Phản lực gối của dầm: bài tập có lời giải từng bước
Bài tập Phản lực gối của dầm miễn phí có hình vẽ, gợi ý và lời giải đầy đủ. Số liệu mới mỗi lần, ở ba mức độ: 1 tải tập trung, 2 tải tập trung, tải tập trung + tải phân bố đều.
Bài tập miễn phíDễ
Dầm đơn giản có gối cố định tại A và gối di động tại B. Tìm phản lực thẳng đứng RA.
Vẽ sơ đồ vật thể tự do và thay mỗi gối đỡ bằng các phản lực của nó.
Thay mọi tải phân bố bằng một lực duy nhất đặt tại trọng tâm của nó.
Lấy mômen quanh một gối để tìm phản lực ở gối kia.
Dùng ΣFy = 0 để tìm phản lực còn lại, và kiểm tra bằng một phương trình mômen thứ hai.
Lỗi thường gặp
Lấy cánh tay đòn từ sai điểm.
Quên đổi tải phân bố thành hợp lực của nó.
Nhầm gối nào chịu phản lực nào.
Công thức chính
Cân bằng
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Tải phân bố đều
hợp lực w·L đặt tại giữa đoạn tải
Mômen
M = F·d
Học Phản lực gối của dầm từ đầu
1Phản lực liên kết là gì
Dầm là một cấu kiện thẳng dài mang tải qua một khoảng hở, như một cái kệ, một thanh dầm sàn hay một cây cầu nhỏ.
Dầm đặt trên các gối đỡ. Khi tải đẩy dầm xuống, các gối đỡ đẩy lên lại. Những lực hướng lên này là các phản lực liên kết.
Ở đây một tải 10 kN nằm chính giữa. Do đối xứng, mỗi gối đỡ chịu một nửa: RA = RB = 5 kN.
Khi tải không ở giữa, gối đỡ gần hơn chịu nhiều hơn. Tìm chính xác là bao nhiêu là chủ đề của bài học này.
Bạn cần các phản lực trước cho hầu hết mọi câu hỏi khác về dầm: lực cắt, mômen uốn, ứng suất và độ võng.
Tự kiểm tra Một dầm trên hai gối đỡ chịu 10 kN đúng tại giữa nhịp. Phản lực ở mỗi gối đỡ là bao nhiêu?
10 kN
2,5 kN
20 kN
5 kN
Đáp số: 5 kN. Hai phản lực cộng lại phải chịu toàn bộ 10 kN, và do đối xứng chúng bằng nhau: 10/2 = 5 kN. 10 kN ở mỗi gối đỡ là chịu tải hai lần.
2Gối đỡ, mômen và cân bằng
Mỗi loại gối đỡ có thể đẩy lại theo cách riêng.
Một gối con lăn (B trong hình) chỉ có thể đẩy vuông góc với bề mặt mà nó lăn trên. Nó cho một phản lực thẳng đứng.
Một gối bản lề (A) ngăn dầm chuyển động theo mọi hướng. Nó cho một phản lực thẳng đứng và một phản lực ngang. Với chỉ tải thẳng đứng, phản lực ngang bằng không.
Một gối ngàm, như một bức tường, còn ngăn dầm quay. Nó cho một lực thẳng đứng và một mômen phản lực.
Mômen là tác dụng quay của một lực quanh một điểm. Nó bằng lực nhân với khoảng cách vuông góc của nó từ điểm đó:
M = F · d
Một dầm đứng yên không chuyển động và không quay. Vì vậy ba phương trình cân bằng được thỏa mãn:
ΣFx = 0 ΣFy = 0 ΣM = 0
Phương trình mômen đúng quanh bất kỳ điểm nào. Hãy chọn một gối đỡ làm điểm đó: phản lực của nó có khoảng cách bằng không, nên biến mất khỏi phương trình.
Tự kiểm tra Một lực 6 kN tác dụng cách điểm A 2 m. Mômen của nó quanh A là bao nhiêu?
12 kN·m
3 kN·m
6 kN·m
8 kN·m
Đáp số: 12 kN·m. M = F·d = 6·2 = 12 kN·m. Chia (3) hoặc cộng (8) lực và khoảng cách là các lỗi thường gặp.
