تحليل نقطة التعادل: مسائل تدريبية مع حلول خطوة بخطوة

مسائل تدريبية مجانية في تحليل نقطة التعادل مع رسوم توضيحية وتلميحات وحلول مفصّلة كاملة. قيم جديدة في كل مرة، بثلاثة مستويات: وحدات التعادل, الربح المستهدف, هامش الأمان.

مسألة تدريبية مجانيةسهلة
Q€الإيراداتالتكلفة الكليةالتكلفة الثابتةQ = ?

تبيع شركة منتجًا بسعر €47 للوحدة. التكلفة المتغيرة €45 للوحدة والتكاليف الثابتة €5 000 شهريًا. كم وحدة Q يجب أن تبيع شهريًا لتصل إلى نقطة التعادل؟

F = €5 000p = €47v = €45
وحدة
المسألة التالية →
تدرّب على تحليل نقطة التعادل مجانًاتدرّب على تحليل نقطة التعادل الآن5 مسائل مجانية كل يوم. لا حاجة إلى بطاقة.

ما الذي تتدرّب عليه

  1. سهلةوحدات التعادل
  2. متوسطةالربح المستهدف
  3. صعبةهامش الأمان

الصيغ الأساسية

هامش المساهمة
CM = p − v
كمية التعادل
QBE = FC/(p − v)
الربح المستهدف
Q = (FC + profit)/(p − v)
الربح
π = (p − v)·Q − FC
هامش الأمان
(Q − QBE)/Q

تعلّم تحليل نقطة التعادل من البداية

1متى يبدأ المشروع بتحقيق الربح؟

للمشروع نوعان من التكاليف. التكاليف الثابتة FC تبقى كما هي مهما بِيع: الإيجار والتأمين والرواتب. أما التكاليف المتغيّرة v فتُدفع عن كل وحدة تُنتَج: المواد والتغليف والتوصيل.

تُباع كل وحدة بسعر p. وبعد دفع تكلفتها المتغيّرة، تترك كل وحدة مبلغًا متبقيًا. وهذا المبلغ هو هامش المساهمة:

CM = p − v

تسدّد مساهمات كل الوحدات التكاليف الثابتة أولًا. وبعد ذلك فقط يحقق المشروع ربحًا.

نقطة التعادل هي عدد الوحدات الذي تغطي عنده المساهمات التكاليف الثابتة تمامًا. الربح عندها صفر: لا خسارة ولا مكسب.

تحقّق ذاتي يُباع منتج بـ €20 وتكلفته المتغيّرة €12 للوحدة. كم تسهم كل وحدة في التكاليف الثابتة؟
  1. €12
  2. €20
  3. €32
  4. €8

الإجابة: €8. CM = p − v = 20 − 12 = €8. السعر الكامل €20 غير متاح، لأن €12 منه تدفع تكلفة مواد الوحدة نفسها وتكاليفها المتغيّرة الأخرى.

2الربح ونقطة التعادل

عند بيع Q وحدة تكون المساهمة الكلية (p − v) · Q. اطرح التكاليف الثابتة لتحصل على الربح π:

π = (p − v) · Q − FC

عند التعادل π = 0، إذن (p − v) · Q = FC. حُلّ لإيجاد Q:

QBE = FC / (p − v)

مثال: p = €25 وv = €15 وFC = €12 000 في الشهر. كل وحدة تسهم بـ €10، فيلزم 12 000 / 10 = 1200 وحدة للتعادل.

Q€FCTCTRQBE​ = 1200

في الرسم، تبدأ الإيرادات الكلية TR = p · Q من الصفر. وتبدأ التكلفة الكلية TC = FC + v · Q من التكاليف الثابتة. يسار نقطة التقاطع يخسر المشروع، ويمينها يربح.

تحقّق ذاتي التكاليف الثابتة €6000 في الشهر، والسعر €10 والتكلفة المتغيّرة €7 للوحدة. ما كمية التعادل؟
  1. 2000 وحدة
  2. 353 وحدة
  3. 600 وحدة
  4. 857 وحدة

الإجابة: 2000 وحدة. Q = 6000 / (10 − 7) = 6000 / 3 = 2000 وحدة. القسمة على السعر (600) تنسى أن التكلفة المتغيّرة لكل وحدة يجب دفعها أولًا.

