Lực cắt và mômen uốn: bài tập có lời giải từng bước

Bài tập Lực cắt và mômen uốn miễn phí có hình vẽ, gợi ý và lời giải đầy đủ. Số liệu mới mỗi lần, ở ba mức độ: tải tập trung, tải phân bố đều toàn nhịp, tải tập trung + tải phân bố đều.

Bài tập miễn phíDễ
P = 60 kNAB2,5 m2,5 m

Dầm đơn giản chịu một lực tập trung P. Tìm lực cắt Vx ngay bên phải của tải. Dùng quy ước mô-men làm võng xuống là dương và lực cắt hướng lên trên mặt cắt bên trái là dương.

L = 5 mP = 60 kN tại 2,5 m
kN
Bài tiếp theo →
Luyện tập Lực cắt và mômen uốn miễn phíLuyện tập Lực cắt và mômen uốn ngay5 bài miễn phí mỗi ngày. Không cần thẻ.

Bạn luyện tập những gì

  1. Dễtải tập trung
  2. Trung bìnhtải phân bố đều toàn nhịp
  3. Khótải tập trung + tải phân bố đều

Cách giải bài tập Lực cắt và mômen uốn

  1. Tìm phản lực gối từ cân bằng của cả dầm.
  2. Cắt dầm tại mặt cắt bạn cần và giữ lại một phía.
  3. Lực cắt: tổng các lực thẳng đứng ở phía đó. Mômen uốn: tổng mômen của chúng quanh mặt cắt.
  4. Để tìm mômen lớn nhất, hãy tìm nơi lực cắt bằng không.

Lỗi thường gặp

  • Tính cả các tải từ hai phía của mặt cắt.
  • Dùng sai quy ước dấu cho mômen làm dầm võng xuống và võng lên.
  • Trả lời bằng lực cắt khi câu hỏi hỏi mômen uốn.

Công thức chính

Lực cắt và mômen
V = ΣF ở một phía, M = ΣF·d ở một phía
Ứng suất uốn
σ = M·y/I
Hình chữ nhật
I = bh³/12
Mômen chống uốn của mặt cắt
W = I/ymax
Dầm đơn giản, tải phân bố đều
Mmax = wL²/8

Học Lực cắt và mômen uốn từ đầu

Trước bài này: Phản lực gối của dầm

1Điều gì xảy ra bên trong một dầm

Trong bài về phản lực, bạn đã tìm các lực tác dụng lên dầm từ bên ngoài. Bây giờ hãy nhìn vào bên trong: vật liệu tại một điểm của dầm phải chịu những gì?

Hãy tưởng tượng cưa dầm làm đôi tại một điểm. Mỗi nửa sẽ rơi. Để giữ nó tại chỗ, nửa kia phải giữ nó bằng hai tác động bên trong:

  • lực cắt V, ngăn một bên trượt lên hoặc xuống so với bên kia (theo kN);
  • mômen uốn M, ngăn một bên quay so với bên kia (theo kN·m).
PAB2 m2 m2 m

Một dầm uốn thành hình mặt cười, với mặt dưới bị kéo giãn, đang võng xuống (sagging). Một dầm uốn thành hình mặt buồn, như một ban công, đang vồng lên (hogging).

Các kỹ sư cần M vì ứng suất uốn trong dầm tăng theo nó, và V vì dầm không được bị cắt đứt gần các gối đỡ.

Tự kiểm tra Một dầm đơn giản chịu một tải hướng xuống. Mặt nào của dầm bị kéo giãn?
  1. Cả hai mặt như nhau
  2. Không mặt nào, dầm chỉ ngắn lại
  3. Mặt dưới: dầm đang võng xuống
  4. Mặt trên: dầm đang vồng lên

Đáp số: Mặt dưới: dầm đang võng xuống. Một dầm trên hai gối đỡ uốn thành hình mặt cười dưới tải hướng xuống. Các thớ dưới dài ra (chịu kéo), các thớ trên ngắn lại (chịu nén).

2Phương pháp mặt cắt

Để tìm V và M tại khoảng cách x từ A, cắt dầm tại đó và chỉ giữ phần bên trái mặt cắt. Phần đó tự nó ở trạng thái cân bằng.

