = 0.10 N
4
ऊर्जा से जाँच
खींचने की शक्ति F·v = 0.10 · 5 = 0.5 W प्रतिरोधक में ऊष्मा I²R = 0.25 · 2 = 0.5 W के बराबर है। ऊर्जा संरक्षित है।
उत्तर
I = 0.5 A और F = 0.10 N।
6सामान्य गलतियाँ
दूरियों को cm में या क्षेत्रफलों को cm² में छोड़ देना। 1 cm² = 10⁻⁴ m²।
सूत्र गड्डमड्ड करना: तार के लिए μ₀I/(2πr), लूप के केंद्र के लिए μ₀NI/(2R), परिनालिका के लिए μ₀nI।
Φ = BA·cos θ में अभिलंब के कोण की जगह तल से बना कोण लेना।
फैराडे के नियम में क्षेत्र के परिवर्तन की जगह अंतिम क्षेत्र का उपयोग करना।
ऋणात्मक आवेश के लिए बल की दिशा उलटना भूल जाना।
जनित्र के लिए शिखर और rms मानों को मिला देना।
7परीक्षा प्रश्न कैसे दिखते हैं
आसान: तार, लूप या परिनालिका का B, तार या गतिमान आवेश पर बल, और लूप से गुज़रने वाला फ्लक्स।
मध्यम: क्षेत्र में आवेश की त्रिज्या और आवर्तकाल, कुंडली के लिए फैराडे का नियम, पटरियों पर छड़, समांतर तार, और बल या प्रेरित धारा की दिशा।
कठिन: जनित्र, स्वप्रेरकत्व और संचित ऊर्जा, अन्योन्य प्रेरकत्व, द्रव्यमान स्पेक्ट्रोमीटर और वेग चयनक।
दिशाओं के लिए क्षेत्र के चिह्न बनाएँ और हर बार दाहिने हाथ का उपयोग करें; परिमाणों के लिए पहले सूत्र लिखें और हर राशि को SI इकाइयों में बदलें।
एक लंबे सीधे तार में 8 A की धारा बह रही है। तार से किस दूरी r पर चुंबकीय फ्लक्स घनत्व 32 µT है?
I = 8 AB = 32 µTμ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
ज्ञात करें: r(cm)
संकेत दिखाएँ
B = μ₀I/(2πr) को r के लिए पुनर्व्यवस्थित करें।
r = μ₀I/(2πB).
परिणाम को मीटर से सेंटीमीटर में बदलें।
उत्तर और चरण-दर-चरण हल दिखाएँ
धाराओं का चुंबकीय क्षेत्र: लंबे सीधे तार के चारों ओर क्षेत्र रेखाएँ वृत्त होती हैं (दाहिने हाथ की पकड़ का नियम) जिनके लिए B = μ₀I/(2πr)। N फेरों वाली समतल वृत्ताकार कुंडली के केंद्र पर B = μ₀NI/(2R)। लंबी परिनालिका के भीतर क्षेत्र एकसमान होता है, B = μ₀nI, जहाँ n = N/L प्रति मीटर फेरे हैं, त्रिज्या चाहे जो हो। μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A। SI इकाइयों (मीटर और ऐम्पियर) में काम करें, और कई स्रोतों के क्षेत्रों को सदिश के रूप में जोड़ें।
क्षेत्र से दूरी
r = μ₀I/(2πB) = 4π × 10⁻⁷·8/(2π·32 × 10⁻⁶) = 0.05 m = 5 cm
उत्तर
r = 5 cm
उदाहरण 2मध्यम
50 फेरों की कुंडली का क्षेत्रफल 80 cm² है। कुंडली के लंबवत एकसमान क्षेत्र 100 ms में 0.2 T से 1 T तक लगातार बढ़ता है। औसत प्रेरित emf ε ज्ञात करें।
N = 50A = 80 cm²B: 0.2 T → 1 TΔt = 100 ms
ज्ञात करें: ε(V)
संकेत दिखाएँ
फैराडे का नियम: ε = N·ΔΦ/Δt।
ΔΦ = ΔB·A।
A = 0.008 m² और Δt = 0.1 s।
उत्तर और चरण-दर-चरण हल दिखाएँ
विद्युतचुंबकीय प्रेरण: लूप से गुज़रता फ्लक्स Φ = BA·cos θ है, जहाँ θ, B और लूप के अभिलंब के बीच का कोण है। फैराडे का नियम: फ्लक्स में परिवर्तन N फेरों की कुंडली में emf = −N·dΦ/dt प्रेरित करता है, और लेंज़ का नियम कहता है कि प्रेरित धारा इस प्रकार बहती है कि उसका अपना क्षेत्र परिवर्तन का विरोध करे। क्षेत्र के आर-पार गतिमान छड़ emf = BLv देती है। ω पर घूमती कुंडली e = NBAω·sin ωt देती है, शिखर मान NBAω। स्वप्रेरकत्व: emf = −L·di/dt, जहाँ लंबी परिनालिका के लिए L = μ₀N²A/l, और संचित ऊर्जा W = ½LI² है। दो युग्मित कुंडलियाँ: emf₂ = −M·di₁/dt, जहाँ M = k√(L₁L₂)।
प्रति फेरा फ्लक्स में परिवर्तन
ΔΦ = (1 − 0.2)·0.008 = 0.0064 Wb
