Học Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suất từ đầu
Trước bài này: Ứng suất và biến dạng dọc trục
1Vì sao ứng suất phụ thuộc vào hướng
Trong bài về tải trọng dọc trục, ứng suất là một con số: lực chia cho diện tích. Nhưng ứng suất tại một điểm phụ thuộc vào hướng của mặt cắt mà bạn xét.
Hãy vặn một viên phấn cho đến khi nó gãy. Nó gãy theo một đường xoắn ở 45°, không phải ngang thẳng. Trên mặt phẳng 45° đó, ứng suất kéo lớn nhất, và phấn chịu kéo kém.
Để mô tả ứng suất tại một điểm, kỹ sư vẽ một hình vuông nhỏ, gọi là phân tố ứng suất, với các ứng suất trên các mặt của nó:
- σx và σy là ứng suất pháp, vuông góc với các mặt. Dương nghĩa là kéo (mũi tên hướng ra ngoài), âm nghĩa là nén.
- τxy là ứng suất tiếp, dọc theo các mặt. Nó có xu hướng biến hình vuông thành hình thoi.
Xoay hình vuông thì ứng suất trên các mặt của nó thay đổi. Bài này chỉ cách tìm chúng cho mọi hướng, và hướng nào nguy hiểm nhất.
Tự kiểm tra Tại một điểm, σx = −40 MPa. Điều này có nghĩa là gì?
- Một lực kéo 40 MPa theo phương x
- Một lực nén 40 MPa theo phương x
- Một lực nén 40 MPa theo phương y
- Một ứng suất tiếp 40 MPa
Đáp số: Một lực nén 40 MPa theo phương x. Với quy ước dấu thông thường, kéo là dương, nên σx âm là nén, tác dụng lên các mặt pháp tuyến với x.
2Vòng tròn Mohr
Vòng tròn Mohr là một hình ảnh của mọi hướng cùng lúc. Mỗi điểm trên vòng tròn là một mặt cắt có thể có qua điểm đó trong chi tiết.
Vẽ ứng suất pháp σ sang phải và ứng suất tiếp τ hướng lên. Sau đó đánh dấu hai điểm:
- điểm x tại (σx, τxy): ứng suất trên mặt pháp tuyến với x,
- điểm y tại (σy, −τxy): ứng suất trên mặt pháp tuyến với y.
Vòng tròn đi qua cả hai điểm. Tâm C của nó nằm trên trục σ, ở giữa hai điểm. Bán kính R suy ra từ định lý Pythagoras:
C = (σx + σy) / 2 R = √( ((σx − σy)/2)² + τxy² )
Nơi vòng tròn cắt trục σ, ứng suất tiếp bằng không. Hai giá trị này là các ứng suất chính, ứng suất pháp lớn nhất và nhỏ nhất tại điểm đó. Đỉnh của vòng tròn là ứng suất tiếp lớn nhất trong mặt phẳng:
σ1 = C + R σ2 = C − R τmax = R
Tự kiểm tra σx = 50 MPa, σy = 10 MPa và τxy = 15 MPa. σ1 bằng bao nhiêu?
- 45 MPa
- 50 MPa
- 55 MPa
- 65 MPa
Đáp số: 55 MPa. C = 30 MPa và R = √(20² + 15²) = 25 MPa, nên σ1 = 55 MPa. Đáp án 65 là cộng 20 + 15 thay vì dùng Pythagoras; đáp án 50 bỏ qua ứng suất tiếp.
3Góc: gấp đôi trên vòng tròn
Xoay phân tố một góc θ làm điểm của nó trên vòng tròn Mohr dịch chuyển một góc 2θ, cùng chiều. Ngược chiều kim đồng hồ là dương.
Hướng của σ1 là góc θp so với trục x, tìm từ:
tan 2θp = 2τxy / (σx − σy)
Chú ý góc phần tư. Nếu σx − σy âm, hãy cộng 180° vào 2θp khi τxy > 0, hoặc trừ 180° khi τxy < 0. Rồi chia đôi.
Các mặt phẳng có ứng suất tiếp cực đại cách các phương chính 45° (90° trên vòng tròn).
Với mặt phẳng có pháp tuyến xoay một góc θ so với trục x, các ứng suất là:
σθ = C + (σx − σy)/2 · cos 2θ + τxy · sin 2θ
τθ = −(σx − σy)/2 · sin 2θ + τxy · cos 2θ
Tự kiểm tra Tại một điểm, tan 2θp = 1 và σx − σy dương. θp bằng bao nhiêu?
