Một trục là một thanh quay truyền đi một tác dụng quay: trục truyền động của ô tô, trục chính của máy khoan, trục của máy bơm.
Tác dụng quay là mômen xoắn T. Nó là lực nhân với cánh tay đòn, tính bằng N·m. Đẩy 200 N ở đầu một cờ lê dài 0,5 m cho T = 200 · 0,5 = 100 N·m.
Một trục chịu mômen xoắn đang ở trạng thái xoắn. Nó xoắn một chút, và vật liệu của nó chịu ứng suất cắt τ (tau): các lát cắt kề nhau của trục cố trượt qua nhau.
Hai câu hỏi quan trọng trong thiết kế: ứng suất cắt có đủ thấp không (độ bền), và góc xoắn có đủ nhỏ không (độ cứng)?
Tự kiểm tra Bạn đẩy 200 N ở đầu một cờ lê dài 0,5 m, vuông góc. Mômen bạn tác dụng là bao nhiêu?
100 N·m
200 N·m
400 N·m
50 N·m
Đáp số: 100 N·m. T = F·r = 200 · 0,5 = 100 N·m. Chia cho 0,5 cho 400; quên cánh tay đòn cho 200.
2Ứng suất cắt và mômen quán tính độc cực
Tâm của trục hầu như không biến dạng. Điểm càng xa tâm thì càng bị cắt nhiều. Vì vậy ứng suất cắt tăng tuyến tính theo bán kính, từ không tại tâm đến cực đại tại bề mặt.
τ = T · ρ / J τmax = T · r / J
Ở đây ρ (rho) là khoảng cách từ tâm, r = d/2 là bán kính ngoài, và J là mômen quán tính độc cực của diện tích. J đo tiết diện chống xoắn tốt đến đâu:
Với trục đặc đường kính d, và trục rỗng có đường kính ngoài do và đường kính trong di:
J = π · d⁴ / 32 J = π · (do⁴ − di⁴) / 32
Với trục đặc, hai công thức kết hợp thành một công thức ngắn:
τmax = 16 · T / (π · d³)
Làm việc bằng N·mm và mm, để ứng suất ra theo N/mm² = MPa. 1 N·m = 1000 N·mm.
Tự kiểm tra Trong một trục đặc, τmax = 60 MPa. Ứng suất cắt ở giữa tâm và bề mặt là bao nhiêu?
0 MPa
15 MPa
30 MPa
60 MPa
Đáp số: 30 MPa. Ứng suất tăng tuyến tính theo ρ, nên tại ρ = r/2 nó bằng một nửa τmax: 30 MPa. Nó không giống nhau ở mọi nơi, và chỉ bằng không tại tâm.
3Góc xoắn và công suất
Đầu tự do của trục quay một góc xoắn φ (phi). Trục dài hơn hoặc mảnh hơn xoắn nhiều hơn; vật liệu cứng hơn xoắn ít hơn:
φ = T · L / (G · J)
G là môđun cắt của vật liệu: khoảng 80 GPa với thép và 26 GPa với nhôm. Công thức cho φ theo radian. Nhân với 180/π để ra độ.
Trục thường truyền công suất từ động cơ. Công suất là mômen nhân tốc độ góc, trong đó tốc độ tính bằng rpm trước hết phải đổi sang rad/s:
P = T · ω ω = 2π · N / 60
Vì vậy câu hỏi cho kW và rpm bắt đầu bằng T = P/ω, với P tính bằng oát.
Tự kiểm tra Một trục quay ở ω = 100 rad/s và truyền 5 kW. Nó chịu mômen bao nhiêu?
0,05 N·m
20 N·m
50 N·m
500 000 N·m
Đáp số: 50 N·m. T = P/ω = 5000 W / 100 rad/s = 50 N·m. Đáp án 0,05 do dùng 5 thay vì 5000 W; 20 là chia ω cho P.
4Phương pháp từng bước
Nếu cho công suất và tốc độ, hãy tìm mômen trước: ω = 2πN/60, rồi T = P/ω.
Đổi sang N và mm: T tính bằng N·mm (N·m × 1000), L bằng mm, G bằng MPa (GPa × 1000).
Tìm J: π·d⁴/32 cho trục đặc, π(do⁴ − di⁴)/32 cho trục rỗng.
Ứng suất cắt: τmax = T·r/J với r là bán kính ngoài.
Góc xoắn: φ = TL/(GJ) theo radian, rồi × 180/π nếu hỏi theo độ.
Với câu hỏi thiết kế (tìm d), viết τmax = 16T/(πd³) bằng ứng suất cho phép và giải theo d.
