تسعير السندات وعائدها: مسائل تدريبية مع حلول خطوة بخطوة

Q: ما هو تسعير السندات وعائدها؟

يُطبع على السند النموذجي ثلاثة أرقام: القسائم والقيمة الاسمية ثابتتان. والذي يتغير هو السعر P الذي يدفعه المستثمرون اليوم. وهذا السعر يتوقف على العائد الذي يريده المستثمرون الآن.

Q: ماذا تغطي تمارين تسعير السندات وعائدها؟

سهلة: كوبونات سنوية متوسطة: كوبونات نصف سنوية صعبة: العائد حتى الاستحقاق لكل مسألة قيم جديدة، فتتعلّم الطريقة بدلًا من حفظ إجابة. هل علِقت؟ افتح تلميحًا صغيرًا أولًا، والشرح الكامل فقط عندما تحتاج إليه.

مسائل تدريبية مجانية في تسعير السندات وعائدها مع رسوم توضيحية وتلميحات وحلول مفصّلة كاملة. قيم جديدة في كل مرة، بثلاثة مستويات: كوبونات سنوية, كوبونات نصف سنوية, العائد حتى الاستحقاق.

مسألة تدريبية مجانيةسهلة

سند قيمته الاسمية €1 000 يدفع كوبونًا سنويًا بنسبة 4% ويستحق بعد 9 سنوات. العائد حتى الاستحقاق 2,5%. أوجد سعر السند P.

F = €1 000الكوبون = 4%YTM = 2,5%n = 9

المسألة التالية →

تدرّب على تسعير السندات وعائدها مجانًا تدرّب على تسعير السندات وعائدها الآن5 مسائل مجانية كل يوم. لا حاجة إلى بطاقة.

ما الذي تتدرّب عليه

سهلةكوبونات سنوية
متوسطةكوبونات نصف سنوية
صعبةالعائد حتى الاستحقاق

كيف تحلّ مسائل تسعير السندات وعائدها

أوجد الكوبون لكل فترة والعائد لكل فترة.
السعر = القيمة الحالية للكوبونات (دفعات متساوية) + القيمة الحالية للقيمة الاسمية.
للكوبونات نصف السنوية استخدم نصف الكوبون ونصف العائد وضعف عدد الفترات.
تحقّق: إذا كان العائد أعلى من معدل الكوبون، فالسعر أقل من القيمة الاسمية.

أخطاء شائعة

الخصم بمعدل الكوبون بدل العائد.
نسيان القيمة الاسمية عند الاستحقاق.
الخلط بين الفترات السنوية ونصف السنوية.

الصيغ الأساسية

سعر السند: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
نصف سنوي: C/2 و y/2 و 2n فترة
العائد الجاري: C/P
السعر والعائد: العائد يرتفع ← السعر ينخفض

تعلّم تسعير السندات وعائدها من البداية

قبل هذا: القيمة الزمنية للنقود

1ما هو السند

السند (bond) قرض يمكنك شراؤه وبيعه. تقترض شركة أو حكومة مبلغًا من المال وتَعِد في المقابل بدفعات ثابتة.

يُطبع على السند النموذجي ثلاثة أرقام:

القيمة الاسمية F، وهي عادةً €1000. وتُسدَّد في اليوم الأخير، أي الاستحقاق.
معدل القسيمة. كل سنة يدفع السند هذه النسبة من القيمة الاسمية فائدةً، وهي القسيمة C. وقسيمة 5% على €1000 تساوي €50 في السنة.
الاستحقاق n: عدد السنوات حتى سداد القيمة الاسمية.

القسائم والقيمة الاسمية ثابتتان. والذي يتغير هو السعر P الذي يدفعه المستثمرون اليوم. وهذا السعر يتوقف على العائد الذي يريده المستثمرون الآن.

تحقّق ذاتي سند قيمته الاسمية €1000 ومعدل قسيمته 6%، يُدفع مرة في السنة. ما القسيمة C؟

€1060
€600
€60
€6

الإجابة: €60. C = 6% من القيمة الاسمية = 0,06 · 1000 = €60 في السنة. أما €1060 فهي الدفعة الأخيرة (القسيمة مع القيمة الاسمية)، وليست القسيمة.

