Ứng suất và biến dạng dọc trục: bài tập có lời giải từng bước

Q: Làm thế nào để giải bài tập Ứng suất và biến dạng dọc trục từng bước?

Hai vật liệu: khi nối tiếp (cái này sau cái kia) mỗi đoạn chịu cùng một lực và các độ giãn dài cộng lại: δ = P·Σ L/(E·A). Khi song song (cạnh nhau giữa các tấm cứng) cả hai phần co lại cùng một lượng, nên biến dạng của chúng bằng nhau: phần cứng hơn nhận phần tải lớn hơn, Pi = P·EiAi/ΣEA, và σi = Ei·ε. Một thanh bị giữ giữa hai vách cứng với tải đặt tại chỗ nối là siêu tĩnh: hai đoạn chia tải theo tỉ lệ độ cứng k = EA/L của chúng.

Q: Các bài tập Ứng suất và biến dạng dọc trục bao gồm những gì?

Dễ: ứng suất pháp Trung bình: biến dạng và độ giãn dài Khó: thanh bậc Mỗi bài tập có số liệu mới, nên bạn học phương pháp chứ không học thuộc đáp án. Bí rồi? Hãy mở một gợi ý nhỏ trước, và chỉ xem giải thích đầy đủ khi cần.

Bài tập Ứng suất và biến dạng dọc trục miễn phí có hình vẽ, gợi ý và lời giải đầy đủ. Số liệu mới mỗi lần, ở ba mức độ: ứng suất pháp, biến dạng và độ giãn dài, thanh bậc.

Bài tập miễn phíDễ

Một thanh thép (đường kính 30 mm, E = 200 GPa) nằm trong một ống làm bằng đồng thau (đường kính ngoài 100 mm, đường kính trong 50 mm, E = 100 GPa). Cả hai dài 800 mm và bị nén cùng nhau giữa các tấm cứng bởi 80 kN. Tìm ứng suất nén σ_r trong thanh.

P = 80 kNthanh: Ø30 mm, E = 200 GPaống: Ø100/Ø50 mm, E = 100 GPaL = 800 mm

Bài tiếp theo →

Luyện tập Ứng suất và biến dạng dọc trục miễn phí Luyện tập Ứng suất và biến dạng dọc trục ngay5 bài miễn phí mỗi ngày. Không cần thẻ.

Bạn luyện tập những gì

Dễứng suất pháp
Trung bìnhbiến dạng và độ giãn dài
Khóthanh bậc

Công thức chính

Ứng suất pháp: σ = F/A
Biến dạng: ε = ΔL/L
Định luật Hooke: σ = E·ε
Độ giãn dài: ΔL = FL/(EA)
Biến dạng nhiệt: ε_T = α·ΔT

Học Ứng suất và biến dạng dọc trục từ đầu

1Ứng suất là gì

Kéo một thanh thép thì nó chống lại. Việc nó có đứt hay không không chỉ phụ thuộc vào lực, mà còn phụ thuộc vào lượng vật liệu cùng chịu lực đó.

Một sợi dây mảnh và một sợi cáp dày có thể chịu cùng một tải. Sợi dây mảnh dễ hỏng hơn nhiều, vì mỗi milimét vuông của nó chịu lực lớn hơn.

Ứng suất pháp σ (sigma) là lực trên một đơn vị diện tích của mặt cắt ngang. Lực P tác dụng dọc theo trục của thanh, nên tải này gọi là tải dọc trục.

σ = P / A

Các kỹ sư làm việc với niutơn và milimét. Một niutơn trên milimét vuông bằng một megapascal:

1 N/mm² = 1 MPa

Vì vậy hãy đổi kN sang N trước (× 1000). Với thanh tròn đường kính d, diện tích là diện tích hình tròn:

A = π · d² / 4

Tự kiểm tra Một thanh có mặt cắt ngang 100 mm² chịu 10 kN. Ứng suất là bao nhiêu?

0,1 MPa
10 MPa
100 MPa
1000 MPa

Đáp số: 100 MPa. σ = 10 000 N / 100 mm² = 100 N/mm² = 100 MPa. 0,1 MPa có được do quên đổi kN sang N.

2Biến dạng và định luật Hooke

Dưới tải, thanh cũng dài ra một chút. Sự thay đổi chiều dài này là độ giãn dài δ (delta).

