채권 가격과 수익률: 단계별 풀이가 있는 연습 문제

Q: 채권 가격과 수익률 연습에서는 무엇을 다루나요?

쉬움: 연 1회 이자 보통: 반기 이자 어려움: 만기 수익률 문제마다 값이 새로 바뀌므로 답이 아니라 푸는 방법을 익히게 됩니다. 막혔나요? 먼저 작은 힌트를 열고, 필요할 때만 전체 해설을 보세요.

그림, 힌트, 자세한 풀이가 있는 무료 채권 가격과 수익률 연습 문제. 매번 새로운 값으로, 세 가지 난이도: 연 1회 이자, 반기 이자, 만기 수익률.

무료 연습 문제쉬움

액면가 €1 000인 채권이 연 4%의 이자를 지급하며 9년 후 만기입니다. 만기 수익률은 2.5%입니다. 채권 가격 P을(를) 구하세요.

F = €1 000표면이자율 = 4%YTM = 2.5%n = 9

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연습 내용

쉬움연 1회 이자
보통반기 이자
어려움만기 수익률

채권 가격과 수익률 문제 푸는 방법

기간당 이자와 기간당 수익률을 구하세요.
가격 = 이자의 현재가치(연금) + 액면가의 현재가치.
반기 이자이면 이자의 절반, 수익률의 절반, 기간 수의 두 배를 쓰세요.
확인: 수익률이 표면 이자율보다 높으면 가격은 액면가보다 낮습니다.

흔한 실수

수익률 대신 표면 이자율로 할인하는 것.
만기의 액면가를 잊는 것.
연 단위와 반기 단위 기간을 섞는 것.

핵심 공식

채권 가격: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
반기 지급: C/2, y/2, 2n기간
경상 수익률: C/P
가격과 수익률: 수익률 상승 → 가격 하락

채권 가격과 수익률 처음부터 배우기

먼저 알아 둘 것: 화폐의 시간 가치

1채권이란 무엇인가

채권은 사고팔 수 있는 대출입니다. 회사나 정부가 돈을 빌리고 그 대가로 정해진 금액을 지급하겠다고 약속합니다.

일반적인 채권에는 세 가지 숫자가 적혀 있습니다.

액면가 F는 보통 1000유로입니다. 마지막 날인 만기에 갚습니다.
표면 이율. 매년 액면가의 이 비율만큼을 이자인 쿠폰 C로 지급합니다. 1000유로에 쿠폰 5%이면 연 50유로입니다.
만기 n: 액면가를 상환할 때까지 몇 년이 남았는지.

쿠폰과 액면가는 정해져 있습니다. 변하는 것은 투자자가 오늘 치르는 가격 P입니다. 이 가격은 투자자가 지금 원하는 수익률에 따라 달라집니다.

자가 점검 채권의 액면가는 1000유로이고 쿠폰 이율은 6%이며 연 1회 지급된다. 쿠폰 C는 얼마인가?

€1060
€600
€60
€6

답: €60. C = 액면가의 6% = 0.06 · 1000 = 연 60유로입니다. 1060유로는 마지막 지급액(쿠폰 더하기 액면가)이며 쿠폰이 아닙니다.

2가격과 만기수익률

만기수익률(YTM, y로 씀)은 시장이 그 채권에 요구하는 연간 수익률입니다. 모든 지급액의 할인율입니다.

가격은 채권이 지급하는 모든 것의 현재가치입니다. 쿠폰은 연금이고 액면가는 마지막의 금액 하나입니다.

P = C · [1 − (1 + y)⁻ⁿ] / y + F / (1 + y)ⁿ

수익률을 쿠폰 이율과 비교하세요. 계산하기 전에 답을 알려 줍니다.

수익률이 쿠폰 이율과 같으면: 가격은 정확히 액면가 1000유로입니다(액면 발행).
수익률이 쿠폰 이율보다 높으면: 가격은 액면가보다 낮습니다(할인).
수익률이 쿠폰 이율보다 낮으면: 가격은 액면가보다 높습니다(할증).

그래서 채권 가격과 수익률은 항상 반대 방향으로 움직입니다. 수익률이 오르면 가격은 내립니다.

자가 점검 채권의 쿠폰은 4%이다. 시장 수익률은 6%이다. 가격은 어디에 있겠는가?

