Học Chuyển động quay của vật rắn từ đầu
Trước bài này: Các định luật Newton, Công và năng lượng
1Chuyển động quay của vật rắn là gì
Một vật rắn là một vật giữ nguyên hình dạng: một bánh đà, một ròng rọc, một cánh cửa hay một bánh xe lăn. Trong chủ đề này vật quay quanh một trục.
Mọi điểm của vật quay qua cùng một góc trong cùng một thời gian. Vì vậy bạn mô tả chuyển động bằng các đại lượng góc thay vì khoảng cách:
- θ: góc quay, theo radian (rad). Một vòng quay là 2π rad.
- ω: vận tốc góc, theo rad/s.
- α: gia tốc góc, theo rad/s².
Máy móc cho tốc độ theo vòng trên phút (rpm). Hãy đổi chúng trước khi tính:
ω = 2π·n / 60
Một điểm cách trục khoảng r chuyển động với tốc độ v = ω·r và có gia tốc a = α·r dọc theo quỹ đạo của nó.
Mọi thứ bạn biết về chuyển động thẳng đều có một cặp song sinh quay: lực trở thành mômen, khối lượng trở thành mômen quán tính, và ΣF = m·a trở thành ΣM = I·α.
Tự kiểm tra Một bánh xe quay với 600 rpm. Vận tốc góc của nó theo rad/s là bao nhiêu?
- 10 rad/s
- 3770 rad/s
- 600 rad/s
- 62,8 rad/s
Đáp số: 62,8 rad/s. ω = 2π·600/60 = 2π·10 ≈ 62,8 rad/s. 10 là số vòng mỗi giây (thiếu 2π), 3770 quên chia cho 60, và 600 vẫn theo rpm.
2Mômen quán tính
Khối lượng cho bạn biết khó đến đâu để làm một vật tăng tốc theo đường thẳng. Mômen quán tính khối lượng I cho bạn biết khó đến đâu để làm nó quay.
Khối lượng ở xa trục có giá trị lớn hơn nhiều so với khối lượng ở gần trục, vì nó được tính theo bình phương khoảng cách:
I = Σ m·r² (đơn vị: kg·m²)
Bạn không cần tự cộng các phần. Hãy học các kết quả chuẩn này về khối tâm G:
- Thanh mảnh chiều dài L, trục qua điểm giữa: m·L²/12.
- Đĩa đặc hoặc trụ đặc bán kính R: ½·m·R².
- Vành mỏng hoặc vòng: m·R².
- Cầu đặc: (2/5)·m·R². Cầu rỗng: (2/3)·m·R².
- Chất điểm ở khoảng cách r: m·r².
Khi trục O không đi qua G, dùng định lý trục song song. Ở đây d là khoảng cách giữa O và G:
IO = IG + m·d²
Một thanh quay quanh đầu mút có d = L/2, nên IO = m·L²/12 + m·L²/4 = m·L²/3.
Một số câu hỏi cho một bán kính quán tính k thay vì một hình dạng. Khi đó I = m·k². Với một vật gồm nhiều phần, tìm I của mỗi phần quanh cùng một trục rồi cộng lại.
Tự kiểm tra Một thanh đồng chất khối lượng 3 kg và chiều dài 2 m quay quanh một đầu mút. Mômen quán tính của nó là bao nhiêu?
- 1 kg·m²
- 12 kg·m²
- 3 kg·m²
- 4 kg·m²
Đáp số: 4 kg·m². I = m·L²/3 = 3·4/3 = 4 kg·m², hay IG + m·d² = 1 + 3·1² = 4. 1 kg·m² là giá trị quanh tâm, 3 kg·m² chỉ là phần m·d², và 12 kg·m² là m·L² không có hệ số nào.
3Mômen, năng lượng và mômen động lượng
Ba công cụ giải gần như mọi bài toán quay. Hãy chọn công cụ phù hợp với câu hỏi.