3Tải phân bố
Một số tải được trải dọc dầm, như trọng lượng của sàn hay của tuyết. Một tải phân bố đều (UDL) có cùng giá trị w trên mỗi mét, theo kN/m.
Với các phản lực, bạn có thể thay một UDL bằng một lực duy nhất. Độ lớn của nó là tải trên mỗi mét nhân với chiều dài chịu tải, và nó tác dụng tại điểm giữa của phần chịu tải:
W = w · ℓ
Trong hình, ℓ = 3 m, nên W = 4 · 3 = 12 kN. Nó tác dụng tại điểm giữa của tải, tại x = 1 + 1,5 = 2,5 m từ A.
Một dầm công xôn được ngàm chỉ ở một đầu, như một ban công. Tường cho một lực hướng lên và một mômen. Với tải ở đầu mút P tại khoảng cách L: RA = P và MA = P·L.
Trong dầm công xôn này, RA = 5 kN và MA = 5 · 3 = 15 kN·m.
Tự kiểm tra Một UDL 4 kN/m tác dụng từ x = 1 m đến x = 4 m. Lực duy nhất nào thay thế nó, và ở đâu?
12 kN tại x = 1,5 m
12 kN tại x = 2 m
12 kN tại x = 2,5 m
4 kN tại x = 2,5 m
Đáp số: 12 kN tại x = 2,5 m. W = 4·3 = 12 kN tại điểm giữa của tải, 1 + 1,5 = 2,5 m từ A. 1,5 m được đo từ đầu của tải, không phải từ A. 2 m là điểm giữa của toàn nhịp, không phải của phần chịu tải.
4Phương pháp từng bước
Vẽ dầm và thay mỗi gối đỡ bằng các phản lực của nó: RA tại gối bản lề và RB tại gối con lăn.
Thay mỗi UDL bằng một lực duy nhất w·ℓ tại điểm giữa của phần chịu tải.
Lấy mômen quanh A. RA biến mất, nên bạn tìm được RB trực tiếp: RB·L = Σ(mỗi tải × khoảng cách của nó từ A).
Dùng ΣFy = 0: RA = (tổng tải) − RB.
Kiểm tra: lấy mômen quanh B. Điều này phải cho cùng RA.
Quy tắc dấu cho bước 3: phản lực RB làm dầm quay theo một chiều quanh A, các tải hướng xuống làm nó quay theo chiều kia. Mômen của chúng phải cân bằng.
5Một ví dụ có lời giải
Theo dõi từng bước. Hãy thử đoán bước tiếp theo trước khi mở nó.
Ví dụ có lời giải
Một dầm đơn giản có nhịp 6 m chịu P1 = 12 kN tại 2 m từ A và P2 = 6 kN tại 4 m từ A. Tìm RA và RB.
1
Vẽ sơ đồ vật tự do
Gối bản lề tại A và gối con lăn tại B mỗi nơi cho một phản lực hướng lên. Có hai ẩn số, nên hai phương trình là đủ.
2
Mômen quanh A
RA đi qua A, nên nó không có mômen quanh A. Các tải làm dầm quay theo chiều kim đồng hồ, RB làm nó quay ngược chiều kim đồng hồ:
RB · 6 = 12 · 2 + 6 · 4 = 48
RB = 48 / 6 = 8 kN
3
Cân bằng lực thẳng đứng
Hai phản lực cộng lại chịu tổng tải 12 + 6 = 18 kN.
RA = 18 − 8 = 10 kN
4
Kiểm tra đáp án
Thay vào đó lấy mômen quanh B. Khoảng cách đến B là 4 m với P1 và 2 m với P2.
RA · 6 = 12 · 4 + 6 · 2 = 60 ⇒ RA = 10 kN
Cả hai cách đều cho cùng kết quả. RA là phản lực lớn hơn, điều này hợp lý: tải nặng hơn gần A hơn.
Đáp số
RA = 10 kN và RB = 8 kN.
6Lỗi thường gặp
Đo khoảng cách từ sai điểm. Trong phương trình mômen quanh A, mọi khoảng cách đều được đo từ A.
Đổi chỗ các phản lực. Lấy mômen quanh A cho RB, không phải RA.
