Bài tập Dao động cơ học miễn phí có hình vẽ, gợi ý và lời giải đầy đủ. Số liệu mới mỗi lần, ở ba mức độ: tần số riêng, tỉ số cản, lò xo mắc nối tiếp và song song.
Bài tập miễn phíDễ
Một máy đặt trên các gối lò xo, bị nén 15 mm dưới trọng lượng của nó. Coi nó là hệ một bậc tự do không cản và dùng g = 9,81 m/s². Tìm tần số riêng fn của dao động thẳng đứng theo Hz.
Treo một vật nặng vào lò xo, kéo nó xuống một chút rồi thả ra. Nó nảy lên xuống quanh vị trí nghỉ. Chuyển động lặp lại đó là một dao động.
Mỗi hệ như vậy có nhịp điệu ưa thích riêng, gọi là tần số riêng. Nó chỉ phụ thuộc vào độ cứng của lò xo và độ nặng của vật, không phụ thuộc vào bạn kéo bao xa.
Kỹ sư quan tâm vì một máy bị rung ở tần số riêng của nó có thể dao động dữ dội. Đây gọi là cộng hưởng. Giá đỡ động cơ, máy giặt và cầu đều được thiết kế có tính đến điều này.
Lò xo cứng hơn làm dao động nhanh hơn. Vật nặng hơn làm nó chậm hơn.
Tự kiểm tra Bạn thay vật nặng trên lò xo bằng một vật nặng gấp bốn lần. Tần số riêng thay đổi thế nào?
Giảm một nửa
Nó không đổi
Thấp hơn bốn lần
Tăng gấp đôi
Đáp số: Giảm một nửa. Tần số phụ thuộc vào √(k/m). Khối lượng gấp bốn chia căn bậc hai cho √4 = 2, nên tần số giảm một nửa.
2Tần số riêng và tổ hợp lò xo
Với vật có khối lượng m (kg) gắn trên lò xo có độ cứng k (N/m), tần số góc riêng tính bằng rad/s là:
ωn = √(k / m)
Một chu kỳ đầy đủ là 2π radian. Vì vậy tần số riêng tính bằng hertz (chu kỳ mỗi giây) và chu kỳ (giây mỗi chu kỳ) là:
fn = ωn / (2π) T = 1 / fn
Đôi khi bạn chỉ biết lò xo võng bao nhiêu dưới trọng lượng, là độ võng tĩnh δst = m·g/k. Khi đó ωn = √(g / δst), với δst tính bằng mét.
Khi có nhiều lò xo, trước hết thay chúng bằng một lò xo tương đương:
Cạnh nhau (song song), các lò xo chia sẻ tải và các độ cứng cộng lại.
Nối đuôi nhau (nối tiếp), mỗi lò xo chịu toàn bộ tải, và lò xo tương đương mềm hơn từng lò xo.
Tự kiểm tra Hai lò xo 10 kN/m mỗi cái được nối đuôi nhau (nối tiếp). Độ cứng tương đương là bao nhiêu?
10 kN/m
100 kN/m
20 kN/m
5 kN/m
Đáp số: 5 kN/m. 1/k = 1/10 + 1/10 = 2/10, nên k = 5 kN/m. Cộng chúng thành 20 kN/m là quy tắc cho lò xo song song.
3Cản
Dao động thực tế tắt dần. Một bộ giảm chấn (một pit-tông chuyển động trong dầu, như giảm xóc của ô tô) lấy năng lượng ra. Độ mạnh của nó là hệ số cản nhớt c tính bằng N·s/m.
Cản tới hạn là lượng cản vừa đủ làm vật không nảy chút nào:
cc = 2 · √(k · m) = 2 · m · ωn
Tỷ số cản so sánh độ cản thực với giá trị tới hạn đó:
ζ = c / cc
ζ < 1: cản yếu. Vật vẫn dao động, nhưng biên độ nhỏ dần.
ζ = 1: cản tới hạn. Nó trở về trạng thái nghỉ nhanh nhất có thể mà không vượt quá.
ζ > 1: cản quá mức. Nó bò về chậm mà không dao động.
Một hệ cản yếu dao động chậm hơn một chút so với hệ không cản, ở tần số riêng có cản:
ωd = ωn · √(1 − ζ²)
Tự kiểm tra Một vật 10 kg đặt trên lò xo 1000 N/m với bộ giảm chấn c = 50 N·s/m. Tỷ số cản là bao nhiêu?
0,25
0,5
2,5
4
Đáp số: 0,25. cc = 2·√(1000 · 10) = 200 N·s/m, nên ζ = 50/200 = 0,25. Quên hệ số 2 cho 0,5, và chia ngược lại cho 4.
4Phương pháp từng bước
Đổi mọi thứ sang đơn vị SI: kN/m sang N/m (× 1000), mm sang m, gam sang kg.
Nếu có nhiều lò xo, hãy gộp chúng thành một k: cộng khi song song, cộng các nghịch đảo khi nối tiếp.
Tìm ωn = √(k/m) theo rad/s.
