Độ võng của dầm: bài tập có lời giải từng bước

Bài tập Độ võng của dầm miễn phí có hình vẽ, gợi ý và lời giải đầy đủ. Số liệu mới mỗi lần, ở ba mức độ: công xôn, tải ở đầu, tải phân bố đều, xếp chồng và thiết kế.

Bài tập miễn phíDễ
P = 3 kNδL = 1,5 m

Một dầm công xôn chịu tải tập trung P ở đầu tự do. Tìm độ võng δ tại đầu tự do.

P = 3 kNL = 1,5 mE = 200 GPa (thép)I = 8,5 × 10⁶ mm⁴
mm
Bài tiếp theo →
Luyện tập Độ võng của dầm miễn phíLuyện tập Độ võng của dầm ngay5 bài miễn phí mỗi ngày. Không cần thẻ.

Bạn luyện tập những gì

  1. Dễcông xôn, tải ở đầu
  2. Trung bìnhtải phân bố đều
  3. Khóxếp chồng và thiết kế

Công thức chính

Tải tập trung ở giữa nhịp
δ = PL³/(48EI)
Tải phân bố đều, dầm đơn giản
δ = 5wL⁴/(384EI)
Công xôn, tải ở đầu
δ = PL³/(3EI)
Công xôn, tải phân bố đều
δ = wL⁴/(8EI)
Nguyên lý xếp chồng
δ = δ1 + δ2

Học Độ võng của dầm từ đầu

Trước bài này: Lực cắt và mômen uốn, Trọng tâm và mômen quán tính mặt cắt

1Độ võng là gì

Mọi dầm đều uốn một chút dưới tải. Khoảng cách một điểm của dầm di chuyển xuống là độ võng δ của nó, thường theo mm.

PδL

Một dầm có thể đủ bền mà vẫn uốn quá nhiều. Sàn khi đó cảm thấy bập bềnh, vữa nứt và cửa kẹt. Giới hạn thường dùng cho sàn là nhịp/360: một sàn 3,6 m chỉ được võng tối đa 10 mm.

Độ võng của dầm phụ thuộc vào bốn thứ:

  • tải: tải gấp đôi cho độ võng gấp đôi;
  • nhịp: độ võng tăng rất nhanh theo chiều dài (L³ hoặc L⁴);
  • mô đun Young E của vật liệu: vật liệu cứng hơn uốn ít hơn;
  • mômen quán tính I của tiết diện: tiết diện cao hơn uốn ít hơn.

E và I luôn xuất hiện cùng nhau dưới dạng tích EI, độ cứng uốn của dầm.

Tự kiểm tra Bạn thay một dầm bằng dầm có mômen quán tính I gấp đôi. Mọi thứ khác giữ nguyên. Độ võng thế nào?
  1. Giảm một nửa
  2. Nó không đổi
  3. Thành một phần tư
  4. Tăng gấp đôi

Đáp số: Giảm một nửa. Độ võng tỉ lệ nghịch với EI. Gấp đôi I làm δ giảm một nửa.

2Các công thức chuẩn

Độ võng có được bằng cách tích phân mômen uốn hai lần, nhưng với các trường hợp thông dụng kết quả được lập thành bảng. Bốn trường hợp bao phủ hầu hết câu hỏi:

  • Công xôn, tải tập trung P ở đầu tự do: δ = P·L³ / (3·E·I)
  • Công xôn, UDL w trên toàn chiều dài: δ = w·L⁴ / (8·E·I)
  • Dầm đơn giản, tải tập trung P tại giữa nhịp: δmax = P·L³ / (48·E·I)
  • Dầm đơn giản, UDL w trên toàn nhịp: δmax = 5·w·L⁴ / (384·E·I)
PδL

Với công xôn, độ võng lớn nhất ở đầu tự do; với dầm đơn giản có tải đối xứng nó ở giữa nhịp.

Khi dầm chịu nhiều tải, độ võng do từng tải riêng cộng lại. Đây là chồng chất.

Tự kiểm tra Một công xôn chịu tải ở đầu có độ võng đầu mút là 2 mm. Công xôn được làm dài gấp đôi. Độ võng mới là bao nhiêu?
  1. 16 mm
  2. 32 mm
  3. 4 mm
  4. 8 mm

Đáp số: 16 mm. δ tỉ lệ với L³, nên gấp đôi L nhân δ với 2³ = 8: 2·8 = 16 mm. 4 mm coi nó là tuyến tính; 32 mm dùng L⁴, là trường hợp UDL.

