NPV و IRR: مسائل تدريبية مع حلول خطوة بخطوة

مسائل تدريبية مجانية في NPV و IRR مع رسوم توضيحية وتلميحات وحلول مفصّلة كاملة. قيم جديدة في كل مرة، بثلاثة مستويات: تدفقات نقدية متساوية, تدفقات نقدية غير متساوية, معدل العائد الداخلي.

مسألة تدريبية مجانيةسهلة
سنوات0123−20 0009 0009 0009 000

تبلغ تكلفة مشروع اليوم €20 000 ويعود بـ €9 000 في نهاية كل سنة لمدة 3 سنوات. معدل العائد المطلوب 12%. أوجد صافي القيمة الحالية NPV.

r = 12%CF0 = −20 000CF1 = 9 000CF2 = 9 000CF3 = 9 000
€
المسألة التالية →
تدرّب على NPV و IRR مجانًاتدرّب على NPV و IRR الآن5 مسائل مجانية كل يوم. لا حاجة إلى بطاقة.

ما الذي تتدرّب عليه

  1. سهلةتدفقات نقدية متساوية
  2. متوسطةتدفقات نقدية غير متساوية
  3. صعبةمعدل العائد الداخلي

كيف تحلّ مسائل NPV و IRR

  1. اذكر كل التدفقات النقدية مع سنواتها؛ الاستثمار في السنة 0 سالب.
  2. اخصم كل تدفق نقدي: CFt/(1 + r)t.
  3. اجمعها لتحصل على NPV. القيمة الموجبة تعني أن المشروع يحقّق أكثر من r.
  4. لإيجاد IRR، أوجد المعدل الذي يجعل NPV صفرًا بالتجربة أو بالاستيفاء.

أخطاء شائعة

  • خصم التدفق النقدي للسنة 0.
  • نسيان الاستثمار الأولي.
  • جمع التدفقات النقدية دون خصمها.

الصيغ الأساسية

صافي القيمة الحالية
NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
تدفقات نقدية متساوية
NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
معدل العائد الداخلي
قيمة r التي يكون عندها NPV = 0
القرار
اقبل عندما NPV > 0 (أو IRR > العائد المطلوب)

تعلّم NPV و IRR من البداية

قبل هذا: القيمة الزمنية للنقود

1لماذا المال اليوم أثمن

هل تفضّل €100 اليوم أم €100 بعد سنة؟ اليوم: يمكنك وضعها في البنك ويكون لديك أكثر من €100 بعد سنة.

لذا اليورو في المستقبل أقل قيمة من اليورو الآن. تستخدم الشركات هذه الفكرة لتقرّر هل يستحق الاستثمار القيام به.

صافي القيمة الحالية (NPV) يجيب عن سؤال واحد: كم تساوي كل التدفقات المالية لمشروع اليوم، بعد دفع تكلفته؟

  • NPV أكبر من صفر: المشروع يكسب أكثر من العائد المطلوب. اقبله.
  • NPV أقل من صفر: المال سيحقّق نتيجة أفضل في مكان آخر. ارفضه.
تحقّق ذاتي لمشروع NPV قدره +€500. ماذا يعني ذلك؟
  1. مجموع تدفقاته النقدية €500
  2. يحقّق خسارة قدرها €500
  3. يعود بالمعدّل المطلوب تمامًا
  4. يكسب أكثر من معدّل العائد المطلوب

الإجابة: يكسب أكثر من معدّل العائد المطلوب. NPV الموجب يعني أن المشروع يضيف قيمة فوق العائد المطلوب. أما NPV المساوي للصفر تمامًا فيعني أنه يكسب المعدّل المطلوب بالضبط.

2خصم مبلغ واحد

إعادة مبلغ مستقبلي إلى اليوم تُسمّى الخصم. بمعدّل r سنويًا، المبلغ المستلم بعد t سنوات قيمته:

PV = CFt / (1 + r)t

مثال: €1100 بعد سنة بمعدّل 10% قيمتها 1100/1,10 = €1000 اليوم. تحقّق: €1000 في البنك بمعدّل 10% تنمو إلى €1100 في سنة.

كلما بعُد المال، كبر الأُس وصغرت قيمته اليوم.

اكتب المعدّل دائمًا ككسر عشري: 8% هي 0,08، لذا تقسم على 1,08.

تحقّق ذاتي كم تساوي اليوم €121 تُستلم بعد سنتين، بمعدّل 10% سنويًا؟
  1. €100
  2. €110
  3. €146,41
  4. €96,80

الإجابة: €100. 121/1,10² = 121/1,21 = €100. القسمة على 1,10 مرة واحدة فقط تعطي €110، وهذا ينسى السنة الثانية.