Nếu đề hỏi theo hertz, chia cho 2π: fn = ωn/(2π). Với chu kỳ, lấy T = 1/fn.
Với sự cản, tìm cc = 2·√(k·m), rồi ζ = c/cc và, nếu được hỏi, ωd = ωn·√(1 − ζ²).
Hãy tách ω (rad/s) và f (Hz) ra. Chúng khác nhau hệ số 2π ≈ 6,28, và nhầm chúng là cách mất điểm phổ biến nhất.
5Một ví dụ có lời giải
Theo dõi từng bước. Hãy thử đoán bước tiếp theo trước khi mở nó.
Ví dụ có lời giải
Một vật 50 kg treo vào lò xo có độ cứng 20 kN/m. Bỏ qua sự cản. Tìm tần số riêng fn theo Hz và chu kỳ dao động.
1
Vẽ và đổi đơn vị
Độ cứng phải tính bằng N/m: k = 20 kN/m = 20 000 N/m. Khối lượng đã tính bằng kg.
2
Tần số góc riêng
ωn = √(k / m) = √(20 000 / 50) = √400 = 20 rad/s
3
Đổi sang hertz
Chia cho 2π để đếm số chu kỳ đầy đủ mỗi giây:
fn = 20 / (2π) = 3,18 Hz
4
Chu kỳ
T = 1 / fn = 1 / 3,183 = 0,314 s
Vật thực hiện hơn ba chu kỳ lên xuống đầy đủ một chút mỗi giây.
5
Kiểm tra đáp án
Độ võng tĩnh là δst = m·g/k = 50 · 9,81 / 20 000 = 0,0245 m.
ωn = √(9,81 / 0,0245) = 20 rad/s
Cùng 20 rad/s đó, tìm theo cách khác. Đáp án đúng.
6
Đi xa hơn: thêm bộ giảm chấn
Với bộ giảm chấn c = 400 N·s/m: cc = 2·√(20 000 · 50) = 2000 N·s/m, nên ζ = 400/2000 = 0,2.
ωd = 20 · √(1 − 0,2²) = 19,6 rad/s, fd = 3,12 Hz
Đáp số
fn ≈ 3,18 Hz (ωn = 20 rad/s), và chu kỳ là T ≈ 0,314 s.
6Lỗi thường gặp
Đưa ωn theo rad/s khi đề hỏi fn theo Hz, hoặc ngược lại.
Để độ cứng tính bằng kN/m. Công thức cần N/m.
Cộng các lò xo nối tiếp như thể chúng song song.
Quên số 2 trong cc = 2·√(k·m).
Dùng trọng lượng m·g thay vì khối lượng m trong ωn = √(k/m).
Tự kiểm tra Một vật 4 kg treo vào lò xo 400 N/m. Tần số riêng của nó theo Hz là bao nhiêu?
0,05 Hz
1,59 Hz
10 Hz
62,8 Hz
Đáp số: 1,59 Hz. ωn = √(400/4) = 10 rad/s, và fn = 10/(2π) = 1,59 Hz. Dừng ở 10 là rad/s, không phải Hz; nhân với 2π cho 62,8; dùng 0,4 (kN/m) cho 0,05 Hz.
7Các câu hỏi thi trông như thế nào
Dễ: tần số riêng. Một vật gắn lò xo: tìm ωn theo rad/s hoặc fn theo Hz. Một số câu hỏi chỉ cho độ võng tĩnh của một máy trên giá đỡ của nó.
Trung bình: tỷ số cản. Tìm ζ từ m, k và c, hoặc tìm tần số có cản fd từ một ζ cho trước. Các câu khác cho hai đỉnh từ một thử nghiệm dao động tự do.
Khó: lò xo nối tiếp và song song, đôi khi cả hai (hai lò xo cạnh nhau giữ một thanh, với lò xo thứ ba ở dưới). Tìm keq trước, rồi fn.
Với hai đỉnh x0 và xn cách nhau n chu kỳ, dùng độ giảm lôgarit:
Một vật 40 kg treo vào một lò xo có độ cứng 15 kN/m. Bỏ qua lực cản. Tìm tần số riêng fn theo Hz.
m = 40 kgk = 15 kN/m
Tìm fn(Hz)
Hiện các gợi ý
Làm việc theo đơn vị SI: k theo N/m.
ωn = √(k/m), fn = ωn/(2π).
k = 15000 N/m.
Hiện đáp án và lời giải từng bước
Dao động tự do của hệ vật–lò xo: tần số riêng không cản là ωn = √(k/m) theo rad/s, và fn = ωn/(2π) theo Hz. Một bộ cản nhớt c cho hệ số cản ζ = c/cc, với cản tới hạn cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Hệ cản dưới tới hạn (ζ < 1) dao động ở ωd = ωn·√(1 − ζ²). Các lò xo song song cộng lại, k = k₁ + k₂; các lò xo nối tiếp cộng theo nghịch đảo, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
Tần số góc riêng
ωn = √(k/m) = √(15000/40) = 19,36 rad/s
Theo hertz
fn = ωn/(2π) = 19,36/(2π) = 3,082 Hz
Đáp số
fn = 3,082 Hz
Ví dụ 2Trung bình
Một vật 10 kg trên lò xo có độ cứng 50 kN/m có bộ cản nhớt cho hệ số cản 0,4. Tìm tần số riêng có cản fd của dao động tự do theo Hz.
m = 10 kgk = 50 kN/mζ = 0,4
Tìm fd(Hz)
Hiện các gợi ý
Hãy tìm tần số riêng không cản trước.
