Trọng tâm và mômen quán tính mặt cắt: bài tập có lời giải từng bước
Bài tập Trọng tâm và mômen quán tính mặt cắt miễn phí có hình vẽ, gợi ý và lời giải đầy đủ. Số liệu mới mỗi lần, ở ba mức độ: trọng tâm, mômen quán tính mặt cắt, ứng suất uốn.
Bài tập miễn phíDễ
Tìm độ cao ȳ của trọng tâm mặt cắt chữ T so với mép dưới.
Cắt một dầm thẳng ngang và nhìn vào mặt cắt. Hình dạng đó là mặt cắt ngang, hay đơn giản là tiết diện.
Lấy một tấm ván gỗ 100 × 20 mm. Đặt nằm phẳng bắc qua một khoảng trống thì nó võng nhiều. Dựng cùng tấm ván đó lên cạnh thì nó cứng hơn nhiều, dù diện tích hoàn toàn như nhau.
Điều quan trọng là vật liệu nằm cách trục uốn của dầm bao xa. Vật liệu ở xa trục đó làm việc nhiều hơn rất nhiều.
Hai đặc trưng mô tả điều này. Trọng tâm là tâm hình học của tiết diện: dầm uốn quanh một trục đi qua nó. Mômen quán tính của diện tích I đo diện tích phân bố xa trục đó đến mức nào.
Tự kiểm tra Cùng một tấm ván được dùng nằm phẳng (a) và dựng cạnh (b), uốn quanh trục nằm ngang. Cách nào cứng hơn?
Chỉ phụ thuộc vào vật liệu
Dựng cạnh (b)
Hai cách như nhau, vì diện tích như nhau
Nằm phẳng (a)
Đáp số: Dựng cạnh (b). Khi dựng cạnh, vật liệu nằm xa trục uốn hơn. Diện tích như nhau, nhưng khoảng cách của nó đến trục mới là điều quan trọng.
2Trọng tâm của tiết diện ghép
Với hình chữ nhật, trọng tâm ở giữa. Nhiều tiết diện dầm, như chữ T, được ghép từ các hình chữ nhật.
Chia tiết diện thành các hình chữ nhật. Với mỗi hình, tìm diện tích Ai và độ cao yi của trọng tâm riêng của nó, đo từ một đường chuẩn, thường là cạnh dưới.
Trọng tâm của toàn tiết diện là trung bình gia quyền theo diện tích của các độ cao đó:
ȳ = Σ Ai·yi / Σ Ai
Một phần lớn kéo trọng tâm về phía nó. Trong tiết diện chữ T có cánh ở trên, trọng tâm nằm cao hơn nửa chiều cao.
Tự kiểm tra Phần 1 có A = 3000 mm² tại y = 20 mm. Phần 2 có A = 1000 mm² tại y = 100 mm. Trọng tâm ở đâu?
ȳ = 160 mm
ȳ = 40 mm
ȳ = 60 mm
ȳ = 80 mm
Đáp số: ȳ = 40 mm. ȳ = (3000·20 + 1000·100)/4000 = 160 000/4000 = 40 mm. 60 mm là trung bình cộng đơn thuần của các độ cao, bỏ qua diện tích. 80 mm là đổi chỗ các diện tích.
3Mômen quán tính của diện tích
Với hình chữ nhật có chiều rộng b và chiều cao h, uốn quanh trục nằm ngang qua trọng tâm của chính nó:
Ic = b · h³ / 12
Chiều cao được lập phương, đó là lý do tấm ván dựng cạnh cứng hơn 25 lần: 20·100³ / (100·20³) = 25.
Với tiết diện ghép, mỗi phần nằm cách trục đi qua trọng tâm chung một khoảng d. Định lý trục song song thêm một số hạng cho độ lệch đó:
I = Σ ( Ic,i + Ai · di² )
Đơn vị là mm⁴. Các con số trở nên lớn, nên đáp án thường được cho dưới dạng “× 10⁶ mm⁴”.