3صافي القيمة الحالية خطوة بخطوة

NPV هو مجموع كل التدفقات النقدية المخصومة. الاستثمار في السنة 0 سالب ولا يُخصم، لأنه في اليوم أصلًا.

NPV = −I0 + CF1/(1 + r) + CF2/(1 + r)² + … + CFn/(1 + r)n
  1. ارسم خطًا زمنيًا عليه كل تدفق نقدي في سنته. المال الخارج سالب، والمال الداخل موجب.
  2. اخصم كل تدفق نقدي مستقبلي بقوّته الخاصة من (1 + r).
  3. اجمع كل القيم الحالية، بما في ذلك −I0 في السنة 0.
  4. قرّر: اقبل إذا كان NPV موجبًا.

عندما يكون التدفق النقدي نفسه كل سنة، يقوم معامل سلسلة الدفعات بالخصم كله دفعة واحدة:

PV = C · [1 − (1 + r)−n] / r

4مثال محلول

تابع كل خطوة. حاول أن تتوقّع الخطوة التالية قبل أن تفتحها.

مثال محلول

تبلغ تكلفة آلة €9000 اليوم وتوفّر €3600 في نهاية كل سنة لمدة 3 سنوات. معدّل العائد المطلوب 8%. أوجد NPV. هل ينبغي للشركة شراؤها؟

1

ارسم الخط الزمني

0123−9000+3600+3600+3600t

دفعة واحدة خارجة الآن، وثلاثة مبالغ متساوية داخلة في نهاية السنوات 1 و 2 و 3.

2

اخصم كل تدفق نقدي

3600 / 1,08 = 3333,33
3600 / 1,08² = 3600 / 1,1664 = 3086,42
3600 / 1,08³ = 3600 / 1,259712 = 2857,80
3

اجمعها

قيمة الوفورات اليوم 3333,33 + 3086,42 + 2857,80 = €9277,55.

NPV = −9000 + 9277,55 = €277,55
4

تحقّق بمعامل سلسلة الدفعات

[1 − 1,08−3] / 0,08 = 2,5771
3600 · 2,5771 = 9277,55

النتيجة نفسها، في سطر واحد. استخدم هذا الاختصار كلما كانت التدفقات النقدية متساوية.

5

قرّر

NPV موجب، لذا تكسب الآلة أكثر من 8% سنويًا. ينبغي للشركة شراؤها.

الإجابة

NPV ≈ €277,55، وهو موجب، لذا اقبل الاستثمار.

5معدّل العائد الداخلي

معدّل العائد الداخلي (IRR) هو المعدّل الذي يكون عنده NPV صفرًا بالضبط. إنه العائد السنوي الخاص بالمشروع.

لا توجد صيغة بسيطة له. تجرّب معدّلات حتى تتغيّر إشارة NPV، ثم تستوفي بين المعدّلين.

في المثال، NPV يساوي +277,55 عند 8%. وعند 10% يساوي 3600 · 2,4869 − 9000 = −47,33. لذا يقع IRR بين 8% و 10%.

IRR ≈ 8% + 2% · 277,55 / (277,55 + 47,33) ≈ 9,7%

قاعدة القرار: اقبل عندما يكون IRR أعلى من المعدّل المطلوب. هنا 9,7% أعلى من 8%، وهي الإجابة نفسها التي أعطاها NPV.

تحقّق ذاتي NPV لمشروع موجب عند 8% وسالب عند 12%. أين يقع IRR له؟
  1. 10% بالضبط
  2. بين 8% و 12%
  3. دون 8%
  4. فوق 12%

الإجابة: بين 8% و 12%. IRR هو حيث يعبر NPV الصفر، لذا يقع بين المعدّلين اللذين تتغيّر عندهما الإشارة. الاستيفاء يعطي تقديرًا جيدًا، لكنه ليس تلقائيًا نقطة المنتصف.

6أخطاء شائعة

  • خصم الاستثمار في السنة 0. إنه بقيمة اليوم أصلًا.
  • نسيان الاستثمار كليًا، والاكتفاء بذكر القيمة الحالية للتدفقات الداخلة.
  • جمع التدفقات النقدية دون خصمها أولًا.
  • استخدام النسبة المئوية بدل الكسر العشري: القسمة على 1,8 بدل 1,08.
  • استخدام قوة خاطئة: التدفق النقدي في السنة 3 يُقسم على (1 + r)³، لا (1 + r).
تحقّق ذاتي تبلغ تكلفة مشروع €5000 ويعود بـ €5500 بعد سنة. المعدّل المطلوب 12%. ما NPV؟
  1. +€4910,71
  2. +€500
  3. −€500
  4. −€89,29

الإجابة: −€89,29. 5500/1,12 = 4910,71، و 4910,71 − 5000 = −€89,29. ربح €500 لا يكفي لبلوغ عائد 12%، لذا ارفض.