ωn = √(k/m), fn = ωn/(2π).
fd = fn·√(1 − ζ²).
Hiện đáp án và lời giải từng bước
Dao động tự do của hệ vật–lò xo: tần số riêng không cản là ωn = √(k/m) theo rad/s, và fn = ωn/(2π) theo Hz. Một bộ cản nhớt c cho hệ số cản ζ = c/cc, với cản tới hạn cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Hệ cản dưới tới hạn (ζ < 1) dao động ở ωd = ωn·√(1 − ζ²). Các lò xo song song cộng lại, k = k₁ + k₂; các lò xo nối tiếp cộng theo nghịch đảo, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
Tần số riêng không cản
ωn = √(50000/10) = 70,71 rad/s
fn = 70,71/(2π) = 11,25 Hz
Tần số riêng có cản
fd = fn·√(1 − ζ²) = 11,25·√(1 − 0,4²) = 10,31 Hz
Đáp số
fd = 10,31 Hz
Ví dụ 3Khó
Một vật 5 kg treo vào hai lò xo nối đầu với đầu (nối tiếp): lò xo trên có k₁ = 80 kN/m và lò xo dưới có k₂ = 20 kN/m. Tìm độ cứng tương đương keq của hệ lò xo theo kN/m.
m = 5 kgk1 = 80 kN/mk2 = 20 kN/m
Tìm keq(kN/m)
Hiện các gợi ý
Các lò xo song song có chung độ võng: độ cứng cộng lại. Các lò xo nối tiếp có chung lực: độ mềm 1/k cộng lại.
1/keq = 1/k₁ + 1/k₂.
keq < 20 kN/m.
Hiện đáp án và lời giải từng bước
Dao động tự do của hệ vật–lò xo: tần số riêng không cản là ωn = √(k/m) theo rad/s, và fn = ωn/(2π) theo Hz. Một bộ cản nhớt c cho hệ số cản ζ = c/cc, với cản tới hạn cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Hệ cản dưới tới hạn (ζ < 1) dao động ở ωd = ωn·√(1 − ζ²). Các lò xo song song cộng lại, k = k₁ + k₂; các lò xo nối tiếp cộng theo nghịch đảo, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
Độ cứng tương đương
Các lò xo nối tiếp chịu cùng một lực và cộng độ võng, nên chúng gộp theo nghịch đảo: 1/k = 1/k1 + 1/k2.
Treo một vật nặng vào lò xo, kéo nó xuống một chút rồi thả ra. Nó nảy lên xuống quanh vị trí nghỉ. Chuyển động lặp lại đó là một dao động.
Mỗi hệ như vậy có nhịp điệu ưa thích riêng, gọi là tần số riêng. Nó chỉ phụ thuộc vào độ cứng của lò xo và độ nặng của vật, không phụ thuộc vào bạn kéo bao xa.
Làm thế nào để giải bài tập Dao động cơ học từng bước?
Dao động tự do của hệ vật–lò xo: tần số riêng không cản là ωn = √(k/m) theo rad/s, và fn = ωn/(2π) theo Hz. Một bộ cản nhớt c cho hệ số cản ζ = c/cc, với cản tới hạn cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Hệ cản dưới tới hạn (ζ < 1) dao động ở ωd = ωn·√(1 − ζ²). Các lò xo song song cộng lại, k = k₁ + k₂; các lò xo nối tiếp cộng theo nghịch đảo, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
Những lỗi thường gặp trong Dao động cơ học là gì?
Đó là ωn theo rad/s. Chia cho 2π để có tần số theo Hz.
Đổi kN/m sang N/m (nhân với 1000) trước khi dùng ωn = √(k/m).
Chia ωn cho 2π để có Hz; đừng nhân.
Các bài tập Dao động cơ học bao gồm những gì?
Dễ: tần số riêng
Trung bình: tỉ số cản
Khó: lò xo mắc nối tiếp và song song
Mỗi bài tập có số liệu mới, nên bạn học phương pháp chứ không học thuộc đáp án. Bí rồi? Hãy mở một gợi ý nhỏ trước, và chỉ xem giải thích đầy đủ khi cần.
Cách luyện tập hoạt động
Mỗi bài tập có số liệu mới, nên bạn học phương pháp chứ không học thuộc đáp án.
Bí rồi? Hãy mở một gợi ý nhỏ trước, và chỉ xem giải thích đầy đủ khi cần.
Tiến độ, lỗi sai và các bài đã lưu của bạn được giữ lại, để bạn xem lại trước kỳ thi.