3Đơn vị: làm việc theo N và mm

Các công thức chỉ dùng được với đơn vị nhất quán. Lựa chọn an toàn là niutơn và milimét:

  • P theo N: kN × 1000.
  • w theo N/mm: 1 kN/m đúng bằng 1 N/mm.
  • L theo mm: m × 1000.
  • E theo N/mm²: GPa × 1000. Thép: 200 GPa = 200 000 N/mm².
  • I theo mm⁴: “36 × 10⁶ mm⁴” nghĩa là 36 000 000 mm⁴.

Độ võng khi đó ra theo mm. Vì L được nâng lên lũy thừa ba hoặc bốn, các con số trở nên lớn. Máy tính có lũy thừa của mười giúp kiểm soát chúng.

Tự kiểm tra Một dầm làm bằng thép, E = 200 GPa. Bạn dùng giá trị E nào với N và mm?
  1. 0,2 N/mm²
  2. 200 000 000 N/mm²
  3. 200 000 N/mm²
  4. 200 N/mm²

Đáp số: 200 000 N/mm². 1 GPa = 1000 MPa = 1000 N/mm², nên 200 GPa = 200 000 N/mm². Dùng 200 làm độ võng lớn gấp 1000 lần.

4Phương pháp từng bước

  1. Xác định trường hợp: công xôn hay dầm đơn giản, tải tập trung hay UDL.
  2. Đổi P, w, L, E và I sang N và mm.
  3. Chọn công thức phù hợp.
  4. Tính δ theo mm.
  5. Với nhiều tải: tính từng tải riêng và cộng lại.
  6. Với câu hỏi thiết kế: đặt δ bằng giá trị cho phép (ví dụ L/360) và giải tìm I.

5Một ví dụ có lời giải

Theo dõi từng bước. Hãy thử đoán bước tiếp theo trước khi mở nó.

Ví dụ có lời giải

Một công xôn thép (E = 200 GPa, I = 36 × 10⁶ mm⁴) dài 3 m và chịu một tải tập trung 8 kN ở đầu tự do. Tìm độ võng ở đầu tự do.

1

Xác định trường hợp

P = 8 kNδL = 3 m

Một công xôn có tải tập trung ở đầu tự do: δ = PL³/(3EI).

2

Đổi sang N và mm

P = 8000 N, L = 3000 mm, E = 200 000 N/mm², I = 36 000 000 mm⁴.

3

Độ cứng uốn

E·I = 200 000 · 36 × 10⁶ = 7,2 × 10¹² N·mm²
4

Độ võng đầu mút

L³ = 3000³ = 2,7 × 10¹⁰ mm³
δ = 8000 · 2,7 × 10¹⁰ / (3 · 7,2 × 10¹²) = 10 mm
5

Kiểm tra đáp án

10 mm trên công xôn 3 m là L/300. Đó là một cỡ thực tế cho một dầm thép chịu tải: không phải một phần nhỏ của milimét cũng không phải hàng chục xentimét.

Đáp số

Đầu tự do võng δ = 10 mm.

6Lỗi thường gặp

  • Lẫn lộn đơn vị: L theo mét với E theo N/mm² cho kết quả vô nghĩa. Hãy đổi mọi thứ sang N và mm trước.
  • Để E theo GPa, làm δ lớn gấp 1000 lần.
  • Dùng sai trường hợp, ví dụ PL³/(48EI) cho công xôn. Hãy kiểm tra gối đỡ và loại tải.
  • Quên số 5 trong 5wL⁴/(384EI).
  • Trong chồng chất, dùng công thức khác nhau cho mỗi tải nhưng quên một trong các tải.
Tự kiểm tra Một dầm đơn giản chịu một tải tập trung ở giữa nhịp riêng cho 4 mm, và một UDL riêng cho 6 mm. Độ võng giữa nhịp là bao nhiêu?
  1. 10 mm
  2. 2 mm
  3. 24 mm
  4. 6 mm

Đáp số: 10 mm. Theo chồng chất, độ võng do từng tải cộng lại: 4 + 6 = 10 mm. Chỉ lấy giá trị lớn hơn, hiệu hay tích đều sai.

7Các câu hỏi thi trông như thế nào

  • Dễ: công xôn có tải ở đầu. Tìm δ = PL³/(3EI). Biến thể: dầm đơn giản có tải ở giữa, góc xoay ở đầu mút, hoặc tải cho một độ võng nhất định.
  • Trung bình: tải phân bố đều. Một công xôn (wL⁴/8EI) hoặc dầm đơn giản (5wL⁴/384EI). Biến thể: tải lệch tâm và góc xoay ở đầu mút.
  • Khó: chồng chất và thiết kế. Cộng các độ võng của một tải tập trung và một UDL, hoặc tìm I nhỏ nhất giữ δ dưới L/360.

Với trường hợp thiết kế: Ireq = 5wL⁴ / (384·E·δallow), với δallow = L/360.