7كيف تبدو أسئلة الامتحان

  • سهل: استثمار وتدفقات نقدية سنوية متساوية. استخدم معامل سلسلة الدفعات.
  • متوسط: تدفقات نقدية غير متساوية. اخصم كل سنة على حدة واجمعها.
  • صعب: أوجد IRR. جرّب معدّلين، وأوجد أين تتغيّر إشارة NPV، واستوفِ.

اذكر القرار دائمًا بالكلمات: اقبل أو ارفض، ولماذا.

تعلّمه خطوة بخطوة في التطبيقتعلّمه خطوة بخطوة في التطبيق

أمثلة محلولة

مثال 1سهلة
سنوات012345−80 00030 00020 00025 50031 00030 500

تبلغ تكلفة مشروع €80 000 اليوم ويعود بـ €30 000, €20 000, €25 500, €31 000, €30 500 في نهاية السنوات من 1 إلى 5. افترض أن التدفقات النقدية تصل بانتظام خلال كل سنة. أوجد فترة الاسترداد PB بالسنوات.

CF0 = −80 000CF1 = 30 000CF2 = 20 000CF3 = 25 500CF4 = 31 000CF5 = 30 500

المطلوب: PB (سنوات)

أظهر التلميحات
  1. اجمع التدفقات النقدية سنة بسنة حتى يبلغ المجموع التكلفة الأولية.
  2. في السنة الأخيرة لا يلزم إلا جزء من التدفق النقدي: خذ الكسر الذي لا يزال ناقصًا.
  3. بعد السنة 3: €75 500.
أظهر الإجابة والحل خطوة بخطوة

فترة الاسترداد: الزمن حتى تسترد التدفقات النقدية التراكمية الاستثمار الأولي. يُفترض أن النقد يدخل بانتظام خلال كل سنة، لذا يكون الجزء الأخير كسرًا من سنة. الاسترداد البسيط يتجاهل القيمة الزمنية للنقود؛ أما فترة الاسترداد المخصومة فتستخدم التدفقات النقدية المخصومة بدلًا من ذلك.

التدفقات النقدية التراكمية

السنة 1: €30 000
السنة 2: €50 000
السنة 3: €75 500
السنة 4: €106 500

كسر السنة الأخيرة

لا يزال مطلوبًا بعد السنة 3: 80 000 − 75 500 = 4 500
PB = 3 + 4 500/31 000 = 3,145

الإجابة

PB = 3,145 سنوات
مثال 2متوسطة
سنوات01234−45 00011 00010 00013 00014 000

استثمار قدره €45 000 يعطي التدفقات النقدية التالية في نهاية السنوات من 1 إلى 4: €11 000, €10 000, €13 000, €14 000. تكلفة رأس المال 12%. أوجد صافي القيمة الحالية NPV.

r = 12%CF0 = −45 000CF1 = 11 000CF2 = 10 000CF3 = 13 000CF4 = 14 000

المطلوب: NPV (€)

أظهر التلميحات
  1. أعد كل تدفق نقدي إلى السنة 0 بقسمته على (1 + r)ᵗ.
  2. التكلفة الأولية موجودة بالفعل في السنة 0 وتُحتسب سالبة.
  3. CF1/(1 + r) = 9 821,43.
أظهر الإجابة والحل خطوة بخطوة

صافي القيمة الحالية: اخصم كل تدفق نقدي إلى اليوم بمعدل العائد المطلوب r، ثم اجمعها: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. المشروع الذي NPV > 0 يكسب أكثر من r ويضيف قيمة. معدل العائد الداخلي (IRR) هو المعدل الذي يجعل NPV = 0.

القيمة الحالية لكل تدفق نقدي

CF0 = −45 000
CF1/(1 + 0,12)1 = 11 000/1,12 = 9 821,43
CF2/(1 + 0,12)2 = 10 000/1,254 = 7 971,94
CF3/(1 + 0,12)3 = 13 000/1,405 = 9 253,14
CF4/(1 + 0,12)4 = 14 000/1,574 = 8 897,25

اجمعها

NPV = €−9 056,24

الإجابة

NPV = €−9 056,24

NPV سالبة، لذا يكسب المشروع أقل من العائد المطلوب.

مثال 3صعبة
سنوات0123−40 00015 50016 00027 500

تبلغ تكلفة مشروع €40 000 ويعود بـ €15 500, €16 000, €27 500 في نهاية السنوات من 1 إلى 3. أوجد معدل العائد الداخلي IRR بالنسبة المئوية.