RA​VMAx

Các quy tắc dấu thông thường: một lực hướng lên trên phần bên trái được tính là lực cắt dương, và mômen võng xuống là dương. Điều này cho hai công thức ngắn:

  • Lực cắt: V = RA trừ mọi tải hướng xuống bên trái mặt cắt.
  • Mômen uốn: M = RA·x trừ, với mỗi tải bên trái mặt cắt, tải nhân với khoảng cách của nó đến mặt cắt.

Một phần UDL bên trái mặt cắt tác dụng như một lực w·ℓ tại điểm giữa riêng của nó, giống như trong bài phản lực.

Bạn có thể giữ phần bên phải thay vào đó. Bạn được cùng V và M, đó là một cách kiểm tra hữu ích.

Tự kiểm tra RA = 10 kN. Tải đầu tiên cách A 5 m. Mômen uốn tại x = 3 m là bao nhiêu?
  1. 10 kN·m
  2. 13 kN·m
  3. 3,3 kN·m
  4. 30 kN·m

Đáp số: 30 kN·m. Không có tải nào bên trái mặt cắt, nên M = RA·x = 10·3 = 30 kN·m. 10 kN là lực cắt tại đó, không phải mômen.

3Biểu đồ và mômen cực đại

Nếu bạn tính V và M tại mọi x, bạn được biểu đồ lực cắt và biểu đồ mômen uốn. Hình dạng của chúng theo các quy tắc đơn giản:

  • Giữa các tải tập trung, V không đổi và M là một đường thẳng.
  • Dưới một UDL, V dốc xuống theo đường thẳng và M là một đường cong (parabol).
  • Một tải tập trung làm V nhảy một lượng bằng độ lớn tải.
  • M lớn nhất tại nơi V đổi dấu, đi qua không.

Hai kết quả xuất hiện thường xuyên đến mức đáng biết:

  • Tải tập trung P tại giữa nhịp: Mmax = P·L / 4
  • UDL w trên toàn nhịp: Mmax = w·L² / 8
Tự kiểm tra Một dầm đơn giản dài 6 m chịu UDL 4 kN/m trên toàn nhịp. Mômen uốn lớn nhất là bao nhiêu?
  1. 12 kN·m
  2. 144 kN·m
  3. 18 kN·m
  4. 36 kN·m

Đáp số: 18 kN·m. Mmax = wL²/8 = 4·36/8 = 18 kN·m tại giữa nhịp. 36 dùng /4 (quy tắc tải tập trung); 12 kN là phản lực wL/2.

4Phương pháp từng bước

  1. Tìm phản lực gối từ cân bằng của cả dầm.
  2. Cắt dầm tại mặt cắt x và giữ phần bên trái.
  3. Lực cắt: V = RA trừ mọi tải hướng xuống trên phần bên trái.
  4. Mômen uốn: M = RA·x trừ mỗi tải trên phần bên trái nhân với khoảng cách của nó đến mặt cắt.
  5. Với mômen cực đại: tìm nơi V = 0 và tính M tại đó.

Vẽ phần bên trái thành một hình phác nhỏ riêng. Nó làm rõ cần đưa tải nào vào.

5Một ví dụ có lời giải

Theo dõi từng bước. Hãy thử đoán bước tiếp theo trước khi mở nó.

Ví dụ có lời giải

Một dầm đơn giản nhịp 6 m chịu UDL 4 kN/m trên toàn chiều dài. Tìm lực cắt V và mômen uốn M tại x = 2 m từ A.

1

Quan sát dầm

w = 4 kN/mABRA​RB​2 m4 m
2

Phản lực gối

Tổng tải là 4 · 6 = 24 kN, ở giữa. Do đối xứng mỗi gối đỡ chịu một nửa:

RA = RB = 12 kN
3

Giữ phần bên trái

w = 4 kN/m12 kNVMA2 m

UDL trên phần bên trái là 4 · 2 = 8 kN. Nó tác dụng tại điểm giữa riêng của nó, cách mặt cắt 1 m.