Khi đã có I, ứng suất uốn tại khoảng cách y từ trục qua trọng tâm suy ra từ mômen uốn M:
σ = M · y / I
Tự kiểm tra Một hình chữ nhật rộng 100 mm và cao 20 mm: I quanh trục nằm ngang qua trọng tâm của chính nó là bao nhiêu?
1 666 667 mm⁴
400 000 mm⁴
66 667 mm⁴
800 000 mm⁴
Đáp số: 66 667 mm⁴. I = bh³/12 = 100·20³/12 = 66 667 mm⁴. Đáp án 1 666 667 đổi chỗ b và h (đó là tấm ván dựng cạnh); 800 000 quên chia cho 12.
4Phương pháp từng bước
Chia tiết diện thành các hình chữ nhật và đánh số chúng.
Với mỗi phần: diện tích Ai và độ cao trọng tâm yi, đều đo từ cạnh dưới.
Trọng tâm: ȳ = ΣAiyi / ΣAi.
Với mỗi phần: Ic = bh³/12 của riêng nó và khoảng cách di = yi − ȳ.
Cộng lại: I = Σ(Ic,i + Aidi²).
Nếu đề hỏi ứng suất: σ = M·y/I, với y là khoảng cách từ trục đến mép bạn cần.
Một bảng nhỏ với các cột A, y, A·y, Ic, d và A·d² giữ mọi thứ gọn gàng.
5Một ví dụ có lời giải
Theo dõi từng bước. Hãy thử đoán bước tiếp theo trước khi mở nó.
Ví dụ có lời giải
Một tiết diện chữ T có cánh 100 × 20 mm nằm trên bụng 20 × 100 mm. Tìm độ cao trọng tâm ȳ, mômen quán tính của diện tích Ix, và các ứng suất uốn tại mép trên và mép dưới với mômen làm võng 4 kN·m.
1
Chia thành hai hình chữ nhật
Cánh (1): A1 = 100·20 = 2000 mm², trọng tâm tại y1 = 100 + 10 = 110 mm.
Bụng (2): A2 = 20·100 = 2000 mm², trọng tâm tại y2 = 50 mm.
2
Trọng tâm
ȳ = (2000·110 + 2000·50) / 4000 = 80 mm
Hai diện tích bằng nhau, nên ȳ nằm giữa 110 và 50 mm.
3
Mômen quán tính riêng
Ic,1 = 100·20³/12 = 66 667 mm⁴
Ic,2 = 20·100³/12 = 1 666 667 mm⁴
4
Các số hạng trục song song
Mỗi trọng tâm cách trục x 30 mm: d1 = 110 − 80 = 30 mm và d2 = 50 − 80 = −30 mm.
M = 4 kN·m = 4 × 10⁶ N·mm. Mép dưới cách trục 80 mm, mép trên cách 120 − 80 = 40 mm.
σbottom = 4 × 10⁶ · 80 / 5 333 333 = 60 MPa
σtop = 4 × 10⁶ · 40 / 5 333 333 = 30 MPa
Mép dưới chịu kéo và mép trên chịu nén, như trong mọi dầm bị võng.
Đáp số
ȳ = 80 mm, Ix = 5,33 × 10⁶ mm⁴, σbottom = 60 MPa và σtop = 30 MPa.
6Lỗi thường gặp
Quên số hạng A·d². Nếu thiếu nó, bạn chỉ cộng các giá trị I riêng của các phần, nhỏ hơn thực tế rất nhiều.
Đo các độ cao yi từ những đường chuẩn khác nhau. Hãy chọn cạnh dưới và giữ nguyên.
Dùng d tính từ cạnh dưới thay vì từ trọng tâm chung.
Đổi chỗ b và h trong bh³/12. Kích thước vuông góc với trục uốn được lập phương.
Dùng sai khoảng cách đến mép trong σ = M·y/I. Mép xa trục nhất có ứng suất lớn nhất.
Tự kiểm tra Một hình chữ nhật 100 × 20 mm (rộng × cao) có trọng tâm cách trục x 50 mm. Đóng góp của nó vào Ix là bao nhiêu?