CF0 = −40 000CF1 = 15 500CF2 = 16 000CF3 = 27 500

المطلوب: IRR (%)

أظهر التلميحات
  1. IRR هو معدل الخصم الذي يجعل NPV صفرًا تمامًا.
  2. جرّب معدلين، أحدهما يعطي NPV > 0 والآخر NPV < 0، ثم ضيّق النطاق (أو استكمل بينهما).
  3. NPV(15%) = 3 658,26, NPV(20%) = −57,87.
أظهر الإجابة والحل خطوة بخطوة

صافي القيمة الحالية: اخصم كل تدفق نقدي إلى اليوم بمعدل العائد المطلوب r، ثم اجمعها: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. المشروع الذي NPV > 0 يكسب أكثر من r ويضيف قيمة. معدل العائد الداخلي (IRR) هو المعدل الذي يجعل NPV = 0.

احصر IRR بين قيمتين

تنخفض NPV كلما ارتفع المعدل، لذا يقع IRR بين معدل يعطي NPV موجبة ومعدل يعطي NPV سالبة.

NPV(15%) = 3 658,26
NPV(20%) = −57,87

ضيّق النطاق

يعطي الاستكمال الخطي تقديرًا أوليًا؛ وتكراره (أو دالة IRR في الآلة الحاسبة) يعطي المعدل الدقيق.

IRR ≈ 15 + 5·3 658,26/(3 658,26 − (−57,87)) = 19,92%
بالضبط: NPV(19,92%) = 0 → IRR = 19,92%

الإجابة

IRR = 19,92%

أسئلة وأجوبة

ما هو NPV و IRR؟

هل تفضّل €100 اليوم أم €100 بعد سنة؟ اليوم: يمكنك وضعها في البنك ويكون لديك أكثر من €100 بعد سنة.

لذا اليورو في المستقبل أقل قيمة من اليورو الآن. تستخدم الشركات هذه الفكرة لتقرّر هل يستحق الاستثمار القيام به.

كيف تحل مسائل NPV و IRR خطوة بخطوة؟
  1. اذكر كل التدفقات النقدية مع سنواتها؛ الاستثمار في السنة 0 سالب.
  2. اخصم كل تدفق نقدي: CFt/(1 + r)t.
  3. اجمعها لتحصل على NPV. القيمة الموجبة تعني أن المشروع يحقّق أكثر من r.
  4. لإيجاد IRR، أوجد المعدل الذي يجعل NPV صفرًا بالتجربة أو بالاستيفاء.
ما الأخطاء الشائعة في NPV و IRR؟
  • خصم التدفق النقدي للسنة 0.
  • نسيان الاستثمار الأولي.
  • جمع التدفقات النقدية دون خصمها.
ماذا تغطي تمارين NPV و IRR؟
  • سهلة: تدفقات نقدية متساوية
  • متوسطة: تدفقات نقدية غير متساوية
  • صعبة: معدل العائد الداخلي

لكل مسألة قيم جديدة، فتتعلّم الطريقة بدلًا من حفظ إجابة. هل علِقت؟ افتح تلميحًا صغيرًا أولًا، والشرح الكامل فقط عندما تحتاج إليه.

كيف يعمل التدريب

  • لكل مسألة قيم جديدة، فتتعلّم الطريقة بدلًا من حفظ إجابة.
  • هل علِقت؟ افتح تلميحًا صغيرًا أولًا، والشرح الكامل فقط عندما تحتاج إليه.
  • يُحفظ تقدّمك وأخطاؤك ومسائلك المحفوظة، لتتمكّن من مراجعتها قبل الامتحان.

مواضيع قبل هذا الموضوع وبعده

تعلّم أولاً

القيمة الزمنية للنقود

الآلات الحاسبة

حاسبة NPV و IRRحاسبة العائد على الاستثمار ROIحاسبة فترة الاسترداد (البسيطة والمخصومة)

مقرّرات تتضمّن هذا الموضوع

تمويل الشركاتالاستثمار والتقييمالتدريب لاختبار FE للهندسة المدنيةالتدريب على الأساليب الكمية والدخل الثابت في CFA Level I

مواضيع أخرى في إدارة الأعمال والاقتصاد

القيمة الزمنية للنقودتسعير السندات وعائدهاCAPM و WACCمرونة الطلب السعريةمفاهيم اقتصاديةتحليل نقطة التعادلالمحاسبة الماليةالإهلاكمبادئ التسويق

ورقة عمل قابلة للطباعة

ورقة عمل NPV و IRR مع الإجابات
تدرّب على NPV و IRR مجانًاتدرّب على NPV و IRR الآن5 مسائل مجانية كل يوم. لا حاجة إلى بطاقة.