Mất ổn định cột: bài tập có lời giải từng bước

Bài tập Mất ổn định cột miễn phí có hình vẽ, gợi ý và lời giải đầy đủ. Số liệu mới mỗi lần, ở ba mức độ: hai đầu khớp, các điều kiện biên khác, thiết kế và ứng suất tới hạn.

Bài tập miễn phíDễ
PL = 2,5 m40 × 80 mmmặt cắt ngang

Một cột dài L làm bằng thép được hai đầu khớp. Dùng công thức Euler, tìm tải trọng oằn tới hạn Pcr của nó.

L = 2,5 mE = 200 GPa (thép)b × h = 40 × 80 mm
kN
Bài tiếp theo →
Luyện tập Mất ổn định cột miễn phíLuyện tập Mất ổn định cột ngay5 bài miễn phí mỗi ngày. Không cần thẻ.

Bạn luyện tập những gì

  1. Dễhai đầu khớp
  2. Trung bìnhcác điều kiện biên khác
  3. Khóthiết kế và ứng suất tới hạn

Công thức chính

Tải Euler
Pcr = π²EI/(KL)²
Hệ số chiều dài tính toán
K = 1 khớp–khớp, 0,5 ngàm–ngàm, 0,7 ngàm–khớp, 2 ngàm–tự do
Ứng suất tới hạn
σcr = Pcr/A
Độ mảnh
λ = KL/r, r = √(I/A)

Học Mất ổn định cột từ đầu

Trước bài này: Trọng tâm và mômen quán tính mặt cắt

1Mất ổn định (oằn) là gì

Ấn vào hai đầu một cây thước nhựa. Lúc đầu dường như không có gì xảy ra. Rồi khá đột ngột, nó cong ra bên cạnh. Đó là mất ổn định.

Một cột là cấu kiện chịu nén dọc theo chiều dài: cột nhà, thanh chống mái, cần piston.

PL

Một cột ngắn, dày hỏng do bị nghiền: ứng suất P/A đạt đến cường độ của vật liệu. Một cột dài, mảnh bị oằn ở tải thấp hơn nhiều, khi ứng suất vẫn còn xa cường độ đó.

Tải mà tại đó một cột mảnh bị oằn là tải tới hạn Pcr của nó. Trên mức đó cột mất ổn định và sụp đổ.

Tự kiểm tra Hai cột thép có cùng tiết diện. Một cột dài 2 m, cột kia 4 m. Cột nào oằn ở tải thấp hơn?
  1. Cả hai ở cùng một tải
  2. Cột 2 m
  3. Cột 4 m
  4. Không cột nào: cột thép không thể oằn

Đáp số: Cột 4 m. Cột dài hơn mảnh hơn và oằn dễ hơn. Chiều dài là yếu tố quan trọng nhất trong mất ổn định.

2Công thức Euler

Leonhard Euler đã tìm ra tải tới hạn của một cột mảnh:

Pcr = π² · E · I / (K·L)²
  • E là mô đun Young của vật liệu: 200 GPa với thép.
  • I là mômen quán tính của tiết diện. Dùng giá trị nhỏ nhất: cột uốn theo phương dễ nhất.
  • L là chiều dài, và K là hệ số chiều dài hiệu dụng, phụ thuộc vào cách giữ các đầu.
K = 1K = 2K = 0,7K = 0,5

Đầu khớp có thể xoay; đầu ngàm thì không. Giữ các đầu chắc hơn cho chiều dài hiệu dụng KL ngắn hơn và Pcr cao hơn nhiều, vì KL được bình phương.

Với thanh tròn I = π·d⁴/64. Với hình chữ nhật b × h, b là cạnh nhỏ hơn, Imin = h·b³/12.

Tự kiểm tra Một cột khớp–khớp có Pcr = 100 kN. Cùng cột đó được làm ngàm ở chân và tự do ở đỉnh (K = 2). Pcr bây giờ là bao nhiêu?
  1. 200 kN
  2. 25 kN
  3. 400 kN
  4. 50 kN

Đáp số: 25 kN. Pcr được chia cho K² = 4: 100/4 = 25 kN. 50 kN quên bình phương K; 200 và 400 kN nhân thay vì chia.

