Pesongan rasuk: soalan latihan dengan penyelesaian langkah demi langkah

Q: Bagaimanakah saya menyelesaikan soalan Pesongan rasuk langkah demi langkah?

Pesongan rasuk: pesongan diperoleh daripada pengamiran kelengkungan M/(EI) dua kali. Kes piawai telah dijadualkan, contohnya PL³/(3EI) bagi julur dengan beban hujung dan 5wL⁴/(384EI) bagi rasuk disokong mudah di bawah beban seragam penuh. Pesongan daripada beban yang berasingan ditambah (superposisi).

Q: Apakah yang diliputi oleh latihan Pesongan rasuk?

Mudah: julur, beban hujung Sederhana: beban seragam Sukar: superposisi dan reka bentuk Setiap soalan mempunyai nilai baharu, jadi anda mempelajari kaedah dan bukannya jawapan. Buntu? Buka petunjuk kecil dahulu, dan penerangan penuh hanya apabila anda memerlukannya.

Soalan latihan Pesongan rasuk percuma dengan rajah, petunjuk dan penyelesaian lengkap. Nilai baharu setiap kali, pada tiga tahap: julur, beban hujung, beban seragam, superposisi dan reka bentuk.

Soalan latihan percumaMudah

Satu julur membawa beban titik P pada hujung bebasnya. Cari pesongan δ pada hujung bebas.

P = 3 kNL = 1.5 mE = 200 GPa (keluli)I = 8.5 × 10⁶ mm⁴

Soalan seterusnya →

Berlatih Pesongan rasuk secara percuma Berlatih Pesongan rasuk sekarang5 soalan percuma setiap hari. Tiada kad diperlukan.

Apa yang anda latih

Mudahjulur, beban hujung
Sederhanabeban seragam
Sukarsuperposisi dan reka bentuk

Formula utama

Beban titik pada pertengahan rentang: δ = PL³/(48EI)
Beban seragam, disokong mudah: δ = 5wL⁴/(384EI)
Julur, beban hujung: δ = PL³/(3EI)
Julur, beban seragam: δ = wL⁴/(8EI)
Superposisi: δ = δ₁ + δ₂

Pelajari Pesongan rasuk dari awal

Sebelum ini: Daya ricih & momen lentur, Sentroid & momen luas kedua

1Apa itu pesongan

Setiap rasuk melentur sedikit di bawah beban. Jarak yang dilalui oleh satu titik rasuk ke bawah ialah pesongannya δ, biasanya dalam mm.

Rasuk boleh cukup kuat dan masih melentur terlalu banyak. Lantai kemudian terasa melantun, plaster retak dan pintu tersekat. Had biasa bagi lantai ialah rentang/360: lantai 3.6 m boleh terpesong paling banyak 10 mm.

Berapa banyak rasuk terpesong bergantung pada empat perkara:

beban: beban dua kali ganda memberikan pesongan dua kali ganda;
rentang: pesongan bertambah sangat pantas dengan panjang (L³ atau L⁴);
modulus Young bahan E: bahan yang lebih tegar melentur kurang;
momen luas kedua keratan I: keratan yang lebih dalam melentur kurang.

E dan I sentiasa muncul bersama sebagai hasil darab EI, kekakuan lenturan rasuk.

Semakan kendiri Anda menggantikan rasuk dengan satu lagi yang mempunyai momen luas kedua I dua kali ganda. Semua yang lain kekal sama. Apakah yang berlaku kepada pesongan?

Ia kekal sama
Ia menjadi dua kali ganda
Ia menjadi satu perempat
Ia menjadi separuh

Jawapan: Ia menjadi separuh. Pesongan berkadar songsang dengan EI. Menggandakan I menjadikan δ separuh.

2Rumus piawai

Pesongan diperoleh daripada pengamiran momen lentur dua kali, tetapi bagi kes biasa hasilnya telah dijadualkan. Empat kes meliputi kebanyakan soalan:

Julur, beban tumpu P di hujung bebas: δ = P·L³ / (3·E·I)
Julur, BAS w sepanjang panjang penuh: δ = w·L⁴ / (8·E·I)
Disokong mudah, beban tumpu P di tengah rentang: δ_max = P·L³ / (48·E·I)
Disokong mudah, BAS w sepanjang rentang penuh: δ_max = 5·w·L⁴ / (384·E·I)

Bagi julur, pesongan terbesar berada di hujung bebas; bagi rasuk disokong mudah dengan beban simetri, ia berada di tengah rentang.