4

Lực cắt

V = 12 − 8 = 4 kN
5

Mô-men uốn

M = 12 · 2 − 8 · 1 = 16 kN·m

Nó dương, nên dầm võng xuống ở đây.

6

Kiểm tra đáp án

Dùng phần bên phải thay vào đó: nó dài 4 m, với RB = 12 kN và một UDL 16 kN cách mặt cắt 2 m.

M = 12 · 4 − 16 · 2 = 16 kN·m

Biểu đồ đầy đủ là một parabol với đỉnh wL²/8 = 18 kN·m tại giữa nhịp. 16 kN·m tại x = 2 m phù hợp.

1618 kN·mMx = 2x = 3
Đáp số

V = 4 kN và M = 16 kN·m (võng xuống).

6Lỗi thường gặp

  • Đưa vào các tải từ cả hai phía của mặt cắt. Chỉ dùng phần bạn đã giữ.
  • Đo cánh tay đòn từ A thay vì từ mặt cắt. Trong M, mỗi khoảng cách tính từ tải đến mặt cắt.
  • Trả lời V khi đề hỏi M, hoặc ngược lại. Hãy kiểm tra đơn vị: kN hay kN·m.
  • Lấy toàn bộ UDL thay vì chỉ phần bên trái mặt cắt.
  • Lẫn lộn quy tắc dấu. Với các quy tắc thông thường, dầm đơn giản chịu tải hướng xuống có mômen dương (võng xuống) ở mọi nơi.
Tự kiểm tra Một dầm đơn giản dài 4 m chịu 20 kN tại giữa nhịp, nên RA = 10 kN. M tại x = 1 m là bao nhiêu?
  1. 0 kN·m
  2. 10 kN
  3. 10 kN·m
  4. 20 kN·m

Đáp số: 10 kN·m. Chỉ RA nằm bên trái mặt cắt: M = 10·1 = 10 kN·m. 0 trừ nhầm tải, vốn nằm bên phải mặt cắt. 20 kN·m là PL/4, mômen cực đại tại giữa nhịp. 10 kN là lực cắt.

7Các câu hỏi thi trông như thế nào

  • Dễ: một tải tập trung. Tìm M tại tải, hoặc V ngay bên cạnh nó. Các biến thể dùng dầm công xôn, nơi M lớn nhất ở chân ngàm.
  • Trung bình: một UDL trên toàn nhịp, như trong ví dụ. Tìm V hoặc M tại một x cho trước, hoặc mômen cực đại.
  • Khó: một tải tập trung và một UDL cùng lúc, hoặc một UDL một phần. Tìm M tại một mặt cắt hoặc mômen cực đại nơi V = 0.

Một số biến thể dùng dầm có đoạn nhô ra khỏi gối đỡ. Đoạn nhô vồng lên, nên M âm ở đó.

Luôn bắt đầu bằng các phản lực và ghi chúng lên hình phác của bạn.

Học từng bước một trong ứng dụngHọc từng bước một trong ứng dụng

Ví dụ có lời giải

Ví dụ 1Dễ
40 kNABCDEFG2 m2 m2 m2 m2 m2 m

Các điểm đánh dấu từ A đến G chia dầm thành sáu phần bằng nhau. Tại điểm nào mômen uốn có độ lớn lớn nhất, dù võng hay vồng? Nhấp vào nó trong sơ đồ.

40 kN @ 2 m
  1. 1A (x = 0 m)
  2. 2B (x = 2 m)
  3. 3C (x = 4 m)
  4. 4D (x = 6 m)
  5. 5E (x = 8 m)
  6. 6F (x = 10 m)
  7. 7G (x = 12 m)
Hiện các gợi ý
  1. Các đỉnh của mômen uốn nằm nơi lực cắt đổi dấu, tại ngàm cố định, hoặc trên một gối tựa cạnh phần công-xon.
  2. Trước hết tìm các phản lực gối tựa: R1 = 33,33 kN.
  3. So sánh các mômen tại những điểm đánh dấu ứng viên; độ lớn lớn nhất là 66,67 kN·m.
Hiện đáp án và phần giải thích

Mômen uốn lớn nhất: M đổi độ dốc ở bất cứ chỗ nào lực cắt thay đổi, nên các đỉnh của nó nằm nơi lực cắt đi qua không: dưới một tải tập trung, bên trong một tải phân bố, hoặc trên một gối của phần công-xon. Tại ngàm của dầm công-xon, mômen lớn nhất ở chân tường. So sánh độ lớn của M tại những chỗ đó, dù là mômen làm võng hay làm vồng.