3Độ mảnh và ứng suất tới hạn

Chia Pcr cho diện tích cho ứng suất tới hạn. Nó gọn nhất khi viết với bán kính quán tính r và độ mảnh λ (lambda):

r = √(I / A) λ = K·L / r σcr = π² · E / λ²

Với thanh tròn đặc, r = d/4.

Công thức Euler chỉ đúng khi σcr còn nhỏ hơn ứng suất chảy của vật liệu. Với thép kết cấu, điều đó nghĩa là độ mảnh khoảng λ > 100. Các cột thô hơn hỏng do chảy hoặc do cả hai cách kết hợp, và cần các quy tắc thiết kế khác.

Tự kiểm tra Tiết diện cột chữ nhật là 20 mm × 40 mm. Mômen quán tính nhỏ nhất là bao nhiêu?
  1. 106 667 mm⁴
  2. 26 667 mm⁴
  3. 320 000 mm⁴
  4. 7854 mm⁴

Đáp số: 26 667 mm⁴. Trục yếu lấy lập phương cạnh nhỏ hơn: 40·20³/12 = 26 667 mm⁴. 106 667 là trục mạnh; 320 000 quên /12; 7854 dùng công thức của hình tròn.

4Phương pháp từng bước

  1. Đọc điều kiện đầu cột và chọn K: 1, 2, 0,7 hoặc 0,5.
  2. Tìm I nhỏ nhất của tiết diện, theo mm⁴.
  3. Đổi sang N và mm: L theo mm, E theo N/mm² (GPa × 1000).
  4. Chiều dài hiệu dụng: KL.
  5. Tải tới hạn: Pcr = π²EI/(KL)², theo N. Chia cho 1000 để được kN.
  6. Nếu được hỏi, kiểm tra độ mảnh KL/r hoặc ứng suất tới hạn Pcr/A.

Với câu hỏi thiết kế có hệ số an toàn n, cột phải có Pcr = n·P. Giải công thức Euler tìm I, rồi tìm đường kính.

5Một ví dụ có lời giải

Theo dõi từng bước. Hãy thử đoán bước tiếp theo trước khi mở nó.

Ví dụ có lời giải

Một cột thép tròn đặc (E = 200 GPa) đường kính 40 mm và dài 2 m, khớp hai đầu. Tìm tải oằn tới hạn Pcr của nó. Rồi tìm lại cho cùng cột đó khi ngàm ở chân và tự do ở đỉnh.

1

Nhìn vào cột

PL = 2 m

Khớp hai đầu, nên K = 1 và KL = 2000 mm. E = 200 000 N/mm².

2

Mômen quán tính mặt cắt

Tiết diện tròn có cùng I quanh mọi trục:

I = π · 40⁴ / 64 = 125 664 mm⁴
3

Tải trọng tới hạn

Pcr = π² · 200 000 · 125 664 / 2000² = 62 013 N ≈ 62,0 kN
4

Kiểm tra Euler áp dụng được

r = d/4 = 10 mm λ = 2000 / 10 = 200
σcr = π² · 200 000 / 200² = 49,3 MPa

Giá trị đó thấp hơn nhiều so với ứng suất chảy của thép (khoảng 250 MPa), nên cột mảnh và công thức Euler hợp lệ.

5

Chân ngàm, đỉnh tự do

Bây giờ K = 2, nên chiều dài hiệu dụng tăng gấp đôi lên 4000 mm và Pcr giảm đi 2² = 4 lần:

Pcr = 62,0 / 4 = 15,5 kN
Đáp số

Pcr = 62,0 kN khi khớp hai đầu, và 15,5 kN khi ngàm ở chân và tự do ở đỉnh.

6Lỗi thường gặp

  • Chọn sai K, hoặc quên bình phương nó.
  • Dùng I lớn hơn của hình chữ nhật. Cột luôn oằn quanh trục yếu của nó.
  • Lẫn lộn đơn vị: L theo mét với E theo N/mm². Hãy làm việc theo N và mm xuyên suốt.
  • Dùng π·d⁴/32 (mômen quán tính độc cực J từ xoắn) thay cho π·d⁴/64.
  • Áp dụng Euler cho cột ngắn, thô mà ứng suất tới hạn sẽ vượt ứng suất chảy.
Tự kiểm tra Một cột khớp hai đầu có Pcr = 40 kN. Cùng cột đó ngàm hai đầu (K = 0,5). Pcr là bao nhiêu?
  1. 10 kN
  2. 160 kN
  3. 20 kN
  4. 80 kN

Đáp số: 160 kN. Pcr được chia cho K² = 0,25, nên lớn gấp bốn lần: 160 kN. 80 kN quên bình phương K; 10 kN nhân với K² thay vì chia.