- 22,5°
- 45°
- 90°
- −67,5°
Đáp số: 22,5°. 2θp = 45°, nên θp = 22,5°. Trả lời 45° là quên chia đôi góc lấy từ vòng tròn. −67,5° là phương của σ2, lệch 90°.
4Phương pháp từng bước
- Ghi lại σx, σy và τxy kèm dấu: kéo dương, nén âm.
- Tìm tâm C = (σx + σy)/2.
- Tìm bán kính R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
- Ứng suất chính: σ1 = C + R và σ2 = C − R. Ứng suất tiếp lớn nhất trong mặt phẳng: τmax = R.
- Phương: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy), kiểm tra góc phần tư, rồi chia đôi.
- Với một mặt phẳng θ cho trước: dùng các phương trình σθ và τθ với 2θ.
Một hình phác nhanh của vòng tròn, dù sơ sài, cho bạn thấy các dấu và điểm nào là σ1.
5Một ví dụ có lời giải
Theo dõi từng bước. Hãy thử đoán bước tiếp theo trước khi mở nó.
Ví dụ có lời giảiMột điểm có σx = 80 MPa, σy = 20 MPa và τxy = 40 MPa. Tìm các ứng suất chính, τmax, phương θp của σ1, và ứng suất pháp trên mặt phẳng xoay 45° ngược chiều kim đồng hồ.
1Cả hai ứng suất pháp đều là kéo. Ứng suất tiếp dương.
2C = (80 + 20) / 2 = 50 MPa
R = √(30² + 40²) = 50 MPa
3σ1 = 50 + 50 = 100 MPa σ2 = 50 − 50 = 0 MPa
τmax = R = 50 MPa
4tan 2θp = 2 · 40 / (80 − 20) = 1,333
σx − σy dương, nên không cần hiệu chỉnh: 2θp = 53,1° và θp = 26,6° ngược chiều kim đồng hồ so với trục x.
5Với θ = 45°, 2θ = 90°: cos 2θ = 0 và sin 2θ = 1.
σθ = 50 + 30 · 0 + 40 · 1 = 90 MPa
6Tổng σx + σy = 100 MPa bằng σ1 + σ2 = 100 MPa. Tổng này không đổi với mọi phép xoay, nên là một cách kiểm tra nhanh.
Ngoài ra, 90 MPa nằm giữa σ2 = 0 và σ1 = 100 MPa, như mọi ứng suất pháp phải thế.
Đáp số σ1 = 100 MPa, σ2 = 0, τmax = 50 MPa, θp = 26,6° và σ45° = 90 MPa.
6Lỗi thường gặp
- Cộng trực tiếp (σx − σy)/2 và τxy. Bán kính kết hợp chúng bằng định lý Pythagoras.
- Dùng θ thay vì 2θ trong các phương trình biến đổi, hoặc quên chia đôi góc đọc từ vòng tròn.
- Bỏ sót dấu trừ: ứng suất nén phải được đưa vào như một số âm.
- Vẽ điểm y tại (σy, +τxy). Nó nằm ở −τxy, phía đối diện tâm so với x.
- Bỏ sót góc phần tư của 2θp khi σx < σy.
Tự kiểm tra σx = 60 MPa, σy = 0 và τxy = 40 MPa. Ứng suất tiếp lớn nhất trong mặt phẳng là bao nhiêu?
- 30 MPa
- 40 MPa
- 50 MPa
- 70 MPa
Đáp số: 50 MPa. τmax = R = √(30² + 40²) = 50 MPa. Đáp án 70 là cộng 30 + 40; 30 bỏ qua ứng suất tiếp; 40 chỉ là τxy.
7Các câu hỏi thi trông như thế nào
- Dễ: ứng suất chính. Cho σx, σy và τxy, tìm σ1 hoặc σ2. Các biến thể: trượt thuần túy, hoặc thanh chịu kéo dọc trục bị cắt nghiêng một góc.
- Trung bình: ứng suất tiếp cực đại và phương chính. Tìm τmax = R hoặc góc θp, trong khoảng từ −90° đến 90°.
- Khó: ứng suất trên mặt phẳng nghiêng. Dùng phương trình σθ hoặc τθ với 2θ. Các biến thể kết hợp tải dọc trục và xoắn, hoặc dùng các ứng suất chính trong kiểm tra phá hủy như von Mises hay Tresca.
Hãy ghi C và R ra trước. Gần như mọi câu hỏi trong chủ đề này đều giải được từ hai số đó.
Học từng bước một trong ứng dụngHọc từng bước một trong ứng dụng