Phương trình liên tục và Bernoulli: bài tập có lời giải từng bước

Bài tập Phương trình liên tục và Bernoulli miễn phí có hình vẽ, gợi ý và lời giải đầy đủ. Số liệu mới mỗi lần, ở ba mức độ: phương trình liên tục, ống thu hẹp nằm ngang, ống đi lên.

Bài tập miễn phíDễ
12d1​ = 75 mm, v1​ = 0,75 m/sd2​ = 25 mm

Nước chảy với vận tốc 0,75 m/s qua đoạn rộng của ống, có đường kính 75 mm. Tìm lưu lượng thể tích Q.

d1 = 75 mmd2 = 25 mmv1 = 0,75 m/s
L/s
Bài tiếp theo →
Luyện tập Phương trình liên tục và Bernoulli miễn phíLuyện tập Phương trình liên tục và Bernoulli ngay5 bài miễn phí mỗi ngày. Không cần thẻ.

Bạn luyện tập những gì

  1. Dễphương trình liên tục
  2. Trung bìnhống thu hẹp nằm ngang
  3. Khóống đi lên

Công thức chính

Phương trình liên tục
A1v1 = A2v2
Bernoulli
p1 + ½ρv1² + ρgz1 = p2 + ½ρv2² + ρgz2
Lưu lượng
Q = A·v
Diện tích hình tròn
A = πd²/4

Học Phương trình liên tục và Bernoulli từ đầu

Trước bài này: Lực thủy tĩnh

1Liên tục và Bernoulli nói về điều gì

Đặt ngón tay cái lên đầu vòi nước vườn và nước phun ra nhanh hơn. Cùng một lượng nước phải đi qua một lỗ nhỏ hơn, nên nó phải chuyển động nhanh hơn.

Ý tưởng đó là liên tục: trong một ống đầy, nước không thể dồn lại hay biến mất. Cái chảy vào mỗi giây phải chảy ra mỗi giây.

Ý tưởng thứ hai, phương trình Bernoulli, liên kết tốc độ, áp suất và độ cao. Nơi nước tăng tốc, áp suất của nó giảm. Nơi nước leo lên cao, áp suất cũng giảm.

Hai ý tưởng này cùng cho phép bạn dự đoán tốc độ và áp suất ở mọi nơi dọc ống. Trong chủ đề này chất lỏng không nén được (như nước) và bỏ qua tổn thất do ma sát.

Tự kiểm tra Nước chảy qua một ống hẹp dần. Điều gì xảy ra với tốc độ của nó ở phần hẹp?
  1. Giảm đi
  2. Nó không đổi
  3. Nước dừng lại
  4. Tăng lên

Đáp số: Tăng lên. Cùng một thể tích mỗi giây phải đi qua diện tích nhỏ hơn, nên nước phải chuyển động nhanh hơn.

2Lưu lượng và liên tục

Lưu lượng thể tích Q là thể tích chất lỏng đi qua mỗi giây, theo m³/s. Một lít mỗi giây (L/s) là 0,001 m³/s.

Với chất lỏng chuyển động ở tốc độ trung bình v qua một tiết diện có diện tích A:

Q = A · v A = π · d² / 4

Lưu lượng khối lượng là ṁ = ρ · Q, theo kg/s, trong đó ρ là khối lượng riêng (1000 kg/m³ với nước).

Liên tục nói rằng Q như nhau tại mọi tiết diện của ống:

12v1​v2​d1​d2​p1​p2​
A1 · v1 = A2 · v2

Với ống tròn, π/4 triệt tiêu, nên v2 = v1 · (d1 / d2)². Giảm một nửa đường kính làm nước nhanh gấp bốn lần.

Tự kiểm tra Một ống thu hẹp từ 80 mm xuống 40 mm. Nước chuyển động ở 1 m/s trong phần rộng. Nó chuyển động nhanh bao nhiêu trong phần hẹp?
  1. 0,25 m/s
  2. 2 m/s
  3. 4 m/s
  4. 8 m/s

Đáp số: 4 m/s. v2 = 1 · (80/40)² = 4 m/s. Diện tích phụ thuộc vào bình phương đường kính. Dùng tỉ số đường kính mà không bình phương cho 2 m/s.

3Phương trình Bernoulli

Dọc theo một đường dòng không có tổn thất, năng lượng trên mỗi mét khối chất lỏng không đổi. Nó có ba phần: áp suất, chuyển động và độ cao.

p1 + ½ρv1² + ρgz1 = p2 + ½ρv2² + ρgz2
  • p: áp suất, theo Pa.
  • ½ρv²: động năng trên mỗi m³, cũng theo Pa.
  • ρgz: năng lượng độ cao trên mỗi m³, trong đó z là độ cao so với một mức tham chiếu bất kỳ bạn chọn.