액면가보다 낮다
액면가보다 높다
액면가에 쿠폰 하나를 더한 값
정확히 액면가

답: 액면가보다 낮다. 채권은 4%만 지급하는데 투자자는 6%를 원합니다. 더 낮은 가격에서만 사려고 하므로 할인되어 팔립니다.

3단계별 방법

기간당 쿠폰 C, 기간당 수익률 y, 기간 수 n을 구하세요.
반기(연 2회) 쿠폰에서는 쿠폰의 절반, 수익률의 절반, 연수의 두 배를 쓰세요.
쿠폰의 현재가치: C · [1 − (1 + y)⁻ⁿ] / y.
액면가의 현재가치: F / (1 + y)ⁿ.
둘을 더하세요. 결과를 쿠폰 이율과 비교하세요: 할인인가 할증인가?

2단계의 예: 연 2회 지급하는 6% 쿠폰, 5년, 수익률 5%이면 C = 30유로, y = 0.025, n = 10입니다.

4풀이 예제

모든 단계를 따라가 보세요. 다음 단계를 열기 전에 미리 예측해 보세요.

풀이 예제

액면가 1000유로의 채권이 연 5% 쿠폰을 지급하고 3년 뒤에 만기가 된다. 만기수익률은 6%이다. 채권의 가격 P를 구하시오.

현금 흐름 그리기

쿠폰은 0.05 · 1000 = 연 50유로입니다. 3년차에는 채권이 1000유로도 상환합니다.

기간당 값

쿠폰이 연 1회이므로 한 기간은 1년입니다.

C = 50 y = 0.06 n = 3

(1.06)⁻³ = 0.839619

이자의 현재 가치

50 · (1 − 0.839619) / 0.06 = 133.65

액면가의 현재 가치

1000 · 0.839619 = 839.62

더하기

P = 133.65 + 839.62 = 973.27

답 검산

각 지급액을 따로 할인하세요: 50/1.06 + 50/1.06² + 1050/1.06³ = 47.17 + 44.50 + 881.60 = 973.27유로.

수익률(6%)이 쿠폰 이율(5%)보다 높으므로 1000유로보다 낮은 가격이 예상됩니다.

답

P ≈ 973.27유로. 수익률이 쿠폰 이율보다 높으므로 할인입니다.

5만기수익률 구하기

가격이 주어지고 수익률을 구해야 할 때가 있습니다. y를 구하는 공식은 없으므로 이율을 시도해 봅니다.

쿠폰 4%, 만기까지 3년인 채권이 960유로에 팔립니다. 1000유로보다 낮게 팔리므로 수익률은 4%보다 높습니다.

5%를 시도하세요: 가격 공식은 972.77유로를 줍니다. 여전히 960유로보다 높으므로 수익률은 더 높아야 합니다.
6%를 시도하세요: 가격은 946.54유로입니다. 이제 960유로보다 낮으므로 수익률은 5%와 6% 사이에 있습니다.
두 이율 사이에서 보간하세요.

y ≈ 5% + 1% · (972.77 − 960) / (972.77 − 946.54) ≈ 5.49%

만기수익률을 현재 수익률 C/P = 40/960 = 4.17%와 혼동하지 마세요. 현재 수익률은 960유로에서 만기에 상환되는 1000유로까지 오르는 40유로의 이익을 무시합니다.

자가 점검 채권이 1050유로에 팔린다. 쿠폰 이율은 5%이다. 만기수익률에 대해 무엇을 알 수 있는가?

5%보다 낮다
5%보다 높다
50/1050 = 4.76%와 같다
정확히 5%이다

답: 5%보다 낮다. 가격이 액면가보다 높으므로(할증) 수익률은 쿠폰 이율보다 낮습니다. 4.76%는 현재 수익률로, 만기에 생기는 50유로의 손실을 무시한 값입니다.

6흔한 실수

수익률 대신 쿠폰 이율로 할인하는 것. 쿠폰 이율은 쿠폰의 크기만 정합니다.
만기의 액면가를 잊거나 쿠폰을 잊는 것.
지급액을 할인하지 않고 더하는 것.
연 단위와 반기 단위의 기간을 섞는 것. 반기 쿠폰에서는 C와 y를 절반으로 하고 n을 두 배로 하세요.

자가 점검 액면가 1000유로, 연 5% 쿠폰, 수익률 6%인 2년 만기 채권의 가격은 얼마인가?