Biến dạng tương đối ε (epsilon) là độ giãn dài chia cho chiều dài ban đầu. Nó không có đơn vị vì là mm trên mm:

ε = δ / L

Biến dạng của kim loại rất nhỏ, nên thường được cho theo microstrain: 1 µε = 10⁻⁶. Biến dạng 0,0008 là 800 µε.

Với hầu hết vật liệu, ứng suất và biến dạng tỉ lệ với nhau miễn là tải không quá lớn. Đây là định luật Hooke:

σ = E · ε

E là mô đun Young, độ cứng của vật liệu. Thép có E ≈ 200 GPa, nhôm khoảng 70 GPa. Vì 1 GPa = 1000 MPa, thép có E = 200 000 MPa.

Kết hợp ba công thức cho trực tiếp độ giãn dài:

δ = P · L / (A · E)

Tự kiểm tra Một thanh thép (E = 200 GPa) có ứng suất 200 MPa. Biến dạng là bao nhiêu?

0,001
0,1
1000
1

Đáp số: 0,001. Đổi E sang MPa: 200 GPa = 200 000 MPa. Khi đó ε = 200/200 000 = 0,001 = 1000 µε. Chia 200 cho 200 mà không đổi đơn vị cho ra 1, lớn quá mức.

3Phương pháp từng bước

Viết mọi giá trị theo N và mm: P theo N (kN × 1000), chiều dài theo mm (m × 1000), E theo MPa (GPa × 1000).
Tìm diện tích: A = π·d²/4 với thanh tròn.
Tìm ứng suất: σ = P/A, theo MPa.
Tìm biến dạng: ε = σ/E. Nhân với 10⁶ nếu cần đáp án theo µε.
Tìm độ giãn dài: δ = ε·L, theo mm.

Dừng ở bước mà câu hỏi yêu cầu. Đa số câu hỏi chỉ dùng hai hoặc ba bước đầu.

4Một ví dụ có lời giải

Theo dõi từng bước. Hãy thử đoán bước tiếp theo trước khi mở nó.

Ví dụ có lời giải

Một thanh thép (E = 200 GPa) có đường kính 20 mm và chiều dài 2 m. Nó chịu tải kéo dọc trục 50 kN. Tìm ứng suất, biến dạng và độ giãn dài.

Quan sát thanh và đổi đơn vị

P = 50 kN = 50 000 N, L = 2 m = 2000 mm và E = 200 GPa = 200 000 MPa.

Diện tích

A = π · 20² / 4 = 314,2 mm²

Ứng suất

σ = P / A = 50 000 / 314,2 = 159,2 MPa

Giá trị đó thấp hơn nhiều so với độ bền của thép thông thường (khoảng 250 MPa), nên định luật Hooke áp dụng được.

Biến dạng

ε = σ / E = 159,2 / 200 000 = 0,000796 = 796 µε

Độ giãn dài

δ = ε · L = 0,000796 · 2000 = 1,59 mm

Kiểm tra đáp án

Dùng công thức kết hợp làm cách kiểm tra thứ hai:

δ = P·L / (A·E) = 50 000 · 2000 / (314,2 · 200 000) = 1,59 mm

Một thanh thép dài 2 m giãn khoảng 1,6 mm là thực tế: biến dạng của thép luôn thấp hơn nhiều so với 0,2 %.

Đáp số

σ = 159,2 MPa, ε = 796 µε và δ = 1,59 mm.

5Thanh có nhiều đoạn

Thanh bậc gồm các đoạn có đường kính khác nhau, đôi khi bằng vật liệu khác nhau.

Cắt thanh ở bất kỳ chỗ nào và xét phần bên phải mặt cắt. Chỉ có P kéo phần đó, nên mọi đoạn đều chịu cùng một lực P.

Diện tích khác nhau nên ứng suất khác nhau. Đoạn mảnh nhất có ứng suất lớn nhất.

Mỗi đoạn tự giãn ra với A, L và E riêng của nó. Tổng độ giãn dài là tổng các độ giãn:

δ = P·L₁ / (A₁·E₁) + P·L₂ / (A₂·E₂)

Tự kiểm tra Một thanh bậc chịu 20 kN. Đoạn 1 có A = 400 mm², đoạn 2 có A = 100 mm². Ứng suất lớn nhất trong thanh là bao nhiêu?

200 MPa
250 MPa
40 MPa
50 MPa

Đáp số: 200 MPa. Cả hai đoạn đều chịu 20 kN. Đoạn mảnh có 20 000/100 = 200 MPa. 50 MPa là của đoạn dày, 40 MPa sai vì cộng các diện tích, và 250 MPa sai vì cộng hai ứng suất.