औसत emf
ε = NΔΦ/Δt = 50·0.0064/0.1 = 3.2 V
उत्तर
ε = 3.2 V
उदाहरण 3कठिन
स्वप्रेरकत्व 50 mH और 50 mH वाली दो कुंडलियों का युग्मन गुणांक 0.3 है। पहली कुंडली में धारा 1000 A/s की दर से बदलती है। दूसरी कुंडली में प्रेरित emf ε ज्ञात करें।
L1 = 50 mHL2 = 50 mHk = 0.3di/dt = 1000 A/s
ज्ञात करें: ε(V)
संकेत दिखाएँ
M = k√(L₁L₂)।
ε₂ = M·di₁/dt।
M को हेनरी में बदलें।
उत्तर और चरण-दर-चरण हल दिखाएँ
विद्युतचुंबकीय प्रेरण: लूप से गुज़रता फ्लक्स Φ = BA·cos θ है, जहाँ θ, B और लूप के अभिलंब के बीच का कोण है। फैराडे का नियम: फ्लक्स में परिवर्तन N फेरों की कुंडली में emf = −N·dΦ/dt प्रेरित करता है, और लेंज़ का नियम कहता है कि प्रेरित धारा इस प्रकार बहती है कि उसका अपना क्षेत्र परिवर्तन का विरोध करे। क्षेत्र के आर-पार गतिमान छड़ emf = BLv देती है। ω पर घूमती कुंडली e = NBAω·sin ωt देती है, शिखर मान NBAω। स्वप्रेरकत्व: emf = −L·di/dt, जहाँ लंबी परिनालिका के लिए L = μ₀N²A/l, और संचित ऊर्जा W = ½LI² है। दो युग्मित कुंडलियाँ: emf₂ = −M·di₁/dt, जहाँ M = k√(L₁L₂)।
अन्योन्य प्रेरकत्व
M = 0.3·√(50·50) = 15 mH
प्रेरित emf
ε = M·di/dt = 0.015·1000 = 15 V
उत्तर
ε = 15 V
प्रश्न और उत्तर
चुंबकीय क्षेत्र और प्रेरण क्या है?
हर विद्युत धारा के चारों ओर चुंबकीय क्षेत्र B होता है, जिसे टेस्ला (T) में मापा जाता है। पृथ्वी का क्षेत्र लगभग 50 µT है; फ्रिज के चुंबक का कुछ mT।
लंबे सीधे तार के चारों ओर क्षेत्र रेखाएँ वृत्ताकार होती हैं। दाहिने हाथ का अँगूठा धारा की दिशा में रखें: उँगलियाँ B की दिशा में मुड़ती हैं (दाहिने हाथ की पकड़ का नियम)। चित्रों में ⊗ का अर्थ पृष्ठ के भीतर जाता क्षेत्र है और ⊙ का अर्थ पृष्ठ से बाहर आता क्षेत्र।
चुंबकीय क्षेत्र और प्रेरण के प्रश्न चरण-दर-चरण कैसे हल करें?
हर राशि को SI इकाइयों में बदलें: cm से m, cm² से m², mT और µT से T।
सही सूत्र चुनें: तार के लिए B = μ₀I/(2πr), कुंडली के केंद्र के लिए μ₀NI/(2R), परिनालिका के भीतर μ₀nI; बलों के लिए F = BIL·sin θ या |q|vB·sin θ।
प्रेरण के लिए फ्लक्स में परिवर्तन ΔΦ = Δ(BA·cos θ) निकालें और ε = N·ΔΦ/Δt उपयोग करें, या गतिमान छड़ के लिए ε = BLv और घूमती कुंडली के लिए NBAω।
दिशाएँ दाहिने हाथ के नियमों से अलग से निकालें, और प्रेरित धाराओं के लिए लेंज़ के नियम से।
चुंबकीय क्षेत्र और प्रेरण में आम गलतियाँ क्या हैं?
लंबाइयों को cm में या क्षेत्रफलों को cm² में छोड़ देना।
लूप या परिनालिका के लिए तार का सूत्र उपयोग करना।
Φ = BA·cos θ में तल से कोण का उपयोग करना, जबकि उसमें अभिलंब से कोण चाहिए।
ऋणात्मक आवेश के लिए बल की दिशा उलटना भूल जाना।
जनित्र के शिखर और rms मानों को मिला देना।
चुंबकीय क्षेत्र और प्रेरण के अभ्यास में क्या शामिल है?
आसान: धाराओं के क्षेत्र और चुंबकीय बल
मध्यम: आवेशित कण, फैराडे और लेंज़
कठिन: जनित्र, प्रेरकत्व और कण पुंज
हर प्रश्न में नए मान होते हैं, इसलिए आप उत्तर नहीं बल्कि विधि सीखते हैं। अटक गए? पहले एक छोटा संकेत खोलें, और पूरी व्याख्या तभी जब ज़रूरत हो।
अभ्यास कैसे काम करता है
हर प्रश्न में नए मान होते हैं, इसलिए आप उत्तर नहीं बल्कि विधि सीखते हैं।
अटक गए? पहले एक छोटा संकेत खोलें, और पूरी व्याख्या तभी जब ज़रूरत हो।
आपकी प्रगति, गलतियाँ और सहेजे गए प्रश्न रखे जाते हैं, ताकि आप परीक्षा से पहले दोहरा सकें।