€1000
€1100
€981.67
€990.00

답: €981.67. 50/1.06 + 1050/1.06² = 47.17 + 934.50 = 981.67유로. 1000유로는 쿠폰 이율로 할인한 값, 1100유로는 할인하지 않고 더한 값, 990.00유로는 쿠폰을 할인하지 않은 값입니다.

7시험 문제의 유형

쉬움: 연 1회 쿠폰. 액면가, 쿠폰 이율, 만기, 수익률로 가격을 구합니다.
보통: 반기 쿠폰. 같은 방법에 쿠폰과 수익률을 절반으로, 기간을 두 배로 합니다.
어려움: 만기수익률. 가격이 주어집니다. 두 이율을 시도한 뒤 보간하거나 계산기를 씁니다.

항상 먼저 수익률을 쿠폰 이율과 비교하세요. 가격이 1000유로보다 높아야 하는지 낮아야 하는지 알려 줍니다.

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예제 풀이

예제 1쉬움

액면가 €1 000인 채권이 연 8%의 이자를 지급하며 10년 후 만기입니다. 만기 수익률은 7%입니다. 채권 가격 P을(를) 구하세요.

F = €1 000표면이자율 = 8%YTM = 7%n = 10

구하는 값: P (€)

힌트 보기

가격은 이자의 현재 가치와 액면가의 현재 가치를 더한 값입니다.
연간 이자: €80.00. YTM으로 할인하세요.
(1 + 0.07)⁻¹⁰ = 0.5083.

정답과 단계별 풀이 보기

채권 가격 결정: 채권 가격은 만기 수익률(YTM)로 할인한 현금흐름의 현재 가치입니다. 이자(쿠폰)는 연금을 이루고, 액면가는 만기에 상환됩니다. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. 수익률이 표면이자율보다 높으면 채권은 액면가보다 낮게 거래되고, 반대의 경우도 마찬가지입니다.

기간당

C = €80.00, i = 0.07, N = 10

이자의 현재 가치

€80.00·(1 − 0.5083)/0.07 = €561.89

액면가의 현재 가치

€1 000·0.5083 = €508.35

가격

P = €1 070.24

답

P = €1 070.24

수익률이 표면이자율보다 낮으므로 채권은 할증 발행(액면가 초과)됩니다.

예제 2보통

액면가 €1 000인 채권이 연 7%의 이표를 지급하며 15년 후 만기이다. 만기 수익률이 4%에서 3%(으)로 바뀐다. 채권 가격은 얼마나 ΔP 변하는가?

F = €1 000표면이자율 = 7%n = 15y₁ = 4%y₂ = 3%

구하는 값: ΔP (€)

힌트 보기

이전 수익률과 새 수익률에서 채권 가격을 구합니다.
P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ.
P₁ = €1 333.55.

정답과 단계별 풀이 보기

이전 수익률에서의 가격

C = €70.00, i = 0.04, N = 15

€70.00·(1 − 0.5553)/0.04 + €1 000·0.5553 = €778.29 + €555.26 = €1 333.55

새 수익률에서의 가격

C = €70.00, i = 0.03, N = 15

€70.00·(1 − 0.6419)/0.03 + €1 000·0.6419 = €835.66 + €641.86 = €1 477.52

변화

ΔP = 1 477.52 − 1 333.55 = €143.97

답

ΔP = €143.97

예제 3어려움

채권이 만기 수익률 7%(연 복리), 매콜리 듀레이션 9.5년으로 €930에 거래된다. 수익률이 150bp 내릴 때의 새 가격 P을(를) 수정 듀레이션으로 추정하시오.

P₀ = €930y = 7%D = 9.5Δy = −150 bp

구하는 값: P (€)

힌트 보기

수정 듀레이션: D mod = D/(1 + y).
D_mod = 9.5/1.07 = 8.879; 1 bp = 0.01% = 0.0001.
%ΔP ≈ −D mod·Δy.

정답과 단계별 풀이 보기

듀레이션: 매콜리 듀레이션은 채권이 현금흐름을 지급하는 시점의 가중 평균 시간이며, 가중치는 현금흐름의 현재 가치입니다: D = Σ t·PVₜ/P. 수정 듀레이션 D/(1 + y)는 수익률의 작은 변화에 대한 가격 변화율을 추정합니다: %ΔP ≈ −D_mod·Δy.