Học từng bước một trong ứng dụngHọc từng bước một trong ứng dụng

Ví dụ có lời giải

Ví dụ 1Dễ
P = 19 kNABδ2 m2 m

Một dầm đơn giản chịu lực tập trung P tại giữa nhịp. Tìm độ võng tại giữa nhịp δmax.

P = 19 kNL = 4 mE = 200 GPa (thép)I = 12 × 10⁶ mm⁴

Tìm δmax (mm)

Hiện các gợi ý
  1. Với dầm đơn giản chịu lực tập trung ở giữa nhịp, độ võng tại giữa nhịp là δ = PL³/(48EI).
  2. Làm việc theo N và mm: P theo N, w theo N/mm (kN/m = N/mm), L theo mm, E theo N/mm² (GPa × 1000), I theo mm⁴.
  3. EI = 2,4 × 10¹² N·mm².
Hiện đáp án và lời giải từng bước

Độ võng của dầm: độ võng có được bằng cách tích phân độ cong M/(EI) hai lần. Các trường hợp tiêu chuẩn đã được lập bảng, ví dụ PL³/(3EI) cho dầm công xôn chịu tải ở đầu tự do và 5wL⁴/(384EI) cho dầm đơn giản chịu tải phân bố đều toàn nhịp. Độ võng do các tải riêng rẽ cộng lại (xếp chồng).

Đơn vị nhất quán

Làm việc theo N và mm: P theo N, w theo N/mm (kN/m = N/mm), L theo mm, E theo N/mm² (GPa × 1000), I theo mm⁴.

P = 19000 N, L = 4000 mm
EI = 2,4 × 10¹² N·mm²

Độ võng tại giữa nhịp

δmax = PL³/(48EI) = 19000·4000³/(48·2,4 × 10¹²) = 10,56 mm

Đáp số

δmax = 10,56 mm
Ví dụ 2Trung bình
P = 26 kNABδ2 m4 m

Một dầm công-xôn dài L ngàm tại A và chịu lực tập trung P tại vị trí cách A một đoạn a = 2 m. Tìm độ võng δB tại đầu tự do B.

P = 26 kNa = 2 mL = 6 mE = 200 GPa (thép)I = 84 × 10⁶ mm⁴

Tìm δB (mm)

Hiện các gợi ý
  1. Phần giữa A và tải hoạt động như dầm công-xôn dài a chịu lực ở đầu mút: δ = Pa³/(3EI), θ = Pa²/(2EI).
  2. Phía sau tải không có mô-men, nên phần đó vẫn thẳng: δB = Pa³/(3EI) + Pa²/(2EI)·(L − a) = Pa²(3L − a)/(6EI).
  3. a = 2000 mm, EI = 1,68 × 10¹³ N·mm².
Hiện đáp án và lời giải từng bước

Độ võng của dầm: độ võng có được bằng cách tích phân độ cong M/(EI) hai lần. Các trường hợp tiêu chuẩn đã được lập bảng, ví dụ PL³/(3EI) cho dầm công xôn chịu tải ở đầu tự do và 5wL⁴/(384EI) cho dầm đơn giản chịu tải phân bố đều toàn nhịp. Độ võng do các tải riêng rẽ cộng lại (xếp chồng).

Đơn vị nhất quán

Làm việc theo N và mm: P theo N, w theo N/mm (kN/m = N/mm), L theo mm, E theo N/mm² (GPa × 1000), I theo mm⁴.

P = 26000 N, a = 2000 mm, L = 6000 mm
EI = 1,68 × 10¹³ N·mm²

Độ võng ở đầu tự do

Độ võng tại tải cộng góc xoay tại tải nhân với chiều dài còn lại.

δP = Pa³/(3EI) = 4,127 mm
θP = Pa²/(2EI) = 0,003095 rad
δB = δP + θP·(L − a) = Pa²(3L − a)/(6EI) = 16,51 mm

Đáp số

δB = 16,51 mm
Ví dụ 3Khó
w = 4 kN/mABδ3 m

Một dầm gỗ đơn giản có tiết diện chữ nhật, rộng 100 mm, chịu tải phân bố đều w trên toàn bộ nhịp. Độ võng tại giữa nhịp không được vượt quá nhịp/360. Tìm chiều cao tiết diện nhỏ nhất hreq.

w = 4 kN/mL = 3 mE = 11 GPa (gỗ xẻ)b = 100 mm

Tìm hreq (mm)

Hiện các gợi ý
  1. Cho độ võng tại giữa nhịp 5wL⁴/(384EI) bằng giới hạn và giải tìm I cần thiết.
  2. Sau đó dùng I = bh³/12 cho hình chữ nhật và giải tìm h.
  3. Ireq = 4,602 × 10⁷ mm⁴.
Hiện đáp án và lời giải từng bước

Độ võng của dầm: độ võng có được bằng cách tích phân độ cong M/(EI) hai lần. Các trường hợp tiêu chuẩn đã được lập bảng, ví dụ PL³/(3EI) cho dầm công xôn chịu tải ở đầu tự do và 5wL⁴/(384EI) cho dầm đơn giản chịu tải phân bố đều toàn nhịp. Độ võng do các tải riêng rẽ cộng lại (xếp chồng).