3الطريقة خطوة بخطوة

  1. اكتب p وv وFC من السؤال. وتأكد أنها تخص الفترة نفسها، مثل الشهر.
  2. أوجد هامش المساهمة للوحدة، p − v.
  3. للتعادل: Q = FC / (p − v).
  4. لتحقيق ربح مستهدف: يجب أن تغطي المساهمات التكاليف الثابتة والربح، إذن Q = (FC + الربح) / (p − v).
  5. قرّب إلى الأعلى إلى أقرب عدد صحيح من الوحدات عند الحاجة، وتحقّق بوضع Q في π = (p − v) · Q − FC.

4مثال محلول

تابع كل خطوة. حاول أن تتوقّع الخطوة التالية قبل أن تفتحها.

مثال محلول

يُباع منتج بـ €25 للوحدة وتكلفته المتغيّرة €15 للوحدة. التكاليف الثابتة €12 000 في الشهر. كم وحدة Q يجب بيعها في الشهر لتحقيق ربح €6000؟

1

اكتب المعطيات

p = 25 v = 15 FC = 12 000 π = 6000
2

هامش المساهمة

p − v = 25 − 15 = 10

كل وحدة مباعة تضيف €10 نحو التكاليف الثابتة والربح.

3

المساهمة المطلوبة

يجب أن تسدّد المساهمات التكاليف الثابتة وتترك الربح المستهدف.

FC + π = 12 000 + 6000 = 18 000
4

الوحدات المطلوبة

Q = 18 000 / 10 = 1800
Q€FCTCTRQBE​ = 1200Q = 1800π
5

تحقّق من الإجابة

الربح عند 1800 وحدة: 10 · 1800 − 12 000 = 18 000 − 12 000 = €6000. وهذا هو المستهدف.

الإجابة

Q = 1800 وحدة في الشهر.

5هامش الأمان

يبيّن هامش الأمان MS إلى أي حد يمكن أن تنخفض المبيعات عن الموازنة قبل أن يخسر المشروع.

MS = (Qbudget − QBE) / Qbudget · 100%

مثال: المشروع أعلاه موازنته 2000 وحدة في الشهر. التعادل عند 1200 وحدة، إذن MS = (2000 − 1200) / 2000 = 0,40 = 40%.

يمكن أن تنخفض المبيعات 40% قبل أن يخسر المشروع. وكلما كبر هامش الأمان قلّت مخاطرة الخطة.

تحقّق ذاتي المبيعات المقدّرة في الموازنة 1500 وحدة ونقطة التعادل 1200 وحدة. ما هامش الأمان كنسبة مئوية من المبيعات المقدّرة؟
  1. 20%
  2. 25%
  3. 300%
  4. 80%

الإجابة: 20%. (1500 − 1200) / 1500 = 300 / 1500 = 20%. القسمة على كمية التعادل (300/1200 = 25%) زلّة شائعة: فالهامش نسبة من المبيعات المقدّرة.

6أخطاء شائعة

  • قسمة التكاليف الثابتة على السعر بدلًا من هامش المساهمة p − v.
  • في الربح المستهدف، نسيان إضافة الربح إلى التكاليف الثابتة.
  • في الربح المستهدف، قسمة الربح وحده على p − v ونسيان التكاليف الثابتة.
  • الخلط بين الفترات: تكاليف ثابتة في السنة مع مبيعات في الشهر.
  • قسمة هامش الأمان على كمية التعادل بدلًا من المبيعات المقدّرة.
تحقّق ذاتي p = €23 وv = €15 وFC = €9600 في الشهر. كم وحدة تعطي ربحًا قدره €5000؟
  1. 1200 وحدة
  2. 1825 وحدة
  3. 625 وحدة
  4. 635 وحدة

الإجابة: 1825 وحدة. (9600 + 5000) / (23 − 15) = 14 600 / 8 = 1825. أما 1200 فهي نقطة التعادل فقط، و625 تنسى التكاليف الثابتة، و635 تقسم على السعر بدلًا من p − v.