Apabila rasuk menanggung beberapa beban, pesongan daripada setiap beban secara bersendirian dijumlahkan. Ini ialah superposisi.

Semakan kendiri Julur dengan beban di hujung mempunyai pesongan hujung 2 mm. Julur itu dijadikan dua kali lebih panjang. Berapakah pesongan baharu?

16 mm
32 mm
4 mm
8 mm

Jawapan: 16 mm. δ berkadar dengan L³, jadi menggandakan L mendarabkan δ dengan 2³ = 8: 2·8 = 16 mm. 4 mm menganggapnya linear; 32 mm menggunakan L⁴, iaitu kes BAS.

3Unit: bekerja dalam N dan mm

Rumus hanya berfungsi dengan unit yang konsisten. Pilihan yang selamat ialah newton dan milimeter:

P dalam N: kN × 1000.
w dalam N/mm: 1 kN/m betul-betul 1 N/mm.
L dalam mm: m × 1000.
E dalam N/mm²: GPa × 1000. Keluli: 200 GPa = 200 000 N/mm².
I dalam mm⁴: “36 × 10⁶ mm⁴” bermaksud 36 000 000 mm⁴.

Pesongan kemudian diperoleh dalam mm. Oleh kerana L dinaikkan kepada kuasa tiga atau empat, nombor menjadi besar. Kalkulator dengan kuasa sepuluh memudahkan pengiraan.

Semakan kendiri Rasuk diperbuat daripada keluli, E = 200 GPa. Nilai E yang manakah anda gunakan dengan N dan mm?

0.2 N/mm²
200 000 000 N/mm²
200 000 N/mm²
200 N/mm²

Jawapan: 200 000 N/mm². 1 GPa = 1000 MPa = 1000 N/mm², jadi 200 GPa = 200 000 N/mm². Menggunakan 200 menjadikan pesongan 1000 kali terlalu besar.

4Kaedah langkah demi langkah

Kenal pasti kes: julur atau disokong mudah, beban tumpu atau BAS.
Tukar P, w, L, E dan I kepada N dan mm.
Pilih rumus yang sepadan.
Hitung δ dalam mm.
Bagi beberapa beban: hitung setiap satu secara bersendirian dan jumlahkan.
Bagi soalan reka bentuk: tetapkan δ sama dengan nilai yang dibenarkan (contohnya L/360) dan selesaikan untuk I.

5Contoh terselesai

Ikuti setiap langkah. Cuba ramalkan langkah seterusnya sebelum anda membukanya.

Contoh terselesai

Julur keluli (E = 200 GPa, I = 36 × 10⁶ mm⁴) panjangnya 3 m dan menanggung beban tumpu 8 kN di hujung bebasnya. Cari pesongan di hujung bebas.

Kenal pasti kes

Julur dengan beban tumpu di hujung bebas: δ = PL³/(3EI).

Tukar kepada N dan mm

P = 8000 N, L = 3000 mm, E = 200 000 N/mm², I = 36 000 000 mm⁴.

Kekakuan lenturan

E·I = 200 000 · 36 × 10⁶ = 7.2 × 10¹² N·mm²

Pesongan hujung

L³ = 3000³ = 2.7 × 10¹⁰ mm³

δ = 8000 · 2.7 × 10¹⁰ / (3 · 7.2 × 10¹²) = 10 mm

Semak jawapan

10 mm pada julur 3 m ialah L/300. Itu saiz yang realistik bagi rasuk keluli yang dibebani: bukan pecahan milimeter dan bukan puluhan sentimeter.

Jawapan

Hujung bebas terpesong sebanyak δ = 10 mm.

6Kesilapan lazim

Mencampurkan unit: L dalam meter dengan E dalam N/mm² memberikan jawapan merepek. Tukar semuanya kepada N dan mm dahulu.
Membiarkan E dalam GPa, yang menjadikan δ 1000 kali terlalu besar.
Menggunakan kes yang salah, contohnya PL³/(48EI) bagi julur. Semak penyokong dan jenis beban.
Terlupa 5 dalam 5wL⁴/(384EI).
Dalam superposisi, menggunakan rumus yang berbeza bagi setiap beban tetapi terlupa salah satu beban.