7Các câu hỏi thi trông như thế nào

  • Dễ: khớp hai đầu. Tìm Pcr của cột thép hoặc nhôm tròn hoặc chữ nhật.
  • Trung bình: các điều kiện đầu cột khác. Cùng câu hỏi đó với K = 2, 0,7 hoặc 0,5.
  • Khó: thiết kế và ứng suất tới hạn. Tìm đường kính nhỏ nhất chịu được một tải với hệ số an toàn, hoặc tìm độ mảnh và σcr.

Với trường hợp thiết kế thanh tròn: d = (64·n·P·(KL)² / (π³·E))1/4.

Học từng bước một trong ứng dụngHọc từng bước một trong ứng dụng

Ví dụ có lời giải

Ví dụ 1Dễ
PL = 5 md = 50 mmmặt cắt ngang

Một cột dài L làm bằng nhôm được hai đầu khớp. Dùng công thức Euler, tìm tải trọng oằn tới hạn Pcr của nó.

L = 5 mE = 70 GPa (nhôm)d = 50 mm

Tìm Pcr (kN)

Hiện các gợi ý
  1. Euler: Pcr = π²EI/(KL)².
  2. Hệ số chiều dài tính toán: K = 1 cho cột hai đầu khớp.
  3. I = 306796 mm⁴.
Hiện đáp án và lời giải từng bước

Mất ổn định Euler: một cột mảnh mất ổn định tại Pcr = π²EI/(KL)², trong đó KL là chiều dài tính toán: K = 1 cho khớp–khớp, 2 cho ngàm–tự do, 0,7 cho ngàm–khớp và 0,5 cho ngàm–ngàm. Cột oằn quanh trục có I nhỏ nhất. Công thức đúng với cột mảnh, có ứng suất tới hạn thấp hơn ứng suất chảy.

Mômen quán tính nhỏ nhất của mặt cắt

Mặt cắt tròn có cùng I đối với mọi trục.

I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴

Chiều dài tính toán

KL = 1·5000 = 5000 mm

Tải trọng tới hạn

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·306796/5000² = 8478 N = 8,478 kN

Đáp số

Pcr = 8,478 kN
Ví dụ 2Trung bình
PL = 2,5 md = 30 mmmặt cắt ngang

Một cột dài L làm bằng thép được ngàm ở chân và tự do ở đỉnh. Dùng công thức Euler, tìm tải trọng oằn tới hạn Pcr của nó.

L = 2,5 mE = 200 GPa (thép)d = 30 mm

Tìm Pcr (kN)

Hiện các gợi ý
  1. Euler: Pcr = π²EI/(KL)².
  2. Hệ số chiều dài tính toán: K = 2 cho cột ngàm ở chân và tự do ở đỉnh.
  3. I = 39761 mm⁴.
Hiện đáp án và lời giải từng bước

Mất ổn định Euler: một cột mảnh mất ổn định tại Pcr = π²EI/(KL)², trong đó KL là chiều dài tính toán: K = 1 cho khớp–khớp, 2 cho ngàm–tự do, 0,7 cho ngàm–khớp và 0,5 cho ngàm–ngàm. Cột oằn quanh trục có I nhỏ nhất. Công thức đúng với cột mảnh, có ứng suất tới hạn thấp hơn ứng suất chảy.

Mômen quán tính nhỏ nhất của mặt cắt

Mặt cắt tròn có cùng I đối với mọi trục.

I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴

Chiều dài tính toán

KL = 2·2500 = 5000 mm

Tải trọng tới hạn

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·39761/5000² = 3139 N = 3,139 kN

Đáp số

Pcr = 3,139 kN
Ví dụ 3Khó
PL = 2,5 md = 25 mmmặt cắt ngang

Một cột dài L làm bằng nhôm được hai đầu khớp. Tìm độ mảnh của nó và ứng suất oằn tới hạn σcr theo công thức Euler.