Vậy nếu một phần tăng, một phần khác phải giảm. Nước nhanh hơn có áp suất thấp hơn. Nước ở cao hơn có áp suất thấp hơn.

Một trường hợp đặc biệt hữu ích là bể xả nước qua một lỗ nhỏ sâu h dưới mặt thoáng. Mặt nước hầu như không di chuyển và cả hai điểm đều ở áp suất khí quyển, cho ra định luật Torricelli:

v = √(2gh)
Tự kiểm tra Một bể nước hở xả qua một lỗ nhỏ sâu 5 m dưới mặt nước. Bỏ qua tổn thất, tia nước rời lỗ nhanh bao nhiêu? (g = 9,81 m/s²)
  1. 49,1 m/s
  2. 7,00 m/s
  3. 9,90 m/s
  4. 98,1 m/s

Đáp số: 9,90 m/s. v = √(2 · 9,81 · 5) = √98,1 = 9,90 m/s. Quên hệ số 2 cho 7,00 m/s, và quên căn bậc hai cho 98,1.

4Phương pháp từng bước

  1. Phác ống và đánh số hai tiết diện: 1 nơi bạn biết nhiều nhất, 2 nơi có ẩn số.
  2. Đổi đơn vị: mm sang m, kPa sang Pa, L/s sang m³/s.
  3. Tìm các diện tích A = π·d²/4 và dùng liên tục để lấy vận tốc còn thiếu.
  4. Viết Bernoulli giữa tiết diện 1 và 2. Với ống nằm ngang z1 = z2, nên các số hạng độ cao triệt tiêu.
  5. Giải tìm ẩn số, rồi đổi lại sang kPa nếu cần.

Giữ đơn vị nhất quán. Với ρ theo kg/m³ và v theo m/s, số hạng ½ρv² ra theo Pa, không phải kPa.

5Một ví dụ có lời giải

Theo dõi từng bước. Hãy thử đoán bước tiếp theo trước khi mở nó.

Ví dụ có lời giải

Nước (ρ = 1000 kg/m³) chảy qua một ống nằm ngang thu hẹp từ 100 mm xuống 50 mm. Ở tiết diện rộng áp suất là 200 kPa và vận tốc là 1,5 m/s. Bỏ qua tổn thất, tìm áp suất ở tiết diện hẹp.

1

Vẽ ống

121,5 m/sv2​100 mm50 mm200 kPap2​ = ?

Tiết diện 1 là phần rộng, nơi mọi thứ đã biết. Tiết diện 2 là phần hẹp.

2

Vận tốc ở phần hẹp

Đường kính giảm một nửa, nên tốc độ tăng lên (100/50)² = 4 lần:

v2 = 1,5 · (100 / 50)² = 6 m/s
3

Viết Bernoulli

Ống nằm ngang, nên các số hạng độ cao triệt tiêu:

p2 = p1 + ½ρ(v1² − v2²)
4

Thay số, theo pascal

½ · 1000 · (1,5² − 6²) = 500 · (2,25 − 36) = −16 875 Pa
p2 = 200 000 − 16 875 = 183 125 Pa ≈ 183,1 kPa
5

Kiểm tra đáp án

Nước nhanh hơn ở phần hẹp, nên áp suất của nó phải thấp hơn. 183,1 kPa thấp hơn 200 kPa, đúng như mong đợi.

Lưu lượng là Q = 0,007854 · 1,5 = 11,8 L/s ở cả hai tiết diện.

Đáp số

p2 ≈ 183,1 kPa ở tiết diện hẹp (v2 = 6 m/s).

6Lỗi thường gặp

  • Dùng tỉ số đường kính thay cho tỉ số diện tích: tốc độ thay đổi theo bình phương đường kính.
  • Dùng bán kính như thể là đường kính trong A = π·d²/4, hoặc quên /4.
  • Lẫn lộn kPa và Pa. Hãy làm việc theo Pa trong Bernoulli, rồi đổi ở cuối.
  • Báo m³/s như L/s. Nhân m³/s với 1000 để được L/s.
  • Quên số hạng độ cao ρ·g·Δz khi ống đi lên hoặc đi xuống.
Tự kiểm tra Nước chảy với 2 m/s qua một ống có đường kính trong 100 mm. Lưu lượng thể tích là bao nhiêu?
  1. 0,0157 L/s
  2. 15,7 L/s
  3. 20 L/s
  4. 62,8 L/s

Đáp số: 15,7 L/s. A = π · 0,1²/4 = 0,007854 m², nên Q = 0,007854 · 2 = 0,0157 m³/s = 15,7 L/s. Quên /4 cho 62,8, và quên π/4 cho 20.