Quên biến một UDL thành một lực w·ℓ, hoặc đặt lực đó tại điểm giữa của nhịp thay vì điểm giữa của tải.
Nhầm chiều quay, khiến một tải và một phản lực có cùng dấu trong phương trình mômen.
Không kiểm tra. Một phương trình mômen thứ hai quanh B phát hiện hầu hết lỗi chỉ trong vài giây.
Tự kiểm tra Một dầm 4 m trên hai gối đỡ chịu 8 kN tại 1 m từ A. RA bằng bao nhiêu?
2 kN
4 kN
6 kN
8 kN
Đáp số: 6 kN. Mômen quanh A: RB·4 = 8·1, nên RB = 2 kN và RA = 8 − 2 = 6 kN. 2 kN là RB: gối đỡ gần tải hơn chịu nhiều hơn.
7Các câu hỏi thi trông như thế nào
Dễ: một dầm đơn giản với một tải tập trung. Bạn tìm RA hoặc RB.
Trung bình: hai tải tập trung, như trong ví dụ có lời giải.
Khó: một tải tập trung cùng với một UDL trên một phần hoặc toàn bộ nhịp. Trước hết thay UDL bằng w·ℓ tại điểm giữa của nó.
Các dạng khác dùng cùng ba phương trình: dầm công xôn (tìm mômen ngàm MA), một tải xiên (chỉ dùng thành phần thẳng đứng của nó, P·sin θ), một ngẫu lực tác dụng, một dầm nhô ra khỏi một gối đỡ, hoặc một tải tam giác (hợp lực ½·w·ℓ tại một phần ba chiều dài kể từ đầu cao).
Đọc kỹ các kích thước dưới dầm và ghi mỗi khoảng cách từ A trước khi bắt đầu.
Dầm đơn giản có gối cố định tại A và gối di động tại B. Tìm phản lực thẳng đứng RB.
L = 4 mP = 55 kN tại 2 m
Tìm RB(kN)
Hiện các gợi ý
Dùng điều kiện cân bằng tĩnh: ΣFy = 0 và ΣM = 0. Hai ẩn số, hai phương trình.
Lấy mômen quanh A. RA đi qua A nên bị triệt tiêu và bạn tìm được ngay RB.
Tổng tải hướng xuống là 55 kN, nên RA + RB = 55 kN.
Hiện đáp án và lời giải từng bước
Cân bằng tĩnh: một vật đứng yên có ΣFx = 0, ΣFy = 0 và ΣM = 0 quanh mọi điểm. Lấy mômen quanh một gối sẽ loại phản lực của gối đó khỏi phương trình.
Sơ đồ vật thể tự do
Thay các gối đỡ bằng phản lực. Gối di động cho một phản lực thẳng đứng; khi chỉ có tải thẳng đứng, gối cố định cũng cho một phản lực thẳng đứng.
Cân bằng
Mômen quanh A, chiều ngược kim đồng hồ là dương. Sau đó cân bằng lực theo phương thẳng đứng.
ΣMA = 0: RB·4 = 55·2
RB = 110/4 = 27,5 kN
ΣFy = 0: RA = 55 − 27,5 = 27,5 kN
Đáp số
RB = 27,5 kN
Ví dụ 2Trung bình
Dầm đơn giản có gối cố định tại A và gối di động tại B. Tìm phản lực thẳng đứng RB.
L = 6 mP1 = 15 kN tại 2 mP2 = 30 kN tại 3 m
Tìm RB(kN)
Hiện các gợi ý
Dùng điều kiện cân bằng tĩnh: ΣFy = 0 và ΣM = 0. Hai ẩn số, hai phương trình.
Lấy mômen quanh A. RA đi qua A nên bị triệt tiêu và bạn tìm được ngay RB.
Tổng tải hướng xuống là 45 kN, nên RA + RB = 45 kN.
Hiện đáp án và lời giải từng bước
Cân bằng tĩnh: một vật đứng yên có ΣFx = 0, ΣFy = 0 và ΣM = 0 quanh mọi điểm. Lấy mômen quanh một gối sẽ loại phản lực của gối đó khỏi phương trình.