L = 2,5 mE = 70 GPa (nhôm)d = 25 mm

Tìm σcr (MPa)

Hiện các gợi ý
  1. σcr = Pcr/A = π²E/(KL/r)², với r = √(I/A) là bán kính quán tính.
  2. Dùng I nhỏ nhất, vì cột oằn quanh trục yếu nhất.
  3. r = 6,25 mm.
Hiện đáp án và lời giải từng bước

Mất ổn định Euler: một cột mảnh mất ổn định tại Pcr = π²EI/(KL)², trong đó KL là chiều dài tính toán: K = 1 cho khớp–khớp, 2 cho ngàm–tự do, 0,7 cho ngàm–khớp và 0,5 cho ngàm–ngàm. Cột oằn quanh trục có I nhỏ nhất. Công thức đúng với cột mảnh, có ứng suất tới hạn thấp hơn ứng suất chảy.

Mômen quán tính nhỏ nhất của mặt cắt

Mặt cắt tròn có cùng I đối với mọi trục.

I = πd⁴/64 = π·25⁴/64 = 19175 mm⁴

Bán kính quán tính và độ mảnh

A = 490,9 mm²
r = √(I/A) = √(19175/490,9) = 6,25 mm
KL = 1·2500 = 2500 mm
KL/r = 2500/6,25 = 400

Ứng suất tới hạn

σcr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/400² = 4,318 MPa

Đáp số

σcr = 4,318 MPa

Câu hỏi thường gặp

Mất ổn định cột là gì?

Ấn vào hai đầu một cây thước nhựa. Lúc đầu dường như không có gì xảy ra. Rồi khá đột ngột, nó cong ra bên cạnh. Đó là mất ổn định.

Một cột là cấu kiện chịu nén dọc theo chiều dài: cột nhà, thanh chống mái, cần piston.

Làm thế nào để giải bài tập Mất ổn định cột từng bước?

Mất ổn định Euler: một cột mảnh mất ổn định tại Pcr = π²EI/(KL)², trong đó KL là chiều dài tính toán: K = 1 cho khớp–khớp, 2 cho ngàm–tự do, 0,7 cho ngàm–khớp và 0,5 cho ngàm–ngàm. Cột oằn quanh trục có I nhỏ nhất. Công thức đúng với cột mảnh, có ứng suất tới hạn thấp hơn ứng suất chảy.

Các bài tập Mất ổn định cột bao gồm những gì?
  • Dễ: hai đầu khớp
  • Trung bình: các điều kiện biên khác
  • Khó: thiết kế và ứng suất tới hạn

Mỗi bài tập có số liệu mới, nên bạn học phương pháp chứ không học thuộc đáp án. Bí rồi? Hãy mở một gợi ý nhỏ trước, và chỉ xem giải thích đầy đủ khi cần.

Cách luyện tập hoạt động

  • Mỗi bài tập có số liệu mới, nên bạn học phương pháp chứ không học thuộc đáp án.
  • Bí rồi? Hãy mở một gợi ý nhỏ trước, và chỉ xem giải thích đầy đủ khi cần.
  • Tiến độ, lỗi sai và các bài đã lưu của bạn được giữ lại, để bạn xem lại trước kỳ thi.

Các chủ đề trước và sau chủ đề này

Học trước

Trọng tâm và mômen quán tính mặt cắt

Máy tính

Máy tính mất ổn định Euler

Các môn học có chủ đề này

Sức bền vật liệuPhân tích kết cấuThiết kế máyLuyện thi FE Cơ khíLuyện thi FE Xây dựng

Thêm chủ đề trong Xây dựng

Lực cắt và mômen uốnGiàn: phương pháp tách nútĐộ võng của dầmTrọng tâm và mômen quán tính mặt cắtỨng suất hữu hiệu trong đấtLún cố kếtLực thủy tĩnhDòng chảy hở (Manning)

Phiếu bài tập in được

Phiếu bài tập Mất ổn định cột có đáp án
Luyện tập Mất ổn định cột miễn phíLuyện tập Mất ổn định cột ngay5 bài miễn phí mỗi ngày. Không cần thẻ.