6Lỗi thường gặp

Quên đổi kN sang N, làm ứng suất nhỏ hơn 1000 lần.
Dùng E theo GPa cùng với ứng suất theo MPa. Hãy viết E theo MPa (GPa × 1000).
Dùng π·d² hoặc π·d thay vì π·d²/4 cho diện tích hình tròn.
Để L theo mét trong khi δ cần ra theo milimét.
Chia P cho các đoạn của thanh bậc. Mỗi đoạn chịu toàn bộ P.

Tự kiểm tra Một thanh có A = 30 mm² chịu P = 6 kN. Ứng suất là bao nhiêu?

0,2 MPa
180 MPa
200 MPa
5 MPa

Đáp số: 200 MPa. σ = 6000 N / 30 mm² = 200 MPa. 0,2 MPa dùng 6 thay vì 6000 N; 5 MPa lấy diện tích chia cho lực; 180 là nhân chúng với nhau.

7Các câu hỏi thi trông như thế nào

Dễ: ứng suất pháp. Một thanh tròn đường kính d chịu P; tìm σ = P/A.
Trung bình: biến dạng và độ giãn dài. Bạn còn được cho L và E của vật liệu; tìm ε (theo µε) hoặc δ (theo mm).
Khó: thanh bậc có hai đoạn, có thể bằng vật liệu khác nhau. Tìm tổng độ giãn dài hoặc ứng suất lớn nhất.

Viết đơn vị bên cạnh mọi con số. Hầu hết đáp án sai trong chủ đề này lệch nhau một hệ số 1000.

Học từng bước một trong ứng dụng Học từng bước một trong ứng dụng

Ví dụ có lời giải

Ví dụ 1Dễ

Một thanh thép (đường kính 30 mm, E = 200 GPa) nằm trong một ống làm bằng đồng (đường kính ngoài 100 mm, đường kính trong 50 mm, E = 120 GPa). Cả hai dài 500 mm và bị nén cùng nhau giữa các tấm cứng bởi 300 kN. Tìm ứng suất nén σ_r trong thanh.

P = 300 kNthanh: Ø30 mm, E = 200 GPaống: Ø100/Ø50 mm, E = 120 GPaL = 500 mm

Tìm σ_r (MPa)

Hiện các gợi ý

Các tấm cứng: thanh và ống co lại cùng một lượng, nên ε như nhau ở cả hai.
ε = P/ΣEA.
σ = E·ε.

Hiện đáp án và lời giải từng bước

Hai vật liệu: khi nối tiếp (cái này sau cái kia) mỗi đoạn chịu cùng một lực và các độ giãn dài cộng lại: δ = P·Σ L/(E·A). Khi song song (cạnh nhau giữa các tấm cứng) cả hai phần co lại cùng một lượng, nên biến dạng của chúng bằng nhau: phần cứng hơn nhận phần tải lớn hơn, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, và σ_i = E_i·ε. Một thanh bị giữ giữa hai vách cứng với tải đặt tại chỗ nối là siêu tĩnh: hai đoạn chia tải theo tỉ lệ độ cứng k = EA/L của chúng.

Diện tích

A_r = π·30²/4 = 706,9 mm²

A_t = π(100² − 50²)/4 = 5890 mm²

Độ cứng dọc trục kết hợp

ΣEA = 200·10³·706,9 + 120·10³·5890 = 8,482 × 10⁸ N

Biến dạng chung

ε = 300000/8,482 × 10⁸ = 0,0003537

Ứng suất trong thanh

σ_r = 200·10³·0,0003537 = 70,74 MPa

Đáp số

σ_r = 70,74 MPa

Ví dụ 2Trung bình

Tìm biến dạng dọc trục ε trong thanh đồng thau, tính bằng microstrain (µε = 10⁻⁶).

P = 10 kNd = 20 mmL = 2,5 mE = 100 GPa

Tìm ε (µε)

Hiện các gợi ý

Kết hợp ba hệ thức: σ = P/A, ε = σ/E, δ = ε·L.
Đổi E sang MPa (GPa × 1000) để khớp với ứng suất theo MPa, và đổi L sang mm.
σ = 31,83 MPa.

Hiện đáp án và lời giải từng bước

Định luật Hooke: trong giới hạn đàn hồi σ = E·ε. Kết hợp với σ = P/A và ε = δ/L ta được δ = PL/(AE).

Ứng suất

A = π·20²/4 = 314,2 mm²

σ = P/A = 10·1000/314,2 = 31,83 MPa

Biến dạng (định luật Hooke)

E for đồng thau = 100 GPa = 100000 MPa.

