Lò xo và con lắc: bài tập có lời giải từng bước

Q: Làm thế nào để giải bài tập Lò xo và con lắc từng bước?

Dao động điều hòa: một vật khối lượng m trên lò xo độ cứng k dao động với tần số góc ω = √(k/m) và chu kỳ T = 2π/ω = 2π·√(m/k). Một con lắc đơn chiều dài L có T = 2π·√(L/g). Với biên độ A, tốc độ lớn nhất là A·ω, gia tốc lớn nhất là A·ω² và năng lượng là ½·k·A².

Q: Các bài tập Lò xo và con lắc bao gồm những gì?

Dễ: vật trên lò xo Trung bình: con lắc Khó: tốc độ, gia tốc và năng lượng Mỗi bài tập có số liệu mới, nên bạn học phương pháp chứ không học thuộc đáp án. Bí rồi? Hãy mở một gợi ý nhỏ trước, và chỉ xem giải thích đầy đủ khi cần.

Bài tập Lò xo và con lắc miễn phí có hình vẽ, gợi ý và lời giải đầy đủ. Số liệu mới mỗi lần, ở ba mức độ: vật trên lò xo, con lắc, tốc độ, gia tốc và năng lượng.

Bài tập miễn phíDễ

Một vật 4,8 kg trên lò xo dao động với chu kỳ 2,5 s. Tìm độ cứng lò xo k.

m = 4,8 kgT = 2,5 s

Bài tiếp theo →

Luyện tập Lò xo và con lắc miễn phí Luyện tập Lò xo và con lắc ngay5 bài miễn phí mỗi ngày. Không cần thẻ.

Bạn luyện tập những gì

Dễvật trên lò xo
Trung bìnhcon lắc
Khótốc độ, gia tốc và năng lượng

Công thức chính

Vật nặng trên lò xo: T = 2π·√(m/k)
Con lắc: T = 2π·√(L/g)
Tần số góc: ω = √(k/m) = 2π/T
Tốc độ và gia tốc cực đại: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
Năng lượng: E = ½·k·A²

Học Lò xo và con lắc từ đầu

Trước bài này: Các định luật Newton

1Dao động là gì

Kéo một vật nặng gắn vào lò xo sang một bên rồi thả ra. Nó lắc về qua điểm giữa, ra phía bên kia, rồi quay lại. Một đứa trẻ trên xích đu và một dây đàn guitar cũng làm như vậy.

Chuyển động lặp lại này là một dao động. Điểm giữa, nơi vật sẽ đứng yên, là vị trí cân bằng.

Biên độ A là khoảng cách lớn nhất so với vị trí cân bằng, tính bằng m.
Chu kỳ T là thời gian cho một dao động hoàn chỉnh, đi và về, tính bằng s.
Tần số f là số dao động mỗi giây, tính bằng hertz (Hz).

f = 1 / T

Tự kiểm tra Một vật nặng gắn vào lò xo thực hiện 20 dao động hoàn chỉnh trong 10 s. Chu kỳ là bao nhiêu?

0,5 s
10 s
2 s
200 s

Đáp số: 0,5 s. T = thời gian / số dao động = 10/20 = 0,5 s. 2 là tần số tính bằng Hz (20/10), số dao động mỗi giây.

2Dao động điều hòa

Lò xo kéo lại với lực tỉ lệ với độ giãn: F = −k·x. Độ cứng k tính bằng N/m. Dấu trừ nghĩa là lực luôn hướng về vị trí cân bằng.

Một lực kéo về như vậy tạo ra dao động điều hòa. Vị trí tuân theo một đường cosin theo thời gian:

x = A · cos(ω·t)

Tần số góc ω (omega), tính bằng rad/s, quyết định chuyển động lặp lại nhanh thế nào. Một chu kỳ là 2π rad.

ω = 2π / T = 2π · f

Biên độ không làm thay đổi chu kỳ. Biên độ lớn hơn đi quãng đường dài hơn nhưng cũng chuyển động nhanh hơn.

3Công thức lò xo và con lắc

Với vật nặng gắn vào lò xo, vật nặng hơn dao động chậm hơn và lò xo cứng hơn dao động nhanh hơn:

ω = √(k / m) T = 2π · √(m / k)

Với con lắc đơn có chiều dài L, dao động nhỏ, khối lượng hoàn toàn không ảnh hưởng:

T = 2π · √(L / g)

Nếu lò xo treo thẳng đứng, trọng lượng làm nó giãn đến một vị trí cân bằng mới: k·x = m·g. Dùng điều này để tìm k từ độ giãn đo được.

Tốc độ lớn nhất tại vị trí cân bằng và bằng không ở hai biên. Gia tốc lớn nhất ở hai biên, nơi lực lò xo lớn nhất:

v_max = A · ω a_max = A · ω²

Cơ năng toàn phần không đổi: E = ½·k·A². Tại vị trí x nó được chia thành ½·k·x² + ½·m·v².

Tự kiểm tra Bạn thay vật nặng trên lò xo bằng một vật nặng gấp đôi. Chu kỳ thay đổi thế nào?