7كيف تبدو أسئلة الامتحان

  • سهل: وحدات التعادل. السعر والتكلفة المتغيّرة والتكاليف الثابتة معطاة: Q = FC / (p − v).
  • متوسط: الربح المستهدف. أوجد الوحدات اللازمة لربح معيّن: Q = (FC + الربح) / (p − v).
  • صعب: هامش الأمان. أوجد نقطة التعادل أولًا، ثم قارنها بالمبيعات المقدّرة كنسبة مئوية.

اكتب الإجابة بالوحدات (أو بالنسبة المئوية لهامش الأمان)، وتحقّق منها بصيغة الربح.

تعلّمه خطوة بخطوة في التطبيقتعلّمه خطوة بخطوة في التطبيق

أمثلة محلولة

مثال 1سهلة
Q€الإيراداتالتكلفة الكليةالتكلفة الثابتةQ = ?

تبيع شركة منتجًا بسعر €36 للوحدة. التكلفة المتغيرة €30 للوحدة والتكاليف الثابتة €15 000 شهريًا. كم وحدة Q يجب أن تبيع شهريًا لتصل إلى نقطة التعادل؟

F = €15 000p = €36v = €30

المطلوب: Q (وحدة)

أظهر التلميحات
  1. عند نقطة التعادل، تساوي الإيرادات الكلية التكلفة الكلية.
  2. تساهم كل وحدة بمقدار p − v في تغطية التكاليف الثابتة.
  3. p − v = €6.
أظهر الإجابة والحل خطوة بخطوة

التكلفة–الحجم–الربح: كل وحدة مباعة تحقق هامش مساهمة: السعر ناقص التكلفة المتغيرة للوحدة. الربح = Q·(p − v) − F، حيث F التكلفة الثابتة. عند نقطة التعادل يكون الربح صفرًا، لذا Q = F/(p − v).

هامش المساهمة للوحدة

p − v = 36 − 30 = €6

كمية التعادل

Q = F/(p − v) = 15 000/6 = 2 500

الإجابة

Q = 2 500 وحدة
مثال 2متوسطة
Q€الإيراداتالتكلفة الكليةالتكلفة الثابتةQ = ?

يُباع منتج بسعر €31 للوحدة بتكلفة متغيرة €25 للوحدة. التكاليف الثابتة €9 000 شهريًا. كم وحدة Q يجب بيعها شهريًا لتحقيق ربح قدره €6 000؟

F = €9 000p = €31v = €25الربح = €6 000

المطلوب: Q (وحدة)

أظهر التلميحات
  1. الربح = Q·(p − v) − F. ساوِه بالهدف وحُلّ لإيجاد Q.
  2. يجب أن يغطي هامش المساهمة التكاليف الثابتة والربح المستهدف.
  3. F + الربح = €15 000, p − v = €6.
أظهر الإجابة والحل خطوة بخطوة

التكلفة–الحجم–الربح: كل وحدة مباعة تحقق هامش مساهمة: السعر ناقص التكلفة المتغيرة للوحدة. الربح = Q·(p − v) − F، حيث F التكلفة الثابتة. عند نقطة التعادل يكون الربح صفرًا، لذا Q = F/(p − v).

هامش المساهمة للوحدة

p − v = 31 − 25 = €6

الوحدات للربح المستهدف

Q = (F + الربح)/(p − v) = (9 000 + 6 000)/6 = 2 500

الإجابة

Q = 2 500 وحدة
مثال 3صعبة
Q€الإيراداتv = €12v = €13التكلفة الثابتة2 500Q = ?