1. Mômen. Tổng các mômen quanh trục bằng I·α. Dùng cho gia tốc và lực.
ΣM = I·α
Với mômen xoắn không đổi, chuyển động góc có α không đổi, và các phương trình động học có cặp song sinh quay: ω = ω₀ + α·t và ω² = ω₀² + 2·α·θ.
2. Năng lượng. Một vật quay dự trữ động năng. Một mômen xoắn T quay qua một góc θ thực hiện công, và công suất của một trục quay là mômen xoắn nhân vận tốc góc:
E = ½·I·ω² W = T·θ P = T·ω
Một vật lăn không trượt vừa chuyển động vừa quay cùng lúc, với v = ω·r. Nó có cả hai loại động năng:
E = ½·m·v² + ½·I·ω² = ½·m·v²·(1 + c) c = I/(m·r²)
Số c chỉ phụ thuộc vào hình dạng: 0,4 với cầu đặc, 0,5 với trụ đặc, 2/3 với cầu rỗng và 1 với vành. Trên mặt dốc, a = g·sin θ / (1 + c).
3. Mômen động lượng. L = I·ω. Khi không có mômen ngoài tác dụng quanh trục, L giữ nguyên, ngay cả khi các vật dính vào nhau và động năng bị mất:
I1·ω1 = I2·ω2
Tự kiểm tra Một động cơ cung cấp mômen xoắn 100 N·m ở 600 rpm. Công suất của nó là bao nhiêu?
- 1 kW
- 377 kW
- 6,28 kW
- 60 kW
Đáp số: 6,28 kW. ω = 2π·600/60 = 62,8 rad/s, nên P = T·ω = 100·62,8 ≈ 6283 W = 6,28 kW. 60 kW dùng rpm làm ω, 1 kW dùng số vòng mỗi giây, và 377 kW quên chia cho 60.
4Phương pháp từng bước
- Vẽ vật và chọn trục: trục hoặc chốt cố định, hoặc tâm với một vật lăn.
- Tìm mômen quán tính quanh trục đó. Dùng các kết quả chuẩn và cộng m·d² khi trục bị dời.
- Đổi mọi tốc độ theo rpm sang rad/s bằng ω = 2π·n/60.
- Chọn công cụ. Gia tốc và lực: ΣM = I·α (với ΣF = m·a cho các phần chuyển động thẳng). Tốc độ sau một quãng đường hoặc góc: năng lượng. Va chạm, sự bám đột ngột và các vật thu khối lượng vào gần trục: mômen động lượng.
- Liên kết chuyển động thẳng và chuyển động quay ở chỗ một sợi dây hoặc điểm tiếp xúc lăn nối chúng: v = ω·r và a = α·r.
- Giải, và kiểm tra kết quả bằng công cụ thứ hai nếu có thể.
Với một vật treo từ một sợi dây quấn quanh ròng rọc, hãy vẽ hai sơ đồ vật tự do: một cho khối (lực) và một cho ròng rọc (mômen). Lực căng dây xuất hiện ở cả hai.
5Một ví dụ có lời giải
Theo dõi từng bước. Hãy thử đoán bước tiếp theo trước khi mở nó.
Ví dụ có lời giảiMột khối 2 kg treo từ một sợi dây nhẹ quấn quanh một ròng rọc. Ròng rọc là một đĩa đặc đồng chất khối lượng 4 kg và bán kính 0,2 m trên một trục không ma sát. Khối được thả từ trạng thái nghỉ. Lấy g = 9,81 m/s². Tìm gia tốc của khối, lực căng của dây và tốc độ của khối sau khi nó rơi 1 m.
1Ròng rọc là một đĩa đặc quay quanh tâm.
I = ½·M·R² = ½ · 4 · 0,2² = 0,08 kg·m²
2Lấy chiều xuống làm dương cho khối. Trọng lực kéo nó xuống và lực căng dây T kéo nó lên.
m·g − T = m·a ⇒ 19,62 − T = 2·a
3Chỉ lực căng có mômen quanh trục, với cánh tay đòn R. Dây không trượt, nên α = a/R.