0,067 × 10⁶ mm⁴
5,00 × 10⁶ mm⁴
5,07 × 10⁶ mm⁴
6,67 × 10⁶ mm⁴
Đáp số: 5,07 × 10⁶ mm⁴. I = bh³/12 + A·d² = 66 667 + 2000·50² = 5 066 667 mm⁴. Đáp án 0,067 × 10⁶ quên A·d²; 5,00 × 10⁶ quên số hạng riêng; 6,67 × 10⁶ dùng 1 666 667 (đổi chỗ b và h) cộng A·d².
7Các câu hỏi thi trông như thế nào
Dễ: trọng tâm. Tìm ȳ của tiết diện chữ T tính từ mép dưới. Các biến thể: tiết diện chữ L, hoặc I của một hình chữ nhật, hình tròn (πd⁴/64) hay hình hộp.
Trung bình: mômen quán tính của diện tích. Tìm Ix của tiết diện chữ T quanh trục qua trọng tâm. Các biến thể: tiết diện chữ I, thép máng, và bán kính quán tính r = √(I/A).
Khó: ứng suất uốn. Tiết diện chữ T chịu một mômen M; tìm ứng suất tại mép trên hoặc mép dưới bằng σ = M·y/I.
Các kích thước cho trước là bf và tf cho cánh, và tw và hw cho bụng.
Tìm độ cao ȳ của trọng tâm mặt cắt chữ T so với mép dưới.
bf = 260 mmtf = 10 mmtw = 8 mmhw = 280 mm
Tìm ȳ(mm)
Hiện các gợi ý
Chia chữ T thành cánh và bụng, rồi tìm diện tích và độ cao trọng tâm của từng phần.
ȳ = ΣA·y / ΣA, với mọi y đo từ mép dưới.
Af = 2600 mm², Aw = 2240 mm².
Hiện đáp án và lời giải từng bước
Diện tích ghép: chia mặt cắt thành các hình chữ nhật. Trọng tâm là trung bình có trọng số theo diện tích ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Mômen quán tính của mặt cắt đối với trục đi qua trọng tâm bằng tổng bh³/12 của từng phần và số hạng trục song song A·d², trong đó d là khoảng cách từ trọng tâm của phần đó đến trọng tâm chung. Ứng suất uốn là σ = M·y/I.
Chia thành hai hình chữ nhật
Đo mọi y từ mép dưới.
cánh: Af = 260·10 = 2600 mm², yf = 280 + 10/2 = 285 mm
Một tấm 100 mm × 240 mm có một lỗ tròn đường kính 30 mm trên đường tâm thẳng đứng, tâm lỗ cách đáy 156 mm. Tìm mômen quán tính diện tích Ix quanh trục nằm ngang đi qua trọng tâm.
b = 100 mmh = 240 mmd = 30 mmtâm lỗ: y = 156 mm
Tìm Ix(× 10⁶ mm⁴)
Hiện các gợi ý
Trước hết tìm trọng tâm: tấm trừ lỗ.
ȳ = 118,9 mm.
Sau đó I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²) quanh ȳ.
Hiện đáp án và lời giải từng bước
Tiết diện có lỗ: coi lỗ là một diện tích âm. Trọng tâm là ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), với A₁, y₁ cho tấm đầy đủ và A₂, y₂ cho lỗ. Với mômen quán tính diện tích quanh trục đi qua trọng tâm, dùng định lý trục song song cho từng phần rồi trừ lỗ: I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²), trong đó d là khoảng cách từ trọng tâm riêng của mỗi phần đến trục đi qua ȳ. Hình chữ nhật có Ic = bh³/12 và hình tròn có Ic = πd⁴/64.