7Các câu hỏi thi trông như thế nào

  • Dễ: liên tục. Tìm lưu lượng, lưu lượng khối lượng, vận tốc ở tiết diện hẹp hơn, hoặc đường kính ống cần cho một lưu lượng cho trước. Một số câu hỏi dùng định luật Torricelli cho bể xả.
  • Trung bình: một đoạn thu hẹp nằm ngang. Tìm áp suất ở một tiết diện từ tiết diện kia. Các biến thể dùng ống venturi, ống pitot (v = √(2Δp/ρ)) hoặc tấm lỗ với hệ số lưu lượng.
  • Khó: một ống đi lên. Số hạng độ cao quan trọng: mỗi mét đi lên làm giảm áp suất ρ·g·1 = 9,81 kPa với nước. Các biến thể gồm xi phông, bể có áp và đài phun nước.

Trong ví dụ trên, độ cao tăng 5 m giữa các tiết diện sẽ làm giảm p2 thêm 1000 · 9,81 · 5 = 49 050 Pa, xuống 134,1 kPa.

Học từng bước một trong ứng dụngHọc từng bước một trong ứng dụng

Ví dụ có lời giải

Ví dụ 1Dễ
12d1​ = 100 mm, v1​ = 2,75 m/sd2​ = 50 mm, v2​ = ?

Nước chảy qua một ống thu hẹp từ đường kính 100 mm xuống 50 mm. Vận tốc ở đoạn rộng là 2,75 m/s. Tìm vận tốc v2 ở đoạn hẹp.

d1 = 100 mmd2 = 50 mmv1 = 2,75 m/s

Tìm v2 (m/s)

Hiện các gợi ý
  1. Cùng một thể tích nước đi qua mọi tiết diện mỗi giây: Q = A·v.
  2. A₁v₁ = A₂v₂, và diện tích tỉ lệ với d², nên v₂ = v₁·(d₁/d₂)².
  3. A1 = 0,007854 m².
Hiện đáp án và lời giải từng bước

Phương trình liên tục và Bernoulli: với chất lỏng không nén được, lưu lượng ở mọi tiết diện đều như nhau, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Dọc theo một đường dòng không có tổn thất, p + ½ρv² + ρgz là hằng số, nên ở nơi chất lỏng nhanh hơn hoặc cao hơn thì áp suất thấp hơn.

Phương trình liên tục

Lưu lượng ở hai đoạn là như nhau.

A1v1 = A2v2
v2 = v1·(d1/d2)² = 2,75·(100/50)² = 11 m/s

Đáp số

v2 = 11 m/s
Ví dụ 2Trung bình
12d1​ = 150 mm, p1​ = 250 kPad2​ = 50 mm, p2​ = ?

Nước chảy qua một ống nằm ngang thu hẹp từ 150 mm xuống 50 mm. Ở đoạn rộng, áp suất là 250 kPa và vận tốc là 0,5 m/s. Bỏ qua tổn thất, tìm áp suất p2 ở đoạn hẹp.

d1 = 150 mmd2 = 50 mmp1 = 250 kPav1 = 0,5 m/sρ = 1000 kg/m³

Tìm p2 (kPa)

Hiện các gợi ý
  1. Trước hết dùng phương trình liên tục để tìm vận tốc ở đoạn hẹp.
  2. Bernoulli cho ống nằm ngang: p₁ + ½ρv₁² = p₂ + ½ρv₂².
  3. v2 = 4,5 m/s.
Hiện đáp án và lời giải từng bước

Phương trình liên tục và Bernoulli: với chất lỏng không nén được, lưu lượng ở mọi tiết diện đều như nhau, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Dọc theo một đường dòng không có tổn thất, p + ½ρv² + ρgz là hằng số, nên ở nơi chất lỏng nhanh hơn hoặc cao hơn thì áp suất thấp hơn.