Đơn vị nhất quán

Làm việc theo N và mm: P theo N, w theo N/mm (kN/m = N/mm), L theo mm, E theo N/mm² (GPa × 1000), I theo mm⁴.

w = 4 N/mm, L = 3000 mm, E = 11000 N/mm²

Giới hạn độ võng

δallow = L/360 = 3000/360 = 8,333 mm

Mômen quán tính mặt cắt yêu cầu

Ireq = 5wL⁴/(384·E·δallow) = 5·4·3000⁴/(384·11000·8,333) = 4,602 × 10⁷ mm⁴

Chiều cao cần thiết

bh³/12 = Ireq → h = (12·4,602 × 10⁷/100)1/3 = 176,8 mm

Đáp số

hreq = 176,8 mm

Trong thực tế, hãy chọn chiều cao tiêu chuẩn kế tiếp lớn hơn giá trị này.

Câu hỏi thường gặp

Độ võng của dầm là gì?

Mọi dầm đều uốn một chút dưới tải. Khoảng cách một điểm của dầm di chuyển xuống là độ võng δ của nó, thường theo mm.

Một dầm có thể đủ bền mà vẫn uốn quá nhiều. Sàn khi đó cảm thấy bập bềnh, vữa nứt và cửa kẹt. Giới hạn thường dùng cho sàn là nhịp/360: một sàn 3,6 m chỉ được võng tối đa 10 mm.

Làm thế nào để giải bài tập Độ võng của dầm từng bước?

Độ võng của dầm: độ võng có được bằng cách tích phân độ cong M/(EI) hai lần. Các trường hợp tiêu chuẩn đã được lập bảng, ví dụ PL³/(3EI) cho dầm công xôn chịu tải ở đầu tự do và 5wL⁴/(384EI) cho dầm đơn giản chịu tải phân bố đều toàn nhịp. Độ võng do các tải riêng rẽ cộng lại (xếp chồng).

Những lỗi thường gặp trong Độ võng của dầm là gì?
  • PL³/(3EI) là của dầm công-xôn chịu lực ở đầu mút. Dầm đơn giản chịu lực ở giữa có độ võng PL³/(48EI).
  • Hệ số 5/384 thuộc về tải phân bố đều (với wL⁴). Với lực tập trung ở giữa hãy dùng 1/48.
  • Đó là độ võng dưới tải. Phía sau tải, dầm thẳng nhưng nghiêng, nên cộng thêm θ·(L − a).
Các bài tập Độ võng của dầm bao gồm những gì?
  • Dễ: công xôn, tải ở đầu
  • Trung bình: tải phân bố đều
  • Khó: xếp chồng và thiết kế

Mỗi bài tập có số liệu mới, nên bạn học phương pháp chứ không học thuộc đáp án. Bí rồi? Hãy mở một gợi ý nhỏ trước, và chỉ xem giải thích đầy đủ khi cần.

Cách luyện tập hoạt động

  • Mỗi bài tập có số liệu mới, nên bạn học phương pháp chứ không học thuộc đáp án.
  • Bí rồi? Hãy mở một gợi ý nhỏ trước, và chỉ xem giải thích đầy đủ khi cần.
  • Tiến độ, lỗi sai và các bài đã lưu của bạn được giữ lại, để bạn xem lại trước kỳ thi.

Các chủ đề trước và sau chủ đề này

Học trước

Lực cắt và mômen uốnTrọng tâm và mômen quán tính mặt cắt

Máy tính

Máy tính độ võng dầm

Các môn học có chủ đề này

Sức bền vật liệuPhân tích kết cấuLuyện thi FE Cơ khíLuyện thi FE Xây dựng

Thêm chủ đề trong Xây dựng

Lực cắt và mômen uốnGiàn: phương pháp tách nútTrọng tâm và mômen quán tính mặt cắtMất ổn định cộtỨng suất hữu hiệu trong đấtLún cố kếtLực thủy tĩnhDòng chảy hở (Manning)

Phiếu bài tập in được

Phiếu bài tập Độ võng của dầm có đáp án
Luyện tập Độ võng của dầm miễn phíLuyện tập Độ võng của dầm ngay5 bài miễn phí mỗi ngày. Không cần thẻ.