5Một ví dụ có lời giải
Theo dõi từng bước. Hãy thử đoán bước tiếp theo trước khi mở nó.
Ví dụ có lời giải
Một trục thép đặc (G = 80 GPa) đường kính 40 mm và dài 1 m được ngàm một đầu. Một mômen 500 N·m tác dụng ở đầu tự do. Tìm τmax và góc xoắn φ theo độ.
1
Quan sát trục và đổi đơn vị
T = 500 N·m = 500 000 N·mm, L = 1000 mm, G = 80 000 MPa, r = 20 mm.
2
Mômen quán tính độc cực của mặt cắt
J = π · 40⁴ / 32 = 251 327 mm⁴
3
Ứng suất tiếp lớn nhất
τmax = T · r / J = 500 000 · 20 / 251 327 = 39,8 MPa
Công thức ngắn cho cùng kết quả: 16 · 500 000 / (π · 40³) = 39,8 MPa.
Chưa đến một độ rưỡi trên một mét trục thép là một kích thước hợp lý.
Đáp số
τmax = 39,8 MPa và φ = 1,42°.
6Lỗi thường gặp
Dùng đường kính thay vì bán kính trong τ = T·r/J. Điều đó làm ứng suất gấp đôi.
Quên đổi N·m sang N·mm, làm ứng suất nhỏ hơn thực tế 1000 lần.
Dùng trực tiếp rpm trong P = T·ω. Hãy đổi sang rad/s bằng ω = 2πN/60 trước.
Đưa φ theo radian khi đề hỏi theo độ, hoặc ngược lại.
Với trục rỗng: trừ các đường kính trước khi lũy thừa bốn. Hãy dùng do⁴ − di⁴.
Tự kiểm tra Một trục rỗng có đường kính ngoài 40 mm có J = 200 000 mm⁴. Nó chịu T = 1000 N·m. τmax bằng bao nhiêu?
0,1 MPa
100 MPa
200 MPa
5 MPa
Đáp số: 100 MPa. τ = T·r/J = 1 000 000 · 20 / 200 000 = 100 MPa. Dùng r = 40 mm (đường kính) cho 200 MPa; để T tính bằng N·m cho 0,1 MPa; quên r cho 5.
7Các câu hỏi thi trông như thế nào
Dễ: ứng suất cắt. Một trục đặc đường kính d chịu T; tìm τmax. Các biến thể hỏi ứng suất tại một bán kính cho trước hoặc mômen cho phép.
Trung bình: góc xoắn. Bạn còn được cho L và G; tìm φ theo độ. Các biến thể dùng trục rỗng hoặc trục bậc.
Khó: truyền công suất. Cho công suất theo kW và tốc độ theo rpm; tìm mômen, rồi τmax trong trục rỗng hoặc đường kính nhỏ nhất ứng với một ứng suất cho phép.
Hãy ghi mômen theo N·mm cạnh bài toán trước mọi thứ khác. Đó là con số mà mọi bước sau đều dùng.
Một trục đặc đường kính 40 mm chịu mô-men xoắn 750 N·m. Tìm ứng suất cắt τρ tại bán kính 15 mm tính từ tâm.
T = 750 N·md = 40 mmρ = 15 mm
Tìm τρ(MPa)
Hiện các gợi ý
Ứng suất cắt trong trục tròn tỉ lệ với khoảng cách từ tâm: τ = T·ρ/J.
Dùng N và mm xuyên suốt: T theo N·mm, L theo mm, G theo MPa (GPa × 1000), J theo mm⁴.
J = 251327 mm⁴.
Hiện đáp án và lời giải từng bước
Xoắn thanh tròn: ứng suất tiếp tăng tuyến tính từ không ở tâm đến τmax = T·r/J ở bề mặt, với J = πd⁴/32 cho trục đặc và J = π(do⁴ − di⁴)/32 cho trục rỗng. Góc xoắn là φ = TL/(GJ) tính bằng radian. Công suất và mômen xoắn liên hệ với nhau qua P = T·ω.
Mômen quán tính độc cực của mặt cắt
J = π·40⁴/32 = 251327 mm⁴
Ứng suất cắt tại ρ
Để so sánh, tại bề mặt τmax = 59,68 MPa.
T = 750 N·m = 750000 N·mm
τρ = T·ρ/J = 750000·15/251327 = 44,76 MPa
Đáp số
τρ = 44,76 MPa
Ví dụ 2Trung bình
Một trục đặc đồng thau được ngàm vào tường và bị xoắn bởi mômen xoắn T ở đầu tự do. Tìm góc xoắn φ của đầu tự do, theo độ.