2السعر والعائد حتى الاستحقاق

العائد حتى الاستحقاق (YTM ويُرمز له y) هو العائد السنوي الذي يطلبه السوق على السند. وهو معدل الخصم لكل دفعاته.

السعر هو القيمة الحالية لكل ما يدفعه السند: القسائم تشكّل دفعة دورية، والقيمة الاسمية مبلغ واحد في النهاية.

P = C · [1 − (1 + y)⁻ⁿ] / y + F / (1 + y)ⁿ

قارن العائد بمعدل القسيمة. فهذا يعطيك الجواب قبل أن تحسب:

العائد يساوي معدل القسيمة: السعر يساوي القيمة الاسمية تمامًا، €1000 (عند القيمة الاسمية).
العائد أعلى من معدل القسيمة: السعر أقل من القيمة الاسمية (خصم).
العائد أقل من معدل القسيمة: السعر أعلى من القيمة الاسمية (علاوة).

لذا تتحرك أسعار السندات والعوائد دائمًا في اتجاهين متعاكسين. فعندما ترتفع العوائد تنخفض الأسعار.

تحقّق ذاتي سند قسيمته 4%. العائد في السوق 6%. أين سيكون سعره؟

أعلى من القيمة الاسمية
أقل من القيمة الاسمية
القيمة الاسمية زائد قسيمة واحدة
يساوي القيمة الاسمية تمامًا

الإجابة: أقل من القيمة الاسمية. السند يدفع 4% فقط بينما يريد المستثمرون 6%. لن يشتروه إلا بسعر أقل، لذا يُباع بخصم.

3الطريقة خطوة بخطوة

أوجد القسيمة لكل فترة C والعائد لكل فترة y وعدد الفترات n.
للقسائم نصف السنوية: استخدم نصف القسيمة ونصف العائد وضعف عدد السنوات.
القيمة الحالية للقسائم: C · [1 − (1 + y)⁻ⁿ] / y.
القيمة الحالية للقيمة الاسمية: F / (1 + y)ⁿ.
اجمع الاثنين. وقارن النتيجة بمعدل القسيمة: خصم أم علاوة؟

مثال على الخطوة 2: قسيمة 6% تُدفع مرتين في السنة لمدة 5 سنوات، وعائد 5%، تعطي C = €30 وy = 0,025 وn = 10.

4مثال محلول

تابع كل خطوة. حاول أن تتوقّع الخطوة التالية قبل أن تفتحها.

مثال محلول

سند قيمته الاسمية €1000 يدفع قسيمة سنوية 5% ويستحق بعد 3 سنوات. العائد حتى الاستحقاق 6%. أوجد سعر السند P.

ارسم التدفقات النقدية

القسيمة هي 0,05 · 1000 = €50 في السنة. وفي السنة 3 يسدّد السند أيضًا الـ €1000.

القيم لكل فترة

القسائم سنوية، فالفترة الواحدة سنة واحدة.

C = 50 y = 0,06 n = 3

(1,06)⁻³ = 0,839619

القيمة الحالية للكوبونات

50 · (1 − 0,839619) / 0,06 = 133,65

القيمة الحالية للقيمة الاسمية

1000 · 0,839619 = 839,62

اجمعها

P = 133,65 + 839,62 = 973,27

تحقّق من الإجابة

اخصم كل دفعة على حدة: 50/1,06 + 50/1,06² + 1050/1,06³ = 47,17 + 44,50 + 881,60 = €973,27.

العائد (6%) أعلى من معدل القسيمة (5%)، لذا فالمتوقع سعر أقل من €1000.

الإجابة

P ≈ €973,27، وهو خصم لأن العائد أعلى من معدل القسيمة.

5إيجاد العائد حتى الاستحقاق

أحيانًا يكون السعر معطى وعليك إيجاد العائد. لا توجد صيغة لـ y، لذا تجرّب معدلات.