Phản lực gối

Lấy mômen quanh một gối tựa, rồi dùng cân bằng lực thẳng đứng.

R1 = 33,33 kN, R2 = 6,667 kN

Mômen uốn tại mỗi điểm đánh dấu

Cộng các mômen của mọi lực ở một phía của mặt cắt. Võng là dương, vồng là âm.

MA = 0, MB = 66,67 kN·m, MC = 53,33, MD = 40, ME = 26,67, MF = 13,33, MG = 0

Đáp số

Điểm đánh dấu B: MB = 66,67 kN·m
Ví dụ 2Trung bình
w = 5 kN/mABmặt cắt0,5 m5,5 m

Tìm mômen uốn Mx tại mặt cắt x = 0,5 m tính từ gối A. Coi mômen làm dầm võng xuống là dương và lực cắt hướng lên trên mặt trái là dương.

L = 6 mw = 5 kN/m từ 0 đến 6 mx = 0,5 m

Tìm Mx (kN·m)

Hiện các gợi ý
  1. Trước hết tìm các phản lực gối từ cân bằng của cả dầm.
  2. Sau đó cắt dầm tại x = 0,5 m và chỉ xét phần bên trái mặt cắt. Lấy tổng mômen của các lực đó quanh mặt cắt.
  3. RA = 15 kN.
Hiện đáp án và lời giải từng bước

Phương pháp mặt cắt: cắt dầm tại vị trí cần tìm nội lực và giữ lại một phía. Lực cắt V cân bằng với các lực thẳng đứng ở phía đó, và mômen uốn M cân bằng với mômen của chúng quanh mặt cắt.

Phản lực gối

Cân bằng của cả dầm.

Hợp lực của tải phân bố đều: W = w·ℓ = 5·6 = 30 kN, đặt tại x̄ = 3 m
ΣMA = 0: RB·6 = 5·6·3
RB = 90/6 = 15 kN
ΣFy = 0: RA = 30 − 15 = 15 kN
w = 5 kN/mABRA​ = 15RB​ = 15mặt cắt0,5 m5,5 m

Cắt tại x = 0,5 m và giữ phần bên trái

Chỉ các lực bên trái mặt cắt xuất hiện. Phần tải phân bố đều được thay bằng một lực đặt tại giữa phần đó.

M = RA·x − (mỗi tải bên trái mặt cắt × cánh tay đòn đến mặt cắt)
Mx = 15·0,5 − 5·0,5·0,25 = 6,875 kN·m

Đáp số

Mx = 6,875 kN·m
Ví dụ 3Khó
w = 6 kN/mP = 45 kNABmặt cắt1,5 m3,5 m1 m

Tìm mômen uốn Mx tại mặt cắt x = 5 m tính từ gối A. Coi mômen làm dầm võng xuống là dương và lực cắt hướng lên trên mặt trái là dương.

L = 6 mP = 45 kN tại 1,5 mw = 6 kN/m từ 0 đến 6 mx = 5 m

Tìm Mx (kN·m)

Hiện các gợi ý
  1. Trước hết tìm các phản lực gối từ cân bằng của cả dầm.
  2. Sau đó cắt dầm tại x = 5 m và chỉ xét phần bên trái mặt cắt. Lấy tổng mômen của các lực đó quanh mặt cắt.
  3. RA = 51,75 kN.
Hiện đáp án và lời giải từng bước

Phương pháp mặt cắt: cắt dầm tại vị trí cần tìm nội lực và giữ lại một phía. Lực cắt V cân bằng với các lực thẳng đứng ở phía đó, và mômen uốn M cân bằng với mômen của chúng quanh mặt cắt.

Phản lực gối

Cân bằng của cả dầm.