تبيع شركة 2 500 وحدة شهريًا بسعر €17 للوحدة، بتكلفة متغيرة €12 للوحدة وتكاليف ثابتة €5 000 شهريًا. ترتفع التكلفة المتغيرة بمقدار €1 للوحدة ويبقى السعر كما هو. كم وحدة Q يجب بيعها الآن شهريًا للمحافظة على الربح نفسه؟

Q = 2 500p = €17v = €12 → €13F = €5 000

المطلوب: Q (وحدة)

أظهر التلميحات
  1. أوجد أولًا الربح الشهري الحالي.
  2. Π = 2 500·5 − 5 000 = €7 500.
  3. هامش المساهمة الجديد للوحدة: €5 − €1 = €4.
أظهر الإجابة والحل خطوة بخطوة

التكلفة–الحجم–الربح: كل وحدة مباعة تحقق هامش مساهمة: السعر ناقص التكلفة المتغيرة للوحدة. الربح = Q·(p − v) − F، حيث F التكلفة الثابتة. عند نقطة التعادل يكون الربح صفرًا، لذا Q = F/(p − v).

الربح الحالي

Π = 2 500·(17 − 12) − 5 000 = €7 500

هامش المساهمة الجديد للوحدة

17 − 13 = €4

الوحدات اللازمة للربح نفسه

Q = (5 000 + 7 500)/4 = 3 125

الإجابة

Q = 3 125 وحدة

أسئلة وأجوبة

ما هو تحليل نقطة التعادل؟

للمشروع نوعان من التكاليف. التكاليف الثابتة FC تبقى كما هي مهما بِيع: الإيجار والتأمين والرواتب. أما التكاليف المتغيّرة v فتُدفع عن كل وحدة تُنتَج: المواد والتغليف والتوصيل.

تُباع كل وحدة بسعر p. وبعد دفع تكلفتها المتغيّرة، تترك كل وحدة مبلغًا متبقيًا. وهذا المبلغ هو هامش المساهمة:

كيف تحل مسائل تحليل نقطة التعادل خطوة بخطوة؟

التكلفة–الحجم–الربح: كل وحدة مباعة تحقق هامش مساهمة: السعر ناقص التكلفة المتغيرة للوحدة. الربح = Q·(p − v) − F، حيث F التكلفة الثابتة. عند نقطة التعادل يكون الربح صفرًا، لذا Q = F/(p − v).

ما الأخطاء الشائعة في تحليل نقطة التعادل؟
  • هذه نقطة التعادل الجديدة. هنا يجب أن تغطّي المساهمة الربح الحالي أيضًا.
  • أعد الحساب بهامش المساهمة الجديد: Q = (F + الربح)/(p − v new).
ماذا تغطي تمارين تحليل نقطة التعادل؟
  • سهلة: وحدات التعادل
  • متوسطة: الربح المستهدف
  • صعبة: هامش الأمان

لكل مسألة قيم جديدة، فتتعلّم الطريقة بدلًا من حفظ إجابة. هل علِقت؟ افتح تلميحًا صغيرًا أولًا، والشرح الكامل فقط عندما تحتاج إليه.

كيف يعمل التدريب

  • لكل مسألة قيم جديدة، فتتعلّم الطريقة بدلًا من حفظ إجابة.
  • هل علِقت؟ افتح تلميحًا صغيرًا أولًا، والشرح الكامل فقط عندما تحتاج إليه.
  • يُحفظ تقدّمك وأخطاؤك ومسائلك المحفوظة، لتتمكّن من مراجعتها قبل الامتحان.

الآلات الحاسبة

حاسبة نقطة التعادل

مقرّرات تتضمّن هذا الموضوع

تمويل الشركاتالمحاسبة الإداريةأساسيات إدارة الأعمال

مواضيع أخرى في إدارة الأعمال والاقتصاد

القيمة الزمنية للنقودNPV و IRRتسعير السندات وعائدهاCAPM و WACCمرونة الطلب السعريةمفاهيم اقتصاديةالمحاسبة الماليةالإهلاكمبادئ التسويق

ورقة عمل قابلة للطباعة

ورقة عمل تحليل نقطة التعادل مع الإجابات
تدرّب على تحليل نقطة التعادل مجانًاتدرّب على تحليل نقطة التعادل الآن5 مسائل مجانية كل يوم. لا حاجة إلى بطاقة.