ε = σ/E = 31,83/100000 = 0,0003183 = 318,3 µε

Đáp số

ε = 318,3 µε

Ví dụ 3Khó

Một đoạn thép (đường kính 30 mm, chiều dài 300 mm, E = 200 GPa) và một đoạn làm bằng nhôm (đường kính 30 mm, chiều dài 500 mm, E = 70 GPa) được nối đầu với đầu và ngàm giữa hai vách cứng. Một tải dọc trục 40 kN tác dụng tại chỗ nối, hướng về phía đoạn 2. Tìm độ lớn ứng suất σ₂ trong đoạn 2.

đoạn 1: thép, Ø30 mm, 300 mm, E = 200 GPađoạn 2: nhôm, Ø30 mm, 500 mm, E = 70 GPaP = 40 kN

Tìm σ₂ (MPa)

Hiện các gợi ý

Chỗ nối dịch chuyển cùng một lượng đối với cả hai đoạn: một đoạn giãn, đoạn kia co.
k = E·A/L; P = k₁δ + k₂δ.
k₁ = 471239 N/mm, k₂ = 98960 N/mm.

Hiện đáp án và lời giải từng bước

Các độ cứng

k₁ = 200000·706,9/300 = 471239 N/mm

k₂ = 70000·706,9/500 = 98960 N/mm

Phần của đoạn 2

F₂ = 40000·98960/570199 = 6942 N

Ứng suất

σ₂ = 6942/706,9 = 9,821 MPa (nén)

Đáp số

σ₂ = 9,821 MPa

Câu hỏi thường gặp

Ứng suất và biến dạng dọc trục là gì?

Kéo một thanh thép thì nó chống lại. Việc nó có đứt hay không không chỉ phụ thuộc vào lực, mà còn phụ thuộc vào lượng vật liệu cùng chịu lực đó.

Một sợi dây mảnh và một sợi cáp dày có thể chịu cùng một tải. Sợi dây mảnh dễ hỏng hơn nhiều, vì mỗi milimét vuông của nó chịu lực lớn hơn.

Làm thế nào để giải bài tập Ứng suất và biến dạng dọc trục từng bước?

Những lỗi thường gặp trong Ứng suất và biến dạng dọc trục là gì?

Hai vật liệu không chia ứng suất như nhau: chúng chia biến dạng. Vật liệu cứng hơn chịu ứng suất cao hơn.
Ống mang một phần tải.
Đó là ứng suất trong ống.

Các bài tập Ứng suất và biến dạng dọc trục bao gồm những gì?

Dễ: ứng suất pháp
Trung bình: biến dạng và độ giãn dài
Khó: thanh bậc

Mỗi bài tập có số liệu mới, nên bạn học phương pháp chứ không học thuộc đáp án. Bí rồi? Hãy mở một gợi ý nhỏ trước, và chỉ xem giải thích đầy đủ khi cần.

Cách luyện tập hoạt động

Mỗi bài tập có số liệu mới, nên bạn học phương pháp chứ không học thuộc đáp án.
Bí rồi? Hãy mở một gợi ý nhỏ trước, và chỉ xem giải thích đầy đủ khi cần.
Tiến độ, lỗi sai và các bài đã lưu của bạn được giữ lại, để bạn xem lại trước kỳ thi.

Các chủ đề trước và sau chủ đề này

Tiếp tục với

Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suất Xoắn của trục

Máy tính

Máy tính ứng suất và biến dạng dọc trục Máy tính giãn nở nhiệt

Các môn học có chủ đề này

Sức bền vật liệu Thiết kế máy Luyện thi FE Cơ khí

Thêm chủ đề trong Cơ khí

Phản lực gối của dầm Khung và máy Xoắn của trục Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suất Chuyển động ném Công và năng lượng Chuyển động quay của vật rắn Dao động cơ học Động cơ nhiệt và máy lạnh Chu trình công suất khí Phương trình liên tục và Bernoulli Ma sát đường ống và tổn thất cột áp Máy bơm và công suất bơm Dẫn nhiệt Bánh răng và hệ bánh răng

Phiếu bài tập in được

Phiếu bài tập Ứng suất và biến dạng dọc trục có đáp án

Luyện tập Ứng suất và biến dạng dọc trục miễn phí Luyện tập Ứng suất và biến dạng dọc trục ngay5 bài miễn phí mỗi ngày. Không cần thẻ.