Hợp lực của tải phân bố đều: W = w·ℓ = 6·6 = 36 kN, đặt tại x̄ = 3 m
ΣMA = 0: RB·6 = 45·1,5 + 6·6·3
RB = 175,5/6 = 29,25 kN
ΣFy = 0: RA = 81 − 29,25 = 51,75 kN
w = 6 kN/mP = 45 kNABRA​ = 51,75RB​ = 29,25mặt cắt1,5 m3,5 m1 m

Cắt tại x = 5 m và giữ phần bên trái

Chỉ các lực bên trái mặt cắt xuất hiện. Phần tải phân bố đều được thay bằng một lực đặt tại giữa phần đó.

M = RA·x − (mỗi tải bên trái mặt cắt × cánh tay đòn đến mặt cắt)
Mx = 51,75·5 − 45·(5 − 1,5) − 6·5·2,5 = 26,25 kN·m

Đáp số

Mx = 26,25 kN·m

Câu hỏi thường gặp

Lực cắt và mômen uốn là gì?

Trong bài về phản lực, bạn đã tìm các lực tác dụng lên dầm từ bên ngoài. Bây giờ hãy nhìn vào bên trong: vật liệu tại một điểm của dầm phải chịu những gì?

Hãy tưởng tượng cưa dầm làm đôi tại một điểm. Mỗi nửa sẽ rơi. Để giữ nó tại chỗ, nửa kia phải giữ nó bằng hai tác động bên trong:

Làm thế nào để giải bài tập Lực cắt và mômen uốn từng bước?
  1. Tìm phản lực gối từ cân bằng của cả dầm.
  2. Cắt dầm tại mặt cắt bạn cần và giữ lại một phía.
  3. Lực cắt: tổng các lực thẳng đứng ở phía đó. Mômen uốn: tổng mômen của chúng quanh mặt cắt.
  4. Để tìm mômen lớn nhất, hãy tìm nơi lực cắt bằng không.
Những lỗi thường gặp trong Lực cắt và mômen uốn là gì?
  • Tính cả các tải từ hai phía của mặt cắt.
  • Dùng sai quy ước dấu cho mômen làm dầm võng xuống và võng lên.
  • Trả lời bằng lực cắt khi câu hỏi hỏi mômen uốn.
Các bài tập Lực cắt và mômen uốn bao gồm những gì?
  • Dễ: tải tập trung
  • Trung bình: tải phân bố đều toàn nhịp
  • Khó: tải tập trung + tải phân bố đều

Mỗi bài tập có số liệu mới, nên bạn học phương pháp chứ không học thuộc đáp án. Bí rồi? Hãy mở một gợi ý nhỏ trước, và chỉ xem giải thích đầy đủ khi cần.

Cách luyện tập hoạt động

  • Mỗi bài tập có số liệu mới, nên bạn học phương pháp chứ không học thuộc đáp án.
  • Bí rồi? Hãy mở một gợi ý nhỏ trước, và chỉ xem giải thích đầy đủ khi cần.
  • Tiến độ, lỗi sai và các bài đã lưu của bạn được giữ lại, để bạn xem lại trước kỳ thi.

Các chủ đề trước và sau chủ đề này

Học trước

Phản lực gối của dầm

Tiếp tục với

Độ võng của dầm

Máy tính

Máy tính biểu đồ lực cắt và mô-men uốnMáy tính ứng suất uốn (σ = My/I)

Các môn học có chủ đề này

Tĩnh họcSức bền vật liệuPhân tích kết cấuLuyện thi FE Cơ khíLuyện thi FE Xây dựng

Thêm chủ đề trong Xây dựng

Giàn: phương pháp tách nútĐộ võng của dầmTrọng tâm và mômen quán tính mặt cắtMất ổn định cộtỨng suất hữu hiệu trong đấtLún cố kếtLực thủy tĩnhDòng chảy hở (Manning)

Phiếu bài tập in được

Phiếu bài tập Lực cắt và mômen uốn có đáp án
Luyện tập Lực cắt và mômen uốn miễn phíLuyện tập Lực cắt và mômen uốn ngay5 bài miễn phí mỗi ngày. Không cần thẻ.