Dài hơn 4 lần
Dài hơn √2 ≈ 1,41 lần
Ngắn hơn 1,41 lần
Tăng gấp đôi

Đáp số: Dài hơn √2 ≈ 1,41 lần. T = 2π·√(m/k), nên T tăng theo căn bậc hai của m. Gấp đôi m nhân T với √2. Nói rằng nó tăng gấp đôi là quên căn bậc hai.

4Phương pháp từng bước

Đổi mọi thứ sang đơn vị SI: gam sang kg, centimet sang m.
Xác định đó là hệ nào: vật nặng gắn lò xo (dùng k và m) hay con lắc (dùng L và g).
Nếu cho chu kỳ hoặc số dao động, hãy tìm T trước: T = thời gian / số dao động.
Tìm ω từ hệ: ω = √(k/m) hoặc ω = 2π/T.
Dùng công thức cho đại lượng được hỏi: T, f, v_max = A·ω, a_max = A·ω² hoặc cơ năng ½·k·A².
Kiểm tra đáp án có hợp lý không: chu kỳ bằng một phần giây với lò xo cứng, vài giây với con lắc dài.

5Một ví dụ có lời giải

Theo dõi từng bước. Hãy thử đoán bước tiếp theo trước khi mở nó.

Ví dụ có lời giải

Một vật 0,5 kg gắn vào lò xo có k = 200 N/m được kéo lệch 5 cm so với vị trí cân bằng rồi thả ra. Tìm chu kỳ T, tần số f, tốc độ cực đại v_max và gia tốc cực đại a_max.

Đơn vị

A = 5 cm = 0,05 m m = 0,5 kg k = 200 N/m

Tần số góc

ω = √(k / m) = √(200 / 0,5) = √400 = 20 rad/s

Chu kỳ và tần số

T = 2π / ω = 2π / 20 = 0,314 s

f = 1 / T = 3,18 Hz

Tốc độ lớn nhất

Vật nhanh nhất khi đi qua vị trí cân bằng.

v_max = A · ω = 0,05 · 20 = 1 m/s

Gia tốc lớn nhất

Gia tốc lớn nhất ở hai biên, nơi vật đổi chiều.

a_max = A · ω² = 0,05 · 400 = 20 m/s²

Kiểm tra đáp án

Kiểm tra năng lượng: ½·k·A² = ½ · 200 · 0,05² = 0,25 J, và ½·m·v_max² = ½ · 0,5 · 1² = 0,25 J. Toàn bộ thế năng lò xo trở thành động năng tại vị trí cân bằng.

Đáp số

T ≈ 0,314 s, f ≈ 3,18 Hz, v_max = 1 m/s và a_max = 20 m/s².

6Lỗi thường gặp

Dùng biên độ tính bằng cm thay vì m.
Lật ngược phân số: T = 2π·√(m/k), không phải √(k/m). Với con lắc là √(L/g).
Quên 2π, hoặc nhầm ω (rad/s) với f (Hz).
Nghĩ rằng khối lượng làm thay đổi chu kỳ của con lắc, hoặc biên độ làm thay đổi bất kỳ chu kỳ nào.
Nhầm v_max = A·ω và a_max = A·ω².

Tự kiểm tra Một vật dao động với biên độ 10 cm và ω = 10 rad/s. Gia tốc cực đại của nó là bao nhiêu?

1 m/s²
10 m/s²
100 m/s²
1000 m/s²

Đáp số: 10 m/s². a_max = A·ω² = 0,1 · 100 = 10 m/s². Dùng A = 10 (cm) cho 1000. 1 m/s là A·ω, tốc độ cực đại, không phải gia tốc.

7Các câu hỏi thi trông như thế nào

Dễ: vật nặng gắn lò xo. Tìm T, f hoặc k, đôi khi từ số dao động đếm được hoặc từ độ giãn của lò xo treo.
Trung bình: con lắc. Tìm chu kỳ của nó, chiều dài cho một chu kỳ cho trước, hoặc g trên hành tinh khác. Một số câu hỏi yêu cầu tốc độ tại một vị trí hoặc tại một thời điểm cho trước.
Khó: tốc độ, gia tốc và năng lượng: v_max, a_max, động năng tại một vị trí, hoặc biên độ sau khi một viên đạn va vào một khối gắn lò xo.

Một kiểm tra nhanh cho bất kỳ con lắc nào: con lắc 1 m trên Trái Đất có chu kỳ khoảng 2 s.

Tự kiểm tra Một con lắc dài 2,45 m. Với g = 9,81 m/s², chu kỳ của nó khi dao động nhỏ là bao nhiêu?

0,50 s
1,57 s
12,6 s
3,14 s

Đáp số: 3,14 s. T = 2π·√(2,45/9,81) = 2π · 0,5 = 3,14 s. √(g/L) lật ngược cho 12,6 s, quên căn bậc hai cho 1,57 s, và quên 2π cho 0,50 s.