سند بقسيمة 4% وبقيت له 3 سنوات يُباع بـ €960. يُباع بأقل من €1000، إذن العائد أعلى من 4%.

جرّب 5%: تعطي صيغة السعر €972,77. وهو لا يزال أعلى من €960، فلا بد أن يكون العائد أعلى.
جرّب 6%: السعر €946,54. وهو الآن أقل من €960، فالعائد يقع بين 5% و6%.
استكمل بالاستيفاء بين المعدلين.

y ≈ 5% + 1% · (972,77 − 960) / (972,77 − 946,54) ≈ 5,49%

لا تخلط بين العائد حتى الاستحقاق والعائد الجاري، C/P = 40/960 = 4,17%. فالعائد الجاري يتجاهل الربح البالغ €40 من €960 إلى €1000 المسدَّدة عند الاستحقاق.

تحقّق ذاتي يُباع سند بـ €1050. معدل قسيمته 5%. ماذا تعرف عن عائده حتى الاستحقاق؟

هو 5% تمامًا
هو أعلى من 5%
هو أقل من 5%
يساوي 50/1050 = 4,76%

الإجابة: هو أقل من 5%. السعر أعلى من القيمة الاسمية (علاوة)، لذا فالعائد أقل من معدل القسيمة. أما 4,76% فهو العائد الجاري الذي يتجاهل الخسارة البالغة €50 عند الاستحقاق.

6أخطاء شائعة

الخصم بمعدل القسيمة بدلًا من العائد. معدل القسيمة يحدّد حجم القسيمة فقط.
نسيان القيمة الاسمية عند الاستحقاق، أو نسيان القسائم.
جمع الدفعات دون خصمها.
الخلط بين الفترات السنوية ونصف السنوية: مع القسائم نصف السنوية اقسم C وy على اثنين وضاعف n.

تحقّق ذاتي سند لمدة سنتين قيمته الاسمية €1000 وقسيمته السنوية 5% وعائده 6%. ما سعره؟

€1000
€1100
€981,67
€990,00

الإجابة: €981,67. 50/1,06 + 1050/1,06² = 47,17 + 934,50 = €981,67. القيمة €1000 تنتج عن الخصم بمعدل القسيمة، و€1100 عن الجمع دون خصم، و€990,00 عن عدم خصم القسائم.

7كيف تبدو أسئلة الامتحان

سهل: القسائم السنوية. أوجد السعر من القيمة الاسمية ومعدل القسيمة والاستحقاق والعائد.
متوسط: القسائم نصف السنوية. المطلوب نفسه، مع نصف القسيمة ونصف العائد وضعف الفترات.
صعب: العائد حتى الاستحقاق. السعر معطى. جرّب معدلين ثم استكمل بالاستيفاء أو استخدم آلة حاسبة.

قارن دائمًا العائد بمعدل القسيمة أولًا. فهو يخبرك إن كان السعر لا بد أن يكون أعلى من €1000 أو أقل منها.

تعلّمه خطوة بخطوة في التطبيق تعلّمه خطوة بخطوة في التطبيق

أمثلة محلولة

مثال 1سهلة

سند قيمته الاسمية €1 000 يدفع كوبونًا سنويًا بنسبة 8% ويستحق بعد 10 سنوات. العائد حتى الاستحقاق 7%. أوجد سعر السند P.

F = €1 000الكوبون = 8%YTM = 7%n = 10

المطلوب: P (€)

أظهر التلميحات

السعر هو القيمة الحالية للكوبونات زائد القيمة الحالية للقيمة الاسمية.
الكوبون السنوي: €80,00. اخصم بالعائد حتى الاستحقاق.
(1 + 0,07)⁻¹⁰ = 0,5083.

أظهر الإجابة والحل خطوة بخطوة

تسعير السندات: سعر السند هو القيمة الحالية لتدفقاته النقدية مخصومةً بالعائد حتى الاستحقاق (YTM): تشكّل الكوبونات دفعات منتظمة (annuity) وتُسدَّد القيمة الاسمية عند الاستحقاق. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. عندما يكون العائد أعلى من معدل الكوبون يُتداول السند بأقل من قيمته الاسمية، والعكس صحيح.