T = 750 N·md = 40 mmL = 1,5 mG = 39 GPa
Tìm φ(°)
Hiện các gợi ý
Dùng φ = TL/(GJ), cho ra radian.
Dùng N và mm xuyên suốt: T theo N·mm, L theo mm, G theo MPa (GPa × 1000), J theo mm⁴.
J = 251327 mm⁴.
Hiện đáp án và lời giải từng bước
Xoắn thanh tròn: ứng suất tiếp tăng tuyến tính từ không ở tâm đến τmax = T·r/J ở bề mặt, với J = πd⁴/32 cho trục đặc và J = π(do⁴ − di⁴)/32 cho trục rỗng. Góc xoắn là φ = TL/(GJ) tính bằng radian. Công suất và mômen xoắn liên hệ với nhau qua P = T·ω.
Mômen quán tính độc cực của mặt cắt
J = π·40⁴/32 = 251327 mm⁴
Góc xoắn
φ = TL/(GJ) = 750·1000·1500/(39000·251327) = 0,1148 rad
φ = 0,1148·180/π = 6,576°
Đáp số
φ = 6,576°
Ví dụ 3Khó
Một trục đặc phải truyền 15 kW ở 1000 rpm mà ứng suất tiếp không vượt quá 75 MPa. Tìm đường kính nhỏ nhất d thỏa mãn.
P = 15 kWN = 1000 rpmτallow = 75 MPa
Tìm d(mm)
Hiện các gợi ý
Mômen xoắn từ công suất: T = P/ω với ω = 2πN/60 theo rad/s.
Cho τmax = 16T/(πd³) bằng ứng suất cho phép và giải tìm d.
T = 143,2 N·m.
Hiện đáp án và lời giải từng bước
Xoắn thanh tròn: ứng suất tiếp tăng tuyến tính từ không ở tâm đến τmax = T·r/J ở bề mặt, với J = πd⁴/32 cho trục đặc và J = π(do⁴ − di⁴)/32 cho trục rỗng. Góc xoắn là φ = TL/(GJ) tính bằng radian. Công suất và mômen xoắn liên hệ với nhau qua P = T·ω.
Mômen xoắn
ω = 2πN/60 = 2π·1000/60 = 104,7 rad/s
T = P/ω = 15000/104,7 = 143,2 N·m
Đường kính từ ứng suất cho phép
d = ∛(16T/(π·τallow)) = ∛(16·143239/(π·75)) = 21,35 mm
Đáp số
d = 21,35 mm
Trong thực tế bạn sẽ làm tròn lên kích thước tiêu chuẩn kế tiếp.
Câu hỏi thường gặp
Xoắn của trục là gì?
Một trục là một thanh quay truyền đi một tác dụng quay: trục truyền động của ô tô, trục chính của máy khoan, trục của máy bơm.
Tác dụng quay là mômen xoắn T. Nó là lực nhân với cánh tay đòn, tính bằng N·m. Đẩy 200 N ở đầu một cờ lê dài 0,5 m cho T = 200 · 0,5 = 100 N·m.
Làm thế nào để giải bài tập Xoắn của trục từng bước?
Tìm mômen quán tính độc cực: J = πd⁴/32 cho trục đặc.
Ứng suất tiếp ở bề mặt: τ = T·r/J, với r là bán kính ngoài.
Góc xoắn: φ = TL/(GJ) theo radian.
Nếu cho công suất, hãy tìm mômen xoắn trước bằng P = T·ω, ω = 2πn/60.
Những lỗi thường gặp trong Xoắn của trục là gì?
Dùng đường kính thay vì bán kính trong τ = T·r/J.
Quên đổi rpm sang rad/s.
Cho góc xoắn theo radian khi câu hỏi yêu cầu độ.
Các bài tập Xoắn của trục bao gồm những gì?
Dễ: ứng suất tiếp
Trung bình: góc xoắn
Khó: truyền công suất
Mỗi bài tập có số liệu mới, nên bạn học phương pháp chứ không học thuộc đáp án. Bí rồi? Hãy mở một gợi ý nhỏ trước, và chỉ xem giải thích đầy đủ khi cần.
Cách luyện tập hoạt động
Mỗi bài tập có số liệu mới, nên bạn học phương pháp chứ không học thuộc đáp án.
Bí rồi? Hãy mở một gợi ý nhỏ trước, và chỉ xem giải thích đầy đủ khi cần.
Tiến độ, lỗi sai và các bài đã lưu của bạn được giữ lại, để bạn xem lại trước kỳ thi.