Học từng bước một trong ứng dụng Học từng bước một trong ứng dụng

Ví dụ có lời giải

Ví dụ 1Dễ

Một vật 3,2 kg trên lò xo có độ cứng 210 N/m dao động trên mặt phẳng không ma sát. Tìm chu kỳ T.

m = 3,2 kgk = 210 N/m

Tìm T (s)

Hiện các gợi ý

Chu kỳ của hệ vật–lò xo không phụ thuộc vào biên độ.
T = 2π·√(m/k).
√(m/k) = 0,1234 s.

Hiện đáp án và lời giải từng bước

Dao động điều hòa: một vật khối lượng m trên lò xo độ cứng k dao động với tần số góc ω = √(k/m) và chu kỳ T = 2π/ω = 2π·√(m/k). Một con lắc đơn chiều dài L có T = 2π·√(L/g). Với biên độ A, tốc độ lớn nhất là A·ω, gia tốc lớn nhất là A·ω² và năng lượng là ½·k·A².

Chu kỳ

T = 2π·√(3,2/210) = 0,7756 s

Đáp số

T = 0,7756 s

Ví dụ 2Trung bình

Một vật 1,1 kg trên lò xo có k = 120 N/m dao động trên bề mặt không ma sát với biên độ 7 cm. Tìm tốc độ v của nó khi cách vị trí cân bằng 6 cm.

m = 1,1 kgk = 120 N/mA = 7 cmx = 6 cm

Tìm v (m/s)

Hiện các gợi ý

Năng lượng được bảo toàn: ½·k·A² = ½·k·x² + ½·m·v².
Vậy v = ω·√(A² − x²) với ω = √(k/m).
ω = 10,44 rad/s.

Hiện đáp án và lời giải từng bước

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

Tần số góc

ω = √(120/1,1) = 10,44 rad/s

Tốc độ tại x

v = ω·√(A² − x²) = 10,44·√(0,07² − 0,06²) = 0,3766 m/s

Đáp số

v = 0,3766 m/s

Ví dụ 3Khó

Một vật 1,7 kg trên lò xo có k = 380 N/m được kéo lệch 11 cm khỏi vị trí cân bằng rồi thả ra. Tìm gia tốc lớn nhất a_max của nó.

m = 1,7 kgk = 380 N/mA = 11 cm

Tìm a_max (m/s²)

Hiện các gợi ý

ω = √(k/m).
Gia tốc lớn nhất ở hai biên: a_max = A·ω².
ω = 14,95 rad/s, A = 0,11 m.

Hiện đáp án và lời giải từng bước

Tần số góc

ω = √(380/1,7) = 14,95 rad/s

Gia tốc lớn nhất

a_max = A·ω² = 0,11·14,95² = 24,59 m/s²

Đáp số

a_max = 24,59 m/s²

Câu hỏi thường gặp

Lò xo và con lắc là gì?

Chuyển động lặp lại này là một dao động. Điểm giữa, nơi vật sẽ đứng yên, là vị trí cân bằng.

Làm thế nào để giải bài tập Lò xo và con lắc từng bước?

Những lỗi thường gặp trong Lò xo và con lắc là gì?

Hãy đưa 2π vào: T = 2π·√(m/k) và f = 1/T.
Kiểm tra phân số dưới dấu căn: T = 2π·√(m/k), khối lượng ở trên.
Đó là tốc độ cực đại, tại vị trí cân bằng. Tại x tốc độ thấp hơn: v = ω·√(A² − x²).

Các bài tập Lò xo và con lắc bao gồm những gì?

Dễ: vật trên lò xo
Trung bình: con lắc
Khó: tốc độ, gia tốc và năng lượng

Mỗi bài tập có số liệu mới, nên bạn học phương pháp chứ không học thuộc đáp án. Bí rồi? Hãy mở một gợi ý nhỏ trước, và chỉ xem giải thích đầy đủ khi cần.

Cách luyện tập hoạt động

Mỗi bài tập có số liệu mới, nên bạn học phương pháp chứ không học thuộc đáp án.
Bí rồi? Hãy mở một gợi ý nhỏ trước, và chỉ xem giải thích đầy đủ khi cần.
Tiến độ, lỗi sai và các bài đã lưu của bạn được giữ lại, để bạn xem lại trước kỳ thi.

Các chủ đề trước và sau chủ đề này

Học trước

Các định luật Newton

Tiếp tục với

Dao động cơ học Sóng, âm thanh & quang học

Máy tính

Máy tính chu kỳ con lắc và lò xo Máy tính hằng số lò xo (định luật Hooke)

Các môn học có chủ đề này

Động lực học Vật lý 1: Cơ học Sóng và quang học Bài tập AP Physics 1

Thêm chủ đề trong Vật lý

Động học Các định luật Newton Chuyển động tròn Động lượng và va chạm Định luật Coulomb và điện trường Từ trường & cảm ứng điện từ Sóng, âm thanh & quang học

Phiếu bài tập in được

Phiếu bài tập Lò xo và con lắc có đáp án

Luyện tập Lò xo và con lắc miễn phí Luyện tập Lò xo và con lắc ngay5 bài miễn phí mỗi ngày. Không cần thẻ.