لكل فترة

C = €80,00, i = 0,07, N = 10

القيمة الحالية للكوبونات

€80,00·(1 − 0,5083)/0,07 = €561,89

القيمة الحالية للقيمة الاسمية

€1 000·0,5083 = €508,35

السعر

P = €1 070,24

الإجابة

P = €1 070,24

العائد أقل من معدل الكوبون، لذا يُباع السند بعلاوة.

مثال 2متوسطة

سند قيمته الاسمية €1 000 يدفع كوبونًا سنويًا قدره 7% ويستحق بعد 15 سنوات. يتغيّر عائده حتى الاستحقاق من 4% إلى 3%. بكم ΔP يتغيّر سعر السند؟

F = €1 000الكوبون = 7%n = 15y₁ = 4%y₂ = 3%

المطلوب: ΔP (€)

أظهر التلميحات

سعّر السند عند العائد القديم وعند العائد الجديد.
P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ.
P₁ = €1 333,55.

أظهر الإجابة والحل خطوة بخطوة

السعر عند العائد القديم

C = €70,00, i = 0,04, N = 15

€70,00·(1 − 0,5553)/0,04 + €1 000·0,5553 = €778,29 + €555,26 = €1 333,55

السعر عند العائد الجديد

C = €70,00, i = 0,03, N = 15

€70,00·(1 − 0,6419)/0,03 + €1 000·0,6419 = €835,66 + €641,86 = €1 477,52

التغيّر

ΔP = 1 477,52 − 1 333,55 = €143,97

الإجابة

ΔP = €143,97

مثال 3صعبة

يُتداول سند بسعر €930 بعائد حتى الاستحقاق 7% (تركيب سنوي) ومدة ماكولي 9,5 سنوات. استخدم المدة المعدَّلة لتقدير السعر الجديد P إذا انخفض العائد بمقدار 150 نقطة أساس.

P₀ = €930y = 7%D = 9,5Δy = −150 bp

المطلوب: P (€)

أظهر التلميحات

المدة المعدَّلة: D mod = D/(1 + y).
D_mod = 9,5/1,07 = 8,879; 1 bp = 0,01% = 0,0001.
%ΔP ≈ −D mod·Δy.

أظهر الإجابة والحل خطوة بخطوة

المدة (الديمومة): مدة ماكولي هي متوسط الزمن المرجَّح الذي يدفع فيه السند تدفقاته النقدية، مع القيم الحالية للتدفقات أوزانًا: D = Σ t·PVₜ/P. المدة المعدَّلة D/(1 + y) تقدّر التغيّر النسبي في السعر لتغيّر صغير في العائد: %ΔP ≈ −D_mod·Δy.

المدة المعدَّلة

D_mod = 9,5/1,07 = 8,879

التغيّر المقدَّر في السعر

%ΔP ≈ −8,879·(−0,015) = 13,32%

P ≈ 930·(1 + 0,1332) = €1 053,86

الإجابة

P = €1 053,86

المدة تقدير خطي؛ للتغيّرات الكبيرة في العائد يجعل التحدّب السعر الحقيقي أعلى قليلًا.

أسئلة وأجوبة

ما هو تسعير السندات وعائدها؟

يُطبع على السند النموذجي ثلاثة أرقام:

كيف تحل مسائل تسعير السندات وعائدها خطوة بخطوة؟

أوجد الكوبون لكل فترة والعائد لكل فترة.
السعر = القيمة الحالية للكوبونات (دفعات متساوية) + القيمة الحالية للقيمة الاسمية.
للكوبونات نصف السنوية استخدم نصف الكوبون ونصف العائد وضعف عدد الفترات.
تحقّق: إذا كان العائد أعلى من معدل الكوبون، فالسعر أقل من القيمة الاسمية.

ما الأخطاء الشائعة في تسعير السندات وعائدها؟