Phương trình liên tục và Bernoulli

Làm việc theo Pa, rồi chia cho 1000 để có kPa.

v2 = v1·(d1/d2)² = 0,5·(150/50)² = 4,5 m/s
½ρ(v1² − v2²) = ½·1000·(0,5² − 4,5²)/1000 = −10 kPa
p2 = p1 + ½ρ(v1² − v2²) = 250 + (−10) = 240 kPa

Đáp số

p2 = 240 kPa
Ví dụ 3Khó
pair​ = 190 kPaQ = ?d = 25 mmh = 4 m

Một bể nước kín có không khí nén phía trên mặt nước ở áp suất dư 190 kPa. Nước thoát ra qua một lỗ có đường kính 25 mm, nằm dưới mặt nước 4 m, ra không khí bên ngoài. Bỏ qua tổn thất, tìm lưu lượng Q. Dùng g = 9,81 m/s².

pair = 190 kPa (áp suất dư)h = 4 md = 25 mmρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

Tìm Q (L/s)

Hiện các gợi ý
  1. Bernoulli từ mặt nước (áp suất dư p, đứng yên) đến tia (áp suất khí quyển).
  2. p/ρ + gh = ½v², nên v = √(2(p/ρ + gh)) với p tính bằng Pa.
  3. p/ρ + gh = 229,2 m²/s².
Hiện đáp án và lời giải từng bước

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

Bernoulli từ mặt thoáng đến tia

v = √(2·(190000/1000 + 9,81·4)) = 21,41 m/s

Lưu lượng

Q = A·v = 0,0004909·21,41 = 0,01051 m³/s = 10,51 L/s

Đáp số

Q = 10,51 L/s

Câu hỏi thường gặp

Phương trình liên tục và Bernoulli là gì?

Đặt ngón tay cái lên đầu vòi nước vườn và nước phun ra nhanh hơn. Cùng một lượng nước phải đi qua một lỗ nhỏ hơn, nên nó phải chuyển động nhanh hơn.

Ý tưởng đó là liên tục: trong một ống đầy, nước không thể dồn lại hay biến mất. Cái chảy vào mỗi giây phải chảy ra mỗi giây.

Làm thế nào để giải bài tập Phương trình liên tục và Bernoulli từng bước?

Phương trình liên tục và Bernoulli: với chất lỏng không nén được, lưu lượng ở mọi tiết diện đều như nhau, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Dọc theo một đường dòng không có tổn thất, p + ½ρv² + ρgz là hằng số, nên ở nơi chất lỏng nhanh hơn hoặc cao hơn thì áp suất thấp hơn.

Những lỗi thường gặp trong Phương trình liên tục và Bernoulli là gì?
  • Áp suất không khí cũng đẩy nước ra: hãy đưa p/ρ vào phương trình Bernoulli.
  • Độ cao của nước cũng làm tăng vận tốc: v = √(2(p/ρ + gh)).
Các bài tập Phương trình liên tục và Bernoulli bao gồm những gì?
  • Dễ: phương trình liên tục
  • Trung bình: ống thu hẹp nằm ngang
  • Khó: ống đi lên

Mỗi bài tập có số liệu mới, nên bạn học phương pháp chứ không học thuộc đáp án. Bí rồi? Hãy mở một gợi ý nhỏ trước, và chỉ xem giải thích đầy đủ khi cần.

Cách luyện tập hoạt động

  • Mỗi bài tập có số liệu mới, nên bạn học phương pháp chứ không học thuộc đáp án.
  • Bí rồi? Hãy mở một gợi ý nhỏ trước, và chỉ xem giải thích đầy đủ khi cần.
  • Tiến độ, lỗi sai và các bài đã lưu của bạn được giữ lại, để bạn xem lại trước kỳ thi.

Các chủ đề trước và sau chủ đề này

Học trước

Lực thủy tĩnh

Tiếp tục với

Ma sát đường ống và tổn thất cột áp

Máy tính

Máy tính phương trình Bernoulli

Các môn học có chủ đề này

Cơ học chất lưuVật lý cho kỹ sưKỹ thuật thủy lựcLuyện thi FE Cơ khí

Thêm chủ đề trong Cơ khí

Phản lực gối của dầmKhung và máyỨng suất và biến dạng dọc trụcXoắn của trụcVòng tròn Mohr và biến đổi ứng suấtChuyển động némCông và năng lượngChuyển động quay của vật rắnDao động cơ họcĐộng cơ nhiệt và máy lạnhChu trình công suất khíMa sát đường ống và tổn thất cột ápMáy bơm và công suất bơmDẫn nhiệtBánh răng và hệ bánh răng

Phiếu bài tập in được

Phiếu bài tập Phương trình liên tục và Bernoulli có đáp án
Luyện tập Phương trình liên tục và Bernoulli miễn phíLuyện tập Phương trình liên tục và Bernoulli ngay5 bài miễn phí mỗi ngày. Không cần thẻ.