Trọng tâm
ȳ = (24000·120 − 706,9·156)/(24000 − 706,9) = 118,9 mm
Tấm đầy đủ quanh ȳ
100·240³/12 + 24000·1,092² = 115,2 × 10⁶ mm⁴
Lỗ quanh ȳ
π·30⁴/64 + 706,9·37,09² = 1,012 × 10⁶ mm⁴
Trừ
Ix = 114,2 × 10⁶ mm⁴
Đáp số
Ix = 114,2 × 10⁶ mm⁴
Ví dụ 3Khó
Một tấm 100 mm × 200 mm có một lỗ khoét hình chữ nhật rộng 30 mm và cao 20 mm, đặt giữa đường tâm thẳng đứng với tâm cách đáy 120 mm. Tìm mômen quán tính diện tích Ix quanh trục nằm ngang đi qua trọng tâm.
b = 100 mmh = 200 mmlỗ khoét: 30 × 20 mmtâm lỗ: y = 120 mm
Tìm Ix(× 10⁶ mm⁴)
Hiện các gợi ý
Trước hết tìm trọng tâm: tấm trừ lỗ.
ȳ = 99,38 mm.
Sau đó I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²) quanh ȳ.
Hiện đáp án và lời giải từng bước
Tiết diện có lỗ: coi lỗ là một diện tích âm. Trọng tâm là ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), với A₁, y₁ cho tấm đầy đủ và A₂, y₂ cho lỗ. Với mômen quán tính diện tích quanh trục đi qua trọng tâm, dùng định lý trục song song cho từng phần rồi trừ lỗ: I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²), trong đó d là khoảng cách từ trọng tâm riêng của mỗi phần đến trục đi qua ȳ. Hình chữ nhật có Ic = bh³/12 và hình tròn có Ic = πd⁴/64.
Trọng tâm
ȳ = (20000·100 − 600·120)/(20000 − 600) = 99,38 mm
Tấm đầy đủ quanh ȳ
100·200³/12 + 20000·0,6186² = 66,67 × 10⁶ mm⁴
Lỗ quanh ȳ
30·20³/12 + 600·20,62² = 0,2751 × 10⁶ mm⁴
Trừ
Ix = 66,4 × 10⁶ mm⁴
Đáp số
Ix = 66,4 × 10⁶ mm⁴
Câu hỏi thường gặp
Trọng tâm và mômen quán tính mặt cắt là gì?
Cắt một dầm thẳng ngang và nhìn vào mặt cắt. Hình dạng đó là mặt cắt ngang, hay đơn giản là tiết diện.
Lấy một tấm ván gỗ 100 × 20 mm. Đặt nằm phẳng bắc qua một khoảng trống thì nó võng nhiều. Dựng cùng tấm ván đó lên cạnh thì nó cứng hơn nhiều, dù diện tích hoàn toàn như nhau.
Làm thế nào để giải bài tập Trọng tâm và mômen quán tính mặt cắt từng bước?
Diện tích ghép: chia mặt cắt thành các hình chữ nhật. Trọng tâm là trung bình có trọng số theo diện tích ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Mômen quán tính của mặt cắt đối với trục đi qua trọng tâm bằng tổng bh³/12 của từng phần và số hạng trục song song A·d², trong đó d là khoảng cách từ trọng tâm của phần đó đến trọng tâm chung. Ứng suất uốn là σ = M·y/I.
Các bài tập Trọng tâm và mômen quán tính mặt cắt bao gồm những gì?
Dễ: trọng tâm
Trung bình: mômen quán tính mặt cắt
Khó: ứng suất uốn
Mỗi bài tập có số liệu mới, nên bạn học phương pháp chứ không học thuộc đáp án. Bí rồi? Hãy mở một gợi ý nhỏ trước, và chỉ xem giải thích đầy đủ khi cần.
Cách luyện tập hoạt động
Mỗi bài tập có số liệu mới, nên bạn học phương pháp chứ không học thuộc đáp án.
Bí rồi? Hãy mở một gợi ý nhỏ trước, và chỉ xem giải thích đầy đủ khi cần.
Tiến độ, lỗi sai và các bài đã lưu của bạn được giữ lại, để bạn xem lại trước kỳ thi.