Semakan kendiri Rasuk disokong mudah menanggung beban tumpu di tengah rentang yang bersendirian memberikan 4 mm, dan BAS yang bersendirian memberikan 6 mm. Berapakah pesongan di tengah rentang?

10 mm
2 mm
24 mm
6 mm

Jawapan: 10 mm. Dengan superposisi, pesongan daripada setiap beban dijumlahkan: 4 + 6 = 10 mm. Mengambil yang lebih besar sahaja, perbezaan atau hasil darab semuanya salah.

7Rupa soalan peperiksaan

Mudah: julur dengan beban di hujung. Cari δ = PL³/(3EI). Varian: rasuk disokong mudah dengan beban tengah, cerun hujung, atau beban yang memberikan pesongan tertentu.
Sederhana: beban seragam. Julur (wL⁴/8EI) atau rasuk disokong mudah (5wL⁴/384EI). Varian: beban tidak di tengah dan cerun hujung.
Sukar: superposisi dan reka bentuk. Jumlahkan pesongan beban tumpu dan BAS, atau cari I terkecil yang mengekalkan δ di bawah L/360.

Bagi kes reka bentuk: I_req = 5wL⁴ / (384·E·δ_allow), dengan δ_allow = L/360.

Belajar langkah demi langkah dalam aplikasi Belajar langkah demi langkah dalam aplikasi

Contoh penyelesaian

Contoh 1Mudah

Rasuk disokong mudah membawa beban titik P di tengah rentang. Cari pesongan δ_max di tengah rentang.

P = 19 kNL = 4 mE = 200 GPa (keluli)I = 12 × 10⁶ mm⁴

Cari nilai δ_max (mm)

Tunjukkan petunjuk

Bagi rasuk disokong mudah dengan beban titik di tengah, pesongan di tengah rentang ialah δ = PL³/(48EI).
Bekerja dalam N dan mm: P dalam N, w dalam N/mm (kN/m = N/mm), L dalam mm, E dalam N/mm² (GPa × 1000), I dalam mm⁴.
EI = 2.4 × 10¹² N·mm².

Tunjukkan jawapan dan penyelesaian langkah demi langkah

Pesongan rasuk: pesongan diperoleh daripada pengamiran kelengkungan M/(EI) dua kali. Kes piawai telah dijadualkan, contohnya PL³/(3EI) bagi julur dengan beban hujung dan 5wL⁴/(384EI) bagi rasuk disokong mudah di bawah beban seragam penuh. Pesongan daripada beban yang berasingan ditambah (superposisi).

Unit yang konsisten

Bekerja dalam N dan mm: P dalam N, w dalam N/mm (kN/m = N/mm), L dalam mm, E dalam N/mm² (GPa × 1000), I dalam mm⁴.

P = 19000 N, L = 4000 mm

EI = 2.4 × 10¹² N·mm²

Pesongan di tengah rentang

δ_max = PL³/(48EI) = 19000·4000³/(48·2.4 × 10¹²) = 10.56 mm

Jawapan

δ_max = 10.56 mm

Contoh 2Sederhana

Julur sepanjang L terikat tetap pada A dan membawa beban titik P pada jarak a = 2 m dari A. Cari pesongan δ_B pada hujung bebas B.

P = 26 kNa = 2 mL = 6 mE = 200 GPa (keluli)I = 84 × 10⁶ mm⁴

Cari nilai δ_B (mm)

Tunjukkan petunjuk

Bahagian antara A dengan beban berkelakuan seperti julur sepanjang a dengan beban hujung: δ = Pa³/(3EI), θ = Pa²/(2EI).
Selepas beban tiada momen, maka bahagian itu kekal lurus: δ_B = Pa³/(3EI) + Pa²/(2EI)·(L − a) = Pa²(3L − a)/(6EI).
a = 2000 mm, EI = 1.68 × 10¹³ N·mm².

Tunjukkan jawapan dan penyelesaian langkah demi langkah

Unit yang konsisten

Bekerja dalam N dan mm: P dalam N, w dalam N/mm (kN/m = N/mm), L dalam mm, E dalam N/mm² (GPa × 1000), I dalam mm⁴.

P = 26000 N, a = 2000 mm, L = 6000 mm

EI = 1.68 × 10¹³ N·mm²

Pesongan pada hujung bebas

Pesongan pada beban tambah cerun pada beban darab panjang yang tinggal.