Sơ đồ vật thể tự do
Thay các gối đỡ bằng phản lực. Gối di động cho một phản lực thẳng đứng; khi chỉ có tải thẳng đứng, gối cố định cũng cho một phản lực thẳng đứng.
Cân bằng
Mômen quanh A, chiều ngược kim đồng hồ là dương. Sau đó cân bằng lực theo phương thẳng đứng.
ΣMA = 0: RB·6 = 15·2 + 30·3
RB = 120/6 = 20 kN
ΣFy = 0: RA = 45 − 20 = 25 kN
Đáp số
RB = 20 kN
Ví dụ 3Khó
Dầm đơn giản có gối cố định tại A và gối con lăn tại B. Một lực P tác dụng tại vị trí cách A 3 m, nghiêng 30° so với phương ngang, và một lực thẳng đứng Q tác dụng tại vị trí cách A 2 m. Tìm độ lớn của tổng phản lực RA tại gối cố định A.
L = 4 mP = 25 kN tại 3 m, θ = 30°Q = 25 kN tại 2 m
Tìm RA(kN)
Hiện các gợi ý
Tách P thành P·cos θ (nằm ngang) và P·sin θ (thẳng đứng). Gối con lăn không chịu lực nằm ngang.
Tìm RB từ mô-men đối với A, rồi Ay từ ΣFy = 0 và Ax từ ΣFx = 0.
Ax = 21,65 kN, Ay = 15,63 kN.
Hiện đáp án và lời giải từng bước
Cân bằng tĩnh: một vật ở trạng thái nghỉ có ΣFx = 0, ΣFy = 0 và ΣM = 0 đối với mọi điểm. Thay mỗi tải phân bố bằng hợp lực của nó (diện tích) đặt tại trọng tâm của biểu đồ tải, và lấy mô-men đối với một gối để khử phản lực của gối đó khỏi phương trình.
Các thành phần của P
Pv = 25·sin 30° = 12,5 kN
Ph = 25·cos 30° = 21,65 kN
Các phản lực
ΣMA = 0: RB·4 = 12,5·3 + 25·2 → RB = 21,88 kN
Ay = 12,5 + 25 − 21,88 = 15,63 kN
Ax = Ph = 21,65 kN
Hợp lực tại A
RA = √(21,65² + 15,63²) = 26,7 kN
Đáp số
RA = 26,7 kN
Câu hỏi thường gặp
Phản lực gối của dầm là gì?
Dầm là một cấu kiện thẳng dài mang tải qua một khoảng hở, như một cái kệ, một thanh dầm sàn hay một cây cầu nhỏ.
Dầm đặt trên các gối đỡ. Khi tải đẩy dầm xuống, các gối đỡ đẩy lên lại. Những lực hướng lên này là các phản lực liên kết.
Làm thế nào để giải bài tập Phản lực gối của dầm từng bước?
Vẽ sơ đồ vật thể tự do và thay mỗi gối đỡ bằng các phản lực của nó.
Thay mọi tải phân bố bằng một lực duy nhất đặt tại trọng tâm của nó.
Lấy mômen quanh một gối để tìm phản lực ở gối kia.
Dùng ΣFy = 0 để tìm phản lực còn lại, và kiểm tra bằng một phương trình mômen thứ hai.
Những lỗi thường gặp trong Phản lực gối của dầm là gì?
Lấy cánh tay đòn từ sai điểm.
Quên đổi tải phân bố thành hợp lực của nó.
Nhầm gối nào chịu phản lực nào.
Các bài tập Phản lực gối của dầm bao gồm những gì?
Dễ: 1 tải tập trung
Trung bình: 2 tải tập trung
Khó: tải tập trung + tải phân bố đều
Mỗi bài tập có số liệu mới, nên bạn học phương pháp chứ không học thuộc đáp án. Bí rồi? Hãy mở một gợi ý nhỏ trước, và chỉ xem giải thích đầy đủ khi cần.
Cách luyện tập hoạt động
Mỗi bài tập có số liệu mới, nên bạn học phương pháp chứ không học thuộc đáp án.
Bí rồi? Hãy mở một gợi ý nhỏ trước, và chỉ xem giải thích đầy đủ khi cần.
Tiến độ, lỗi sai và các bài đã lưu của bạn được giữ lại, để bạn xem lại trước kỳ thi.