T·R = I·α = I·a/R ⇒ T = I·a/R² = 0,08·a/0,04 = 2·a
4Thay T = 2·a vào phương trình của khối.
19,62 − 2·a = 2·a ⇒ a = 19,62/4 = 4,905 m/s²
T = 2 · 4,905 = 9,81 N
Ròng rọc quay với α = a/R = 4,905/0,2 ≈ 24,5 rad/s².
5Gia tốc không đổi và khối bắt đầu từ trạng thái nghỉ, nên dùng v² = 2·a·s.
v = √(2 · 4,905 · 1) = √9,81 ≈ 3,13 m/s
6Thay vào đó hãy dùng năng lượng. Thế năng mất đi trở thành động năng của khối và của ròng rọc, với ω = v/R.
m·g·h = ½·m·v² + ½·I·(v/R)² ⇒ 19,62 = v² + v²
Vậy v² = 9,81 và v ≈ 3,13 m/s, giống như trước.
Đáp số a ≈ 4,91 m/s², T ≈ 9,81 N và v ≈ 3,13 m/s sau 1 m.
6Lỗi thường gặp
- Để nguyên tốc độ theo rpm trong ω, E = ½·I·ω² hoặc P = T·ω. Hãy đổi sang rad/s trước.
- Dùng mômen quán tính quanh tâm cho một vật quay quanh đầu mút. Hãy cộng m·d².
- Quên động năng quay của vật lăn hoặc của ròng rọc.
- Coi một quả cầu hay đĩa ở đầu một thanh là chất điểm. Hãy cộng cả I riêng của nó quanh tâm.
- Cho rằng động năng được bảo toàn khi các vật bám hoặc dính vào nhau. Hãy dùng mômen động lượng.
- Đếm số vòng quay theo radian: N = θ/(2π).
Tự kiểm tra Một trụ đặc khối lượng 2 kg lăn không trượt với 3 m/s. Tổng động năng của nó là bao nhiêu?
- 13,5 J
- 18 J
- 4,5 J
- 9 J
Đáp số: 13,5 J. E = ½·m·v²·(1 + c) = ½·2·3²·1,5 = 13,5 J, với c = 0,5 cho trụ đặc. 9 J chỉ là phần chuyển động tịnh tiến, 4,5 J chỉ là phần quay, và 18 J dùng c = 1, giá trị của vành.
7Các câu hỏi thi trông như thế nào
- Dễ: mômen quán tính. Một thanh quanh một trục bị dời, một con lắc gồm thanh và một quả cầu hoặc đĩa, động năng của bánh đà, hoặc mômen xoắn hay thời gian cần để làm bánh đà tăng tốc quay.
- Trung bình: ΣM = I·α, công và công suất. Một thanh thả từ vị trí nằm ngang, một khối trên ròng rọc, số vòng quay của bánh đà bị hãm, mômen xoắn hay công suất của một trục, hoặc tốc độ của một thanh đang đung đưa.
- Khó: lăn và mômen động lượng. Một cầu, trụ hay vành lăn xuống mặt dốc, ma sát cần để lăn, phần năng lượng quay, một vòng thả lên đĩa đang quay, một người thu tạ tay vào, hoặc một viên đạn đập vào thanh treo.
Với bánh đà bị hãm, phanh thực hiện công bằng năng lượng dự trữ: T·θ = ½·I·ω². Chia θ cho 2π để được số vòng quay.
Một thanh được gắn chốt ở một đầu và thả từ vị trí nằm ngang có α = 3·g/(2·L) ngay sau khi thả. Đầu tự do của nó có gia tốc 1,5·g.
Với viên đạn găm vào một thanh, mômen động lượng quanh chốt được bảo toàn: m·v·d = (Irod + m·d²)·ω.
Học từng bước một trong ứng dụngHọc từng bước một trong ứng dụng