δ_P = Pa³/(3EI) = 4.127 mm

θ_P = Pa²/(2EI) = 0.003095 rad

δ_B = δ_P + θ_P·(L − a) = Pa²(3L − a)/(6EI) = 16.51 mm

Jawapan

δ_B = 16.51 mm

Contoh 3Sukar

Rasuk kayu disokong mudah berkeratan segi empat tepat, selebar 100 mm, membawa beban teragih seragam w sepanjang keseluruhan rentangnya. Pesongan tengah rentangnya tidak boleh melebihi rentang/360. Cari kedalaman terkecil h_req bagi keratan itu.

w = 4 kN/mL = 3 mE = 11 GPa (kayu balak)b = 100 mm

Cari nilai h_req (mm)

Tunjukkan petunjuk

Samakan pesongan tengah rentang 5wL⁴/(384EI) dengan had dan selesaikan untuk I yang diperlukan.
Kemudian gunakan I = bh³/12 bagi segi empat tepat dan selesaikan untuk h.
I_req = 4.602 × 10⁷ mm⁴.

Tunjukkan jawapan dan penyelesaian langkah demi langkah

Unit yang konsisten

Bekerja dalam N dan mm: P dalam N, w dalam N/mm (kN/m = N/mm), L dalam mm, E dalam N/mm² (GPa × 1000), I dalam mm⁴.

w = 4 N/mm, L = 3000 mm, E = 11000 N/mm²

Had pesongan

δ_allow = L/360 = 3000/360 = 8.333 mm

Momen luas kedua yang diperlukan

I_req = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·4·3000⁴/(384·11000·8.333) = 4.602 × 10⁷ mm⁴

Kedalaman yang diperlukan

bh³/12 = I_req → h = (12·4.602 × 10⁷/100)^1/3 = 176.8 mm

Jawapan

h_req = 176.8 mm

Dalam amalan, pilih kedalaman piawai seterusnya di atas nilai ini.

Soalan dan jawapan

Apakah Pesongan rasuk?

Setiap rasuk melentur sedikit di bawah beban. Jarak yang dilalui oleh satu titik rasuk ke bawah ialah pesongannya δ, biasanya dalam mm.

Bagaimanakah saya menyelesaikan soalan Pesongan rasuk langkah demi langkah?

Apakah kesilapan lazim dalam Pesongan rasuk?

PL³/(3EI) ialah julur dengan beban hujung. Rasuk disokong mudah dengan beban tengah terpesong sebanyak PL³/(48EI).
Pekali 5/384 milik beban seragam (dengan wL⁴). Bagi beban titik di tengah gunakan 1/48.
Itu ialah pesongan di bawah beban. Selepas beban rasuk lurus tetapi condong, maka tambah θ·(L − a).

Apakah yang diliputi oleh latihan Pesongan rasuk?

Mudah: julur, beban hujung
Sederhana: beban seragam
Sukar: superposisi dan reka bentuk

Setiap soalan mempunyai nilai baharu, jadi anda mempelajari kaedah dan bukannya jawapan. Buntu? Buka petunjuk kecil dahulu, dan penerangan penuh hanya apabila anda memerlukannya.

Cara latihan berfungsi

Setiap soalan mempunyai nilai baharu, jadi anda mempelajari kaedah dan bukannya jawapan.
Buntu? Buka petunjuk kecil dahulu, dan penerangan penuh hanya apabila anda memerlukannya.
Kemajuan, kesilapan dan soalan tersimpan anda dikekalkan, jadi anda boleh menyemak sebelum peperiksaan.

Topik sebelum dan selepas topik ini

Pelajari dahulu

Daya ricih & momen lentur Sentroid & momen luas kedua

Kalkulator

Kalkulator pesongan rasuk

Kursus dengan topik ini

Mekanik Bahan Analisis Struktur Latihan peperiksaan FE Mekanikal Latihan peperiksaan FE Awam

Lebih banyak topik dalam Awam

Daya ricih & momen lentur Kekuda: kaedah sambungan Sentroid & momen luas kedua Lengkokan tiang Tegasan berkesan dalam tanah Enapan pengukuhan Daya hidrostatik Aliran saluran terbuka (Manning)

Lembaran kerja boleh cetak

Lembaran kerja Pesongan rasuk dengan jawapan

Berlatih Pesongan rasuk secara percuma Berlatih Pesongan rasuk sekarang5 soalan percuma setiap hari. Tiada kad diperlukan.